本 小节 将介绍 如何 运用多 元 线 性回 归 模型［３］来 预 测北 极 冰 雪 融化 所 带 来 的可能 影响。 首先， 收集了大量数据， 如全球温度数据、 温室气体排放数据、
佛罗里 达州 附近 海平 面 数 据 （佛罗里达东海岸的圣彼得斯堡和彭萨科拉， 佛 罗里达 西海 岸的 费南 迪 纳 比 奇和 弗 吉 尼亚 岛） 等， 并对数据进行了必要的整 理和分 析。 其次， 分别建立模型对格陵兰岛冰盖消融体积和北极海冰消融体积 进行了 计算。 最后， 建立了多元线性回归模型对未来 ５０ 年的全球平均气温、
全球ＣＯ２排 放量以 及平 均海平 面上 升幅度 进行 了预测。 通过求解模型， 得到了 未来５０ 年北极冰雪融化 （主要是格陵兰冰盖和北极海冰的融化） 对佛罗里达 海岸区 域的 影响， 并特别讨论了由于海平面上升所导致的海岸线侵蚀问题。
一、 数据的收集和处理 １畅全球温度数据
由 于建 立模型 的需 要， 收集了 １９５０—２００１ 年的全球温度数据， 所有数据 都来 源于 地 球政 策 研究 所 网站 （ ｈｔｔｐ：／／ｗｗｗ畅ｅａｒｔｈ－ｐｏｌｉｃｙ．ｏｒｇ ／）。 从图 １ －４ 可
1畅3 问题的数学模型与结果分析 7
以看出， 从 １９５０—１９７３ 年， 全球平均气温总是在 １４ ℃上下波动， 变化非常平 缓。 但是从 １９７３—２００７ 年， 全球平均气温上升了大约 １ ℃， 接近 １５ ℃。 因 此， 全球变暖的趋势非常明显。
图１－４ 从 １９５０ 年到２００１ 年的全球温度演化图
（ 图 片 来 源 文献 ［ ３］ ）
２畅温室气体排放数据
温室 气体的排放被公认 为是 导致 全球 变暖 的主 要因 素之 一， 图 １－５ 是从美 国能 源 部 二 氧 化 碳 信 息 分 析 中 心 （Ｃａｒｂｏｎ Ｄｉｏｘｉｄｅ Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ Ａｎａｌｙｓｉｓ Ｃｅｎｔｅｒ，
ＣＤＩＡＣ） 收集的温室气体数据。
图１－５ 不同温室气体对热量的吸收率以及在大气中的成分分布
（ 图 片 来 源 文献 ［ ３］ ）
从 图１－６ 可以看出， 不管是对热量的吸收率还是在大气中的含量， ＣＯ２都 是温室 气体 的主要 成分。 图 １－６ 给出了 １９５０—２００１ 年 ＣＯ２的 排放 量。
３畅佛罗里达州附近海平面数据
选 取佛 罗里达 州四 个沿海 城市 作为观 测点， 它们分别是佛罗里达东海岸的 圣彼得 斯堡 和彭萨 科 拉， 佛罗里达西海岸的费南迪纳比奇和弗吉尼亚岛。 图
8 第1 章 冰盖融化问题
１－７显示了所选取的四个城市。 图 １－８ 则给出了所选择的四个城市附近海平面 的年平 均数 据。
图１－６ 从１９５０ 年到 ２００１ 年 ＣＯ２的排放量
（ 图 片 来 源 文献 ［ ３］ ）
图１－７ 所选取的四个城市
（ 图 片 来 源 文献 ［ ３］ ）
1畅3 问题的数学模型与结果分析 9
图１－８ 所选取的四个城市附近海平面的数据
（ 图 片 来 源 文献 ［ ３］ ）
二、 冰雪消融体积的计算
随 着温 度的升 高， 北极冰雪将从低纬度到高纬度不断融化。 北极冰雪的构 成主要 包括 格陵兰 冰盖、 北极海冰以及其他一些较小的冰河和冻土。 作为北极 冰雪的 主体， 格陵兰冰盖和北极海冰的融化将对全球海平面的上升起到关键作 用。 如何合理计算格陵兰冰盖和北极海冰的融化量将直接关系到整个解决方案 的成败。 在原答卷中， 作者们根据阿基米德定律 （ Ａｒｃｈｉｍｅｄｅｓ ｌａｗ， 又称为阿 基米德 原理） 和冰水体积关系分别建立模型估计了格陵兰冰盖和北极海冰的 融化量。
