第十一章 機率與統計
11-1 樣本空間與事件
集合的基本概念
1. 集合與元素：
(1)集合是由一些明確而且可辨認的事物所組成的群體，組成這個群體的每一個事物，稱為 這個集合的元素。
(2)通常以大寫字母 A 、 B 、C、…等表示集合，以小寫字母a、b、c、…等表示元素。
(3)若a是集合 A 中的一個元素，則以符號「a∈A」表示，讀作「a屬於 A 」。
(4)若a不是集合 A 中的一個元素，則以符號「a∉A」表示，讀作「a不屬於 A 」。
2. 集合的表示法：
(1)列舉法：將集合中的每一個元素，逐一列在一個大括號{ }內，重複的元素列舉一次即 可，且各元素之先後順序無關。
例如：{ , , } { , , } { , , , }a b c = c a b = a a b c 均表示同一集合。
(2)構式法：將集合以符號{ |x x具有的特性}來表示。
例如：{ | 0x < <x 1 ，x∈R}表示介於 0 到 1 之間所有實數所成之集合。
3. 子集（部分集合）：
(1)若集合 A 中的每一個元素都是集合 B 的元素，則稱 A 為 B 的「子集」，以符號「 A⊂B」 表示，讀作「 A 包含於 B 」。
(2)不含任何元素的集合稱為「空集合」，以符號{ }或φ表示。規定φ為任何集合的子集。
(3)任一集合A為其本身的子集，即 A⊂A。 (4)若集合 A 有n個元素，則 A 的子集共有2n個。
4. 集合的相等：
若集合 A 、 B 含有完全相同的元素，則稱此兩集合相等，以符號「 A B= 」表示。
即「 A⊂B且 B⊂ A ⇔ A=B」。
★ 子集合 ★
試寫出A={ , , }a b b 的所有子集合。
集合A={ , }a b （重複算 1 個）
集合A的子集有：
φ、{ }a 、{ }b 、{ , }a b
∴ 子集合有22 =4個
試寫出A={1, 2, 2, 3}的所有子集合。
集合A={1, 2, 3}（重複算 1 個）
集合A的子集有：φ、{1}、{2}、{3}、 {1, 2}、{2, 3}、{1, 3}、{1, 2, 3}
∴ 子集合有23 =8個
★ 集合的相等 ★ 設A={x+1, 2x−y}、B={x−2, 3}，若 A B= ，
試求x+y之值。
∵ A=B又x+ ≠ −1 x 2
⇒ 1 3
2 2
x
x y x
+ =
− = −
⇒ 2
4 x y
=
=
∴ x+y=6
設A={x+1, 7}、B={x+2 , 2}y ，若 A B= ， 試求x+y之值。
∵ A=B又7≠2
⇒ 1 2
2 7
x x y
+ =
+ =
⇒ 1
3 x y
=
=
∴ x+y=4
集合的運算
1. 聯集：由集合 A 與 B 中所有元素所成的集合，
稱為 A 與 B 的「聯集」，
記為A∪B={ |x x∈A或x∈B}。
2. 交集：由集合 A 與 B 中共同元素所成的集合，
稱為 A 與 B 的「交集」，
記為A∩B={ |x x∈A且x∈B}。
3. 差集：屬於集合 A 但不屬於 B 之所有元素所成的集合，
稱為 A 與 B 的「差集」，
記為A B− ={ |x x∈A但x∉B}。 A−B≠B−A。
4. 宇集：在集合的問題中，若每一個集合都是某一固定集合 的子集，則稱此固定集合為「宇集」，以符號「U」表示。
5. 補集：若集合 A 為宇集U的子集，
則U −A稱為集合 A 的「補集」，
記為A′ ={ |x x U∈ 但x∉A}。 A−B=A∩B′。 6. 笛摩根定理：
(1)(A∪B)′=A′∩B′。 (2) (A∩B)′ = A′∪B′。
7. 集合的元素個數計數：設 ( )n A 表示集合 A 的元素個數 (1)n A( ∪B)=n A( )+n B( )−n A( ∩B)。
(2) (n A∪ ∪B C)=n A( )+n B( )+n C( )−n A( ∩B)−n B( ∩C)−n A( ∩C)+n A( ∩ ∩B C)。 (3)n A( ∩B')=n A B( − )=n A( )−n A( ∩B)。
★ 集合的運算與狄摩根定理 ★ 設U ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8, 9}、 A={1, 3, 5, 7, 9}、
{1, 2, 3, 4, 5}
B= 、C={2, 4, 6,8}，試求：
(1)(A∪B)−C (2) (A∪B ′) (3) A B′∩ ′。 (1)A∪B={1, 2, 3, 4, 5, 7, 9}
(A∪B)−C
{1, 2, 3, 4, 5, 7, 9} {2, 4, 6,8}
= −
{1, 3, 5, 7, 9}
=
(2)A∪B={1, 2, 3, 4, 5, 7, 9}
(A∪B ′) ={6,8}
(3)A′={2, 4, 6,8}，B′={6, 7,8, 9}
{6,8}
A′∩B′=
設U ={0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8}、A={1, 2, 3, 4, 5}、 {4, 5, 6, 7}
B= 、C={1, 3, 5, 7}，試求：
(1)A∪(B∩C) (2) (A∩B ′) (3) A B′∪ ′。 (1)B∩C={5, 7}
( )
A∪ B∩C
{1, 2, 3, 4, 5} {5, 7}
= ∪ ={1, 2, 3, 4, 5, 7}
(2)A∩B={4, 5}
(A∩B ′) ={0,1, 2, 3, 6, 7,8}
(3)A′={0, 6, 7,8}，B′={0,1, 2, 3,8}
{0,1, 2, 3, 6, 7,8}
A′∪B′=
★ 集合的運算 ★
設A={3, 4, 2a+1}、B={5, 5b−2, 7}， 若A∩B={3, 7}，試求a、b之值。
∵ A∩B={3, 7}
∴ 2 1 7 5 2 3
a b
+ =
− =
⇒ a=3，b=1
設A={1, 3,x+2}、B={2, 6, 2y−3}， 若A∩B={3, 6}，試求x、 y 之值。
∵ A∩B={3, 6}
∴ 2 6 2 3 3 x
y
+ =
− =
⇒ x=4，y=3
★★ 集合的元素個數計數 ★★
某班有 40 位學生，若期中考數學及格的有 20 位，英文及格的有 22 位，英、數兩科皆及格 的有 13 位，則數學或英文及格的有幾位？
A：數學及格 ⇒ n A( )=20 B：英文及格 ⇒ n B( )=22
A∩B：兩科皆及格 ⇒ n A( ∩B)=13
( ) ( ) ( ) ( )
n A∪B =n A +n B −n A∩B 20 22 13 29
= + − = （位）
全班 40 位學生，若某次考國文、數學兩科皆 及格的有 18 位，兩科皆不及格的有 8 位，則 恰有一科及格的有幾位？
A：國文及格，B：數學及格
A∩B：兩科皆及格 ⇒ n A( ∩B)=18
∵ n A( ′∩B′)=n U( )−n A( ∪B)
⇒ 8=40−n A( ∪B)
⇒ n A( ∪B)=32
∴ 恰有一科及格=n A( ∪B)−n A( ∩B) 32 18 14
= − = （位）
樣本空間與事件
1. 樣本空間：在一個隨機試驗中，所有可能發生的結果所成的集合，稱為此試驗的樣本空間， 以S表示。樣本空間中的每一個元素，稱為一個樣本點。
2. 事件：樣本空間S的每一個子集，稱為樣本空間S的一個事件。
設 A 、 B 為樣本空間S的二事件，則
(1)全事件：樣本空間S是本身的子集，稱S為全事件（必然事件）。 (2)空事件：φ為S的子集，稱φ為空事件（不可能事件）。
(3)和事件： A∪B稱為 A 與 B 的和事件。
