第1章(三角函數的應用)

1-1　和差角公式與二倍角公式

第

章

三角函數的應用

1

1

三角函數的應用 設 α、β 為兩個角，透過和差角公式，我們可以將 α+β、αβ 的三角 函數值用α、β 的三角函數值表示出來，這是三角學上的一個重要工具。 另外，解三角形的問題就是藉由三角形的已知角和邊，去求未知的角 和邊 。在探討三角形的邊角關係中，除了利用國中所學過的 、、  等性質及畢氏定理外，正弦定理和餘弦定理是兩個重要而且有效的工 具 。解三角形邊角關係的目的就是用來處理三角測量的問題 。

1-1　和差角公式與二倍角公式

1-1

和差角公式與二倍角公式

1-1.1

和差角公式

當_{α、β 兩個角的三角函數值皆已知時，如何利用它來求 α+β 與 αβ 的三}

角函數值，是本節所要討論的 。

首 先 我 們 來 探 討 _{cosαβ 的 求 法， 由 於 cosicos　i， 亦 即} cosαβcos β  α ，在不失一般性的情況下，我們設βα。在直角坐標平面 上以原點 為圓心的單位圓（即半徑為  的圓），與標準位置角α、β、αβ 的

終邊分別交於點、、，根據任意角三角函數的定義得知，其坐標分別為 cos α  sin α 、cos β  sin β、cos α  β  sin α  β， 又 點 的 坐 標 為 ，如圖  所示 。

因 為 ， 又 ++αβ， 當 αβ



時， 由 性質知：3 與 3 全等，故得  ；當αβ

_

時， 與   的長度均為 ，如圖  所示，同樣可得  。

1

三角函數的應用

由距離公式知：

  cos α cos β _{+sinα sin β } _，

 

_

_{cosα  β }

_

+



sinα  β 



 ， 故得

　　cos α cosβ_{+sinα sinβ}_

_

_{cosα β}

_

₊

_

_{sinα β}

_

_， 整理得

　　cosα cosβsin α sinβcos α β，

亦即cosα β cosαcos β +sinαsin β。 利用上式，我們可得

cosα+ β cosαβ 

　 cosαcosβ +sinαsinβ 

　 cos α cos β +sin α sin β  　 cos α cos β sin α sin β。

cosα + β cos α cos β　sinα sin β

cosα  β cos α cos β+　sinα sin β 餘弦函數的和差角公式

　　　　　cos

_

cos



cos



+sin



sin



。

例

題

試求cos



的值 。

解

　cos

_

cos





_

+

_



cos



cos



sin



sin



                 。

隨 堂 練 習

1-1　和差角公式與二倍角公式

例

題

設 i 為任意角度，試求

cos



+i　cos



+i+　sin



+i　sin



+i 的值。

解

　原式　cos







+i



+i



　cos



 

 。

隨 堂 練 習

試求 cos

_

cos

_

sin



sin



的值 。

接著，利用cosα β cosα cosβ +sinα sinβ 導出正弦函數的和差角公式。 sinα+βcos



r_ α + β 



　 cos





r_ α



β



　 cos



r_ α



　cos β +sin



r_ α



　sinβ 　 sin α cos β +cos α sin β。

利用上式的結果，我們可得 sinα  β sin



α+β 



　 sinαcosβ +cosαsinβ 

　 sin α cos β cos α sin β。

sinα+ β sinαcos β+　　cosαsin β

sinα β sinαcos β　　cosαsin β 正弦函數的和差角公式

1

三角函數的應用

例

題

試求sin



的值 。 解 　sin

_

sin

_

+

_



　 　 sin



cos



+cos



sin



　 　       +        +   。

隨 堂 練 習

試求_sin

_

的值 。

例

題

_{設　 r}  α r  β   r ，又知sin α  ，cos β   ，試求 sinα  β  與 cos α + β  的值。 解 　因為　 r  α  r  β   r ， 　 故知cos a 0，sin β 0， 　 則cosα  sinα  



_



      ， 　 　　　　sinβ　 cosβ  



  



  _{ }  ， 　 所以sin α  β sin α cos β cos α sin β

 _ 



_







 _







_



_， 　 　　　cosα + β cos α cos β sin α sin β

1-1　和差角公式與二倍角公式

隨 堂 練 習

設 _{α 、 β 均為銳角，若 sin α  } ，cosβ  ，試求sinα + β  與cosα  β  的值。 現在，我們利用正、餘弦函數的和角公式來導出正切函數的和角公式如下： tanα + β  sinα + β  cos α + β 

　  sin α cos β +cos α sin β cos α cos β sin α sin β

　 

sin α cos β

cos α cos β + cos α cos βcos α sin β cos α cos β cos α cos β  sin α sin β cos α cos β （分子、分母同除以cosα cos β ） 　  tan α +tan β tan α tan β 。 再利用上式的結果，我們可推得 tan α  β tanα+β  　  tanα+tanβ  tanαtanβ  　  tan α tan β +tan α tan β 。

