★ 算術平均數、中位數 ★
某公司 40 位職員的月薪分配如下表：
月薪（元） 20000 25000 30000 35000 人數 10 10 12 8 試求：(1)算術平均數 (2)中位數。
(1)算術平均數
20000 10 25000 10 30000 12 35000 8 40
★★ 百分等級 ★★
設參加模擬考試共有 2000 人，小華排名為第 188 名，試求其百分等級。
贏過的人數為2000 188− =1812人 1812 100 90.6
2000× ％ ％
∵ 贏過 90.6％的人數 ∴ PR=90
某人在一項 5000 人參加的馬拉松路跑比賽 中，排名為第 142 名，試求其 PR 值。
贏過的人數為5000 142− =4858人 4858 100 97.2
5000× ％ ％
∵ 贏過 97.2％的人數 ∴ PR=97
★★ 百分等級 ★★
某校新生共有 1000 名學生作智力測驗，小華 的 PR 值為 75，試求排名約在第幾名到第幾名 之間？
小華的PR值為 75 未達 76，表示小華的 成績介於 24％到 25％的學生之間
1000 24× ％+ =1 241 1000 25× ％=250
排名約在第 241 名到第 250 名之間
亞洲歌唱大賽共有 1500 名參賽者，小明的 PR 值為 95，試求排名約在第幾名到第幾名之 間？
小明的PR值為 95 未達 96，表示小明的 成績介於 4％到 5％的參賽者之間
1500 4× ％+ =1 61 1500 5× ％=75
排名約在第 61 名到第 75 名之間
四分位距
1. 離差：用來表示一群資料彼此相差或分散的程度，稱為離差。離差小，表示資料集中，平 均數的代表性愈高；離差大，表示資料分散，平均數的代表性愈低。常用的離差有全距、
四分位距與標準差。
了解一群資料集中趨勢為平均數、中位數、眾數；了解一群資料離散趨勢為全距、四 分位距與標準差。
2. 全距：一群數值資料最大數與最小數的差稱為全距，以符號 R 表示。
3. 四分位距：將一群數值由小而大排列為x1≤x2 ≤L≤xn，則 (1)第 1 四分位數Q ：中位數1 M Qe( 2)之前所有數值的中位數。
(2)第 3 四分位數Q ：中位數3 M Qe( 2)之後所有數值的中位數。
(3)四分位距：第 3 四分位數Q 與第 1 四分位數3 Q 的差距，以符號1 IQR 表示，
即IQR=Q3−Q1。
★ 四分位距 ★
★★ 母體標準差 ★★
平均數與標準差的線性變換
解讀信賴區間與信心水準
1. 常態分配：
當一群數值大部分集中在平均數附近，且均勻分配在平均數的左右兩邊，極端數值不多，
其分配曲線呈現鐘型且左右對稱時，稱為常態分配。
2. 68－95－99.7 規則：
若一群數值為x 、1 x 、…、2 x ，其算術平均數為n X ，標準差為S，則 (1)約有 68％的數值落在距離平均數一個標準差的範圍內，
即數值在 (X −S X, +S)內，約占 68％。
(2)約有 95％的數值落在距離平均數兩個標準差的範圍內，
即數值在 (X −2 ,S X+2 )S 內，約占 95％。
(3)約有 99.7％的數值落在距離平均數三個標準差的範圍內，
即數值在 (X −3 ,S X +3 )S 內，約占 99.7％。
3. 信賴區間：
由母群體中抽取樣本來推估母群體的未知參數，勢必會有誤差，因此提供一個可容許的誤 差範圍區間，此區間稱為信賴區間。
4. 95％信心水準：
從樣本數值所計算出來的信賴區間，會隨著抽取樣本數值的不同而有所改變，而 95％信 心水準是指所有可能的樣本數值所計算出來的信賴區間，有 95％的信賴區間會包含母群 體的參數。
5. 95％信心水準的信賴區間：
針對一次抽樣所計算出來的信賴區間，我們有 95％的信心會包含母群體的參數。
★★ 常態分配 ★★
某校學生 1000 人，數學成績呈現常態分配，
平均分數 50 分，標準差 10 分，試求：
(1)成績低於 60 分約有多少人？
(2)成績高於 70 分約有多少人？
(1)X =50分，S =10分