(4)積事件： A∩B稱為 A 與 B 的積事件。
(5)餘事件： A′ 稱為事件 A 的餘事件。
(6)互斥事件：若A∩B= ，則稱 A 與 B 為互斥事件。φ
★ 樣本空間與事件 ★
擲一枚均勻硬幣三次，試求：
(1)樣本空間S。
(2)出現二正面一反面的事件 A 。 (3)至少出現二正面的事件 B 。
(1)S ={(正正正)、(正正反)、(正反正)、
(反正正)、(正反反)、(反正反)、
(反反正)、(反反反)}
(2)A={(正正反)、(正反正)、(反正正)}
(3)B={(正正反)、(正反正)、(反正正)、
(正正正)}
擲一枚均勻硬幣二次，試求：
(1)樣本空間S。
(2)出現一正面一反面的事件 A 。 (3)至少出現一正面的事件 B 。
(1)S={(正正)、(正反)、(反正)、(反反)}
(2)A={(正反)、(反正)}
(3)B={(正反)、(反正)、(正正)}
★ 樣本空間與事件 ★
擲一顆公正的骰子三次，試求：
(1)點數和為 5 的事件 A 。 (2)點數均相同的事件 B 。
(1)A={(1,1,3)、(1,2,2)、(1,3,1)、(2,1,2)、
(2,2,1)、(3,1,1)}
(2)B={(1,1,1)、(2,2,2)、(3,3,3)、(4,4,4)、
(5,5,5)、(6,6,6)}
擲一顆公正的骰子兩次，試求：
(1)點數和為 6 的事件 A 。
(2)第一次點數小於第二次點數的事件 B 。 (1)A={(1,5)、(2,4)、(3,3)、(4,2)、(5,1)}
(2)B={(1,2)、(1,3)、(1,4)、(1,5)、(1,6)、
(2,3)、(2,4)、(2,5)、(2,6)、(3,4)、
(3,5)、(3,6)、(4,5)、(4,6)、(5,6)}
( Ａ ) 1. 設A={1, 2,{1, 2}}，則下列敘述何者錯誤？ (A){1} A∈ (B){1}⊂A (C){1, 2} A∈ (D){1, 2}⊂A。
( Ｂ ) 2. 設A={1, 2, 3, 3}，則 A 的子集共有 (A) 4 (B) 8 (C) 16 (D) 32 個。
3. 設A={2y+1,x−3}，B={x−1,y−2}，若 A B= ，則x+y= −1 。 4. 設A={1, 2, 3, 4, 5}，，，，B={2, 3, 4}，C={3, 4, 5}，則
(1)A∩(B∪C)= {2, 3, 4, 5} ，(2) (A∪B)−C= {1, 2} ，(3)C−(A∩B)= {5} 。 5. 設A={ | 0x ≤ ≤x 4}，B={ | 1x − ≤ ≤x 2}，則
(1) A∪B= { | 1x − ≤x≤4} ，(2) A B∩ = { | 0x ≤x≤2} ，(3) A B− = { | 2x <x≤4} 。 6. 在 1 到 200 的自然數中，
(1)是 4 或 6 的倍數共有 67 個。
(2)是 4 的倍數，但不是 6 的倍數共有 34 個。
＊ (3)不是 4 的倍數，且不是 6 的倍數共有 133 個。
7. 某班有 50 位學生，參加會計學測驗，通過學科有 35 位，通過術科有 31 位，同時通過學、
術科的有 20 位，則
(1)學、術科至少通過一科，有 46 位。
(2)通過學科但術科沒有通過，有 15 位。
8. 擲一顆公正的骰子一次，則
(1)出現偶點數的事件 A= {2, 4, 6} ，(2)出現奇數點的事件 B = {1, 3, 5} ， (3)點數大於 3 的事件C= {4, 5, 6} ，(4)事件 A 和事件 B 是否互斥？ 是 ， (5)事件 A 和事件C是否互斥？ 不是 。
＊題目難度較高
11-2 求機率問題
古典機率
機率的定義：設一隨機試驗的樣本空間S為有限集合，S中的每一個樣本點出現的機會 均等，若A⊂S為一事件，則事件 A 發生的機率為 ( )
( ) ( ) n A A
P A = n S = S的元素個數 的元素個數。
★ 機率 ★
擲一枚均勻硬幣三次，試求出現一正面二反 面的機率。
設A：出現一正面二反面 ( ) 2 2 2 8
n S = × × =
A={(正反反)、(反正反)、(反反正)}
⇒ n A( )=3 ( ) 3 ( ) ( ) 8 P A n A
= n S =
擲一枚均勻硬幣二次，試求出現一正面一反 面的機率。
設A：出現一正面一反面
S ={(正正)、(正反)、(反正)、(反反)}
⇒ n S( )=4
A={(正反)、(反正)} ⇒ n A( )=2 ( ) 2 1
( ) ( ) 4 2 P A n A
= n S = =
★★ 機率 ★
擲一顆公正的骰子三次，試求點數和為 5 的 機率。
設A：點數和為 5 ( ) 6 6 6 216 n S = × × =
A={(1,1,3) 、 (1,2,2) 、 (1,3,1) 、 (2,1,2) 、 (2,2,1)、(3,1,1)} ⇒ n A( )=6
( ) 6 1
( ) ( ) 216 36 P A n A
= n S = =
擲一顆公正的骰子兩次，試求點數和為 7 的 機率。
設A：點數和為 7 ( ) 6 6 36 n S = × =
A={(1,6)、(2,5)、(3,4)、(4,3)、(5,2)、(6,1)}
⇒ n A( )=6
( ) 6 1 ( ) ( ) 36 6 P A n A
= n S = =
★★ 機率 ★★
甲、乙、丙、…等 7 人排成一列，試求甲、
乙相鄰的機率。
P(甲乙相鄰) 6! 2! 2 7! 7
= × =
甲、乙、丙、…等 7 人圍圓桌而坐，試求甲、
乙相鄰的機率。
P(甲乙相鄰) 5! 2! 1 6! 3
= × =
★★ 機率 ★★
袋中有 3 紅球、5 白球，今隨機一次取出三 球，試求：
(1)取到三球同色的機率。
(2)取到一紅球二白球的機率。
(3)至少取到二紅球的機率。
(1)P(三同)
3 5
3 3
8 3
11 56 C C
C
= + =
(2)P(一紅二白)
3 5
1 2
8 3
30 15 56 28 C C
C
= × = =
(3)P(至少二紅)=P(二紅一白)+P(三紅)
3
3 5
3
2 1
8 8
3 3
2 7 C C C
C C
= × + =
自裝有 4 白球、3 紅球、2 黑球的袋中，任取 三球，每球被取到的機會均等，試求：
(1)取到三球同色的機率。
(2)取到三球異色的機率。
(3)取到一白球二紅球的機率。
(1)P(三同)
4 3
3 3
9 3
5 84 C C
C
= + =
(2)P(三異)
4 3 2
1 1 1
9 3
24 2 84 7 C C C
C
× ×
= = =
(3)P(一白二紅)
4 3
1 2
9 3
12 1 84 7 C C
C
= × = =
機率的性質
設 A 、 B 、C為樣本空間S的三事件，則 1. 全事件的機率： ( )P S = 。 1
2. 空事件的機率： ( )Pφ = 。 0
3. 任一事件A 的機率範圍： 0≤P A( )≤ 。 1 4. 機率的單調性：若A⊂B，則 ( )P A ≤P B( )。 5. 和事件的機率：
(1) (P A∪B)=P A( )+P B( )−P A( ∩B)。
(2) (P A∪ ∪B C)=P A( )+P B( )+P C( )−P A( ∩B)−P B( ∩C)−P A( ∩C)+P A( ∩ ∩B C)。 6. 餘事件的機率：(1) (P A′ = −) 1 P A( )。
(2) (P A′∩B′)= −1 P A( ∪B)。 (3) (P A′∪B′)= −1 P A( ∩B)。