tanα + β  _tan_　tanα+α tan β　tanβ

tan α  β  _tan₊　tan α tan βα　tanβ 正切函數的和差角公式

1

三角函數的應用

例

題

試求 tan



+tan



tan

_

　tan



的值 。 解 　由正切函數的和角公式知： 　 tan



+tan



tan



　tan



tan



+



tan



　 　　　　　　　　tan

_

+

_

tan

_

。

隨 堂 練 習

試求 tan



tan



+tan

_

　tan



的值 。

例

題

設 α 、 β 均為銳角，若 tan α ，tan β ，試求 tan α + β  的值，並求

出 α + β 。

解

　tan α + β  tan α +tan β tan α tan β  +  ， 　 又 α 、 β 均為銳角，亦即 

_

α 

_

，

_

β 

_

， 　 故得

_

α + β 

_

， 　 但是tan α + β ， 　 即 α + β 為第二象限角， 　 所以 α + β 

_

。

隨 堂 練 習

　設 _{α 、 β 均為銳角，若 tan α  } ，tanβ   ，試求tanα + β  的值， 並求出 α + β 。

1-1　和差角公式與二倍角公式

1-1.2

二倍角公式

利用三角函數的和角公式，我們可以導出二倍角公式如下： sinisini+isini cosi+cosi sinisini cosi。

cosicosi+icosicosisini sinicos_isin

i

cos_{icos}_{icos}_{isin}_{isin}

i。 tanitani+i tani+　tani

　tanitani 

tani 　tani

。

sinisini cosi

cosicos_isin_icos_{isin} i tani tani 　tani 二倍角公式

例

題

設 i 為第四象限角，若cosi _，試求sini、cosi 的值。 解 　因為 i 為第四象限角，故知sini， 　 即sini cosi  



_



  _{ }  ， 　 所以sinisinicosi



 _



 _ _， 　 　　　cosicosi



_



  _ 。

隨 堂 練 習

　設 r_{ ir，若 sini}   ，試求sini、cosi 的值。

1

三角函數的應用

例

題

已知sini+cosi  ，試求sini 的值。 解 　將sini+cosi   兩邊平方，得 　 　sini+sinicosi+cosi _，

　 因為sini+cosi，sinicosisini， 　 故得+sini _， 　 所以sini      。

隨 堂 練 習

已知sinicosi _，試求sini 的值。

例

題

試求sin _{ cos}r _{ cos}r r_ 的值 。

解

　利用sinicosisini。 sin _{ cos}r _{ cos}r r_ 　   



2sin r 16 cos 16r



　cos r    sin r  cos r  　   



2sin r 8 cos r8



  sin r           。

隨 堂 練 習

1-1　和差角公式與二倍角公式

1-1.3

asini+bcosi 的極值

利用和差角公式，我們可以將asini+bcosi 化成 sini+ α  的形式。 設a、b 均不為 ，則 asini+bcosi a+b



a a_+b sini+ b a_+b cosi



。 令 a+b ， 由任意角三角函數的定義知（如圖 所示）： a a+b  a  cos α ， b a+b  b  sin α ， 故得asini+bcosi



a  sini+ b  cosi



sinicos α +cosisin α sini+ α 。 因為#sini+α #， 故得#sini+α #， 亦即 a+b #asini+bcosi# a_+b _。 設_{a、b 均不為 ，i 為任意角度，則}  a+b #asini+bcosi# a_+b asini+bcosi 的 極 值

例

題

設isinicosi+，試求 i 的最大值及最小值。 解 　因為 + #sinicosi# _{+} _， 　 故得#sinicosi#， 　 則+#sinicosi+#+， 　 亦即#　i#， 　 所以_{i 的最大值為 ，最小值為 。} 圖 1-3

1

三角函數的應用

隨 堂 練 習

設isini+cosi，試求 i 的最大值及最小值。

例

題

設，i 為任意角度，若 isini+cosi 的最大值為 ，試求  值 。 解 　因為 _+ _{#sini+cosi# }_+_， 　 又isini+cosi 的最大值為 ， 　 故得 _+ _， 　 亦即+，得 ， 　 但，所以 。

隨 堂 練 習

設_{，i 為任意角度，若 isini+cosi 的最小值為   ，試} 求 值 。

1-1　和差角公式與二倍角公式

　試求下列各三角函數值：

　 坽 sin

_

　　夌 cos

_

　　奅 tan

_

　　設 α、β 均為銳角，若 sinα   ，sinβ   ，試求 sinαβ 的值。 　　設　r  α  r ， r β  r ，又知 sin α  _ ，cos β  _ ，試求 　 cosα + β  的值與 α + β 。 　設tan α 、tan β 為方程式 _{+ 之二根，試求：} 　 坽 tan α + β 　　夌 cosα + β 

