1-4 圓錐曲線與直線的關係

Ex141.求橢圓 ₉^x2₁₆^y2=1 在直線 L：x–y+5=0 上之正射影長度？Ans： ^{5 2}

Ex142.設 P 為橢圓 ^{4 x29 y2−8 x −32= 0} 圖形上之點，平面上二點 A(3，4)，B(5，2)，則△ABP 的最大面積為？Ans： ^{6 13} 3.給曲線外一點 P 求切線

(1)利用已知斜率 m 之切線公式假設切線方程式，再代入點 P 解 m(有兩解) (2)設切線斜率 m 之點斜式，用與聯立方程式之判別式 D=0 求 m(有兩解) 4.漸近線對切線的影響(設漸近線 ^{L L1, 2} )

(1) P ∈L1 ， P ∉L₂ 僅一切線 (2) P ∉L1 ， P ∈L₂ 僅一切線 (3) P ∈L1∩L₂ 無切線

5.當曲線外一點 P 求雙曲線切線，原應有二解，若解出 m 值僅一解，

有可能是漏一解(鉛垂線的影響)，亦有可能僅一解(漸近線的影響)

Ex143.過 A(10，5)與 ^{x24 y2=180} 相切的直線方程式 Ans：x+4y=30 或 x+y=15

Ex144.過 A(2，1)與 ^x2−y2=4 相切的直線方程式 Ans：x=2 或 5x-4y=6

Ex145.過 A(1，-3)與 ^{y = x22 x 3} 相切的直線方程式 Ans：10x-y=13 或 2x+y+1=0

三、圓錐曲線的光學性質

(1)圓錐曲線上任一點 T 的兩條焦半徑 TF , TF ' 與通過 T 點的切線夾等角 橢圓(內角平分線=法線)、雙曲線(內角平分線=切線)

(2)拋物線上任一點 T 的焦半徑 TF , TF ' (過 T 平行於對稱軸的射線) 與拋物線在 T 點的切線夾相等的角度。(內角平分線=法線)

Ex146.設 F1與 F2為橢圓 ₃₂^x2 ＋ ₁₈^y2 ＝1 之二焦點﹐若點 A 之坐標為(4，－3)﹐ 試求F1AF2之角平分線之直線方程式 Ans：4x＋3y－7＝0

Ex147.設

F

−y²=1 的兩個焦點，且

P −4,1

求FPF之角平分線方程式？Ans：2x+y=4

Ex149.如圖，設一光線沿著 y＝2 的直線進行﹐在拋物線 y²＝2x 上之二點 P﹐Q 反

射，則 PQ ＝？Ans： ²⁵

8

四、二元二次方程式與圓錐截痕

1.二元二次方程式 ^{Ax2BxyCy2DxEyF0} 之圖形

(小判別式)δ= ^B24AC 、(大判別式) =△

2 2

2 A B D B C E D E F

δ 負：橢圓系列。δ 零：拋物線系列。δ 正：雙曲線系列。

△≠0 △=0

2 4 0

B  AC 雙曲線 二相交直線

2 4 0

B  AC 拋物線 二平行線、二重合線、 ^

2 4 0

B  AC (A <0)△ 橢圓(圓)；(A >0)△ ^ 一點 (1)橢圓系列：橢圓、圓、一點、無圖

(2)拋物線系列：拋物線、二平行線、二重合線(一直線)、無圖 (3)雙曲線系列：雙曲線、相交一點之二直線(漸近線)

2.圓錐截痕：直圓錐面與一平面之相交情形(缺二平行線 與無圖 ) (1)圓、一點

(2)橢圓、一點 (3)拋物線、一直線

(4)雙曲線、相交一點之二直線

Ex150.試判別下列各方程式的圖形：

(1) ^{x22 y2}2 x − 8 y  9 = 0 Ans：一點(-1,2) (2) ^{2 x2y2−}4 x 2y  5= 0 Ans：無圖形

(3) ^{9 x2−}12 xy  4 y²−6 x  4 y − 3 = 0 Ans：二平行線

(4) ^{x24xy  4 y2}4 x  8 y  4 = 0 Ans：一直線(二重合線)

(5) ^{4 x2−4xy  y2}4 x − 2 y  2 = 0 Ans：無圖形

(6)

