美国大学生数学建模竞赛题解析与研究

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美国大学生数学建模竞赛题解析与研究

西北工业大学数学建模课题组

定价 00.00元

MCM数学建模丛书

MCM数学建模丛书西北工业大学数学建模课题组

冰盖融化问题数独问题医疗保健系统评价问题

选区划分问题飞机就座问题

肾移植问题

第 1 辑

第辑

1

学科类别：数学 / 建模

http://academic.hep.com.cn

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美国ＭＣＭ／ＩＣＭ竞赛指导丛书

美国大学生数学建模竞赛题解析与研究

第 1 辑

Meiguo Dɑxuesheng Shuxue Jiɑnmo Jingsɑiti Jiexi yu Yɑnjiu Di－yi Ji

西北工业大学数学建模课题组

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内容提要

本系列丛书是以美国大学生数学建模竞赛（ＭＣＭ／ＩＣＭ）赛题为主要研究对象，结合竞赛特等奖的优秀论文，对相关的问题做深刻细致的解析与研究。本辑针对２００７年及２００８年ＭＣＭ／ＩＣＭ竞赛的６个题目：冰盖融化问题、数独谜题生成问题、医疗保健系统评估问题、选区划分问题、飞机就座问题以及肾移植问题进行了解析与研究。

本书内容新颖、实用性强，目前国内尚无同类作品。本书可作为指导学生参加美国大学生数学建模竞赛的主讲教材，也可作为本科生、研究生学习和准备全国大学生、研究生数学建模竞赛的参考书，同时可供研究相关问题的教师和研究生参考使用。

　　图书在版编目（ＣＩＰ）数据

美国大学生数学建模竞赛题解析与研究．第１辑／西北工业大学数学建模课题组．－－北京：高等教育出版社，

２０１２畅７

（美国ＭＣＭ／ＩＣＭ竞赛指导丛书）

ＩＳＢＮ９７８－７－０４－０３３８４５－４

Ⅰ．①美…　Ⅱ．①西…　Ⅲ．①数学模型－竞赛题－研究　Ⅳ．①Ｏ１４１畅４－４４

中国版本图书馆ＣＩＰ数据核字（２０１２）第１５６１３５号

策划编辑刘　英　　　　责任编辑冯　英　　　　封面设计　李卫青　　　　版式设计　范晓红

插图绘制　尹　莉责任校对　金　辉责任印制

出版发行　高等教育出版社　　　　　　　咨询电话　４００－８１０－０５９８社　　址　北京市西城区德外大街４号网　　址　ｈｔｔｐ：／／ｗｗｗ．ｈｅｐ．ｅｄｕ．ｃｎ邮政编码　１００１２０　　　　　ｈｔｔｐ：／／ｗｗｗ．ｈｅｐ．ｃｏｍ．ｃｎ印　　刷　网上订购　ｈｔｔｐ：／／ｗｗｗ．ｌａｎｄｒａｃｏ．ｃｏｍ开　　本　７８７ｍｍ×１０９２ｍｍ　１／１６　　　　　ｈｔｔｐ：／／ｗｗｗ．ｌａｎｄｒａｃｏ．ｃｏｍ．ｃｎ

印　　张　１７版　　次　　　年　月第１版

字　　数　３２０千字印　　次　　　年　月第　次印刷

购书热线　０１０－５８５８１１１８定　　价　４５畅００元

物料号　３３８４５－００

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“美国ＭＣＭ／ＩＣＭ竞赛指导丛书”

编审委员会

顾　问

ＣｈｒｉｓＡｒｎｅｙ　　　　　　　　美国西点军校主　编

王　杰美国麻省大学罗威尔分校

朱　旭西安交通大学

秘　书

王嘉寅美国康涅狄格大学／西安交通大学委　员

ＪａｙＢｅｌａｎｇｅｒ美国杜鲁门州立大学

陈秀珍美国乔治华盛顿大学

冯国灿中山大学

龚维博美国麻省大学阿默斯特分校

韩中庚解放军信息工程大学

李向阳美国伊利诺伊理工大学

杨新宇西安交通大学

叶正麟西北工业大学

张存权美国西弗吉尼亚大学

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序

数学建模的训练与经验能使同学们在解决问题时更有创意，同时也能帮助同学们成为更为优秀的研究生。 “ 美国ＭＣＭ／ＩＣＭ竞赛指导丛书” 的出版，将通过数学建模竞赛题目和概念的解析，帮助同学们掌握数学建模的技能，并为同学们在今后的工作中获得成功打下坚实的基础。

数学建模是一种过程，也是一种理念，或者说是一种哲学。作为过程，学生在理解及使用建模过程或框架时需要指导并积累经验。作为经验，学生需要使用不同的数学方法（离散、连续、线性、非线性、随机、几何及分析）构造数学模型，从中体验不同的细节及复杂程度。作为理念，学生需要发现各种相关的、具有挑战性的及有趣的实际问题，从中培养对数学建模的兴趣，并认识到数学建模在实际生活中的作用。数学建模的主要目的是指导学生用建模的方法解决实际问题。尽管在实际中，有些问题或许可以使用已有的算法和公式来求解，但数学建模的方法比简单使用已有算法和公式能解决更多的问题，特别是解决新的、没有固定答案及没有被解决过的问题。

为了积累经验，同学们应尽早地接受数学建模训练，至少应该在大学低年级时就开始，这样可以在以后的课程学习中进一步强化数学建模能力。由于数学建模的综合与交叉特性，所以各个专业的学生都能够从数学建模活动中受益。

本套丛书从将数学模型作为研究工具的角度出发，介绍模型的构造，分析建模过程，这些都是帮助学生更好地掌握数学建模技能的重要因素。数学建模是充满挑战的高级技能，更重要的是能够帮助学生更好地成长。当今世界需要解决的问题往往很复杂，所以建立的数学模型也很复杂，通常需要通过精细的计算和模拟才能获得解答或对模型结果的分析与检验。由于数据可视化技术的普及，解题方法的增加，所以现在的确是培养更多数学建模高手的最佳时期。

我希望同学们在数学建模探索中取得进步，也希望指导教师在使用这套丛书提供的例子及方法指导学生时取得很好的效果。尽管学生的层次可能不同，

但我对你们的忠告是同样的：树立你的信心、发展你的技能，用你的才能解决社会中最具挑战及最重要的问题。祝各位建模好运！

ＣｈｒｉｓＡｒｎｅｙ，博士美国西点军校数学系教授ＩＣＭ竞赛主席２０１１年１０月

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Ｕｎｄｅｒｇｒａｄｕａｔｅｓｔｕｄｅｎｔｓｗｈｏｒｅｃｅｉｖｅｉｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎａｎｄｅｘｐｅｒｉｅｎｃｅｓｉｎｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌｍｏｄｅｌｉｎｇｂｅｃｏｍｅｂｅｔｔｅｒａｎｄｍｏｒｅｃｒｅａｔｉｖｅｐｒｏｂｌｅｍｓｏｌｖｅｒｓａｎｄｇｒａｄｕａｔｅｓｔｕｄｅｎｔｓ．Ｔｈｉｓｂｏｏｋｓｅｒｉｅｓｉｓｂｅｉｎｇｐｕｂｌｉｓｈｅｄｔｏｐｒｅｐａｒｅａｎｄｅｄｕｃａｔｅｓｔｕｄｅｎｔｓｏｎｔｈｅｔｏｐｉｃｓａｎｄｃｏｎｃｅｐｔｓｏｆｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌｍｏｄｅｌ- ｉｎｇｔｏｈｅｌｐｔｈｅｍｅｓｔａｂｌｉｓｈａｐｒｏｂｌｅｍｓｏｌｖｉｎｇｆｏｕｎｄａｔｉｏｎｆｏｒａｓｕｃｃｅｓｓｆｕｌｃａｒｅｅｒ．

Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌｍｏｄｅｌｉｎｇｉｓｂｏｔｈａｐｒｏｃｅｓｓａｎｄａｍｉｎｄｓｅｔｏｒｐｈｉｌｏｓｏ- ｐｈｙ．Ａｓａｐｒｏｃｅｓｓ，ｓｔｕｄｅｎｔｓｎｅｅｄｉｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎａｎｄｅｘｐｅｒｉｅｎｃｅｉｎｕｎｄｅｒ- ｓｔａｎｄｉｎｇａｎｄｕｓｉｎｇｔｈｅｍｏｄｅｌｉｎｇｐｒｏｃｅｓｓｏｒｆｒａｍｅｗｏｒｋ．Ａｓｐａｒｔｏｆｔｈｅｉｒｅｘｐｅｒｉｅｎｃｅ，ｔｈｅｙｎｅｅｄｔｏｓｅｅｖａｒｉｏｕｓｌｅｖｅｌｓｏｆｓｏｐｈｉｓｔｉｃａｔｉｏｎａｎｄｃｏｍ- ｐｌｅｘｉｔｙ，ａｌｏｎｇｗｉｔｈｖａｒｉｏｕｓｔｙｐｅｓｏｆｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ（ｄｉｓｃｒｅｔｅ，

ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ，ｌｉｎｅｒ，ｎｏｎｌｉｎｅａｒ，ｄｅｔｅｒｍｉｎｉｓｔｉｃ，ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃ，ｇｅｏｍｅｔｒｉｃ，

ａｎｄａｎａｌｙｔｉｃ）．Ａｓａｍｉｎｄｓｅｔ，ｓｔｕｄｅｎｔｓｎｅｅｄｔｏｓｅｅｐｒｏｂｌｅｍｓｔｈａｔａｒｅｒｅｌｅｖａｎｔ，ｃｈａｌｌｅｎｇｉｎｇ，ａｎｄｉｎｔｅｒｅｓｔｉｎｇｓｏｔｈｅｙｂｕｉｌｄａｐａｓｓｉｏｎｆｏｒｔｈｅｐｒｏｃｅｓｓａｎｄｉｔｓｕｔｉｌｉｔｙｉｎｔｈｅｉｒｌｉｖｅｓ．Ａｍａｊｏｒｇｏａｌｉｎｍｏｄｅｌｉｎｇｉｓｆｏｒｓｔｕｄｅｎｔｓｔｏｗａｎｔｔｏｍｏｄｅｌｐｒｏｂｌｅｍｓａｎｄｆｉｎｄｔｈｅｉｒｓｏｌｕｔｉｏｎｓ．Ｒｅｃｉｐｅｓｆｏｒｓｔｒｕｃｔｕｒｅｄｏｒｐｒｅｓｃｒｉｂｅｄｐｒｏｂｌｅｍｓｏｌｖｉｎｇ（ｃａｎｎｅｄａｌｇｏｒｉｔｈｍｓａｎｄｆｏｒｍｕ- ｌａｓ）ｄｏｅｘｉｓｔｉｎｔｈｅｒｅａｌｗｏｒｌｄ，ｂｕｔｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌｍｏｄｅｌｅｒｓｃａｎｄｏｍｕｃｈｍｏｒｅｔｈａｎｅｘｅｃｕｔｅｒｅｃｉｐｅｓｏｒｆｏｒｍｕｌａｓ．Ｍｏｄｅｌｅｒｓａｒｅｅｍｐｏｗｅｒｅｄｔｏｓｏｌｖｅｎｅｗ，ｏｐｅｎ，ｕｎｓｏｌｖｅｄｐｒｏｂｌｅｍｓ．

Ｉｎｏｒｄｅｒｔｏｂｕｉｌｄｓｕｆｆｉｃｉｅｎｔｅｘｐｅｒｉｅｎｃｅｉｎｍｏｄｅｌｉｎｇ，ｓｔｕｄｅｎｔｅｘｐｏ-

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ａｔｅｙｅａｒｓ．Ｔｈｅｎｔｈｅｍｏｄｅｌｉｎｇｐｒｏｃｅｓｓｃａｎｂｅｒｅｉｎｆｏｒｃｅｄａｎｄｕｓｅｄ

ｔｈｒｏｕｇｈｏｕｔｔｈｅｉｒｕｎｄｅｒｇｒａｄｕａｔｅｐｒｏｇｒａｍ．Ｓｉｎｃｅｍｏｄｅｌｉｎｇｉｓｉｎｔｅｒｄｉｓｃｉ-

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ｐｌｉｎａｒｙ，ｓｔｕｄｅｎｔｓｆｒｏｍａｌｌａｒｅａｓｏｆｕｎｄｅｒｇｒａｄｕａｔｅｓｔｕｄｙｂｅｎｅｆｉｔｆｒｏｍｔｈｉｓｅｘｐｅｒｉｅｎｃｅ．

Ｔｈｅａｒｔｉｃｌｅｓａｎｄｃｈａｐｔｅｒｓｉｎｔｈｉｓｓｅｒｉｅｓｅｘｐｏｓｅｔｈｅｒｅａｄｅｒｓｔｏｍｏｄｅｌｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ，ｍｏｄｅｌａｎａｌｙｓｉｓ，ａｎｄｍｏｄｅｌｉｎｇａｓａｒｅｓｅａｒｃｈｔｏｏｌ．Ａｌｌｔｈｅｓｅａｒｅａｓａｒｅｉｍｐｏｒｔａｎｔａｎｄｂｕｉｌｄｔｈｅｓｔｕｄｅｎｔｓ摧ｍｏｄｅｌｉｎｇｓｋｉｌｌｓ．Ｍｏｄ- ｅｌｉｎｇｉｓａｃｈａｌｌｅｎｇｉｎｇａｎｄａｄｖａｎｃｅｄｓｋｉｌｌ，ｂｕｔｏｎｅｔｈａｔｉｓｅｍｐｏｗｅｒｉｎｇａｎｄｉｍｐｏｒｔａｎｔｉｎｓｔｕｄｅｎｔｄｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔ．Ｉｎｔｏｄａｙ摧ｓｗｏｒｌｄ，ｍｏｄｅｌｓａｒｅｏｆｔｅｎｃｏｍｐｌｅｘａｎｄｒｅｑｕｉｒｅｓｏｐｈｉｓｔｉｃａｔｅｄｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎｏｒｓｉｍｕｌａｔｉｏｎｔｏｐｒｏｖｉｄｅｓｏｌｕｔｉｏｎｓｏｒｉｎｓｉｇｈｔｓｉｎｔｏｍｏｄｅｌｂｅｈａｖｉｏｒ．Ｎｏｗｉｓａｎｅｘｃｉｔｉｎｇｔｉｍｅｔｏｂｅａｓｋｉｌｌｅｄｍｏｄｅｌｅｒｓｉｎｃｅｍｅｔｈｏｄｏｌｏｇｙｔｏｐｒｏｖｉｄｅｖｉｓｕａｌｉｚａｔｉｏｎａｎｄｆｉｎｄｓｏｌｕｔｉｏｎｓａｒｅｍｏｒｅｐｒｅｖａｌｅｎｔａｎｄｍｏｒｅｐｏｗｅｒｆｕｌｔｈａｎｅｖｅｒｂｅｆｏｒｅ．

ＩｗｉｓｈｔｈｅｓｔｕｄｅｎｔｓｗｅｌｌｉｎｔｈｅｉｒａｄｖｅｎｔｕｒｅｉｎｔｏｍｏｄｅｌｉｎｇａｎｄＩｌｉｋｅ- ｗｉｓｅｗｉｓｈｆａｃｕｌｔｙｗｅｌｌａｓｔｈｅｙｕｓｅｔｈｅｅｘａｍｐｌｅｓａｎｄｔｅｃｈｎｉｑｕｅｓｉｎｔｈｉｓｂｏｏｋｓｅｒｉｅｓｔｏｔｅａｃｈｔｈｅｍｏｄｅｌｉｎｇｐｒｏｃｅｓｓｔｏｔｈｅｉｒｓｔｕｄｅｎｔｓ．Ｍｙａｄｖｉｃｅｔｏａｌｌｌｅｖｅｌｓｏｆｍｏｄｅｌｅｒｓｉｓｔｏｂｕｉｌｄｙｏｕｒｃｏｎｆｉｄｅｎｃｅａｎｄｓｋｉｌｌｓａｎｄｕｓｅｙｏｕｒｔａｌｅｎｔｓｔｏｓｏｌｖｅｓｏｃｉｅｔｙ摧ｓｍｏｓｔｃｈａｌｌｅｎｇｉｎｇａｎｄｉｍｐｏｒｔａｎｔｐｒｏｂｌｅｍｓ．

Ｇｏｏｄｌｕｃｋｉｎｍｏｄｅｌｉｎｇ！

ＣｈｒｉｓＡｒｎｅｙ，ＰｈＤ

ＵｎｉｔｅｄＳｔａｔｅｓＭｉｌｉｔａｒｙＡｃａｄｅｍｙａｔＷｅｓｔＰｏｉｎｔＰｒｏｆｅｓｓｏｒｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓ

ＤｉｒｅｃｔｏｒｏｆｔｈｅＩｎｔｅｒｄｉｓｃｉｐｌｉｎａｒｙＣｏｎｔｅｓｔｉｎＭｏｄｅｌｉｎｇＯｃｔｏｂｅｒ，２０１１

Ⅱ Forward

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丛书简介

美国大学生数学建模竞赛（ＴｈｅＭａｔｈｅｍａｔｉｃａｌＣｏｎｔｅｓｔｉｎＭｏｄｅｌｉｎｇ，ＭＣＭ／

ＴｈｅＩｎｔｅｒｄｉｓｃｉｐｌｉｎａｒｙＣｏｎｔｅｓｔｉｎＭｏｄｅｌｉｎｇ，ＩＣＭ），即 “数学建模竞赛” 和 “交叉学科建模竞赛” ，是一项国际级的竞赛活动，为现今各类数学建模竞赛之鼻祖。　

１９８５年，在美国教育部的资助下，在美国针对在校大学生创办了一个名为 “数学建模竞赛” 的竞赛，其宗旨是鼓励大学师生对不同领域的各种实际问题进行阐明、分析并提出解决方案。它是一种完全公开的竞赛，参赛形式为学生三人组成一队，在三天（７２小时）（近年改为四天，即９６小时）内任选一题，完成数学建模的全过程，并就问题的重述、简化和假设及其合理性的论述、数学模型的建立和求解（及软件）、检验和改进、模型的优缺点及其可能的应用范围的自我评述等内容写出论文。ＭＣＭ／ＩＣＭ非常重视解决方案的原创性、团队合作与交流以及结果的合理性。由专家组成的评阅组进行评阅，评出优秀论文。除了不允许在竞赛期间与团队以外的任何人（包括指导教师）讨论赛题之外，允许使用图书资料、互联网上的资料、任何类型的软件等各种资料和途径，从而为参赛学生提供了广阔的创作空间。第一届竞赛时，只有美国的１５８个队参加，其中只有９０个队提交了解答论文。２０１２年ＭＣＭ／ＩＣＭ共有５０２６个队参加，其中ＭＣＭ有３６９７个队，ＩＣＭ有１３２９个队，遍及五大洲。

ＭＣＭ／ＩＣＭ已经成为最著名的国际大学生竞赛之一，影响极其广泛。

近年来，已有越来越多的中国学生组队参加美国大学生数学建模竞赛，其中不乏被评为最优论文（ＯｕｔｓｔａｎｄｉｎｇＷｉｎｎｅｒｓ）的佼佼者，这充分显示了中国大学生参加ＭＣＭ／ＩＣＭ竞赛的积极性与实力。学生在准备竞赛的时候，除了在指导教师的帮助下阅读和研究以往竞赛的优胜论文以外，普遍希望能有一些专门针对美国大学生数学建模竞赛的书籍，指导和帮助备赛。

“ 美国大学生数学建模竞赛指导丛书” 就是为了满足读者的这一需求而出版的，目的是帮助学生学习从全局出发，不受固定模式的限制，用建模的手段解决开放性问题的研究方法，并提高写作能力。丛书的读者对象包括参赛学生以及对数学建模与算法感兴趣的研究生、专业人员和业余爱好者。

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我们邀请到美国麻省大学罗威尔分校王杰教授担任丛书主编，他曾为ＭＣＭ／ＩＣＭ命题，对竞赛具有很多独到的认识。丛书作者来自各高校，他们都是有经验的指导教师或参加过竞赛的优秀成员。丛书包括一本枟正确写作美国大学生数学建模竞赛论文枠和若干辑枟美国大学生数学建模竞赛题解析与研究枠，前者为一本指导学生如何正确写作ＭＣＭ／ＩＣＭ论文的工具书，后者中和每一辑将讨论若干赛题，包括问题的背景、分析技巧、建模与测试方法及算法设计，并引导读者列出进一步研究的课题。目标是培养学生多方面的能力，

如数学、编程、写作及课题研究等的训练，提高学生分析问题、解决问题的水平。

丛书的出版计划得到了美国建模专家的广泛支持，ＩＣＭ主席（也是ＩＣＭ的发起人）、美国西点军校数学系教授ＣｈｒｉｓＡｒｎｅｙ博士受邀担任丛书顾问并为丛书作序。

我们热切希望通过本套丛书的出版，进一步活跃我国大学生参加ＭＣＭ／

ＩＣＭ的积极性，提高他们的自信心，并最终取得满意的成绩。更为重要的，提高学生的研究解决实际问题的能力。

Ⅱ ^{丛书简介}

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前言

美国大学生数学建模竞赛（ＭＣＭ／ＩＣＭ）作为一项国际性数学赛事，尤其受到中国大学生们的青睐。历年赛题的题材广泛，其应用性、探究性、开放性和挑战性或许是吸引学生眼球并积极参赛的重要原因，同时也引发了国内不少大学数学教师的兴趣。

２００７年和２００８年的赛题就有这些特点。２００７年ＭＣＭ的Ａ题 “ Ｇｅｒｒｙｍａｎ- ｄｅｒｉｎｇ” 是因探讨美国州众议员选举的公平性而引发的选区划分的社会学研究问题，该年ＭＣＭ的Ｂ题 “ ＴｈｅＡｉｒｐｌａｎｅＳｅａｔｉｎｇＰｒｏｂｌｅｍ”，则为研究飞机登机时间的最优化问题。２００７年ＩＣＭ的Ｃ题 “ ＯｒｇａｎＴｒａｎｓｐｌａｎｔ：ＴｈｅＫｉｄｎｅｙＥｘｃｈａｎｇｅＰｒｏｂｌｅｍ”，要研究如何建立一个有效机制，以保证有效利用与开发肾源。２００８年ＭＣＭ的Ａ题 “ ＴａｋｅＡＢａｔｈ” 要求研究因北极冰雪消融所导致的一系列环境、生态等方面的问题，该年ＭＣＭ的Ｂ题 “ＣｒｅａｔｉｎｇＳｕｄｏｋｕＰｕｚｚｌｅｓ”

研究的是数独游戏的反问题：数独谜题难度级别的划分与生成算法及其复杂性分析。２００８年ＩＣＭ的Ｃ题 “ＦｉｎｄｉｎｇｔｈｅＧｏｏｄｉｎＨｅａｌｔｈＣａｒｅＳｙｓｔｅｍｓ”，则是研究在医疗保健领域中，如何科学合理地评价服务系统方面的问题。

这些赛题的前沿性和现实性乃至趣味性十分明显。对于问题背景的归纳表述和所提出的希望解决的问题，都相当贴近原始问题，在专业上的简化和在数学上的提炼都比较少，问题实际、明了。有些问题本身就是一个研究课题，还没有成熟的研究成果，甚至即使有研究结论，也尚存争议，未有定论，有不少值得进行探索和研究的方向和方面，极具挑战性。这些赛题往往要求参赛学生自己查询、获取充分的相关信息和数据。针对赛题的数学建模与算法多种多样，开放性强，参赛学生能够发挥的空间大。

分析这两年ＭＣＭ／ＩＣＭ获奖的优秀论文，它们具有下面的一些特点：或侧重于模型和方案的新颖性，自成一体；或建模分析中对于问题的理解和解决有独特的视野和观点；或表现出有价值的外延与扩展。论文在建立数学模型解决问题过程中，或者对于问题的全局及各因素的复杂关系有较好的分析与把握；

或者未必做得全面，却往往对其中一两个问题颇有特色的有层次的深入的研究。对计算结果似乎比较淡化，然而强调有说服力的量化结论。尤其注重新见

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解、新观点、新意或创新性。

ＭＣＭ／ＩＣＭ的这些特点，无疑对于培养大学生优良的科学素质、独立的研究能力、创造性能力都是有益的。就大学数学教学而言，或多或少推动着传统数学教学模式的变化，使得大学校园里的数学课程的教与学，变得生动有趣、

富有活力。师生走出课堂，走出书本，走向实际问题，走向应用探索，致力于开放教学，致力于自主学习。

本辑就２００７、２００８年ＭＣＭ／ＩＣＭ的Ａ、Ｂ与Ｃ题共６道赛题的若干数学建模方法，结合当年获奖的优秀论文进行介绍和评析，希望有益于大学的数学建模教学和竞赛活动。书中不免有诸多不妥之处，敬请读者批评指正。本辑抛砖引玉，希冀有更多、更好的相关书籍问世。

本辑的第１章由孙中奎撰写，肖华勇撰写第２章，徐根玖撰写第３章，雷佑铭撰写第４章，郭千桥撰写第５章，吕全义撰写第６章。叶正麟负责组稿和统稿。

这套丛书是由美国麻省大学罗威尔分校计算机科学系王杰教授主编，王杰教授对于数学模型与算法有很深刻的研究，对美国大学生数学建模竞赛和学生的科学素质培养饶有兴趣。在本辑的撰写过程中，王教授给予了富有启示的建议，西安交通大学领导提供了诸多便利，高等教育出版社刘英副编审做了鼎力策划，冯英女士做了认真辛勤的编辑工作，得到了西北工业大学教务处领导及李辉副处长和应用数学系孙浩教授的有力支持，在此一并表示诚挚的感谢。很欣赏ＩＣＭ主席、美国西点军校数学系教授ＣｈｒｉｓＡｒｎｅｙ博士所作的序，并深表感谢。