　若　 sin_{cos i } i _ ，試求cos i 的值。

　設 r  i   r_ ，且sin i  

 ，試求cos i sin i 的值。

　已知 i 為第三象限角，若sin2 i  _ ，試求_{sin i +cos i 的值。}

　設 i  sini+cosi+，試求 i 的最大值及最小值。

1

三角函數的應用

1-2

正弦與餘弦定理

1-2.1

正弦定理

在

3

 中，我們常以 a、b、 分別表示 +、+、+ 的對邊長 。由於 三角形面積公式有助於正弦定理的證明，因此我們先介紹如下： 設 D 表示

3

 的面積，則 D _ b　sin   a　sin   ab　sin 三角形面積公式 【說明】

3

 依 + 為銳角、直角或鈍角，如圖  所示，有三種情形： 圖 1-4 　　　　　不管哪一種情形，均可自 點作  邊上的高  （當 + 為直角時，    ），則  bsin， 　　　　所以D _   _ bsin _ bsin， 　　　　同理可得D _ a　sin   ab　sin。 　在圖C 中， bsin



bsin。

＊

1-2　正弦與餘弦定理

例

題

3

 中，，   ，+

_

，試求

3

 的面積 。 解 　， a  ， 　 由三角形面積公式知： 　 D _{ asin} _{ }  sin

_

 _{ }   _ （平方單位）。

隨 堂 練 習

已知

3

 中，  ， ，+ r_ ，試求

3

 的面積 。

3

 中，+

_

，， ，+ 的 內 角 平 分 線 交  於 ，試求  的長度 。 解 　利用三角形面積公式：D _{ bsin。} 　 設 的長度為 ， 　 如右圖所示： 　

3

 面積 

3

 面積 +

3

 面積，

　 即 _{  sin}

_

 _{  sin}

_

+ _{ sin}

_

， 　 但是_sin

_

sin



 _ ， 　 所以  +， 　 即+，化簡得 ，得  _  _ ， 　 故得 的長度為_ 。

例

題

1

三角函數的應用

隨 堂 練 習

　

3

 中，+

_

，， ，+ 的內角平分線交  於 ， 試求 的長度 。 　　由三角形面積公式可得 

 bsin  asin  absin。 將上式同時除以 _{ ab，得}

sin

a  sinb  sin ， 即 _{sin }a _{sin }b _sin 。

因為三角形的內角至少有一個是銳角，在不失一般性 的情況下，我們考慮 + 為銳角的

3

，設  為

3

 的外接圓半徑， 為外接圓的圓心，如圖  所示 。 作直徑_{，並連接  。因為 + 和 + 對同弧 ，} 所以 ++，又  為直徑，使得 +

_

。 在

3

 中， sin     a  。 又 ++，故得sin _a ，亦即 _{sin 。}a 因此，我們可得三角形的正弦定理如下：

設 為

3

 的外接圓半徑，則 _{sin }a _{sin }b _{sin 。}

正弦定理

　由正弦定理得知：

3

 中，a：b：sin：sin：sin。

1-2　正弦與餘弦定理 　　　　　已知

3

 的外接圓半徑為 ，若+

_

，則+ 的對邊長度為 。

3

 中，已知 b  ，+，+

_

，試求a。 解 　由正弦定理知： _{sin }a _{sin ，}b 　 即 a sin



   sin

_

， 　 故得a _sin 



sin



  _   _{ 。}

隨 堂 練 習

3

 中，已知 +

_

，a，b  ，試求 + 及 +。

例

題

　

3

 中，已知 +

_

，+

_

，試求a：b：。 解 　因為

3

 的內角和為 

_

，故得 　 +

_

++

_



_



_



_

， 　 由正弦定理知： 　 a：b：sin：sin：sin sin：sin：sin    ：  +   ：     ：  +  ：    ：  +：。

例

題

1

三角函數的應用

隨 堂 練 習

3

 中，已知 +

_

，+

_

，試求a：b：。 　設

3

 中，sin _{ ， ，試求}

3

 的外接圓面積 。 解 　a ，sin _{ ，} 　 由 _{sin ，即}a 　    ，得 ， 　 故得 rr_{r，} 　 所以

3

 的外接圓面積為 r（平方單位）。

隨 堂 練 習

3

 中，+

_

，+　

_

，又   ，試求

3

 的外接圓 半徑 。

例

題

1-2.2

餘弦定理

當三角形的兩邊及其夾角確定時，由 性質知，此夾角所對的邊長也跟 著確定 。餘弦定理就是把夾角所對的邊長，用夾角兩邊的邊長及該夾角的餘弦 所表示出的關係式，現在我們討論說明如下： 在

3

 中， ab+b　cos b+aa　cos 餘弦定理

1-2　正弦與餘弦定理 【說明】

3

 依 + 為銳角、直角或鈍角，如圖  所示，有三種情形： 圖 1-6 　　　　不管哪一種情形，均可自 點作  邊上的高  。 　　　　在圖A 中，bcos，  bsin。 　　　　在圖B 中，因為  ，且 +