7. 互斥事件的機率：A∩B= ⇒ φ P A( ∩B)= ，即 (0 P A∪B)=P A( )+P B( )。 8. 差事件的機率： (P A B− )=P A( ∩B′)=P A( )−P A( ∩B)。
★ 餘事件的機率 ★
擲一枚均勻硬幣三次，試求至少出現一反面 的機率。
設S：樣本空間 ⇒ n S( )= × × =2 2 2 8 A：出現 0 反面
A={(正正正)} ⇒ n A( )=1
P(至少一反面) 1 7
1 ( ) 1
8 8
= −P A = − =
擲一顆公正的骰子兩次，試求點數和小於 10 的機率。
設 S：樣本空間 ⇒ n S( )= × =6 6 36 A：點數和≥10
A={(4,6)、(5,5)、(5,6)、(6,4)、(6,5)、
(6,6)} ⇒ n A( )=6
P(點數和<10) 6 5 1 ( ) 1
36 6
= −P A = − =
★ 機率的性質 ★ 設 A 、 B 為二事件，若 ( ) 0.3P A = 、
( ) 0.6
P B′ = 、 (P A∩B)=0.2，試求：
(1)P B (2) (( ) P A∪B) (3) (P A′ ∩B)。 (1)P B( )= −1 P B′( )=0.4
(2)P A( ∪B)=P A( )+P B( )−P A( ∩B) 0.3 0.4 0.2 0.5
= + − =
(3)P A( ′ ∩B)=P B( )−P A( ∩B) 0.4 0.2 0.2
= − =
設 A、B 為二事件，若 1 ( ) 2
P A = 、 1 ( ) 3 P B = 、 ( ) 1
P A∩B =4，試求：
(1)P B′ (2) (( ) P A∪B) (3) (P A∩B′)。
(1) 2
( ) 1 ( ) P B′ = −P B = 3
(2)P A( ∪B)=P A( )+P B( )−P A( ∩B) 1 1 1 7
2 3 4 12
= + − = (3)P A( ∩B′)=P A( )−P A( ∩B)
1 1 1 2 4 4
= − =
★ 互斥事件 ★
設 A 、 B 為互斥事件，且 1 ( ) 2 P A = ， ( ) 3
P B′ = 4，試求 (P A∪B)。
∵ A、B為互斥事件 ∴ P A( ∩B)=0
又 1
( ) 1 ( ) P B = −P B′ =4
( ) ( ) ( ) ( )
P A∪B =P A +P B −P A∩B
1 1 3
2 4 0 4
= + − =
設 A 、 B 為 互 斥 事 件 ， 且 ( ) 0.6P A′ = ， ( ) 0.3
P B = ，試求 (P A∪B)。
∵ A、B為互斥事件 ∴ P A( ∩B)=0 又P A( )= −1 P A′( )=0.4
( ) ( ) ( ) ( )
P A∪B =P A +P B −P A∩B 0.4 0.3 0 0.7
= + − =
★★ 機率的應用 ★★
從 1 到 100 的自然數中，任取一數，每個數 被取到的機會均等，試求取到 2 或 3 的倍數 之機率。
設S：樣本空間 ⇒ n S( )=C1100 =100 A：2 的倍數 ⇒ 100
( ) [ ] 50 n A = 2 = B：3 的倍數 ⇒ 100
( ) [ ] 33 n B = 3 = A∩B：6 的倍數 ⇒ 100
( ) [ ] 16 n A∩B = 6 = 故取到 2 或 3 的倍數之機率為
( ) ( ) ( ) ( )
P A∪B =P A +P B −P A∩B 50 33 16 67 100 100 100 100
= + − =
某公司徵求三名員工，有甲、乙、丙、丁、
戊、己等 6 人應徵，每個人被錄取的機會均 等，試求甲或乙被錄取的機率。
設S：樣本空間 ⇒ n S( )=C36 =20 A：甲被錄取 ⇒ n A( )=C11×C25 =10 B：乙被錄取 ⇒ n B( )=C11×C25 =10 A∩B：甲乙均錄取 ⇒ n A( ∩B)=C14 =4 故甲或乙被錄取的機率為
( ) ( ) ( ) ( )
P A∪B =P A +P B −P A∩B 10 10 4 4 20 20 20 5
= + − =
幾何機率
設樣本空間S對應一幾何圖形，若A⊂S亦為一幾何圖形，則 ( ) ( ) ( ) P A m A
= m S ， m 為幾何度量，幾何度量可以為長度、面積或體積。
★★ 幾何機率 ★★
在集合S ={ | 2x ≤ ≤x 10,x∈R}中任選一數，
試求滿足不等式|x−5 |≤ 的機率為何？ 2
|x−5 |≤2 ⇒ − ≤ − ≤2 x 5 2
⇒ 3≤x≤7
故所求機率 7 3 1 10 2 2
= − =
−
如右圖，在圓形基地中，扇形 區域佈有地雷，敵人在基地中 行走，踩到地雷的機率為何？
（每個扇形的圓心角皆為 30°）
所求機率 30 1 3 360 4
= × ° =
°
條件機率 1. 條件機率：
設 A 、 B 為樣本空間S的二事件，且 ( ) 0P A > ，則在事件 A 發生的條件下，事件 B 發生的
條件機率為 ( ) ( )
( )
( ) ( )
n A B P A B P B A
n A P A
∩ ∩
= = ⇒ P A( ∩B)=P A( )×P B A( )。 2. 條件機率的乘法公式：
設 A 、 B 、C為樣本空間S的三事件，且 ( ) 0P A > 、 ( )P B > 、 ( )0 P C > 、 (0 P A∩B)> ， 0 (1)P A( ∩B)= ( )P A ×P B A P B( | )= ( )×P A B( | )。
(2) (P A∩B∩C)= ( )P A ×P B A( | )×P C A( | ∩B)。
★★ 條件機率 ★★
擲一枚公正硬幣三次，在第一次出現正面的 條件下，試求恰出現二正面的機率。
設A：第一次正面，B：恰出現二正面 A={(正正正)、(正正反)、(正反正)、
(正反反)} ⇒ n A( )=4 A∩B={(正正反)、(正反正)}
⇒ n A( ∩B)=2
⇒ ( ) 2 1
( | )
( ) 4 2 n A B
P B A
n A
= ∩ = =
擲一顆公正骰子兩次，在出現點數和為 6 的 條件下，試求骰子點數相同的機率。
設A：點數和為 6，B：點數相同 A={(1,5)、(2,4)、(3,3)、(4,2)、(5,1)}
⇒ n A( )=5 {(3, 3)}
A∩B= ⇒ n A( ∩B)=1
⇒ ( ) 1
( | )
( ) 5 n A B P B A
n A
= ∩ =
★★ 條件機率 ★★
設 A 、 B 為 樣 本 空 間S 中 的 二 事 件 ， 若 ( ) 1
P A =3， 1 ( ) 2
P B = ， 3
( )
P A∪B =4，試求：
(1)P A B (2) ( | )( | ) P B A 。
( ) ( ) ( ) ( )
P A∪B =P A +P B −P A∩B
⇒ 3 1 1
( )
4 =3+2−P A∩B
⇒ 1
( )
P A∩B =12 (1)
1
( ) 12 1
( | )
( ) 1 6
2 P A B P A B
P B
= ∩ = =
(2)
1
( ) 12 1
( | )
( ) 1 4
3 P A B P B A
P A
= ∩ = =
設 A 、 B 為 樣 本 空 間 S 中 的 二 事 件 ， 若 ( ) 1
P A =4， 2 ( )
P A∪B =3， 1 ( )
P A∩B =6，試 求：(1) ( | )P A B (2) ( | )P B A 。
( ) ( ) ( ) ( )