叶正麟２０１２年６月于西安

Ⅱ ^前　　言

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第1 章　冰盖融化问题 …… …… ……… …… ……… …… ……… …… ……… １１畅１　问题的综述… ……… …… ……… …… ……… …… ……… …… ……… １１畅２　问题的背景资料…… …… ……… …… ……… …… ……… …… ……… ２１畅２畅１　全球气候正在变暖… ……… …… ……… …… ……… …… ……… ２１畅２畅２　气候变暖的影响 … ……… …… ……… …… ……… …… ……… ４１畅２畅３　为什么是北极 …… ……… …… ……… …… ……… …… ……… ６１畅３　问题的数学模型与结果分析…… …… ……… …… ……… …… ……… ７１畅３畅１　模型一：多元线性回归模型 …… ……… …… ……… …… ……… ７１畅３畅２　模型二：初等数学模型 … …… ……… ……… …… ……… …… ２１１畅４　问题的综合分析与进一步研究的问题 …… ……… …… ……… …… ２５１畅４畅１　问题的综合分析 … ……… …… ……… ……… …… ……… …… ２５１畅４畅２　进一步研究的问题 ……… …… ……… ……… …… ……… …… ２８参考文献…… …… ……… …… ……… …… ……… ……… …… ……… …… ２９第2 章　数独谜题生成问题 …… ……… …… ……… ……… …… ……… …… ３０２畅１　数独的概念 ……… …… ……… …… ……… ……… …… ……… …… ３０２畅２　问题的提出 ……… …… ……… …… ……… ……… …… ……… …… ３１２畅３　问题的背景与现状 …… ……… …… ……… ……… …… ……… …… ３２２畅４　人工求解数独的规则 … ……… …… ……… ……… …… ……… …… ３４２畅５　数独难度的划分方法 … ……… …… ……… ……… …… ……… …… ５２２畅５畅１　方法一：步数法 … ……… …… ……… ……… …… ……… …… ５２２畅５畅２　方法二：评分法 … ……… …… ……… ……… …… ……… …… ５７２畅５畅３　方法三：次数加权法 …… …… ……… ……… …… ……… …… ５９２畅５畅４　方法四：机器求解客观法… …… ……… ……… …… ……… …… ６４２畅６　数独的生成问题 … …… ……… …… ……… ……… …… ……… …… ７７２畅６畅１　终盘生成问题 …… ……… …… ……… ……… …… ……… …… ７７

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２畅６畅２　不同级别数独问题的生成… …… ……… ……… …… ……… …… ７７２畅７　问题的综合分析与进一步研究的问题 …… ……… …… ……… …… ７８２畅７畅１　问题的综合分析 … ……… …… ……… ……… …… ……… …… ７８２畅７畅２　进一步研究的问题 ……… …… ……… ……… …… ……… …… ７９２畅７畅３　其他数独…… …… ……… …… ……… ……… …… ……… …… ７９参考文献…… …… ……… …… ……… …… ……… ……… …… ……… …… ８３第3 章　医疗保健系统评估问题 ……… …… ……… ……… …… ……… …… ８５３畅１　问题的综述 ……… …… ……… …… ……… ……… …… ……… …… ８５３畅２　问题的背景资料 … …… ……… …… ……… ……… …… ……… …… ８８３畅３　医疗保健系统评价模型及求解 …… ……… ……… …… ……… …… ９０３畅３畅１　模型一：基于层次分析法的灰色关联评估模型… …… ……… …… ９０３畅３畅２　模型二：输入输出系统评估模型 …… ……… …… ……… …… １０３３畅３畅３　模型三：医疗保健系统概率模型 …… ……… …… ……… …… １１４３畅４　问题的综合分析与进一步研究的问题…… ……… …… ……… …… １２０３畅４畅１　三个评估模型的对比…… ……… …… ……… …… ……… …… １２０３畅４畅２　其他评估方法分析… …… ……… …… ……… …… ……… …… １２１３畅４畅３　进一步研究的问题… …… ……… …… ……… …… ……… …… １２６参考文献 … ……… …… ……… …… ……… …… ……… …… ……… …… １２７第4 章　选区划分问题…… ……… …… ……… …… ……… …… ……… …… １２９４畅１　问题的综述… …… ……… …… ……… …… ……… …… ……… …… １２９４畅１畅１　问题的提出 ……… …… ……… …… ……… …… ……… …… １２９４畅１畅２　问题的背景资料 … …… ……… …… ……… …… ……… …… １３０４畅２　问题的数学模型与结果分析… ……… …… ……… …… ……… …… １３３４畅２畅１　模型一：拓扑划分模型 … ……… …… ……… …… ……… …… １３３４畅２畅２　模型二：Ｖｏｒｏｎｏｉ图划分模型 …… …… ……… …… ……… …… １３９４畅２畅３　模型三：增长分割模型 … ……… …… ……… …… ……… …… １４９４畅３　问题的综合分析与进一步研究的问题…… ……… …… ……… …… １５８４畅３畅１　问题的综合分析 … …… ……… …… ……… …… ……… …… １５８４畅３畅２　进一步研究的问题… …… ……… …… ……… …… ……… …… １５９参考文献 … ……… …… ……… …… ……… …… ……… …… ……… …… １５９第5 章　飞机就座问题…… ……… …… ……… …… ……… …… ……… …… １６１５畅１　问题的综述… …… ……… …… ……… …… ……… …… ……… …… １６１５畅１畅１　问题的提出 ……… …… ……… …… ……… …… ……… …… １６１

Ⅱ ^目　　录

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５畅１畅２　问题的背景资料 … …… ……… …… ……… …… ……… …… １６２５畅２　问题的数学模型与结果分析… ……… …… ……… …… ……… …… １６４５畅２畅１　模型一：随机模型… …… ……… …… ……… …… ……… …… １６４５畅２畅２　模型二和模型三：数组模型和图论模型 ……… …… ……… …… １７７５畅２畅３　模型四：元胞自动机模型 ……… …… ……… …… ……… …… １８４５畅２畅４　模型五：模拟（仿真）模型 …… …… ……… …… ……… …… １９３５畅２畅５　下机模型 … ……… …… ……… …… ……… …… ……… …… ２０４５畅３　问题的综合分析与进一步研究的问题…… ……… …… ……… …… ２０６５畅３畅１　问题的综合分析 … …… ……… …… ……… …… ……… …… ２０６５畅３畅２　进一步研究的问题… …… ……… …… ……… …… ……… …… ２０９参考文献 … ……… …… ……… …… ……… …… ……… …… ……… …… ２０９第6 章　肾移植问题… …… ……… …… ……… …… ……… …… ……… …… ２１２６畅１　问题的综述… …… ……… …… ……… …… ……… …… ……… …… ２１２６畅２　问题的背景资料… ……… …… ……… …… ……… …… ……… …… ２１７６畅２畅１　肾移植概况 ……… …… ……… …… ……… …… ……… …… ２１７６畅２畅２　影响移植的因素 … …… ……… …… ……… …… ……… …… ２１８６畅２畅３　扩大肾源的方法 … …… ……… …… ……… …… ……… …… ２１９６畅２畅４　肾移植的伦理与政策问题 ……… …… ……… …… ……… …… ２２０６畅３　问题一：美国移植网络的模拟……… …… ……… …… ……… …… ２２１６畅３畅１　方法一：随机排队服务模型 …… …… ……… …… ……… …… ２２２６畅３畅２　方法二：多排队多服务模型 …… …… ……… …… ……… …… ２２５６畅３畅３　方法三：带约束微分方程模型 … …… ……… …… ……… …… ２２９６畅３畅４　计算结果与分析 … …… ……… …… ……… …… ……… …… ２３０６畅３畅５　政策的改进 ……… …… ……… …… ……… …… ……… …… ２３０６畅３畅６　几种方法的评价 … …… ……… …… ……… …… ……… …… ２３２６畅４　问题二：其他国家的移植政策及影响…… ……… …… ……… …… ２３２６畅４畅１　欧洲各国的移植政策…… ……… …… ……… …… ……… …… ２３３６畅４畅２　关于当前肾移植政策的建议 …… …… ……… …… ……… …… ２３３６畅５　问题三：肾循环交换…… …… ……… …… ……… …… ……… …… ２３５６畅５畅１　环与链 …… ……… …… ……… …… ……… …… ……… …… ２３５６畅５畅２　优化模型 … ……… …… ……… …… ……… …… ……… …… ２３６６畅５畅３　算法… …… ……… …… ……… …… ……… …… ……… …… ２３７６畅５畅４　计算结果与分析 … …… ……… …… ……… …… ……… …… ２３８６畅５畅５　肾源的进一步利用… …… ……… …… ……… …… ……… …… ２３８６畅５畅６　优化方法的进一步讨论 … ……… …… ……… …… ……… …… ２３９