，故得 bcos，   bbsin。 　　　　在圖C 中，++bcos



bcos，  bsin



bsin。 　　　　因此，任何一種情形均有bcos， bsin。 　　　　在直角

3

 中，由畢氏定理知： 　　　　a + bsin_{+bcos}

bsin_+_{bcos+b}_cos_ bsin_+cos_+_{bcos} b+bcos。

　　　　同理可得b+aacos，a+babcos。 　　

3

 中，當 + 為直角時，cos，此時，餘弦定理中的

ab+bcos，就變成畢氏定理的 a_b_+_{。由此可知：畢} 氏定理是餘弦定理的特殊情況，而餘弦定理則為畢氏定理的推廣 。

1

三角函數的應用 　

3

 中，a，，+

_

，試求b。 解 　由餘弦定理知： 　 b+aacos +cos



+ _ ， 　 故得b  。

隨 堂 練 習

3

 中，  ， ，+

_

，試求 長 。

例

題

在

3

 中，因為 ab+bcos， 則bcosb_+_a_{，即cos} b+a

b 。 因此，我們也可以把餘弦定理寫成 在

3

 中， cos b+_ba cos +a_ab cos　 a  +b 餘弦定理

1-2　正弦與餘弦定理 　已知

3

 中，a，b，，試求 +。 解 　由餘弦定理知： 　 cos　 a  +b ab    +   _  _ ， 　 故得 +　

_

。

隨 堂 練 習

　

3

 中，若 a，b，，試求cos 的值。

例

題

　已知

3

 中，sin：sin：sin：：，試求 cos 的值。 解 　因為a：b：sin：sin：sin， 　 又知_{sin：sin：sin：：，} 　 即a：b：：：， 　 故設a，b，（其中  為正數）， 　 因此可得 　 cos b _+_a b  +         。

隨 堂 練 習

　已知

3

 中，sin：sin：sin　：：，試求 +。

例

題

1

三角函數的應用 　

3

 中，若 a+b+a+bab，試求 +。 解 　已知a+b+a+bab， 　 則a+bab， 　 展開得a+ab+bab， 　 即a+bab， 　 又cos　 a  +b ab  abab   ， 　 故得 +　

_

。

隨 堂 練 習

在

3

 中，ab  b，試求 +。

例

題

1-2.3

海龍公式

利用 節中的三角形面積公式及餘弦定理，我們可以導出只用三個邊長 來表示的三角形面積公式，這就是著名的海龍公式：D _{ab}， 其中   a+b+（即  為三角形周長之半），它是由古希臘數學家海龍 （_{Heron of Alexandria，西元  ∼  年）利用平面幾何知識導出的。} 由三角形面積公式知，

3

 的面積 D _ b　sin， 則 D   b __sin_{ }  b __cos_{ }  b __{+coscos。} 由餘弦定理知cos b _+_a b ， 故得+cos+ b+_ba  b+b _+_a b  b+b+a b

1-2　正弦與餘弦定理

　　cos b+_ba  bb+a

b  abb+ b  ab b  a+bab+b 。 即 D   b __{ b++ab+a} b  a+bab+b    a+b+b+a+aba+b。 令 _ a+b+（即三角形周長之半），則 　　a+b+，b+aa， 　　+abb，a+b。 故得 Dab， 即 D ab 。

3

 中，設  _ a+b+，則

3

 的面積 D ab 海龍公式（_{Heron 公式）}

隨 堂 練 習

　已知

3

 中，， ， ，試求

3

 的面積 。 解 　a ，b ，， 　  a+b+_  ++_ ， 　 由海龍公式知： 　 3 的面積  ab       （平方單位）。

例

題

1

三角函數的應用 接著，我們再介紹兩個與三角形的內切圓半徑及外接圓半徑有關的面積公 式 。 設 為

3

 的內切圓半徑，又內切圓的圓心為 ，如圖  所示 。 圖 1-7

3

 的面積 

3

 的面積 +

3

 的面積 +

3

 的面積  _ a+ _ b+ _   _ a+b+ （因為  a+b+_ ）。 另外，若 為

3

 的外接圓半徑，由正弦定理知 _{sin ，故得}a sin _{ 。}a 再由面積公式知，

3

 的面積

Δ

 _ bsin _ b _a  ab_ 。 整理敘述如下： 設、 分別為

3

 的內切圓半徑與外接圓半徑，則

3

 的面積 D ab_ （其中 a+b+_ ） 公 式 　　　　　已知

3

 的周長為 ，內切圓半徑為 ，則

3

 的面積為 

1-2　正弦與餘弦定理 　

3

 中，已知 ， ， ，試求： 坽

3

 的內切圓半徑　 夌

3

 的外接圓半徑 解 　a ，b ，， 　  _ a+b+ _ ++， 　 由海龍公式知： 　 3 的面積  ab         。 　 坽 利用 D， 　 　 故得   ， 　 　 即         ， 　 　 所以 　