（ 一） 格陵兰冰盖消融体积的计算 １畅基本原理
格 陵兰 冰盖和 北极 海冰的 主要 成分是 不同 的， 格陵兰冰盖的主要成分是淡 水， 密度是 ９００ ｋｇ ／ｍ３； 北极海冰的主要成分是海水， 密度是 ９１０ ～９１５ ｋｇ ／ｍ３。 全球的 不断 暖化将 导致 这两类 冰雪 的显著 消融， 并都将导致海平面的升高。 根 据阿基 米德 定律， 有
Fｂ＝ρｌgVｄ （１畅１）
0
1 第1 章 冰盖融化问题
式中， Fｂ表示 液体 的 浮 力， ρｌ表 示 液 体的 密 度， g 是重力加速度， Vｄ 是 溢 出
图１－９ 格陵兰冰盖在 １９９２ 年和１９９３ 年夏季的卫星图像
（ 图 片 来 源 文献 ［ ３］ ）
式中， Si 表示第i 个单元所表示的实际地表面积， Δhi 表 示第 i 个单元区域的 冰雪厚 度变 化量， n 是整个格陵兰冰盖上总的单元数目。
显 然每 个Si对 应唯 一的一 个四 元数组 （u， v， s， t）， 如图 １－１０ 所示。
图１－１０ 单元与四元数组 （ u， v， s， t） 的对应关系
（ 图 片 来 源 文献 ［ ３］ ）
利 用曲 面积分 可以 比较精 确 地 计算 出Si 的 面 积， 进而计算出该单元冰雪 的融化 量， 但是计算过程过于复杂。 简单的做法是， 根据问题的实际背景， 将 这样 一 个 不 太 规 则 的 曲 面 近 似 为 一 个 长 方 形， 这 样 其 面 积 在 t－s → ０，
u－v →０时就可以近似地用下式计算 Si≈ t－s３６０ · u－v
１８０ · ｃｏｓ u＋ｃｏｓ v
２ · L１· L２ （１畅９）
式中， L１ 和L２ 分别表 示Si 所对应 的纬 度和经 度的 跨度。
根 据从 英 国气 象 局 哈 德 利 中 心 （ Ｍｅｔ Ｏｆｆｉｃｅ Ｈａｄｌｅｙ Ｃｅｎｔｅｒ ） 获得的数据，
可以得 到在每 个１×１ 区域 （ 这里的 “１” 分别表示 １ 度跨度的纬度和 １ 度跨度 2
1 第1 章 冰盖融化问题
的经度） 的冰雪覆盖率 （见图 １－１１） 。 假设每个 １ ×１ 区域上的冰雪覆盖率为 ηi， 则格陵兰冰盖的年变化量可以精确表示为
ΔVｉｃ ｅ ｇ＝
钞
i ＝０n Si· Δhi· ηi （１畅１０）图１－１１ １×１ 区域上的冰雪覆盖率
（ 图 片 来 源 文献 ［ ３］ ）
但 是， 英国气象局哈德利中心 （Ｍｅｔ Ｏｆｆｉｃｅ Ｈａｄｌｅｙ Ｃｅｎｔｅｒ） 的数据并不完 善， 在某些区域上的数据存在缺失， 这就要求用户能够合理地估计、 修复这些 缺失的 数据。 通过比较格陵兰岛的等高线图和上述卫星图像， 可以发现格陵兰 岛的冰 雪覆盖 规律 （范围、 厚度等） 与该岛的地形分布大致相符， 因此根据 该岛的 地形 可以设 计一 种简单 有 效的 方 法来 估 计、 修复缺失的数据 （见图 １－
１２） 。 具体步骤如下。
第 一步， 根据抛物线拟合 －４２°经度线上 １×１ 区域的数据， 该抛物线可以
根据 （lｎｏ ｒｔｈ， ０）， （０， hｐｅａ ｋ）， （ lｓｏ ｕｔｈ， m） 三个点确定。
y ＝－hｐｅ ａｋ
l２ｎｏ ｒｔｈ· x２＋hｐｅ ａ ｋ （１畅１１）
式中， lｎｏ ｒｔｈ是 图１－１２ （ｂ） 中从 O 到 A 的距离； hｐｅ ａｋ是格 陵 兰 岛 的 海 拔 高度；