Ⅲ 目　　录

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６畅６　问题四：患者的选择…… …… ……… …… ……… …… ……… …… ２４０６畅６畅１　方法一：期望存活时间目标 …… …… ……… …… ……… …… ２４０６畅６畅２　方法二：期望存活时间动态处理 …… ……… …… ……… …… ２４２６畅６畅３　方法三：考虑存活５年的概率 … …… ……… …… ……… …… ２４３６畅６畅４　三种方法的评价 … …… ……… …… ……… …… ……… …… ２４４６畅７　问题五：伦理与政策问题…… ……… …… ……… …… ……… …… ２４４６畅７畅１　伦理问题 … ……… …… ……… …… ……… …… ……… …… ２４４６畅７畅２　政策问题 … ……… …… ……… …… ……… …… ……… …… ２４５６畅７畅３　结论… …… ……… …… ……… …… ……… …… ……… …… ２４７６畅８　问题六：捐赠者的决定… …… ……… …… ……… …… ……… …… ２４８６畅８畅１　方法一：消费决定模型 … ……… …… ……… …… ……… …… ２４８６畅８畅２　方法二：考虑风险模型 … ……… …… ……… …… ……… …… ２５１６畅８畅３　两种方法的评价 … …… ……… …… ……… …… ……… …… ２５３６畅９　问题的综合分析与进一步研究的问题…… ……… …… ……… …… ２５３６畅９畅１　问题的综合分析 … …… ……… …… ……… …… ……… …… ２５３６畅９畅２　进一步研究的问题… …… ……… …… ……… …… ……… …… ２５３参考文献 … ……… …… ……… …… ……… …… ……… …… ……… …… ２５４

Ⅳ ^目　　录

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第 1 章　冰盖融化问题

1畅1　问题的综述

“ ＴａｋｅａＢａｔｈ” 是２００８年美国大学生数学建模竞赛（ＴｈｅＭａｔｈｅｍａｔｉｃａｌＣｏｎｔｅｓｔｉｎＭｏｄｅｌｉｎｇ，ＭＣＭ２００８）的Ａ题，研究的是北极冰雪消融所导致的一系列环境、生态等方面的问题。该题目如下。

大陆遭受侵蚀

研究因全球气温升高所造成的北极冰盖融化对大陆的影响。具体而言，为未来５０年中每１０年因北极冰盖融化对佛罗里达州海岸所造成的影响建立模型，尤其要关注对大型都市所造成的影响。就此问题给出适宜的回答，对所用数据作详细讨论应是重要的组成部分。

问题的原文如下：

ＴａｋｅａＢａｔｈ

Ｃｏｎｓｉｄｅｒｔｈｅｅｆｆｅｃｔｓｏｎｌａｎｄｆｒｏｍｔｈｅｍｅｌｔｉｎｇｏｆｔｈｅｎｏｒｔｈｐｏｌａｒｉｃｅｃａｐｄｕｅｔｏｔｈｅｐｒｅｄｉｃｔｅｄｉｎｃｒｅａｓｅｉｎｇｌｏｂａｌｔｅｍｐｅｒａｔｕｒｅｓ．Ｓｐｅｃｉｆｉｃａｌｌｙ，ｍｏｄｅｌｔｈｅｅｆｆｅｃｔｓｏｎｔｈｅｃｏａｓｔｏｆＦｌｏｒｉｄａｅｖｅｒｙｔｅｎｙｅａｒｓｆｏｒｔｈｅｎｅｘｔ５０ｙｅａｒｓｄｕｅｔｏｔｈｅｍｅｌｔｉｎｇ，ｗｉｔｈｐａｒｔｉｃｕｌａｒａｔｔｅｎｔｉｏｎｇｉｖｅｎｔｏｌａｒｇｅｍｅｔｒｏｐｏｌｉｔａｎａｒｅａｓ．Ｐｒｏｐｏｓｅａｐｐｒｏｐｒｉａｔｅｒｅｓｐｏｎｓｅｓｔｏｄｅａｌｗｉｔｈｔｈｉｓ．Ａｃａｒｅｆｕｌｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎｏｆｔｈｅｄａｔａｕｓｅｄｉｓａｎｉｍｐｏｒｔａｎｔｐａｒｔｏｆｔｈｅａｎ- ｓｗｅｒ．

（题目来源：ｈｔｔｐ：／／ｗｗｗ．ｃｏｍａｐ．ｃｏｍ／ｕｎｄｅｒｇｒａｄｕａｔｅ／ｃｏｎｔｅｓｔｓ／ｍｃｍ／ｃｏｎｔｅｓｔｓ／２００８／ｐｒｏｂｌｅｍｓ／）

显然，出题人希望参赛者能够收集与北极冰雪变化相关的数据，讨论北极冰雪融化对佛罗里达海岸今后５０年的影响。看到题目，可能每个人都会产生这样的两个疑问： ①为什么研究的是北极冰雪融化的影响？毕竟南极冰盖无论从规模上还是面积上都远远超过北极。 ②为什么是对美国佛罗里达州海岸的影响？众所周知，受到海平面上升影响最大的是荷兰以及太平洋上的一些岛国。

第二个问题很容易回答，因为出题人是美国人，而且佛罗里达州海岸是美国人

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享受海滩度假的最大的和最佳的地点之一，同时也是美国发生飓风最频繁的地区之一。第一个问题的答案则隐藏在下面的数据和资料中。

1畅2　问题的背景资料

越来越多的证据表明，全球气候正在变暖， “我们正居住在一个急速变暖的星球上！” 实际上，早在１９９２年，科学家关怀社会联盟的１７００位世界顶尖科学家包括大多数诺贝尔科学奖得主，就已经在极力呼吁世界各国联手遏制全球暖化， “地球上的二氧化碳浓度已逼近警戒线！” “ 我们可以避免灾难发生的时间已经剩下不到十年抑或几十年” “ 我们所面临的威胁一旦无法挽救，人类的希望将非常渺茫。”^{［１］}

全球升温会带来什么影响？英国作家林纳斯所著的枟６度变化，一个愈来愈热星球变化的未来枠一书中呈现了该景象：如果全球

升温１ ℃，无冰海域吸收更多的热气，加速全球暖化效应；地球表面１／３的水资源流失；低海岸地区遭海水淹没。

升温２ ℃，欧洲居民中暑而亡；森林被大火吞噬；处于逆境的植物开始释放碳，不再具备吸碳功能；有１／３的物种濒临灭绝。

升温３ ℃，从植物和土壤中排出的碳物质，加速全球暖化效应；亚马逊热带雨林荡然无存；超级飓风袭击沿海城市；非洲闹饥荒。

升温４℃，永冻土无止境地溶解，造成全球暖化效应一发不可收拾；英国大部分地方也因严重的水患而不适合居住；地中海区域成为废墟。

升温５ ℃，甲烷从海床窜出，加速全球暖化效应；两极冰层融化；人类逐食物而居，但徒劳无功，形同野生动物在这片土地上苟延残喘。

升温６ ℃，地球上的生物会在狂风、山洪暴发、硫化氢毒气及带着原子弹般威力的甲烷火球流窜地表的灾难中完全灭迹；唯一存活下来的只有霉菌。

这是危言耸听吗？

现在有三个问题：全球气候是否在变暖？如果全球变暖，会有什么影响？

因变暖所造成的冰雪融化最严重的是哪些地方？

1畅2畅1　全球气候正在变暖

时至今日，仍然有很多人在质疑一个问题：全球气候真的在变暖吗？联合国政府间气候变化专门委员会（ＩｎｔｅｒｇｏｖｅｍｍｅｎｔａｌＰａｎｅｌｏｎＣｌｉｍａｔｅＣｈａｎｇｅ，

ＩＰＣＣ）的回答是： “气候系统变暖是毋庸置疑的，目前从全球平均气温和海温升高，大范围积雪和冰融化，全球平均海平面上升的观测中可以看出气候系统变暖是明显的” （ＩＰＣＣ２００７年评估报告^［２］）。根据ＩＰＣＣ的结论和观测数据，

自１８５０年以来，在１９９５—２００６年的１２年中，有１１个年份位列最暖的１２个年份

2 第1 章　冰盖融化问题

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之中。而在１９０６—２００５年的１００年中，温度以０畅７４ ℃的趋势线性增长。