3

 的內切圓半徑為 _ 。 　 夌 利用 D ab_ ， 　 　 故得    _ ， 　 　 即             ， 　 　 所以 　

3

 的外接圓半徑為   。

隨 堂 練 習

3

 中，已知 ， ， ，試求： 坽

3

 的內切圓半徑　 夌

3

 的外接圓半徑

例

題

1

三角函數的應用 　　已 知

3

 中，+

_

，  ， ， 試 求

3

 的 面 積 及  的長 。 　　

3

 中，a，b，，試求 + 的度數 。 　　

3

 中，a，b，，試求cos 的值。 　

3

 中，+

_

，a  ，b，試求其餘兩角 。 　已知

3

 中，cos _ ，又 ，試求

3

 的外接圓半徑 。 　　如右圖所示，圓內接四邊形 中， ，又 +

_

，+

_

，試求 邊長 。 　　如右圖所示，四邊形 中，， ，  ，，又 +

_

，試求此四邊形的 面積 。 　

3

 中，， ， ，試求： 　 坽

3

 的面積　　夌

3

 的內切圓半徑　　 　 奅

3

 的外接圓半徑

習 題

1-2

1-3　解三角形問題（含三角測量）

1-3

解三角形問題（含三角測量）

一個三角形是由三個內角與三個邊長所構成，稱為三角形的六個要素 。已 知三角形的三個要素（其中至少包含有一個邊長），求得剩餘要素的過程，稱為 解三角形 。

1-3.1

三角形的解法

我們在解三角形時，除了可以利用國中時所學過的一些平面幾何知識外， 更少不了正弦定理和餘弦定理的應用 。一個三角形若已知兩邊及其夾角、兩角 及一邊或三邊的大小，依據、（或  ）、 的全等性質，則其餘的 邊和角的大小也隨之確定 。在各種不同條件下，現在分別敘述其三角形之解法 如下： 　已知三角形的兩邊及其夾角（  型） 　 先利用餘弦定理求出第三邊，再利用正弦定理或餘弦定理求出另外兩個角 。

例

題

3

 中，已知 +

_

，b，  +，試解此三角形 。 解 　已知三角形的兩邊b、 及其夾角 +， 　 利用餘弦定理先求出第三邊a， 　 ab+bcos +  +  +cos



++    + _ ++    ， 　 即a  ， 　 再利用正弦定理： 　 _{sin }a _{sin ，即}b  sin  sin ， 　 得sin  sin  ，

1

三角函數的應用 　 故知 + 必為銳角，所以 +

_

， 　 由於 +++++　

_

， 　 所以 +　

_

++

_



_



_



_

， 　 故得a  ，+

_

，+　。

隨 堂 練 習

3

 中，已知 a  ，b，+　

_

，試解此三角形 。 　已知三角形的兩角及一邊（  型或  型） 　 　利用三角形三個內角和為

_

（即

3

 中，+++++

_

）的關 係，先求出第三個角，再利用正弦定理求出其餘兩邊 。 　　　　　已知三角形的兩邊及其夾角，或三角形的兩角及一邊，均可確定唯 一的一個三角形 。 　

3

 中，已知 a，+

_

，+

_

，試解此三角形 。 解 　因為 +++++

_

， 　 所以 +++

_



_



_



_

， 　 又由正弦定理知 _{sin }a _{sin }b _{sin ，}

　 故得  sin

_

 sinb



  sin

_

， 　 則b sin



sin



  _     ，  sin



sin



 



 + _



   +，

例

題

1-3　解三角形問題（含三角測量）

隨 堂 練 習

　

3

 中，已知 +

_

，+

_

，b，試解此三角形 。 　已知三角形的三邊（  型） 　 　利用餘弦定理先求出一個角，再利用正弦定理及三角形三個內角和為

_

的 關係求其餘的角 。 　　已知三角形的三邊解三角形時，也可以直接利用餘弦定理分別求出三 個角 。 　　　　　構成三角形的三邊長，任兩邊長的和必須大於第三邊的長 。

3

 中，已知 a，b  ，  +，試求此三角形三個內角的 度量 。 解 　已知三角形的三邊長， 　 由餘弦定理知： 　 cos b _+_a b     +  +     +  ++  +     +    +     +    ， 　 故得 +   

_

， 　 由正弦定理知 _{sin }a _{sin ，}b  _  _sin  sin



_      

例

題

1

三角函數的應用

隨 堂 練 習

3

 中，已知 a  ，b，  ，試求其各內角的度量 。 　 但ba，可推得 ++，故得 +

_

， 　 而 +　

_

++

_



_



_



_

， 　 所以 +

_

，+

_

，+　

_

。 　已知三角形的兩邊及其中一邊的對角（不確定型） 另外，已知三角形的兩邊及其中一邊的對角時，因為在平面幾何中，並無  的全等性質，因此無法確定有唯一的一個三角形（可能無解、有一解或兩 解）。針對這種不確定型三角形的解法，我們可以利用正弦定理，以實例說明如 下 。 　