lｓｏ ｕｔｈ是 从O 到 B 的距离， O、 A、 B 的位置如图 １－１２ （ｂ） 所示。
第 二步， 采用与第一步相同的步骤拟合出不同纬度的抛物线。
经 过对 缺失数 据 的修 复， 再应用式 （１畅１０） 就可以计算出格陵兰岛每年 大约有５畅１７１×１０１１ｍ３ 的冰 雪融化 成淡 水并注 入太 平洋。
3 1畅3 问题的数学模型与结果分析 1
图１－１２ 格陵兰岛的地形图和解决方法
（ 图 片 来 源 文献 ［ ３］ ）
（ 二） 北极海冰消融体积的计算 １畅北极海冰数据
北 极海 冰数据 可以 从 美 国国 家 冰 雪 数 据 中心 （ Ｎａｔｉｏｎａｌ Ｓｎｏｗ ａｎｄ Ｉｃｅ Ｄａｔａ Ｃｅｎｔｅｒ， ＮＳＩＤＣ） 获得。 图 １－１３ 显示了从 １９７９—２００７ 年北极海冰体积的演化，
显然海 冰的 区域和 体积 在不断 缩减。
图１－１３ 北极海冰变化曲线
（ 图 片 来 源 文献 ［ ３］ ）
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1 第1 章 冰盖融化问题
２畅面积－厚度关系模型
如 图１－１４ 所示为北极海冰的面积和厚度分布。 从图中不难发现， 海冰的 面积在 迅速 缩小， 越靠近加拿大和格陵兰岛的海冰厚度越大。
图１－１４ 北极海冰的分布
（ 图 片 来 源 文献 ［ ３］ ）
通 过观 察北极 海冰 的厚度 和面 积， 可以发现北极海冰的分布类似于一个半 圆， 当温度下降时北极海冰的面积和厚度将同步增加。 这里建立了一个几何模 型来估 算融 化的北 极海 冰体积。 图 １－１５ 是海冰体积变化示意。 海冰的融化体 积等于 上下 两个抛 物面 所界定 部分 的体积， 可以利用积分计算出来。
图１－１５ 北极海冰体积变化示意
（ 图 片 来 源 文献 ［ ３］ ）
假 设在 较低温 度下， 新扩展的海冰面积是 S１， 在较高温度下， 缩减的海 冰面积 是 S２。 根据前面的假设， 海冰的范围是一个半圆， 那么该半径可以计 算如下
R＝ ２S ／π （１畅１２）
冰体侧 面轮 廓形状 由 （０， h） ， （±R） 确定
5 1畅3 问题的数学模型与结果分析 1
y ＝－hR２· x２＋h （１畅１３）
融化的 海冰 体积可 以通 过积分 计算
ΔVｉｃｅ ｓ＝π·
∫
０hh－yh · R２ｄy （１畅１４）根据式 （１畅１４）， 北极海冰总的融化体积是
ΔVｉｃ ｅｓ＝πh２ · （R２１－R２２） （１畅１５）
式中， h 是海冰最厚处的厚度， 约等于 ５畅５ ｍ。
最 后， 应用式 （１畅１５） 可以计算出北极海冰融化将增加 ２畅６ ×１０９ｍ３ 的 水 到海洋 中， 与格陵兰岛相比， 这个数值无疑是非常小的。
三、 多元线性回归模型
基 于前 面收集 的数 据和已 有结 果， 这里将建立多元线性回归模型来预测由 于北极 冰雪 融化 （主要是格陵兰冰盖和北极海冰的融化） 所导致的全球海平 面上升 幅度。 如图 １－１６ 所示为使用多元线性回归模型对海平面上升幅度进行 预测的 流程。
图１－１６ 使用多元线性回归模型对海平面上升幅度进行预测的流程
（ 图 片 来 源 文献 ［ ３］ ）
众 所周 知， ＣＯ２等 温室气 体的 排放以 及冰 雪消融 对全 球气温 的升 高 具有 重 要影响。 同时， 全球气温的升高和冰雪消融对海平面的升高也具有重要的影 响。 因此， 首先需要根据因素之间的相关性选取对海平面上升影响最显著的 因素。