P A∪B =P A +P B −P A∩B
⇒ 2 1 1 3= 4+P B( )−6
⇒ 7
( ) 12 P B =
(1)
1
( ) 6 2
( | )
( ) 7 7
12 P A B P A B
P B
= ∩ = =
(2)
1
( ) 6 2
( | )
( ) 1 3
4 P A B P B A
P A
= ∩ = =
★★ 條件機率的乘法公式 ★★
袋中有 3 紅球、4 白球，每次取一球，連取二 次，取後不放回，設每個球被取到的機會相 同，試求：
(1)第一次取到白球的條件下，第二次取到紅 球的機率。
(2)第一次取到白球且第二次取到紅球的機率。
設A：第一次白球，B：第二次紅球
則 4 4
( ) 3 4 7 P A = =
+
(1)∵ 第一次取到白球不放回，故袋中剩 下 3 紅球、3 白球
∴ 第二次取到紅球的機率為
3 1
( | )
3 3 2 P B A = =
+
(2)第一次取到白球且第二次取到紅球的 機率為P A( ∩B)=P A( )×P B A( | )
4 1 2 7 2 7
= × =
袋中有 4 紅球、5 白球，每次取一球，連取二 次，取後不放回，設每個球被取到的機會相 同，試求：
(1)取到 2 球都是白球的機率。
(2)取到 2 球都是紅球的機率。
(1)設A：第一次白球，B：第二次白球 ( ) ( ) ( | )
P A∩B =P A ×P B A 5 4 5 9 8 18
= × =
(2)設C：第一次紅球，D：第二次紅球 ( ) ( ) ( | )
P C∩D =P C ×P D C 4 3 1 9 8 6
= × =
獨立事件
1. 設 A 、 B 為樣本空間S的二事件，
若 ( | )P B A =P B( )，即P A( ∩B)=P A( )×P B( )，則稱 A 、 B 為獨立事件，否則稱為相依事 件。
2. 若 A 、 B 為獨立事件，則
(1) A 與 B′ 亦為獨立事件 ⇒ P A( ∩B′)=P A( )×P B( ′)。 (2) A′ 與 B 亦為獨立事件 ⇒ P A( ′∩B)=P A( ′)×P B( )。 (3) A′ 與 B′ 亦為獨立事件 ⇒ P A( ′∩B′)=P A( ′)×P B( ′)。
★★ 獨立事件 ★★
設 A 、 B 為樣本空間S中的二獨立事件，已
知 5
( )
P A∪B = 6、 1 ( ) 3
P B = ，試求：
(1)P A (2) (( ) P A′ ∩B) (3) (P A B′| )。 (1)∵ P A( ∪B)=P A( )+P B( )−P A( ∩B)
又A、B為獨立事件
∴ P A( ∪B)
=P A( )+P B( )−P A( )．P B( )
⇒ 5 1 1
( ) ( )
6=P A + −3 P A ×3
⇒ 3
( ) 4 P A =
(2)∵ A、B為獨立事件
∴ A′、B亦為獨立事件
( ) ( ) ( )
P A′∩B =P A′ ×P B
3 1 1
(1 )
4 3 12
= − × =
(3) 3 1
( | ) ( ) 1
4 4 P A B′ =P A′ = − =
設 A 、 B 為樣本空間S中的二獨立事件，已
知 1
( ) 3
P A = 、 3
( )
P A∪B =4，試求：
(1)P B (2) (( ) P A∩B′) (3) (P B A′| )。 (1)∵ P A( ∪B)=P A( )+P B( )−P A( ∩B)
又A、B為獨立事件
∴ P A( ∪B)
=P A( )+P B( )−P A( )．P B( )
⇒ 3 1 1
( ) ( )
4=3+P B − ×3 P B
⇒ 5
( ) 8 P B =
(2)∵ A、B為獨立事件
∴ A、B′亦為獨立事件
( ) ( ) ( )
P A∩B′ =P A ×P B′
1 5 1
(1 )
3 8 8
= × − =
(3) 5 3
( | ) ( ) 1
8 8 P B A′ =P B′ = − =
★★ 獨立事件的應用 ★★
袋中有 3 紅球、4 白球、5 黑球，每次取出一 球，連取三次，取後放回，試求所取三球依 序為紅球、白球、黑球的機率。
設A：第一次紅球，B：第二次白球，
C：第三次黑球
∵ 取後放回，球數不變，視為獨立
∴ P A( ∩B∩C)=P A( )×P B( )×P C( )
3 4 5 5
12 12 12 144
= × × =
袋中有 6 紅球、3 白球，每次取出一球，連取 二次，取後放回，試求所取二球依序為紅球、
白球的機率。
設A：第一次紅球，B：第二次白球
∵ 取後放回，球數不變，視為獨立
∴ P A( ∩B)=P A( )×P B( ) 6 3 2 9 9 9
= × =
★★ 獨立事件的應用 ★★
甲、乙二人射擊同一目標，甲的命中率為3 4， 乙的命中率為2
3，今二人同時向目標射擊，
彼此互不影響，試求：
(1)二人同時命中目標的機率。
(2)恰有一人命中目標的機率。
(3)此目標被擊中的機率。
設A：甲命中，B：乙命中 ( ) 3
P A =4， 2 ( ) 3 P B =
∵ 互不影響 ∴ A、B為獨立事件 (1)P(二人同時命中)
( )
P A B
= ∩ 3 2 1
4 3 2
= × = (2)P(恰有一人命中)
=P(甲命中)+P(乙命中)
( ) ( )
P A B′ P A′ B
= ∩ + ∩
3 2 3 2 5
(1 ) (1 )
4 3 4 3 12
= × − + − × = (3)P(此目標被擊中)
= −1 P(二人均未命中) 1 P A( ′ B′)
= − ∩
3 2 11
1 (1 ) (1 )
4 3 12
= − − × − =
甲、乙二人解題，甲平均每 3 題答對 1 題，
乙平均每 2 題答對 1 題，今二人同解一題，
互不影響，試求：
(1)二人同時解出的機率。
(2)恰有一人解出的機率。
(3)此題被解出的機率。
設A：甲解出，B：乙解出 ( ) 1
P A = 3， 1 ( ) 2 P B =
∵ 互不影響 ∴ A、B為獨立事件 (1)P(二人同時解出)
1 1 1
( )
3 2 6 P A B
= ∩ = × =
(2)P(恰有一人解出)
=P(甲解出)+P(乙解出)
( ) ( )
P A B′ P A′ B
= ∩ + ∩
1 1 1 1 1
(1 ) (1 )
3 2 3 2 2
= × − + − × = (3)P(此題被解出)
= −1 P(二人均未解出) 1 P A( ′ B′)
= − ∩
1 1 2
1 (1 ) (1 )
3 2 3
= − − × − =
機率的應用
1. 設A 、1 A 、2 A 為樣本空間3 S的三個兩兩互斥 的非空事件，且A1∪A2∪A3=S，若B⊂S，則
1 2 3
( ) ( ) ( ) ( ) P B =P A ∩B +P A ∩B +P A ∩B
1 1 2 2 3 3
( ) ( | )+ ( ) ( | )+ ( ) ( | ) P A P B A P A P B A P A P B A
= × × × 。
2. 重複試驗：
在某一隨機試驗中，若一事件發生的機率為 P ，則在n次試驗中，
(1)恰發生 r 次的機率為C Prn r(1−P)n r− 。 (2)至少發生 r 次的機率為 (1 )
n
n k n k
k k r
C P P −
=
∑
− 。 (3)至少發生一次的機率為1 (1− −P)n。★★★ 機率的應用 ★★★
甲袋中有 2 個紅球、3 個白球，乙袋中有 3 個紅球、3 個白球，依機會均等原則任選一 袋，再從此袋中任取一球。
(1)求取出紅球的機率。