3

 中，已知 a，b  ，+

_

，試解此三角形 。 解 　已知三角形的兩邊a、b 及 b 邊的對角 +， 　 由正弦定理知 _{sin }a _{sin ，}b

　 故得sin asin_b  sin



    _      ， 　 但ab，可推得 ++，即 +

_

， +　

_

++

_



_



_



_

， 　 又 _{sin }a _{sin ，即}  sin

_

 sin

_

， 　 故得sin_sin





    _           ，

例

題

1-3　解三角形問題（含三角測量）

隨 堂 練 習

　

3

 中，已知 a  ，b  ，+

_

，試求 +。

1-3.2

三角測量

要測定山的高度，河流的寬度，船舶的遠近，地球與月亮的距離…等，均 為測量問題，在無法實際丈量時，常借助儀器、憑著經驗及三角學的知識，來 求得其結果 。三角測量的特色就是依據測量所得的數據，經由解三角形間接推 算出要度量的對象，而並非直接去度量 。 為了處理有關測量的問題，我們將一些常用的測量名詞簡介如下： 　鉛　垂　線：　將一細繩的一端繫一重物（如鉛塊），任其自由下垂，則此細 繩形成一條與水平面垂直的直線，稱為鉛垂線 。通過地心的任 一直線即為鉛垂線 。 　水　平　線：與鉛垂線垂直的直線稱為水平線 。 　視　　　線：觀測者的眼睛與觀測物的連線，稱為視線 。 　仰角與俯角：　均指視線與水平線的交角，當視線在水平線上方時，稱為仰 角；當視線在水平線下方時，稱為俯角，如圖 所示 。 圖 1-8

1

三角函數的應用 　方　　　位：　利用南北或東西為基準線，所定出路徑或觀測物位置的方向， 稱為方位 。除了東、西、南、北四個主要方位外，還有其他的 方位，如圖 所示 。 圖 1-9 雖然三角測量的對象並不侷限於平面上，空間中的問題也可以處理，但在 此我們只討論平面上的測量問題 。一般解決測量問題的步驟是利用作圖，將它 轉化成處理三角形邊與角的問題 。 　小偉在離塔基 公尺處，測得塔頂的仰角為 

_

，試求此塔的高度 。 解 　如右圖所示： 為塔頂， 為塔基， 　 設塔高 公尺， 　 在直角

3

 中，+

_

， 　， 　 因為tan　   ，即tan   ， 　 故tan

_

     ， 　 所以此塔的高度為  公尺 。

隨 堂 練 習

大華在其家門口，觀測到附近一座摩天大樓頂部的仰角為

_

，已知該 摩天大樓高 公尺，試求大華的家與摩天大樓的直線距離 。

例

題

1-3　解三角形問題（含三角測量） 　某人在地面上 處測得山峰的仰角為 ，他向著山水平前進  公尺 至 處，再測得山峰的仰角為 

_

，試求山高 。 解 　如右圖所示： 為山頂， 為山的底部， 　 設山高  公尺， 　 在直角

3

 中，+， 　 則cot    ，即    ， 　 故 公尺， 　 又在直角

3

 中，+

_

， 　 則_{tan}       +  ， 　 即     + （因為 ），化簡得  +， 　 移項得  ，故       +， 　 所以山高為  + 公尺。

例

題

隨 堂 練 習

某人從地面上 處，測得一塔頂的仰角為 

_

，向此塔水平前進 公尺 至 處，再測得塔頂的仰角為 

_

，求此塔的高度 。

1

三角函數的應用 設船 在下午  點時，從港口朝東北方向以每小時  浬的速度出發，船  於下午  點時，從同一港口朝南 

_

東的方向以每小時 浬的速度出 發，試求在下午 點時兩船的距離 。 解 　如右圖所示： 　 設船 於  點出發，下午  點時到達  點， 　 又船 也於  點出發，下午  點時到達  點， 　 在

3

 中， 　 +

_

+

_



_



_

， 　 又（浬）， 　 　　（浬）， 　 由餘弦定理知： 　 　  　  +　  cos + _ ， 　 故得    ， 　 所以下午 點時兩船的距離為   浬 。