在(50 10,50 10)− + =(40, 60)內，
約占 68％
成績低於 60 分者約占(1 16− ％)=84％ 約有1000 84× ％=840人
(2)在(50 2 10, 50− × + ×2 10)=(30, 70)內，
約占 95％
成績高於 70 分者約占 2.5％
約有1000 2.5× ％=25人
某校學生 2000 人參加模擬考試，成績呈現常 態分配，平均分數 65 分，標準差 5 分，試求：
(1)成績低於 60 分約有多少人？
(2)成績高於 75 分約有多少人？
(1)X =65分，S =5分
在(65 5, 65 5)− + =(60, 70)內，
約占 68％
成績低於 60 分者約占 16％
約有2000 16× ％=320人
(2)在(65 2 5, 65 2 5)− × + × =(55, 75)內，
約占 95％
成績高於 75 分者約占 2.5％
約有2000 2.5× =50人
★ 信賴區間 ★
某報社針對大學學費是否太高作民意調查，
有效訪問 985 位目前在學的大學生，在 95％
的信心水準下，有 65％的大學生認為大學學 費太高，抽樣誤差為正負三個百分點，試求 大學生認為大學學費太高的信賴區間。
65％−3％=0.62，65％+3％=0.68 在 95％的信心水準下，大學生認為大學學 費太高的信賴區間為[0.62, 0.68]
某民調中心針對政府的某一政策作民意調 查，有效訪問 1215 位 20 歲以上的台灣民眾，
在 95％的信心水準下，有 58％的民眾支持這 項政策，抽樣誤差為正負 2.8 個百分點，試求 民眾支持這項政策的信賴區間。
58％−2.8％=0.552，58％+2.8％=0.608 在 95％的信心水準下，民眾支持這項政策 的信賴區間為[0.552, 0.608]
薪資(元) 人數(人) 10000 1 20000 5 30000 4 ( Ｄ ) 1. 某公司有員工 10 人，其月薪如右表，
則每人的平均月薪為 (A) 20000 (B) 21000 (C) 22000 (D) 23000 元。
( Ｃ ) 2. 某班學生數學成績次數分配表如下，則該班學生數學成績的中位數落在哪一組中？
分數 10~20 20~30 30~40 40~50 50~60 60~70 70~80 80~90 90~100 人數 1 2 3 6 8 9 11 8 2 (A) 40～50 (B) 50～60 (C) 60～70 (D) 70～80。
( Ｃ ) 3. 全校 1000 人參加統測模擬考，某生排名第 125 名，則其 PR 值為 (A) 12 (B) 13 (C) 87 (D) 88。
( Ｂ ) 4. 某班 8 位學生體重資料如下：42、54、52、44、39、61、52、48，則下列何者錯誤？
(A)算術平均數為 49 (B)中位數為 52 (C)全距為 22 (D)四分位距為 10。
( Ａ ) 5. 設甲、乙兩班月考數學的平均成績均為 55 分，甲班成績的四分位距為 12 分，乙班 為 15 分，則數學程度 (A)甲班較整齊 (B)乙班較整齊 (C)兩班一樣 (D)無法比 較。
( Ａ ) 6. 某次段考英文成績普遍偏低，因此老師將每位學生的成績加 10 分，則下列哪一個數 值恆不變？ (A)標準差 (B)算術平均數 (C)中位數 (D)眾數。
( Ｄ ) 7. 某班學生 40 人，最近二次數學小考，每位同學第二次成績均比第一次多 5 分，則下 列何者錯誤？ (A)全距相等 (B)四分位距相等 (C)標準差相等 (D)算術平均數 相等。
( Ｄ ) 8. 下列 4 組資料（每一組各有 10 筆）
A：1，1，1，1，1，5，5，5，5，5 B：4，4，4，5，5，5，5，6，6，6 C：1，1，2，2，3，3，4，4，5，5 D：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10
試問哪一組資料的標準差最大？ (A) A (B) B (C) C (D) D 組。