在图１－１中，已观测到全球平均地表温度、分别来自验潮仪（深色）和卫星（浅色）的全球平均海平面以及３—４月北半球积雪的变化。图中所有变化差异均相对于１９６１—１９９０年的相应平均值。各平滑曲线表示１０年平均值，

各圆点表示年平均值。阴影区为不确定性区间，根据已知的不确定性和时间序列综合分析估算得出（图和数据均来源于文献［２］）。

图１－１　温度、海平面和北半球积雪变化

（图片来源：ＩＰＣＣ２００７年评估报告）

1畅2　问题的背景资料 3

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图１－２是观测到的全球海洋和大陆温度变化与使用自然强迫和人为强迫的气候模式模拟结果的比较。相对于１９０１—１９５０年相应的平均值，图１－２给出了１９０６—２００５年观测到的１０年平均值（黑线），对应于该１０年的中心绘制。虚线部分表示空间覆盖率低于５０％。深色阴影表示仅使用太阳活动和火山自然强迫的５个气候模式１９个模拟试验结果的５％～９５％可信度范围。浅色阴影表示同时使用自然强迫和人为强迫的１４个气候模式５８个模拟试验结果的５％～９５％可信度范围。

图１－２　全球海洋和大陆的温度变化

（图片来源：ＩＰＣＣ２００７年评估报告）

显然，从图１－２中可以看到，不管是全球平均温度，还是全球陆地、全球海洋的平均温度都呈现波动上升趋势，尤其是最近几十年，这种上升趋势更加明显，平均上升幅度更大。而且，北极的冰雪覆盖面积和范围不断缩小，全球平均海平面高度不断攀升。

1畅2畅2　气候变暖的影响

全球气候变暖会带来什么影响？温度的升高带来的影响是全面的、深入的，将涉及自然、生态、环境、社会、经济等各领域。下面的具体影响摘自

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ＩＰＣＣ在２００７年的评估报告。

１畅区域尺度的变化

瞯变暖区域扩大。陆地上和北半球大部分高纬度地区变暖幅度最大，南半球海洋地区和北大西洋部分地区变暖幅度最小。近期观测到的各种趋势仍在持续。

瞯冰雪面积缩小。大部分多年冻土区域的融化深度增加，海冰面积退缩。

在利用ＳＲＥＳ情景所作的某些预估中，到２１世纪后半叶，北冰洋夏季后期的冰几乎全部消失。

瞯热极端事件、热浪以及强降水的频率很可能增加。

瞯热带气旋强度可能增加，全球热带气旋数量减少具有较小的可信度。

瞯温带风暴路径向极地推移，造成风、降水和温度形态的变化。

瞯高纬度地区降水很可能增加，大部分亚热带陆地区域降水可能减少，已观测到的趋势仍在持续。

２畅受影响的系统和行业瞯特定的生态系统

① 陆地：对变暖敏感的苔原、北方森林和山区，受降雨减少影响的地中海类型的生态系统和受降雨减少影响的热带雨林。

② 海岸带：受到多重压力的红树林和盐沼。

③ 海洋：受到多重压力的珊瑚礁，对变暖敏感的海冰生物群落。

瞯由于降雨和蒸散的变化，中纬度一些干旱地区和干旱的热带地区以及那些依靠冰雪融化地区的水资源。

瞯面临可用水减少的低纬度地区的农业。

瞯地势低洼的沿海系统，受到海平面上升的威胁和极端天气事件加大的风险。

瞯适应能力低的人群的身体健康。

ＩＰＣＣ的表述可能比较专业，或许下面的一组数据更能触动人类 “坚强”

的神经。

瞯到２０５０年，世界上将有２／３的北极熊死亡，因为它们赖以生存的北极海冰受到全球变暖的影响而逐渐消融。此外，格陵兰冰盖消融加快还将在当地引发地震。（来源于ｈｔｔｐ：／／ｗｗｗ．ｃｈｉｎａｄａｉｌｙ．ｃｏｍ．ｃｎ／ｈｑｂｌ／２００７－０９／１０／ｃｏｎｔｅｎｔ＿

６０９３８１０．ｈｔｍ？ａｎｃｈｏｒ＝１）

瞯几亿非洲居民和几千万拉美居民在不到２０年内将出现饮用水短缺。到２０５０年，超过１０亿的亚洲居民将面临水源短缺。到２０８０年，水源短缺将威胁１１亿～３２亿人。

瞯到２０３０年，全球变暖所造成的穷人死亡率将升高。疟疾、登革热以及食用污染海产品所造成疾病的发生率上升。

1畅2　问题的背景资料 5

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瞯到２０５０年，欧洲的小冰川将会消失，陆地大冰川将会显著缩小。到２１００年，欧洲超过一半的植物物种将会濒临灭绝。

瞯到２０８０年，由于全球变暖而遭受饥荒的人数将在２亿～６亿。

瞯到２０８０年，随着海平面的上升，每年遭受洪灾的人数约有１亿。

瞯美国城市的烟霾现象将会严重。２１世纪中期由于气候变化导致的臭氧污染将比２０世纪９０年代增加４畅５％，导致健康问题。（以上数据来源于２００７年ＩＰＣＣ报告和ｈｔｔｐ：／／ｂｌｏｇ．６６ｗｚ．ｃｏｍ／ｕｓｅｒ３／ｃｕｔｙｃａｉ／２０８１８５．ｈｔｍｌ）

1畅2畅3　为什么是北极

毫无疑问，全球暖化将直接导致地球上冰雪（如北极浮冰、格陵兰冰盖、

南极冰盖等）的消融———这将促使海平面进一步升高。

那么为什么在 “ＴａｋｅａＢａｔｈ” 中要求参赛队研究北极冰盖而不是南极冰盖融化的影响呢？毕竟南极冰盖无论从面积还是质量来说都远比北极的冰盖大。

原因如下。

瞯全球温度普遍升高，但是北半球较高纬度地区温度升幅较大。在过去的１００年中，北极温度升高的速率几乎是全球平均速率的２倍。

瞯１９７８年以来的卫星资料显示，北极年平均海冰面积已经以每１０年２畅７％（２畅１％～３畅３％）的速率退缩，夏季的海冰退缩率较大，为每１０年退缩７畅４％（５％～９畅８％）。

瞯自１９００年以来，北半球季节性冻土的面积减少了大约７％，春季冻土面积的减幅高达１５％。自２０世纪８０年代以来，北极多年冻土层上层温度普遍升高，达到３ ℃。

瞯预估在２１００年之后，格陵兰冰盖的退缩将会继续导致海平面上升。如果这种地表冰物质的负平衡（即冰物质损失的速率比由于降水增加而使冰物质增加的速率更快）持续数千年，最终将会导致格陵兰冰盖完全消融，并导致海平面上升约７ｍ。

瞯美国宇航局２００７年１２月卫星资料显示，北极冰层的厚度比以前减少了２３％；航海资料则显示北极冰层比２０世纪５０年代减少了５０％；格陵兰表面冰层融化的速度是１５年前的４倍。

如图１－３所示为从１９７９—２００７年北极冰层的演化。

与此同时，ＩＰＣＣ在２００７年的报告中指出： “ 根据当前的全球模式研究，

预估南极冰盖将会维持在非常寒冷的状态，不至于会出现表层大范围融化。而且由于降雪增加，冰质量会增加。” 因此，北极冰雪融化所导致的一系列环境、生态等问题将是今后一段时间关注的焦点之一———这可能也是数学及其应用联合会（ＴｈｅＣｏｎｓｏｒｔｉｕｍｆｏｒＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓａｎｄｉｔｓＡｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ，ＣＯＭＡＰ）将北极冰雪融化所造成的影响作为２００８年国际数学建模竞赛题的原因吧。

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图１－３　１９７９—２００７年北极冰层的演化：北极的冰雪覆盖明显在缩小

（图片来源自ｈｔｔｐ：／／ｗｗｗ畅５ｊｏｙｓ畅ｃｏｍ／ｂｅｔｔｅｒ／ｓｏｓ２０１０／）

1畅3　问题的数学模型与结果分析

“ ＴａｋｅａＢａｔｈ” 是个非常开放的问题。北极冰雪融化所带来的影响有很多，

可以研究其对生态生物系统的影响、对气候系统的影响、对人类社会生活的影响、对社会经济活动的影响，等等。而且数学模型的选取更是多种多样，所获得的结论也可以是各不相同的。