隨 堂 練 習

已知船 在燈塔  之南 

_

西 浬處，船  在燈塔  之南 

_

東 浬 處，試求、 兩船的距離 。

例

題

1-3　解三角形問題（含三角測量） 如右圖所示，某人欲測得、 兩點的距離，得資料如下：   公里，+

_

，+

_

，試求 。 解 　如右圖所示：+

_

，+　

_

， 　 則 +

_

++

_



_



_



_

， 　 由正弦定理知 _{sin  sin ，} 　 又知  ， 　 即   sin

_

 sin

_

， 　 故得 　   sin

_

sin      _ ， 　 所以、 兩點的距離為  公里 。

隨 堂 練 習

　在 海 岸 上 有、 兩 觀 測 站， 同 時 發 現 海 上 有 一 艘 船 ， 在  測 得 +

_

，在 測得 +

_

，已知、 相距  公里，試求船  到 的距離 。

例

題

1

三角函數的應用 　

3

 中，已知 a  ，b+  ，+　

_

，試解此三角形 。 　　

3

 中，已知 +

_

，+

_

，b  ，試解此三角形 。 　　有一小孩放風箏，放出 公尺的線，而風箏的仰角為 

_

，試求風箏的 高度 。 　　某人從 處測得山峰  的仰角為 

_

，往山腳水平前進  公尺至  處，再測得山峰的仰角為

_

，試求山高 。 　　一建築物上有一旗桿，旗桿長 公尺，某人於地面上  處測得建築物 頂端的仰角為

_

，旗桿頂端的仰角為

_

，試求此建築物的高度 。 　　有一艦艇由西向東行駛，於 點測得岸邊一燈塔在其北 

_

東，繼續行 駛 浬到  點，再測得該燈塔在其北 

_

東，若此艦艇不改變方向繼 續行駛，試求艦艇與燈塔的最近距離 。 《提示》　如右圖所示，設燈塔的位置為，艦艇與 燈塔的最近距離為 （浬）。

習 題

1-3

三角函數的應用

1-1

重點

　和差角公式：

正弦函數 　sinα + β sin α cos β +

　cosα sin β

　sin α  β sin α cos β 　cosα sin β

餘弦函數 　cos α + β cos α cos β 

　sin α sin β

　cosα  β cos α cos β +　sin α sin β

正切函數 　tanα + β  tan α + 　tan β 　tan α tan β 　tan α  β  tan α  　tan β +　tan α tan β 　特別角  及  的三角函數值： 　　角度 函數 　　 15



 r 12  75



  r12  sin      +   cos  +       tan   +  　二倍角公式： 　 坽 　sinisini cosi。

　 夌 　cosicosisinicosisini。

　 奅 　tani tani 　tani

1

三角函數的應用

　　asini+bcosi 的極值：（ a、b 均不為 ，i 為任意角度）

　  a_+b _{#asini+bcosi # a}_+b _。

1-2

重點 　三角形面積公式：在

3

 中， 　 D   bsin   asin   absin。 　正弦定理：在

3

 中， 　 a

sin  sinb  sin （其中  為

3

 之外接圓半徑）， 　 即a：b：sin：sin：sin。

　餘弦定理：在

3

 中，

　 ab+bcos，即 cos b

_+_a b 。 　 b+aacos，即 cos +a_ab 。 　 a+babcos，即 cos a+b_ab 。

　海龍公式（Heron 公式）： 　

3

 中，設  

 a+b+，則

3

 的面積 　 D ab 。

三角函數的應用 　設 、 分別為

3

 的內切圓半徑與外接圓半徑，則

3

 的面積 　 D ab  （其中 a+b+  ）。

1-3

重點 　確定型三角形的解法： 　 坽 　已知三角形的兩邊及其夾角：（  型） 　 　 　先利用餘弦定理求出第三邊，再利用正弦定理或餘弦定理求出另外兩個 角 。 　 夌 　已知三角形的兩角及一邊：（  型或  型） 　 　 　利用三角形內角和為

_

的關係，先求出第三個角，再利用正弦定理求 出其餘兩邊 。 　 奅 　已知三角形的三邊：（  型） 　 　 　利用餘弦定理先求出一個角，再利用正弦定理及三角形內角和為

_

的 關係求其餘各角 。 　 　 《註》亦可直接利用餘弦定理分別求出三個角 。 　 　不確定型三角形的解法：（已知三角形的兩邊及其中一邊的對角） 　 　在平面幾何中，並無 的全等性質，因此無法確定有唯一的一個三角形 （可能無解、有一解或兩解）。一般先利用正弦定理求出另一個角，再利用三 角形三內角和為

_

的關係及正、餘弦定理來求其餘的邊及角 。 三角函數的應用

1

三角函數的應用 　三角測量術語： 　 坽 　鉛垂線：通過地心的任一直線（即與地平面垂直的直線）。 　 夌 　　水平線：與鉛垂線垂直的直線 。 　 奅 　視線：觀測者的眼睛與觀測物的連線 。 　 妵 　仰角與俯角：　均指視線與水平線的交角，當視線在水平線上方時，稱為 仰角；當視線在水平線下方時，稱為俯角 。 　 妺 　方位：利用南北或東西為基準線，所定出路徑或觀測物的方向 。 圖 1-10 　三角測量：將所欲求解的測量問題作圖，轉化成處理三角形邊與角的問題 。

