1
1-3 解三角形問題（含三角測量）
1
1-3 解三角形問題（含三角測量）
隨 堂 練 習
3
中，已知 a ，b ，+
，試求 +。1-3.2 三角測量
要測定山的高度，河流的寬度，船舶的遠近，地球與月亮的距離…等，均 為測量問題，在無法實際丈量時，常借助儀器、憑著經驗及三角學的知識，來 求得其結果 。三角測量的特色就是依據測量所得的數據，經由解三角形間接推 算出要度量的對象，而並非直接去度量 。
為了處理有關測量的問題，我們將一些常用的測量名詞簡介如下：
鉛 垂 線： 將一細繩的一端繫一重物（如鉛塊），任其自由下垂，則此細
繩形成一條與水平面垂直的直線，稱為鉛垂線 。通過地心的任 一直線即為鉛垂線 。
水 平 線：與鉛垂線垂直的直線稱為水平線 。
視 線：觀測者的眼睛與觀測物的連線，稱為視線 。
仰角與俯角： 均指視線與水平線的交角，當視線在水平線上方時，稱為仰
角；當視線在水平線下方時，稱為俯角，如圖 所示 。
圖 1-8
1
三角函數的應用
方 位： 利用南北或東西為基準線，所定出路徑或觀測物位置的方向，
稱為方位 。除了東、西、南、北四個主要方位外，還有其他的 方位，如圖 所示 。
圖 1-9
雖然三角測量的對象並不侷限於平面上，空間中的問題也可以處理，但在 此我們只討論平面上的測量問題 。一般解決測量問題的步驟是利用作圖，將它 轉化成處理三角形邊與角的問題 。
小偉在離塔基 公尺處，測得塔頂的仰角為
，試求此塔的高度 。解 如右圖所示： 為塔頂， 為塔基，
設塔高 公尺，
在直角
3
中，+
， ，因為tan
，即tan
， 故tan
， 所以此塔的高度為 公尺 。
隨 堂 練 習
大華在其家門口，觀測到附近一座摩天大樓頂部的仰角為
，已知該 摩天大樓高 公尺，試求大華的家與摩天大樓的直線距離 。例 題
1-3 解三角形問題（含三角測量）
某人在地面上 處測得山峰的仰角為 ，他向著山水平前進 公尺 至 處，再測得山峰的仰角為
，試求山高 。解 如右圖所示： 為山頂， 為山的底部，
設山高 公尺，
在直角
3
中，+，則cot
，即
， 故 公尺，
又在直角
3
中，+
， 則tan
+ ， 即
+ （因為 ），化簡得 +，
移項得 ，故
+，
所以山高為 + 公尺。
例 題
隨 堂 練 習
某人從地面上 處，測得一塔頂的仰角為
，向此塔水平前進 公尺 至 處，再測得塔頂的仰角為
，求此塔的高度 。1
三角函數的應用
設船 在下午 點時，從港口朝東北方向以每小時 浬的速度出發，船
於下午 點時，從同一港口朝南
東的方向以每小時 浬的速度出 發，試求在下午 點時兩船的距離 。解 如右圖所示：
設船 於 點出發，下午 點時到達 點，
又船 也於 點出發，下午 點時到達 點，
在
3
中，+
+
， 又（浬），（浬），
由餘弦定理知：
+ cos
+
，
故得 ，
所以下午 點時兩船的距離為 浬 。
隨 堂 練 習
已知船 在燈塔 之南
西 浬處，船 在燈塔 之南
東 浬 處，試求、 兩船的距離 。例 題
1-3 解三角形問題（含三角測量）
如右圖所示，某人欲測得、 兩點的距離，得資料如下：
公里，+
，+
，試求 。解 如右圖所示：+
，+
，則 +
++
， 由正弦定理知 sin sin ， 又知 ，
即 sin
sin
，故得
sin
sin
，
所以、 兩點的距離為 公里 。
隨 堂 練 習
在 海 岸 上 有、 兩 觀 測 站， 同 時 發 現 海 上 有 一 艘 船 ， 在 測 得 +
，在 測得 +
，已知、 相距 公里，試求船 到 的距離 。例 題
1
三角函數的應用
3
中，已知 a ，b+ ，+
，試解此三角形 。
3
中，已知 +
，+
，b ，試解此三角形 。 有一小孩放風箏，放出 公尺的線，而風箏的仰角為
，試求風箏的 高度 。 某人從 處測得山峰 的仰角為
，往山腳水平前進 公尺至 處，再測得山峰的仰角為
，試求山高 。 一建築物上有一旗桿，旗桿長 公尺，某人於地面上 處測得建築物 頂端的仰角為
，旗桿頂端的仰角為
，試求此建築物的高度 。 有一艦艇由西向東行駛，於 點測得岸邊一燈塔在其北
東，繼續行 駛 浬到 點，再測得該燈塔在其北
東，若此艦艇不改變方向繼 續行駛，試求艦艇與燈塔的最近距離 。《提示》 如右圖所示，設燈塔的位置為，艦艇與 燈塔的最近距離為 （浬）。