( Ｃ ) 9. 某校高二有 1000 位學生，數學段考成績呈常態分配，平均成績 54 分，標準差 6 分，
則全校約有多少人數學成績不及格？ (A) 520 (B) 680 (C) 840 (D) 900。
( Ａ ) 10. 設某校學生 500 人，數學成績呈常態分配，平均成績 70 分，標準差 10 分，則數學 成績不及格的學生約有多少人？ (A) 80 (B) 120 (C) 160 (D) 320 人。
＊題目難度較高
( Ｂ ) 11. 某彩券公司調查發現：「在 95％的信心水準下，約有 68％的民眾在過去一年中曾購 買過樂透彩券，抽樣誤差在正負 3 個百分點之內。」試求民眾在過去一年中曾購買 過樂透彩券比例的信賴區間為 (A)[0.65,0.68] (B)[0.65,0.71] (C)[0.68,0.71]
(D)[0.68,0.74]。
( Ｂ ) 12. 調查 400 位市民中有 200 位市民滿意市長的施政，在 95％信心水準下，抽樣誤差為
±5％，則滿意市長施政比例的信賴區間為 (A)[0.4 , 0.6] (B)[0.45 , 0.55]
(C)[0.425 , 0.575] (D)[0.425 , 0.525] 。
13. 某校四技二專統測成績為：甲班 30 人平均 67 分，乙班 35 人平均 75 分，丙班 35 人平均 79 分，則此三班的平均成績為 74 分。
14. 某夏令營隊，共有隊員 15 人，其年齡分別為 12、13、14、14、14、15、15、15、15、16、
16、16、17、17、18 歲，則這些隊員年齡的中位數為 15 歲。
15. 設有 21 個數值的算術平均數為 55，後來發現其中「75」重複計算，必須剔除，則剔除「75」
後所剩下 20 個數值的算術平均數為 54 。 16. 某次月考某生各科成績及每週上課時數如右表：
若該生成績的加權平均數為 60 分，則數學成績 為 48 分。
17. 設有一組數值資料分別為 74、68、76、80、77、58、46、54、70、42、66、70，則四分位 距為 19 。
18. 設一組數值資料x 、1 x 、2 x 、3 x 的算術平均數為 12，標準差為 6，則下列數值資料 4 (1)−x1+ 、5 −x2+ 、5 −x3+ 、5 −x4+ 的算術平均數為5 −7 ，標準差為 6 。 (2)−2x1、−2x2、−2x3、−2x4的算術平均數為 −24 ，標準差為 12 。
(3)−2x1+ 、5 −2x2 + 、5 −2x3+ 、5 −2x4+ 的算術平均數為5 −19 ，標準差為 12 。
＊19. 求下列各組資料之樣本標準差：
(1)若樣本資料為 1、2、3、4、5，則樣本標準差為 10
2 。
(2)若樣本資料為 101、102、103、104、105，則樣本標準差為 10
2 。
(3)若樣本資料為 102、104、106、108、110，則樣本標準差為 10 。
＊20. 已知一群樣本資料中， 10
1 i 80
i
X
=
∑
= ， 10 21 i 721
i
X
=
∑
= ，則樣本標準差為 3 。科目 國文 英文 數學 自然 社會 成績 65 55 x 75 60 時數 6 6 5 4 4
( Ａ ) 1. 設A={x+3,y−3}、B={ , 3x y−2}，若 A B= ，則x+y= (A) 1− (B)−3 (C)−5 (D)−7。
( Ａ ) 2. 某班 40 名同學，在某次考試中，數學及格者 25 人，英文及格者 15 人，數學、英文 兩科均及格者 12 人，則至少一科及格的有 (A) 28 (B) 30 (C) 32 (D) 34 人。
( Ｄ ) 3. 三對夫婦排成一列，則每對夫婦均相鄰的機率為 (A) 4
15 (B) 3
15 (C) 2
15 (D) 1 15。 ( Ｂ ) 4. 某機關錄用職員一名，甲被錄用的機率為1
3，乙被錄用的機率為1
4，則甲或乙被錄 用的機率為 (A)1
2 (B) 7
12 (C)2
3 (D)3 4。