(2)已知取出為紅球，求此紅球取自甲袋的機 率。
(1)P(紅) 1 2 1 3 9 2 5 2 6 20
= × + × = (2)P(甲|紅) ( )
( ) P
P
= 甲∩紅 紅 1 2 2 5 1 2 1 3 2 5 2 6
×
=
× + ×
4
= 9
假設某學校男女生的比例為2 : 3，其中男生有 50%戴眼鏡，女生有 60%戴眼鏡。今自學生 中隨機抽取 1 人，若每位學生被抽取的機會 均等。
(1)求此學生戴眼鏡的機率。
(2)已知此學生戴眼鏡，求其是男生的機率。
(1)P(戴眼鏡) 2 3 14
50 60
5 5 25
= × ％+ × ％=
(2)P(男|戴眼鏡)
( )
( )
P P
= 男∩戴眼鏡 戴眼鏡
2 50 5
2 3
50 60
5 5
×
=
× + ×
％
％ ％
5
=14
★★★ 重複試驗 ★★★
某生考試的解題能力為1
2，今參加 5 題的考 試，試求：
(1)恰解出 3 題的機率。
(2)至少解出 1 題的機率。
(1)P(恰解出 3 題)
5 3 2
3
1 1 10 5
( ) (1 )
2 2 32 16
=C − = =
(2)P(至少解出 1 題)= −1 P(5 題均解不出) 1 5 31
1 (1 ) 2 32
= − − =
某甲投籃的命中率為1
3 ，今甲連續投籃三 次，試求：
(1)恰投中二次的機率。
(2)至少投中一次的機率。
(1)P(恰投中二次) 23 1 2 1 1 2 ( ) (1 )
3 3 9
=C − =
(2)P(至少投中一次)
= −1 P(投三次均不中) 1 3 19
1 (1 ) 3 27
= − − =
1. 由「1、2、3、4、5、6、7、8」八個數中任選二數，則 (1)其和是偶數的機率為 3
7 。 (2)其積為偶數的機率為 11 14 。
2. 甲、乙、丙 3 人合住一室，每天抽籤決定 1 人打掃，則在 6 天中，恰好每人各打掃 2 天的 機率為 10
81 。
3. 某人拜訪有兩個小孩的夫婦，已知該夫婦至少有一男孩，求第二個孩子為男孩的機率為 2
3 。
4. 設 A 、 B 為樣本空間S中的二事件，已知 1 ( ) 3
P A = 、 1 ( ) 4
P B = 、 5
( )
P A∪B =12，則 (1)P A( ∩B)= 1
6 ；(2) (P A∩B′)= 1
6 ；(3) (P B A′| )= 1
2 。
5. 設 A 、 B 為樣本空間中S的兩互斥事件，且 1 ( ) 3
P A = 、 1 ( ) 4 P B = ，則 (1) (P A∩B)= 0 ；(2) (P A∪B)= 7
12 。 6. 設 A 、 B 為樣本空間S中的二獨立事件，若 1
( ) 3
P A = 、 1 ( ) 4 P B = ，則 (1)P A( ∩B)= 1
12 ；(2) (P A∩B′)= 1
4 ；(3) (P B A′| )= 3
4 ；(4) (P A∪B)= 1
2 。
7. 擲一枚均勻硬幣五次，則 (1)恰出現三正面的機率為 5
16 。 (2)至少出現一正面的機率為 31
32 。 (3)至少出現三正面的機率為 1
2 。
(4)已知至少出現三正面的條件下，五次皆正面的機率為 1 16 。 8. 擲一顆公正的骰子兩次，則
(1)第一次點數小於第二次點數的機率為 5
12 。 (2)第一次擲出 6 點且第二次擲出偶數點的機率為 1
12 。
(3)已知第一次擲出 6 點的條件下，第二次擲出偶數點的機率為 1 2 。
＊題目難度較高
(4)點數和大於 8 的機率為 5
18 。
(5)已知點數和大於 8 的條件下，求兩次點數均相同的機率為 1 5 。 (6)已知兩次點數均相同的條件下，求點數和大於 8 的機率為 1
3 。 9. 一袋中有相同的 5 紅球、3 白球，2 黑球，設每球被取出的機會相等，則
(1)一次取出 1 球，取得紅球的機率為 1 2 。
(2)一次取出 1 球，取出後放回，連續取三次，則依序取得紅球、白球、黑球的機率為 3
100 。
(3)一次取出 1 球，取出後不放回，連續取三次，則依序取得紅球、白球、黑球的機率為 1
24 。
(4)一次取出 2 球，2 球同色之機率為 14 45 。 (5)一次取出 2 球，2 球異色之機率為 31
45 。 (6)一次取出 3 球，3 球同色之機率為 11
120 。 (7)一次取出 3 球，3 球異色之機率為 1
4 。
(8)一次取出 3 球，取出為 1 紅球、2 白球的機率為 1 8 。 (9)一次取出 3 球，至少含 1 紅球的機率為 11
12 。 (10)一次取出 3 球，至少含 2 紅球的機率為 1
2 。
＊10. 甲、乙二袋中各有 15 個球，分別標記 1、2、3、…、15 等號碼，今隨機從兩袋中各取一球，
則(1)此二球數字最大者為 10 的機率為 19
225 。 (2)此二球數字之和為 10 的機率為 1
25 。 (3)此二球數字之差為 10 的機率為 2
45 。
＊11. 一袋中有 15 個球，分別標記 1、2、3、…、15 等號碼，今隨機從袋中取二球，則 (1)此二球數字最大者為 10 的機率為 3
35 。(2)此二球數字之和為 10 的機率為 4
105 。 (3)此二球數字之差為 10 的機率為 1
21 。
12. 設甲、乙二人射擊同一目標，彼此互不影響，甲的命中率為3
4，乙的命中率為2
3，今二人 同時向目標射擊，則
(1)此目標沒被射中的機率為 1 12 。 (2)此目標恰中 1 發的機率為 5
12 。 (3)此目標至少被射中 1 發的機率為 11
12 。 (4)此目標恰中 2 發的機率為 1
2 。
＊13. 設甲、乙、丙三人解題能力分別為1 3、3
4及2
5，現三人同解一題，互不影響，則 (1)三人皆解出之機率為 1
10 。 (2)恰有一人解出的機率為 5
12 。 (3)此題被解出的機率為 9
10 。
14. 求甲、乙、丙三人均不在同一個月份出生的機率為 55 72 。 15. 求甲、乙、丙三人，恰有兩人在同一個月份出生的機率為 11
48 。
16. 有甲、乙二個袋子，已知甲袋中裝有 2 個紅球、4 個白球，乙袋中裝有 3 個紅球、3 個白球，
現隨機選取一袋，再由此袋中任取一球，若取出者為白球，則此白球由甲袋中取出的機率 為 4
7 。
＊17. 設有 A 、 B 、C三家雜誌，其市場佔有率分別為 10％、30％、60％，這三家雜誌報導不實 率分別為 4％、3％、2％，今任選一本雜誌閱讀，則
(1)閱讀到不實報導的機率為 1
40 。
(2)已知閱讀到不實報導，經查證來自於 C 雜誌的機率為 12
25 。
＊18. 甲投籃的命中率平均每投 4 球可進 3 球，今甲投籃 4 次 (1)恰投中 3 次的機率為 27
64 。 (2)至少投中 1 次的機率為 255
256 。 (3)至少投中 3 次的機率為 189
256 。
11-3 數學期望值
數學期望值 1. 分割：
設A 、1 A 、2 A 、…、3 A 為樣本空間k S的k個非空事件，且滿足 (1)A1∪A2∪A3∪ …∪Ak =S。
(2)Ai∩Aj = ， iφ ≠ ( i 、 j = 1、2、3、…、j k)。
則稱{ ,A A A1 2, 3,L,Ak}為樣本空間S的一個分割。
若{ ,A A A1 2, 3,L,Ak}為樣本空間 S 的一個分割，
則P A( )1 +P A( 2)+P A( 3)+L+P A( k)=1。
2. 數學期望值：
(1)事件的期望值
設事件 A 發生的機率為 P ，若事件 A 發生可得m元，則m P× 稱為事件 A 的數學期望 值，簡稱期望值，以「 E 」表示，即E=m P× 。