5  ^{ x−2}

^{ y3}

⁼  ^{3 x4 y6}

Ex151.若 6x²－xy－y²＋ax＋by＋c＝0 表交於一點(1，2)的二條直線﹐則 (1)c＝0(2)a＝10(3)b＝5(4)a＝－2b(5)二直線所夾銳角為 45°Ans：1345

Ex152.若 8x²＋2xy－3y²＋14x＋8y＋k＝0 之圖形為二相交直線，

(1)k 之值＝？(2)若此二直線之交角為﹐則 sin＝？Ans：(1)3,(2) ²₅

Ex153.設一直圓柱底面半徑為 5 公分﹐今有一平面與此直圓柱的底面成 30°夾角﹐

而將直圓柱截出一橢圓﹐則此橢圓的正焦弦長為？Ans： ^{5 3}

Ex154.已知拋物線的方程式為 y=(x+1)²+1，且直線方程式 y=2x+2 與相切。設 L 為斜率等於 2 的直線，若 L 與有二個交點，則 L 上任一點 P(x，y)滿足下列那個 關係式？(A)y>(x+1)²+1(B)y<(x+1)²+1(C)y=(x+1)²+1(D)y>2x+2(E)y<2x+2Ans：

D

Ex155.適當選取數對(h，k)可使拋物線 y=x²+hx+h–k²與 x 軸相切或無交點。設 D 為 所有此種數對(h，k)在平面上所對應的點所構成的區域。試問區域 D 的邊界是何種 圖形？(A)圓(B)橢圓(C)拋物線(D)雙曲線(E)兩條直線。

Ans：B

Ex156.在坐標平面上，請問下列那些直線與雙曲線 ₂₅^x2−₄^y2=1 不相交？

(A)5y=2x(B)5y=3x(C)5y=2x+1(D)5y=2x(E)y=100Ans：ABD

Ex157.過 A(1，2)作直線，與拋物線 y= ¹₅ x²交於兩點 P、Q，若POQ 為直角，求 直線 ^PQ 之方程式。Ans： ^3xy5

Ex158.設拋物線 y=ax²+bx+c 與直線 ^{7xy80} 相切於點(2，6)，而且與直線 x–

y+1=0 相切。試求 a，b，c 之值。Ans：a=3， ^{b 5} ，c=4

Ex159.設橢圓 4﹕ x²＋9y²＝36 的焦點為 F1﹑F2﹐ 上一點 P 為切點的切線為 L﹐

自 F1﹑F2分別作 L 之垂線﹐垂足依序為 E1﹑E2﹐若∠F1PF2＝60°，求梯形

(1)點 F(2，4)、線 L﹕x＋2＝0，d(P，F)：d(P，L)=1：1 (2)點 F(2，0)、線 L﹕x＝－ ¹⁰₃ ，d(P，F)：d(P，L)=3：5 (3)點 F(3，1)、線 L﹕ y－1＝0，d(P，F)：d(P，L)=2：2 ^3 Ans： ^{(y4)28x} ； ^{( 5)2 2} 1

25 16

x y  ； ^{( 3)2 ( 1)2} 1

1 3

x y

  

Ex161.點 A(4，0)﹐B(10，0)﹐圓 C﹕x²＋y²＝64﹐直線 L﹕x＋12＝0﹐求 (1)與直線 L 相切且與圓 C 外切的圓之圓心軌跡方程式﹒Ans：y²=40(x+10) (2)過 A 且與圓 C 相切之動圓圓心的軌跡方程式﹒Ans： ^{( 2)2 2 1}

16 12

x y

 

(3)過 B 且與圓 C 相切之動圓圓心的軌跡方程式﹒Ans： ^(x₁₆^{5)2 y}₉^{2 1}

Ex162.求 ₁₆^x2₉^y2=1 與 ₃₂^x2−₇^y2=1 的公切線方程式為何？Ans：y=±x±5

Ex163.求二拋物線 ^y24x ， ^x22y3 的公切線。Ans： ^{y= x1or y=−2x−1}₂

Ex164.二拋物線 y=x²+3x3，y=x²+x+1 的交點為 A、B，求 AB 直線方程式 Ans：y=2x-1

Ex165.橢圓： ^{x  }₃^{2 y}₆^{2 1} ，

(1)求過橢圓上一點 P(1，–2)之切線方程式 Ans：x-y=3 (2)求斜率為 5 且與橢圓相切之直線方程式 Ans：y=5x±9 (3)求在直線 x+5y–8=0 上之投影長 Ans： ^{9 26}