( Ｄ ) 5. 甲、乙、丙、…等 7 人排成一列，則甲、乙、丙必相鄰的機率為 (A)1
4 (B)1
5 (C)1 6 (D)1
7。
( Ｂ ) 6. 甲、乙、丙、…等 7 人排成一列，則甲排在乙、丙左邊的機率為 (A)1
2 (B)1
3 (C)2 3 (D)3
4。
( Ｄ ) 7. 自裝有 2 紅球、5 白球的袋中任取 2 球，則至少取出 1 紅球的機率為 (A) 8
21 (B)3 7 (C)10
21 (D)11 21。
( Ｂ ) 8. 將 6 件相同的禮物任意分給 3 個人，則每人至少得一件的機率為 (A)2
7 (B) 5 14 (C)3
7 (D)1 2。
( Ｄ ) 9. 自 4 男 3 女中選出 3 人參加辯論比賽，則選出 2 男 1 女的機率為 (A)12
35 (B)14 35 (C)16
35 (D)18 35。
( Ｄ ) 10. 自 1 到 100 的自然數中任取一數，則此數為 3 或 5 的倍數之機率為 (A) 41
100 (B) 43 100 (C) 9
20 (D) 47 100。
( Ｄ ) 11. 某試卷共有 5 題是非題，若某生全部用猜的作答，則至少猜對 1 題的機率為 (A) 3 16 (B) 8
16 (C)15
16 (D)31 32。
( Ａ ) 12. 甲、乙兩人在夜市玩射氣球遊戲，已知其射中的機率分別為1 2、1
3，若甲、乙兩人 各射一次，則恰有一人射中的機率為 (A)1
2 (B)1
3 (C)1
6 (D)5 6。
( Ｃ ) 13. 袋中有 5 紅球、3 白球、2 黑球，任由其中取 3 球，則其為二紅一白之機率為 (A) 1 10 (B)1
5 (C)1
4 (D)2 5。
( Ａ ) 14. 擲一顆公正骰子兩次，已知點數和為 9，則骰子點數出現 1 的機率為 (A) 0 (B)1 2 (C)1
3 (D)1 4。
( Ｃ ) 15. 擲一均勻硬幣四次，恰出現二次正面的機率為 (A)1
8 (B)1
4 (C)3
8 (D)1 2。 ( Ｄ ) 16. 已知 10 個產品中有 3 個為不良品，今由這 10 個產品隨機抽出 2 個，則含有不良品
的機率為 (A)1
3 (B)2
5 (C) 7
15 (D) 8 15。
( Ｄ ) 17. 擲一公正骰子兩次，在出現點數和為 6 的條件下，第一次擲得點數小於第二次擲得 點數的機率為 (A)1
6 (B)1
4 (C)1
3 (D)2 5。
( Ｄ ) 18. 一袋中有 2 紅球、3 白球、5 黃球，今由袋中每次取出 1 球，取出後不放回，連續取 三次，則所取 3 球依序為紅球、白球、黃球的機率為 (A)1
6 (B)1
8 (C) 1
12 (D) 1 24。 ( Ｄ ) 19. 袋中有九個球，分別印有 1、2、3、…、9 等號碼。今自袋中同時任取三個球，設此
三球中數字最大者為x，則x=7之機率為 (A)1
3 (B)1
7 (C) 3
28 (D) 5 28。 ( Ｄ )20. 箱中有三顆紅球與三顆白球。一摸彩遊戲是從箱中隨機同時抽出兩顆球。如果抽出
的兩球顏色不同，則得獎金 100 元；如果兩球顏色相同，則無獎金。請問此遊戲獎 金的期望值為何？ (A) 30 (B) 40 (C) 50 (D) 60。
( Ｃ ) 21. 擲一顆公正的骰子兩次，骰子出現同一點數可得 300 元，否則須付 30 元，則此試驗 的期望值為 (A)−50 (B)−25 (C) 25 (D) 50 元。
( Ｂ ) 22. 擲一枚均勻硬幣二次，若出現二正面可得 200 元，若出現一正面可得 50 元，若無正 面出現則須付出 100 元，則數學期望值為 (A) 40 (B) 50 (C) 80 (D) 100 元。
( Ｂ ) 23. 某校有男生 800 人，女生 1200 人，如果想了解此校平均體重，以性別做分層抽樣抽 取 100 人，請問男生應抽多少人？ (A) 20 (B) 40 (C) 60 (D) 80。
( Ｄ ) 24. 某班 50 位學生英文成績的以下累積次數分配 曲線圖如右圖，則及格者有 (A) 5 (B) 12 (C) 13 (D) 37 人。