(2)隨機試驗的期望值
設{ ,A A A1 2, 3,L,Ak}為樣本空間S的一個分割，且事件A 發生的機率為i P ，若事件i A 發i 生可得m 元( ii = 1、2、3、…、k)，則E=m1×P1+m2×P2+L+mk×Pk稱為此隨機試驗的 數學期望值，簡稱期望值。
數學期望值即加權平均值。
★★ 分割 ★
設{ ,A A A A 為樣本空間1 2, 3, 4} S的一個分割，
已 知P A( 1∪A2∪A3)=P A( 4)， 1 1 ( )
P A =10 ，
2
( ) 1
P A =5，試求P A( 3∪A4)之值。
∵ { ,A A A A1 2, 3, 4}為樣本空間S 的一個分割
⇒ P A( 1)+P A( 2)+P A( 3)+P A( 4)=1 又P A( 1∪A2∪A3)=P A( 4)
⇒ 1 2 3 4 1
( ) ( ) ( ) ( ) P A +P A +P A =P A = 2
⇒ 1 1 3 1 ( ) 10+5+P A = 2
⇒ 3 1 ( ) P A =5
∴ P A( 3∪A4)=P A( 3)+P A( 4) 1 1 7 5 2 10
= + =
設{ , , }A B C 為樣本空間S的一個分割，已知 ( ) 1
P A =2， 1 ( ) ( )
P B =3P C ，試求 (P A∪C)之 值。
∵ { , , }A B C 為樣本空間S的一個分割
⇒ P A( )+P B( )+P C( )=1
⇒ 1 1
( ) ( ) 1 2+3P C +P C =
⇒ 3
( ) 8 P C =
∴ P A( ∪C)=P A( )+P C( ) 1 3 7 2 8 8
= + =
★★ 期望值 ★★
設袋中有 50 元硬幣 3 枚，10 元硬幣 5 枚，5 元硬幣 2 枚，今自袋中任取 1 枚硬幣，試求 幣值的期望值。
硬幣 50 元 10 元 5 元 金額＄ 50 10 5 機率P 3
10
5 10
2 10 期望值
3 5 2
50 10 5 21
10 10 10
E= × + × + × = （元）
擲一公正骰子一次，若出現奇數點可得 10 元，若出現 2 點或 4 點可得 20 元，若出現 6 點要賠 40 元，試求此試驗的期望值。
點數 奇數點 2 或 4 點 6 點 金額＄ 10 20 −40
機率P 3
6
2 6
1 6 期望值
3 2 1
10 20 ( 40) 5
6 6 6
E= × + × + − × = （元）
★★ 期望值 ★★
自裝有 3 紅球、2 白球的袋中，任取二個球，
若二球同色可得 100 元，若二球不同色可得 50 元，試求此試驗的期望值。
顏色 2 紅或 2 白 1 紅 1 白
金額＄ 100 50
機率 P
3 2
2 2
5 2
2 5 C C
C
+ =
3 2
1 1
5 2
3 5 C C
C
× =
期望值 2 3
100 50 70
5 5
= × + × = （元）
某機構發行每張 100 元的公益彩券 2000 張，
其中特獎 1 張獎金 10 萬元，頭獎 2 張獎金各 1 萬元，貳獎 100 張獎金各 200 元，試求購買 一張彩券獎金的期望值。
彩券獎金的期望值
1 2 100
100000 10000 200
2000 2000 2000
E= × + × + ×
=70（元）
★★ 期望值 ★★
設袋中有 5 元硬幣 4 枚，10 元硬幣 6 枚，今 自袋中任取 2 枚硬幣，試求幣值的期望值。
硬幣 5+5 5+10 10+10
金額＄ 10 15 20
機率 P
4 2 10 2
6 45 C C =
4 6
1 1
10 2
24 45 C C
C
× =
6 2 10 2
15 45 C C =
期望值
6 24 15
10 15 20 16
45 45 45
E = × + × + × = （元）
另解：
先算取 1 枚的期望值為 4 6
5 10 8
10 10
× + × =
故取 2 枚的期望值為8 2× =16（元）
(1)求擲一公正骰子一次出現點數的期望值。
(2)求擲二顆公正骰子出現點數和的期望值。
(1) 點數 1 2 3 4 5 6 機率P 1
6 1 6
1 6
1 6
1 6
1 6
期望值 1 7
(1 2 3 4 5 6)
6 2 E= + + + + + × = (2)擲一顆骰子的期望值 7
= 2 擲二顆骰子的期望值 7
2 7
= 2× =
★★ 期望值 ★★
已知單一選擇題每題有 4 個選項，其中只有 一個選項是正確的，若每題答對可得 4 分，
則答錯應倒扣幾分才公平？
公平 ⇒ 期望值為 0 P(答對) 1
=4，P(答錯) 3
= 4 設答錯倒扣x分，則
1 3
4 ( ) 0
4 4
E = × + × −x =
⇒ 4 x=3
∴ 答錯應倒扣4
3分才公平
擲一枚均勻硬幣二次，若出現二正面可得 200 元，若出現一正面可得 100 元，若無正面出 現，則須付出多少元才公平？
公平 ⇒ 期望值為 0 P(二正面) 1
= 4，P(一正面) 1
= 2， P(無正面) 1
= 4
設無正面出現應付x元，則
1 1 1
200 100 ( ) 0
4 2 4
E= × + × + × −x =
⇒ x=400
∴ 無正面出現應付 400 元才公平
1. 摸彩箱中有 1000 元的禮券 1 張，500 元的禮券 4 張，100 元的禮券 5 張，今自摸彩箱中任 取一張禮券，則所得獎金的期望值為 350 元。
2. 甲、乙二人玩猜謎遊戲，答對的機率分別為1 4、1
3，今二人合作解謎題，若將謎題解出可 得獎金 30 元，解錯則需賠償 10 元，則此遊戲的期望值為 10 元。
3. 某人射飛鏢的命中率為2
3，今連射 2 支飛鏢，若 2 支全中可得 20 元，只中 1 支可得 10 元，
2 支都沒中則賠 30 元，則此遊戲的期望值為 10 元。
4. 箱子內有 10 個燈泡，其中有 3 個是壞的，今隨機取出 3 個，則取到壞燈泡個數的期望值為 9
10 個。
5. 擲兩枚公正的硬幣，若出現x個正面，則得x元，若皆反面，則輸 3 元，則此試驗的期望值 為 1
4 元。
6. 擲一顆公正的骰子兩次，若出現點數和大於 9，則可得 600 元，否則賠 60 元，則此試驗的 期望值為 50 元。
7. 擲一枚均勻硬幣三次，若出現三正面可得 30 元，出現二正面可得 20 元，出現一正面可得 10 元，若無正面出現則須付出 120 元才公平。
＊題目難度較高
11-4 抽樣方法與圖表編製
抽樣方法 1. 統計的意義：
統計學是在面對不確定的情況下，協助我們做出合理明智決策的一門科學。其內容包括資 料的蒐集、整理、歸納、解釋與分析。
2. 母群體與樣本：
(1)母群體：針對某一統計問題研究對象的全體，稱為「母群體」。 (2)樣本：全體研究的對象中被抽出代表性的元素，稱為「樣本」。 (3)抽樣：抽出樣本的全部過程，稱為「抽樣」。
3. 資料調查的方法：
(1)普查：針對母群體中的每一個元素，逐一加以調查，稱為「普查」。 例如：人口普查、工商普查。
(2)抽查：針對母群體中的一部分元素（樣本）加以調查，稱為「抽查」。 例如：收視率調查、民意調查。
4. 抽樣調查的方法：
(1)簡單隨機抽樣：抽樣時不加入人為因素，每一個元素被選取的機會相同，具有簡單性、
客觀性。方法為將每一個元素編號，利用卡片或隨機號碼表，隨機抽出一部份號碼為樣 本。
(2)系統抽樣：將母群體中的每一個元素編號或排列，經由隨機抽樣選取第一個樣本，以後 每隔一定間隔，選取一個元素為樣本，直到取得所需樣本數為止。如下圖所示：