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1 第1 章 冰盖融化问题
瞯温室气体和全球气温变化之间的相关性。
图１－１７ 全球气温预测
（ 图 片 来 源 文献 ［ ３］ ）
ＩＰＣＣ 报告中全球未来 ５０ 年的温度预测见表 １－２。
表1－2 IPCC 报告中全球未来 50 年的温度预测
年份 ２０１０ ２０２０ ２０３０ ２０４０ ２０５０
温度℃ １５畅４３ １５畅５６ １５畅６８ １５畅９９ １６畅２８ 使 用预 测模型 （１畅１７） 对未来 ５０ 年由于北极冰雪融化所导致的海平面上 升幅度 进行 了预测， 具体结果如图 １－１８ 所示。
图１－１８ 北极冰雪融化所导致的海平面上升幅度
（ 图 片 来 源 文献 ［ ３］ ）
根 据上 面的计 算结 果不 难发 现， 在未来 ５０ 年中， 北极冰雪融化将导致海 平面显 著上 升。
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1 第1 章 冰盖融化问题
（ 二） 佛罗里达附近海平面的上升幅度
根 据题 目的要 求， 这里将预测佛罗里达州附近海平面的上升幅度， 仍然以 费南 迪 纳 比 奇 （ Ｆｅｒｎａｎｄｉｎａ ）、 圣 彼 得 斯 堡 （ Ｓｔ畅Ｐｅｔｅｒｓｂｕｒｇ ）、 彭 萨 科 拉
（Ｐｅｎｓａｃｏｌａ） 和弗吉尼亚岛 （Ｖｉｒｇｉｎｉａ ｋｅｙ） 四个海岸城市为例。
因 为Ｆｅｒｎａｎｄｉｎａ 是最靠近 Ｊａｃｋｓｏｎｖｉｌｌｅ 的观测中心， 这里选取它的数据来 确定回 归模 型的系 数， 然后再进行预测。 使用 ＳＰＳＳ 软件易得
Δhｓｅ ａ＝０畅９９３＋０畅０２１· ΔVｉｃ ｅ＋０畅００８· ΔT 根 据该 模型， Ｆｅｒｎａｎｄｉｎａ 附近海平面高度见表 １－３。
表1－3 Fernandina 附近海平面高度／m
年份 ２０１０ ２０２０ ２０３０ ２０４０ ２０５０
海平面高度 １畅０２８ ６３５ １畅０４７ ５８ １畅０６６ ５２７ １畅０８５ ４７１ １畅１０４ ４１３ 根 据该 表不难 发现， Ｆｅｒｎａｎｄｉｎａ 附近的海平面将以每年 ２ ｍｍ 的速度持续 上升 （见图 １－１９）。
图１－１９ 北极冰雪融化所导致的 Ｆｅｒｎａｎｄｉｎａ 附近海平面的上升幅度
（ 图 片 来 源 文献 ［ ３］ ）
同 样的， 使用上述预测 模型可以 得到其 他几个城 市的海平 面上升幅 度
（见表 １－４ 和图 １－２０）。
表1－4 佛罗里达州其他四个城市的海平面高度／m
年份 ２０１０ ２０２０ ２０３０ ２０４０ ２０５０
圣彼得斯堡 ０畅３４８ ９２７ ０畅３３３ ３８５ ０畅３１７ ８３３ ０畅３０２ ３０２ ０畅２８６ ８ 彭萨科拉 ０畅１７３ １２５ ０畅１５３ ７４２ ０畅１３４ ３４４ ０畅１１４ ９７７ ０畅０９５ ６５９ 弗吉尼亚岛 ０畅４１０ １５９ ０畅４５７ ８６９ ０畅５０５ ５７６ ０畅５５３ ２９ ０畅６０１ ０１４ 基韦斯特 ０畅２９３ ７８７ ０畅２９９ ３９３ ０畅３０４ ９９８ ０畅３１０ ６０５ ０畅３１６ ２１７ 9 1畅3 问题的数学模型与结果分析 1
图１－２０ 佛罗里达州５ 个大城市附近海平面的上升趋势图
（ 图 片 来 源 文献 ［ ３］ ）
（ 三） 对海岸线的侵蚀
当 海平 面上升 时， 它会产生两方面的影响。 首先， 部分较低的陆地和河岸
当 海平 面上升 时， 它会产生两方面的影响。 首先， 部分较低的陆地和河岸