本书选取了两个模型：多元线性回归模型和初等数学模型，下面分别进行介绍。这两个模型来自于两份非常优秀的答卷，一份是当年的特等奖

（ＯｕｔｓｔａｎｄｉｎｇＷｉｎｎｅｒ）的论文，另一份是当年的一等奖（ＭｅｒｉｔｏｒｉｏｕｓＷｉｎｎｅｒ）

的论文。希望通过对这两个模型的介绍，能够引发读者对该问题的研究兴趣和对环境问题的深度思考。

1畅3畅1　模型一：多元线性回归模型

本小节将介绍如何运用多元线性回归模型^［３］来预测北极冰雪融化所带来的可能影响。首先，收集了大量数据，如全球温度数据、温室气体排放数据、

佛罗里达州附近海平面数据（佛罗里达东海岸的圣彼得斯堡和彭萨科拉，佛罗里达西海岸的费南迪纳比奇和弗吉尼亚岛）等，并对数据进行了必要的整理和分析。其次，分别建立模型对格陵兰岛冰盖消融体积和北极海冰消融体积进行了计算。最后，建立了多元线性回归模型对未来５０年的全球平均气温、

全球ＣＯ２排放量以及平均海平面上升幅度进行了预测。通过求解模型，得到了未来５０年北极冰雪融化（主要是格陵兰冰盖和北极海冰的融化）对佛罗里达海岸区域的影响，并特别讨论了由于海平面上升所导致的海岸线侵蚀问题。

一、数据的收集和处理１畅全球温度数据

由于建立模型的需要，收集了１９５０—２００１年的全球温度数据，所有数据都来源于地球政策研究所网站（ｈｔｔｐ：／／ｗｗｗ畅ｅａｒｔｈ－ｐｏｌｉｃｙ．ｏｒｇ／）。从图１－４可

1畅3　问题的数学模型与结果分析 7

(23)

以看出，从１９５０—１９７３年，全球平均气温总是在１４ ℃上下波动，变化非常平缓。但是从１９７３—２００７年，全球平均气温上升了大约１ ℃，接近１５ ℃。因此，全球变暖的趋势非常明显。

图１－４　从１９５０年到２００１年的全球温度演化图

（图片来源文献［３］）

２畅温室气体排放数据

温室气体的排放被公认为是导致全球变暖的主要因素之一，图１－５是从美国能源部二氧化碳信息分析中心（ＣａｒｂｏｎＤｉｏｘｉｄｅＩｎｆｏｒｍａｔｉｏｎＡｎａｌｙｓｉｓＣｅｎｔｅｒ，

ＣＤＩＡＣ）收集的温室气体数据。

图１－５　不同温室气体对热量的吸收率以及在大气中的成分分布

从图１－６可以看出，不管是对热量的吸收率还是在大气中的含量，ＣＯ^２都是温室气体的主要成分。图１－６给出了１９５０—２００１年ＣＯ^２的排放量。

３畅佛罗里达州附近海平面数据

选取佛罗里达州四个沿海城市作为观测点，它们分别是佛罗里达东海岸的圣彼得斯堡和彭萨科拉，佛罗里达西海岸的费南迪纳比奇和弗吉尼亚岛。图

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１－７显示了所选取的四个城市。图１－８则给出了所选择的四个城市附近海平面的年平均数据。

图１－６　从１９５０年到２００１年ＣＯ２的排放量

图１－７　所选取的四个城市

1畅3　问题的数学模型与结果分析 9

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图１－８　所选取的四个城市附近海平面的数据

二、冰雪消融体积的计算

随着温度的升高，北极冰雪将从低纬度到高纬度不断融化。北极冰雪的构成主要包括格陵兰冰盖、北极海冰以及其他一些较小的冰河和冻土。作为北极冰雪的主体，格陵兰冰盖和北极海冰的融化将对全球海平面的上升起到关键作用。如何合理计算格陵兰冰盖和北极海冰的融化量将直接关系到整个解决方案的成败。在原答卷中，作者们根据阿基米德定律（Ａｒｃｈｉｍｅｄｅｓｌａｗ，又称为阿基米德原理）和冰水体积关系分别建立模型估计了格陵兰冰盖和北极海冰的融化量。

（一）格陵兰冰盖消融体积的计算１畅基本原理

格陵兰冰盖和北极海冰的主要成分是不同的，格陵兰冰盖的主要成分是淡水，密度是９００ｋｇ／ｍ^３；北极海冰的主要成分是海水，密度是９１０～９１５ｋｇ／ｍ^３。全球的不断暖化将导致这两类冰雪的显著消融，并都将导致海平面的升高。根据阿基米德定律，有

Fｂ＝ρ^ｌgVｄ（１畅１）

0

(26)

式中， Fｂ表示液体的浮力， ρｌ表示液体的密度， g 是重力加速度， Vｄ是溢出的液体的体积。

因为格陵兰冰盖覆盖在大陆上，所以当冰雪消融时，融化的淡水将直接注入海水中，由于冰雪和淡水的密度差异，１个体积单位的冰雪融化将得到０畅９个体积单位的淡水，即

ΔVｗａｔｅｒ＝０畅９ΔVｉｃｅ（１畅２）

忽略淡水和海水在密度上的微小差别，则

ΔV^{ｓｅａ}＝ΔV^{ｗａｔｅｒ} （１畅３）

北极海冰的计算将复杂许多，因为海冰是浮在海面上的，９０％的体积沉浸在水面以下，因此当海冰融化的时候，并不是简单地增加海水总量进而抬升海平面。

海冰是漂浮在海面上的，根据阿基米德定律，重力和浮力是相等的，故有 Fｂ＝G^ｓｉ（１畅４）

式中， Gｓｉ是海冰的重量，它可以进一步表示为

Gｓｉ＝ρｓｉgVｄ（１畅５）

这样，海冰融化对海平面上升的贡献为

ΔV^{ｓｉ}＝ΔV^{ｓｉｗａｔｅｒ}－ΔV^ｄ（１畅６）

式中， ΔV^{ｓｉｗａｔｅｒ}是海冰融化带来的海水增量，可以根据式（１畅２）计算出来。

代入ρ^ｓｉ＝９１５ｋｇ／ｍ^３及ρ^{ｓｅａ}＝１０３０ｋｇ／ｍ^３，并应用式（１畅１）、式（１畅２）可以得到

ΔVｓｅａ≈０畅０２６７ΔVｓｉ（１畅７）

式（１畅７）表明一个体积单位的海冰融化将带来０畅０２６７个体积单位的海水增量。

显然，根据式（１畅２）和式（１畅７），只要知道了格陵兰冰盖的冰雪融化量和北极海冰的冰雪融化量就可以大致计算出北极冰雪融化所带来的海水增量，进而计算出平均海平面的上升幅度。

２畅格陵兰冰盖的年融化量计算

全球气温的不断升高，造成格陵兰冰盖的不断融化。在原答卷中，作者们收集了１９９２—２００３年共１１个年份由ＥＲＳ－１／ＥＲＳ－２卫星发布的数据（卫星图像）。如图１－９所示为格陵兰冰盖在１９９２年和１９９３年夏季的卫星图像，不同的深浅代表了不同的冰雪厚度。

根据格陵兰冰盖的卫星图像，可以估算出每个单元（色块）上的冰盖变化量（冰雪融化量），因此，整个格陵兰岛冰盖的年变化量就可以由下式计算出来

ΔVｉｃｅｇ＝

钞

_{i ＝０}ⁿ ^Sⁱ^{· Δh}ⁱ ^{（１畅８）}

1 1畅3　问题的数学模型与结果分析 1

(27)

图１－９　格陵兰冰盖在１９９２年和１９９３年夏季的卫星图像

式中， Sⁱ 表示第i 个单元所表示的实际地表面积， Δhⁱ 表示第 i 个单元区域的冰雪厚度变化量， n 是整个格陵兰冰盖上总的单元数目。

显然每个Si对应唯一的一个四元数组（u， v， s， t），如图１－１０所示。

图１－１０　单元与四元数组（ u， v， s， t）的对应关系

利用曲面积分可以比较精确地计算出Sⁱ 的面积，进而计算出该单元冰雪的融化量，但是计算过程过于复杂。简单的做法是，根据问题的实际背景，将这样一个不太规则的曲面近似为一个长方形，这样其面积在 t－s → ０，

u－v →０时就可以近似地用下式计算 Si≈ t－s３６０ · u－v

１８０ · ｃｏｓ u＋ｃｏｓ v

２ · L１· L２（１畅９）

式中， L^１和L^２分别表示Sⁱ 所对应的纬度和经度的跨度。

根据从英国气象局哈德利中心（ＭｅｔＯｆｆｉｃｅＨａｄｌｅｙＣｅｎｔｅｒ）获得的数据，

可以得到在每个１×１区域（这里的 “１” 分别表示１度跨度的纬度和１度跨度 2

(28)