(3)分層抽樣：將母群體依某種衡量標準分成若干不重疊的子群體，稱為層，依照每一層在 母群體中所佔的比例，隨機抽取若干元素為樣本，再把所得各層樣本合起來。
(4)部落抽樣：將母群體依某種衡量標準分成若干兩兩不相交的子集，稱為部落，隨機抽取 若干部落為樣本，再將這些部落做全面性的調查。
分層抽樣與部落抽樣的區別：
分層抽樣：層間差異大，層內差異小。
部落抽樣：層間差異小，層內差異大。
★ 抽樣調查的方法 ★
某校學生共 500 人，其中男生有 300 人，女 生有 200 人，為瞭解學生對兩性關係的看法，
準備抽取 100 位學生進行問卷調查。先將全 體學生編號，從 1 號到 500 號，大雄的編號 為 201，若以編號作簡單隨機抽樣，試求大雄 被抽到的機率為何？
因每位學生被抽中的機率相等 故大 雄 被 抽 到 的 機 率 為 100 1
500=5
某連鎖便利商店共有 100 家分店，分散全國 各地。今該連鎖便利商店制定新的員工工作 守則，且想盡快了解全體員工的執行能力，
試問該連鎖便利商店應採取何種抽樣調查？
基本上，各家分店的組織結構都相似，因 此每一家分店都可以當成全體連鎖便利 商店的縮影，故可以隨機抽取一家分店或 少數幾家分店，然後再對這些分店作全面 性的調查，即為部落抽樣。
★ 抽樣調查的方法 ★
某高中共有 1000 名學生，若高一學生有 330 人，高二學生有 350 人，高三學生有 320 人。
今學校欲了解全校學生的平均身高，按年級 人數比例作分層抽樣，共抽取 100 位學生為 樣本，試求各年級學生應抽出多少人？
高一學生抽出人數為 330
100 33 1000× = 人 高二學生抽出人數為 350
100 35 1000× = 人 高三學生抽出人數為 320
100 32 1000× = 人
某校三年級學生共有 300 人，其中商經科有 150 人，國貿科有 50 人，會計科有 100 人。
若學校想要了解三年級學生的體能狀況，按 科別人數比例作抽樣調查，共抽取 60 位學生 為樣本，試求各科學生應抽出多少人？
商經科學生抽出人數為150
60 30 300× = 人 國貿科學生抽出人數為 50
60 10 300× = 人 會計科學生抽出人數為100
60 20 300× = 人
★ 抽樣調查的方法 ★
某條路上共有 40 戶人家，門牌號碼為 1 至 40，今里長欲訪視其中的 8 戶，先抽中 3 號，若採系統抽樣法，則被抽中的門牌 號碼為哪幾號？
[40] 5
8 = ，每隔 5 戶選 1 戶
⇒ 抽中的號碼為
3，8，13，18，23，28，33，38
某公司有員工 50 位，編號為 1 至 50，年終尾牙 抽取 5 位員工贈送 10 張公司股票，若採系統抽 樣法，先抽中 9 號，則被抽中的 5 位員工為哪幾 號？
[50] 10
5 = ，每隔 10 人選 1 位
⇒ 抽中的號碼為 9，19，29，39，49
資料整理與圖表編製
1. 資料整理的目的：將原本雜亂無章的原始資料，能夠以簡單而且有條理的呈現，就是資料 整理的目的，即將所得資料系統化、簡單化。
2. 資料整理的步驟：
(1)分類：將資料依特性分門別類，以減少資料的差異性。
(2)歸類：將資料依其特性規入應歸屬的類別，使複雜的資料簡化。
(3)列表：將資料編製成統計表，使資料系統化，便於作統計分析。
(4)繪圖：用統計圖可以簡單而清楚的表達統計表內的數值資料。
3. 次數分配表的編製：
(1)求全距：資料中最大值與最小值的差稱為全距，即全距＝最大值－最小值。
(2)定組數：將資料進行分類稱為分組，分組的數目稱為組數。一般分組的組數不宜過多 或過少，以 5～15 組之間較恰當。
(3)定組距：每一個分組的區間長度稱為組距，組距＝全距
組數（取整數）。
(4)定組限：每一組中的最大值與最小值稱為組限，最大值稱為上限，最小值稱為下限，
上下限的平均數稱為組中點。規定每一組資料均大於或等於下限，但小於上限。
(5)歸類畫記：將原始資料在所屬組內，以「 |||| 」或「正」畫記。
(6)計算次數：歸類畫記完成後，計算各組次數並記載於次數欄內，求得總和，此總和應 與原始資料的個數相符。
4. 次數分配直方圖：以連續長條的長短來表示分類資料中各類別次數的分配情形，橫坐標為 各組資料的組限，縱坐標為次數。
5.次數分配曲線圖：以各組資料的組中點為橫坐標，該組所對應的次數為縱坐標，描出各點 所在位置，並在第一組之前與最後一組之後各增加一點，由左而右依序連接起來所得的曲 線。
6. 累積次數分配圖表：
(1)以下累積次數分配表：就由小到大的組別而言，將次數分配表內各組的次數，由上而 下依序累加後，將所得的數值記載於「以下累積次數」欄內。
(2)以上累積次數分配表：就由小到大的組別而言，將次數分配表內各組的次數，由下而 上依序累加後，將所得的數值記載於「以上累積次數」欄內。
(3)以下累積次數分配曲線圖：以各組的上限為橫坐標，該組所對應的以下累積次數為縱 坐標，描出各點所在位置，並增加第一組下限所對應的點，由左而右依序連接起來所 得的曲線。
(4)以上累積次數分配曲線圖：以各組的下限為橫坐標，該組所對應的以上累積次數為縱 坐標，描出各點所在位置，並增加最後一組上限所對應的點，由左而右依序連接起來 所得的曲線。
★★ 圖表編製 ★★
某班 40 位同學的數學成績次數分配表如下：
成績(分) 人數 40～50 4 50～60 5 60～70 8 70～80 10 80～90 7 90～100 6
(1)試作以下、以上累積次數分配表。
(2)試作次數分配直方圖及曲線圖。
(3)試作以下、以上累積次數分配曲線圖。
(1)以下、以上累積次數分配表 成績(分) 人數 以下累 積次數 以上累 積次數
40～50 4 4 40 50～60 5 9 36 60～70 8 17 31 70～80 10 27 23 80～90 7 34 13 90～100 6 40 6 (2)次數分配直方圖及曲線圖
(3)以下累積次數分配曲線圖（實線）
以上累積次數分配曲線圖（虛線）
某路段 40 輛汽車的時速如下：（公里）
速度(km/hr) 車輛數 60～70 4 70～80 5 80～90 9 90～100 14 100～110 6 110～120 2
(1)試作以下、以上累積次數分配表。
(2)試作次數分配直方圖及曲線圖。
(3)試作以下、以上累積次數分配曲線圖。
(1)以下、以上累積次數分配表 速度
(km/hr) 車輛數 以下累 積次數
以上累 積次數 60～70 4 4 40 70～80 5 9 36 80～90 9 18 31 90～100 14 32 22 100～110 6 38 8 110～120 2 40 2 (2)次數分配直方圖及曲線圖
(3)以下累積次數分配曲線圖（實線）
以上累積次數分配曲線圖（虛線）
★ 累積次數分配曲線圖 ★
某班數學成績的以上累積次數分配曲線圖如 下，試求：
(1) 60 分以下有多少人？
(2) 80～90 分有多少人？
(3) 80～90 分佔全班人數的百分比？
(4)哪一組的人數最多？
(1)∵ 60 分以上有 32 人
∴ 60 分以下有50 32− =18人 (2) 80～90 分有13 6− =7人 (3) 7
100 14 50× ％= ％
(4)50～60 分的人數最多，
共有45 32− =13人
某班英文成績的以下累積次數分配曲線圖如 下，試求：
(1) 80 分以上有多少人？
(2) 70～80 分有多少人？
(3) 70～80 分佔全班人數的百分比？
(4)哪一組的人數最多？
(1)∵ 80 分以下有 42 人