( Ｂ ) 25. 承上題，70 分～90 分有 (A) 10 (B) 20 (C) 25 (D) 35 人。
( Ｃ ) 26. 設有一組數值資料分別為 74、68、76、80、77、58、46、54、70、42、66、70，則 中位數為 (A) 67 (B) 68 (C) 69 (D) 70。
( Ａ ) 27. 有三組學生，各有 4、3、2 人，其平均身高分別為 163、168、169 公分，則這三組 學生的平均身高為 (A) 166 (B) 167 (C) 168 (D) 169 公分。
( Ｃ ) 28. 已知有 21 位同學數學的平均成績為 61 分，但老師發現其中一位同學作幣，考得 81 分，將其分數刪除後，則此 20 位同學的平均成績為 (A) 58 (B) 59 (C) 60 (D) 61。
( Ｄ ) 29. 設 2、4、6、8、10、12 六個數值的算術平均數為a，中位數為b，全距為c，四分 位距為d，則 (A)a b+ > +c d (B)c> +a d (C)b<d (D)a+d >c。
( Ｄ ) 30. 設 一 組 資 料 X 的 算 術 平 均 數 X =15 ， 標 準 差 SX =5， 若 另 一 組 資 料 Y 滿 足 2 10
Y = − X+ ，試求算術平均數Y = (A)−5 (B)−10 (C)−15 (D)−20。 ( Ｃ ) 31. 承上題，標準差SY = (A) 5 (B)−5 (C) 10 (D)−10。
( Ｂ ) 32. 某校針對 2000 名高一新生作智商測驗，測驗結果呈現常態分布，已知平均成績為 110，標準差為 10，則智商成績不到 100 分的約有幾人？ (A) 160 (B) 320 (C) 480 (D) 640。
( Ｃ ) 33. 某民調中心針對立委選舉作民意調查，在 95％的信心水準下，有 60％的民眾支持張 三，抽樣誤差為正負三個百分點，試求民眾支持張三的信賴區間為 (A)[0.57 , 0.6]
(B)[0.6 , 0.63] (C)[0.57 , 0.63] (D)[0.54 , 0.66] 。
( Ｄ ) 1. 擲一顆公正骰子三次，恰一次出現么點的機率為 (A) 2
72 (B) 5
72 (C) 6 72 (D)25
72。
( Ａ ) 2. 甲、乙、丙三人同時猜拳，每人可出「剪刀」、「石頭」、「布」三者之一，則此三人 恰有 1 人勝的機率為 (A)1
3 (B)10
27 (C)11
27 (D)4 9。
( Ｂ ) 3. 某人拜訪有兩個小孩的夫婦，已知該夫婦有一女孩，則另一孩子也是女孩的機率為 (A)1
2 (B)1
3 (C)1
4 (D)2 3。
( Ａ ) 4. 甲、乙二人同場競技，甲得勝機率為2
3，乙得勝機率為1
3，在五次競技中（設每次 競技都分出勝負），甲恰勝二次的機率為 (A) 40
243 (B) 52
243 (C) 64
243 (D) 80 243。 ( Ｂ ) 5. 一袋中有 3 個紅球，5 個白球，連續三次由此袋中取出一球（取出後不放回），則所
取球中恰有二紅球之機率為 (A) 5
56 (B)15
56 (C) 5
256 (D) 15 256。
( Ｃ ) 6. 今有模獎彩券總共 100 張，其中 10 張可得獎，每張彩被抽出的機率相同，若由甲先 抽，乙後抽，則甲乙兩人何者中獎機率較高？ (A)甲 (B)乙 (C)一樣 (D)不一定。
( Ｃ ) 7. 某工廠有甲、乙、丙三部機器，其產品分別占總產量的25％、40％、35％；又甲、
乙、丙所生產的產品不良率分別為 1％、1.5％、2％。今若任選一產品，其為不良品，
則其來自哪一部機器的機率最大？ (A)甲 (B)乙 (C)丙 (D)三者相同。
( Ｃ ) 8. 某民調公司針對總統大選支持度進行調查，成功訪問了 1100 位合格選民，其中有 495
( Ｃ ) 8. 某民調公司針對總統大選支持度進行調查，成功訪問了 1100 位合格選民，其中有 495