的经度）的冰雪覆盖率（见图１－１１）。假设每个１ ×１区域上的冰雪覆盖率为 ηⁱ，则格陵兰冰盖的年变化量可以精确表示为

ΔV^{ｉｃｅｇ}＝

钞

i ＝０ⁿ Sⁱ· Δhⁱ· ηⁱ （１畅１０）

图１－１１　１×１区域上的冰雪覆盖率

但是，英国气象局哈德利中心（ＭｅｔＯｆｆｉｃｅＨａｄｌｅｙＣｅｎｔｅｒ）的数据并不完善，在某些区域上的数据存在缺失，这就要求用户能够合理地估计、修复这些缺失的数据。通过比较格陵兰岛的等高线图和上述卫星图像，可以发现格陵兰岛的冰雪覆盖规律（范围、厚度等）与该岛的地形分布大致相符，因此根据该岛的地形可以设计一种简单有效的方法来估计、修复缺失的数据（见图１－

１２）。具体步骤如下。

第一步，根据抛物线拟合－４２°经度线上１×１区域的数据，该抛物线可以

根据（l^{ｎｏｒｔｈ}，０），（０， h^{ｐｅａｋ}），（ l^{ｓｏｕｔｈ}， m）三个点确定。

y ＝－hｐｅａｋ

l^２ｎｏｒｔｈ· x^２＋hｐｅａｋ（１畅１１）

式中， l^{ｎｏｒｔｈ}是图１－１２（ｂ）中从 O 到 A 的距离； h^{ｐｅａｋ}是格陵兰岛的海拔高度；

lｓｏｕｔｈ是从O 到 B 的距离， O、 A、 B 的位置如图１－１２（ｂ）所示。

第二步，采用与第一步相同的步骤拟合出不同纬度的抛物线。

经过对缺失数据的修复，再应用式（１畅１０）就可以计算出格陵兰岛每年大约有５畅１７１×１０^１１ｍ^３的冰雪融化成淡水并注入太平洋。

(29)

图１－１２　格陵兰岛的地形图和解决方法

（二）北极海冰消融体积的计算１畅北极海冰数据

北极海冰数据可以从美国国家冰雪数据中心（ＮａｔｉｏｎａｌＳｎｏｗａｎｄＩｃｅＤａｔａＣｅｎｔｅｒ，ＮＳＩＤＣ）获得。图１－１３显示了从１９７９—２００７年北极海冰体积的演化，

显然海冰的区域和体积在不断缩减。

图１－１３　北极海冰变化曲线

4

(30)

２畅面积－厚度关系模型

如图１－１４所示为北极海冰的面积和厚度分布。从图中不难发现，海冰的面积在迅速缩小，越靠近加拿大和格陵兰岛的海冰厚度越大。

图１－１４　北极海冰的分布

通过观察北极海冰的厚度和面积，可以发现北极海冰的分布类似于一个半圆，当温度下降时北极海冰的面积和厚度将同步增加。这里建立了一个几何模型来估算融化的北极海冰体积。图１－１５是海冰体积变化示意。海冰的融化体积等于上下两个抛物面所界定部分的体积，可以利用积分计算出来。

图１－１５　北极海冰体积变化示意

假设在较低温度下，新扩展的海冰面积是 S１，在较高温度下，缩减的海冰面积是 S２。根据前面的假设，海冰的范围是一个半圆，那么该半径可以计算如下

R＝２S ／π （１畅１２）

冰体侧面轮廓形状由（０， h），（±R）确定

(31)

y ＝－hR^２· x^２＋h （１畅１３）

融化的海冰体积可以通过积分计算

ΔVｉｃｅｓ＝π·

∫

^０^h^h－yh · R^２ｄy （１畅１４）

根据式（１畅１４），北极海冰总的融化体积是

ΔVｉｃｅｓ＝πh２ · （R^２^１－R^２２）（１畅１５）

式中， h 是海冰最厚处的厚度，约等于５畅５ｍ。

最后，应用式（１畅１５）可以计算出北极海冰融化将增加２畅６ ×１０^９ｍ^３的水到海洋中，与格陵兰岛相比，这个数值无疑是非常小的。

三、多元线性回归模型

基于前面收集的数据和已有结果，这里将建立多元线性回归模型来预测由于北极冰雪融化（主要是格陵兰冰盖和北极海冰的融化）所导致的全球海平面上升幅度。如图１－１６所示为使用多元线性回归模型对海平面上升幅度进行预测的流程。

图１－１６　使用多元线性回归模型对海平面上升幅度进行预测的流程

众所周知，ＣＯ^２等温室气体的排放以及冰雪消融对全球气温的升高具有重要影响。同时，全球气温的升高和冰雪消融对海平面的升高也具有重要的影响。因此，首先需要根据因素之间的相关性选取对海平面上升影响最显著的因素。

6

(32)

瞯温室气体和全球气温变化之间的相关性。

瞯北极冰雪融化和全球气温之间的相关性。

瞯北极冰雪融化和海平面变化之间的相关性。

瞯全球气温变化和海平面变化之间的相关性。

相关性分析的结果见表１－１。

表1－1　相关性分析

因素温室气体和温度冰雪融化量和温度冰雪融化量和海平面温度和海平面

相关系数０畅７６２０畅４８１０畅７９３０畅５５３

显然，全球气温直接受到温室气体排放和北极冰雪融化的影响。因此，这里首先建立对全球温度变化进行预测的多元线性回归模型

ΔT ＝α^０＋α^１· ΔV^{ｉｃｅ}＋α^２· ΔMＣＯ２＋ε （１畅１６）

式中， ΔV^ｉｃｅ表示北极冰雪融化量， ΔMＣＯ２表示ＣＯ^２的排放量。

全球海平面的上升将受到北极冰雪融化和全球气温变化的直接影响。类似地，可以建立多元线性回归模型

Δhｓｅａ＝β０＋β１· ΔVｉｃｅ＋β２· ΔT＋ε （１畅１７）

为了确定上述多元线性回归模型的系数，这里选取了佛罗里达州四个城市

（佛罗里达东海岸的圣彼得斯堡和彭萨科拉，佛罗里达西海岸的费南迪纳比奇和弗吉尼亚岛）附近的海面的观测数据。回归方程（１畅１６）和（１畅１７）的系数可以使用ＳＰＳＳ软件确定

α０＝１４畅２６９， α１＝０畅４３６， α２＝－０畅２５４以及

β^０＝０畅９９３， β^１＝０畅０２１， β^２＝０畅００８

显著性检验的结果表明， α^１和α^２、 β^１和β^２都是显著的，而且线性关系也比较显著———这也说明选择多元线性回归模型对全球平均气温和全球海平面上升幅度进行预测是比较合理的。

四、模型的求解和结果分析

根据收集的数据，求解建立的模型，可以预测未来５０年中全球海平面的上升幅度、佛罗里达附近海平面的上升幅度以及对海岸线的侵蚀。

（一）全球海平面的上升幅度

求解预测模型（１畅１６），得到全球气温在未来５０年的变化预测值（图１－１７）。　

(33)

图１－１７　全球气温预测

　　ＩＰＣＣ报告中全球未来５０年的温度预测见表１－２。

表1－2　IPCC 报告中全球未来 50 年的温度预测

年份２０１０２０２０２０３０２０４０２０５０

温度℃ １５畅４３１５畅５６１５畅６８１５畅９９１６畅２８使用预测模型（１畅１７）对未来５０年由于北极冰雪融化所导致的海平面上升幅度进行了预测，具体结果如图１－１８所示。

图１－１８　北极冰雪融化所导致的海平面上升幅度

根据上面的计算结果不难发现，在未来５０年中，北极冰雪融化将导致海平面显著上升。

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编审委员会

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ａｔｅ ｙｅａｒｓ． Ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｍｏｄｅｌｉｎｇ ｐｒｏｃｅｓｓ ｃａｎ ｂｅ ｒｅｉｎｆｏｒｃｅｄ ａｎｄ ｕｓｅｄ

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丛书简介

前言

目录

第 1 章 冰盖融化问题

1畅1 问题的综述

1畅2 问题的背景资料

1畅2畅1 全球气候正在变暖

1畅2畅2 气候变暖的影响

1畅2畅3 为什么是北极

1畅3 问题的数学模型与结果分析

1畅3畅1 模型一： 多元线性回归模型

钞

钞

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第 1 章　冰盖融化问题

1畅1　问题的综述

1畅2　问题的背景资料

1畅2畅1　全球气候正在变暖

1畅2畅2　气候变暖的影响

1畅2畅3　为什么是北极

1畅3　问题的数学模型与结果分析

1畅3畅1　模型一：多元线性回归模型