三角函數的應用 （　 ）_{　設 i 為任意角度，則cos}



 r  + i



cos



 r  + i



　 　

+sin



 r  + i



sin



 r  + i



的值為　酎   　酏   　釕    　 　 　 釢 。　 【1-1】 （　 ）　設 r  α  r ，  r  β  r ，若 sin α   ，cos β   ，則 　 　 sin α  β 　酎  　酏  　釕   　釢    。　 【1-1】 （　 ）　如 右 圖 所 示， 矩 形 ， ， 點 、  在  上，且  ，若 +α ， +β ，則 tan α  β 　酎  　酏   　 　 　 釕   　釢   。　 【1-1】 （　 ）　設 α + β  r  ，則 +tan α +tan β  的值為　　酎 　酏 　釕 　 釢 。　 【1-1】 《提示》_{tan( α + β )tan} r  ，即 tan α +tan β tan α tan β ， 　　　　故得tan α +tan β tan α tan β 。

（　 ）　已知sin i    ，則sin i cos i   _{的值為　 酎}   　酏 　釕   　 釢   。　 【1-1】 （　 ）　若sin_{i cos} i    ，則cos i 的值為　酎   　酏    　 　 　 釕 _ 　釢  _ 。　 【1-1】

《提示》sin_{i cos}_{i sin}_{i +cos}_{i sin}_{i cos} i 

1

三角函數的應用 （　 ）　設 r  i   r  ，若sin i   ，則tan i 的值為　酎   　 　 　 酏    　釕  　釢   。　 【1-1】 （　 ）　設　 r   i  r ，若 sin i    ，則sin i +cos i 的值為　酎    　 　 酏   　釕   　釢   。　 【1-1】 （　 ）　設  i   sin i cos i  的最大值為 ，最小值為 ，則 　 　 　酎 　酏 　釕 　釢 。　 【1-1】 （　 ）　

3

 中，若 b，，+

_

，則a　酎  　酏  　 　 釕  　釢   。　 【1-2】 （　 ）　

3

 中，若　 

sin  sin  sin ，則 +　　酎 



　 酏 



　

釕 

_

　釢 

_

。　 【1-2】 （　 ）　

3

 中，+

_

，+

_

，又b，，則

3

 的面積為　 　 　 酎   　酏   　釕   　釢   。　 【1-2】 （　 ）　

3

 中，a+ab+b，則 +　酎 

_

　酏 

_

　釕 

_

　 　 釢 

_

。　 【1-2】 （　 ）　

3

 的外接圓半徑為 ，又知  ，則sin 的值為　酎 _ 　 　 　 酏   　釕   　釢   。　 【1-2】 （　 ）　已知三角形的三邊長為、、，最大內角為 i ，則cos i 　酎   　 　 酏   　釕   　釢   。　 【1-2】 （　 ）　

3

 中，a，b，，則

3

 的面積為　酎   　 　 酏   　釕   　釢   。　 【1-2】

三角函數的應用 （　 ）　承上題，

3

 的內切圓半徑為　酎   　酏  　釕  　 　 　 釢  。　 【1-2】 （　 ）　已知

3

 中，，+

_

，+

_

，則  　 　 酎   　酏   　釕   　釢   。　 【1-3】 （　 ）　

3

 中，已知 a，b  ，+

_

，則 +　酎 

_

　酏 

_

　 　 釕 

_

　釢 

_

。　 【1-3】 （　 ）　

3

 中，若 a，b，+

_

，則　酎   　 　 　 酏 +

_

　釕 +

_

　釢

3

 不存在 。　 【1-3】 （　 ）　

3

 中，+

_

，+

_

，b，則 　酎   　 　 酏   　釕   　釢   。　 【1-3】 （　 ）　

3

 中，b，若 a  ，b，+

_

，則 +　酎 

_

　 　 　 酏 

_

　釕 

_

　釢 

_

。　 【1-3】 （　 ） 一 樹 生 於 高  公 尺 的 山 頂 上， 自 平 地 上 一 點 測 得 樹 頂 的 仰 角 為 

_

，山頂的仰角為

_

，則此樹高為　酎   　 　 　 酏   +　釕   　釢   　公尺 。　 【1-3】 （　 ） 某甲在平地上看一旗桿桿頂的仰角為 

_

，今某甲朝旗桿的方向水平 前進 公尺後，再看同一旗桿桿頂的仰角為 

_

，則此時某甲與旗 桿間的距離為　酎 　酏 　釕 　釢  　公尺 。　 【1-3】 （　 ） 在高  公尺的山頂，依同一方向測得地面上 、 兩處的俯角分別 為

_

及

_

，則、 的距離為　酎   　　酏   +　 　 　 釕   　釢 +  　公尺 。　 【1-3】 三角函數的應用

1