∴ 80 分以上有50−42=8人 (2) 70～80 分有42 32− =10人 (3)10
100 20 50× ％= ％
(4) 60～70 分的人數最多，
共有32 18− =14人
( Ｃ ) 1. 將全部資料編號後，每隔若干個抽取一個樣本者為 (A)簡單隨機抽樣 (B)分層抽樣 (C)系統抽樣 (D)部落抽樣。
( Ａ ) 2. 某班學生有 40 人，籤筒中有編號 1～40 號的籤，從籤筒中任意抽出 10 位學生，則 此抽樣方法為 (A)簡單隨機抽樣 (B)分層抽樣 (C)系統抽樣 (D)部落抽樣。
( Ｂ ) 3. 某校為了解學生的身高分布情形，從高一、高二、高三的學生中依人數比例來抽取 樣本，則此抽樣方法為 (A)簡單隨機抽樣 (B)分層抽樣 (C)系統抽樣 (D)部落抽 樣。
( Ｄ ) 4. 某研究人員想了解臺灣地區男女人口的比例，只針對某一縣市做調查，則此抽樣方 法為 (A)簡單隨機抽樣 (B)分層抽樣 (C)系統抽樣 (D)部落抽樣。
( Ｂ ) 5. 將母群體分為三層，第一層個數為 25000，第二層個數為 20000，第三層個數為 5000，
今欲以分層抽樣抽取 300 個為樣本，則下列何者正確？ (A)第一層抽樣數 160 (B)第二層抽樣數 120 (C)第二層抽樣數 90 (D)第三層抽樣數 50。
( Ｃ ) 6. 右圖為某次數學競試甲、乙兩班成績的 累積次數分配曲線圖，下列敘述何者正確？
(A)甲班人數比乙班人數多
(B)乙班在 30～40 分這一組共有 2 人 (C)乙班及格人數較甲班及格人數多 (D)甲班在 60～70 分這一組的人數最多。
7. 下表是全班 42 位同學，體重次數分配表：
體重（公斤） 次數（人） 以下累積次數（人）
45～50 2 2
50～55 x y
55～60 12 19
60～65 16 35
65～70 z 39
70～75 3 42
則 x+ + =y z 16 。
8. 某班英文成績的以下累積次數分布曲線圖如右，
則及格者有 32 人。
9. 承上題，80 分以上者有 13 人。
10. 某班某次數學考試成績的以上累積次數分配曲線圖如 右，若以 60 分為及格標準，則及格者有 32 人。
11. 承上題，80～90 分有 7 人。
12. 某班學生數學成績的次數分配直方圖如右，則全班共 有 50 人。
13. 承上題，至少 60 分以上有 23 人。
11-5 統計資料分析
算術平均數、中位數與百分等級 1. 算術平均數x X( )：
(1)未分組資料：
設一群數值為x 、1 x 、…、2 x ，則其算術平均數n X 定義為
1 2
1
1 1
( )
n
n i
i
X x x x x
n n =
= + +L+ =
∑
。 (2)已分組資料：設一群具有n個數值的資料，依序分為k組，各組次數為 f 、1 f 、…、2 f ，對應的組中k 點分別為x 、1 x 、…、2 x ，且k f1+ f2+L+ fk =n，則其算術平均數 X 定義為
1 1 2 2
1
1 1
( )
k
k k i i
i
X f x f x f x f x
n n =
= + +L+ =
∑
。 2. 加權平均數(W)：設w 、1 w 、…、2 w 分別為一群數值n x 、1 x 、…、2 x 的權數， n
則這一群數值的加權平均數W 定義為 1 1 2 2 1
1 2
1 n
i i
n n i
n n
i i
w x w x w x w x
W w w w
w
=
=
+ + +
= =
+ + +
∑
∑
L
L 。
3. 中位數(Me)：將一群數值由小而大排列為x1≤x2 ≤L≤xn，則 (1)若 n 為奇數時，中位數 1
2
e n
M =x + （最中間的那一個數）。 (2)若n為偶數時，中位數
2 2 1
1( )
e 2 n n
M x x
= + + （最中間兩個數的平均）。 4. 眾數(M0)：一群數值中出現次數最多的數值，稱為眾數。
5. 百分等級：
當某個資料數值，在整體資料中有 k％ 的資料數值小於或等於它，而且有 (100−k)％ 的資 料數值大於或等於它，我們稱這個資料數值的百分等級為 k ， k 取整數，記作PR=k。
★ 算術平均數、中位數 ★
有 8 位學生的體重分別為：60，73，56，61，
59，62，67，50（公斤），試求：
(1)算術平均數 (2)中位數。
由小到大排列：
50、56、59、60、61、62、67、73 (1)算術平均數
50 56 59 60 61 62 67 73 8
+ + + + + + +
=
=61（公斤）
(2)∵ 8 位學生為偶數
∴ 中位數 60 61 2 60.5
= + = （公斤）
有 9 位學生的數學成績分別為 32，40，60，
50，70，85，46，93，55（分），試求：
(1)算術平均數 (2)中位數。
由小到大排列：
32、40、46、50、55、60、70、85、93 (1)算術平均數
32 40 46 50 55 60 70 85 93 9
+ + + + + + + +
=
=59（分）
(2)∵ 9 位學生為奇數
∴ 中位數=55（分）
★ 算術平均數、中位數 ★
某公司 40 位職員的月薪分配如下表：
月薪（元） 20000 25000 30000 35000 人數 10 10 12 8 試求：(1)算術平均數 (2)中位數。
(1)算術平均數
20000 10 25000 10 30000 12 35000 8 40
× + × + × + ×
= 27250
= （元）
(2)∵ 40 位職員為偶數
∴ 中位數 25000 30000
27500 2
= + = （元）
調查 50 個家庭的子女數分配表如下表：
子女數 0 1 2 3 4 次 數 4 9 28 6 3
試求：(1)算術平均數 (2)中位數。
(1)算術平均數
0 4 1 9 2 28 3 6 4 3 50
× + × + × + × + ×
=
=1.9（人）
(2)∵ 50 個家庭為偶數
∴ 中位數=2（人）
★★ 分組算術平均數 ★★
某公司 20 名員工的年齡分配如下表：
年齡 20～30 30～40 40～50 50～60 60～70
人數 4 9 5 1 1
試求該公司員工的平均年齡。
平均年齡
25 4 35 9 45 5 55 1 65 1 20
× + × + × + × + ×
=
=38（歲）
設 30 位同學的數學成績分配如下表：
成績 40～50 50～60 60～70 70～80 80～90
人數 2 6 9 10 3
試求 30 位同學的平均成績。
平均成績
45 2 55 6 65 9 75 10 85 3 30
× + × + × + × + ×
=
=67（分）
★★ 加權平均數 ★★
某人月考各科成績及每週上課時數如下表：
科目 數學 國文 英文 歷史 地理 時數 3 4 4 2 2 成績 77 82 85 73 85
以上課時數為權數，試求其平均成績。
加權平均數
77 3 82 4 85 4 73 2 85 2 3 4 4 2 2
× + × + × + × + ×
= + + + +
1215 81
= 15 = （分）
某生月考成績及各科學分數資料如下表：
科目 國文 英文 數學 物理 化學 學分 6 4 4 3 3 成績 76 82 70 72 80
以學分數為權數，試求其平均成績。
加權平均數
76 6 82 4 70 4 72 3 80 3 6 4 4 3 3
× + × + × + × + ×
= + + + +
1520 76
= 20 = （分）