13

(4)求過橢圓外一點 Q(2，1)之切線方程式 Ans：(y-1)=5(x-2)或(y-1)=-1(x-2) (5)由 Q(2，1)對橢圓作兩切線，求兩切點連線之直線方程式 Ans：4x+y=6 Ex166.若拋物線 y=ax²+bx 與二直線 x–y=1 及 5x–y=1 都相切，求 a，b。

Ans：a=1，b=3

Ex167.設 H： _a^x22−y²

b²=1 為一雙曲線，其中 a，b 均為正數，設 0<</2，則 H 上

以 ^{asec , btan} 為切點的切線，其斜率為何？此切線與 H 的兩漸近線相交而圍成

一三角形，其面積為何？Ans： ^b_a csc；ab

Ex168.求： ₃^x2−₂^y2=1 在點(3，-2)的切線方程式。Ans：x+y–1=0

Ex169.設拋物線 ^{y =ax2bx  c} 過點(1，1)，且與直線 y=2x-2 相切於點(2，2)，求 數對(a，b，c)=？Ans：(1，-2，2)

Ex170.拋物線之頂點(2，2)，準線 x=1。L 為過點(0，3)之直線，其斜率大於 0，

且 L 與有唯一的交點 Q。求 L 斜率及 Q 點坐標。Ans： ¹₂ ，(6，6)

Ex171.求垂直於 x–2y=0 且與： ^x₈^{2 (y}₇^{1)2 1} 相切之直線方程式。

Ans：2x+y–4=0 或 2x+y+6=0

Ex172.設(a，b)為橢圓 ^x₄^2y₉²⁼¹ 上之一點，

試求 2a–b 之最大值與相對應的(a，b)Ans：Max=5，( ⁸₅ ， ₅^9 )

Ex173.橢圓： ^₃^{x −1 2}₉^y2=1 ：

(1)求斜率為 3 之切線方程式？Ans：y=3x+3，y=3x–9 (2)求在直線 x+3y+10=0 上之投影長？Ans： ¹²_10

Ex174.直線 y=2x+1 與橢圓 ₂^x2₈^y2=1 相交於 A，B 兩點，求 ^AB 線段長？Ans：

5



2

Ex175.設直線 y=2x+k 與拋物線 ^{y= x2−7x10} 相交於 P，Q 兩點，且 ^{PQ =5} ， 則 k=？Ans：–9

Ex176.設過 P( ¹₃^,2₃ )的直線與雙曲線 x²–y²=1 相交於兩點 M，N，且 P 為線段 ^MN 的中點，求(1)直線 ^MN 的方程式。(2)弦 ^MN 的長。Ans：x–2y+1=0， ₃⁴

^

Ex177.設拋物線 y=x²–3x+k 與直線 y=3x–1 交於 A、B 兩點，且 ^{AB = 45} ， 則(1)k=？(2)此拋物線之焦點坐標為何？Ans：6，( ³₂ ，4)

在直線 x＋y＝3 上，則 k 的值等於多少？Ans：11

Ex179.若 t(x²＋y²－2)＋(x²－3y²+2)＝0 表一雙曲線﹐求實數 t 之範圍？

Ans：-1<t<3,t≠1

Ex180.設 F1﹑F²為雙曲線 ₁₆^x2 － ₄^y2 ＝1 之兩焦點﹐P( ^{4 2} ，2)為其上一點，

求F1PF2之角平分線方程式？Ans： ^2x2y4

Ex181.若 F、F為橢圓： ^{x  }₃^{2 y}₆^{2 1} 之兩焦點，P(1，2)為上一點，

求FPF之角平分線方程式 Ans：x-y+1=0

Ex182.設點 PΓ： ^x24y24 ，L 是過 P 之切線，從焦點 F、F'各作 L 之垂線，

得垂足 D、D'。若 ∠ FPF ' =60⁰ ，試求(1)梯形 FDD'F'的面積(2)△PFF'的面積。

Ans：(1) ^23 ( ^a2sin )(2) ³

3 ( ^b2tan₂ )

Ex183.設橢圓 ^{Γ :}₂₅^x2₁₆^y2=1 ，

(1)過點(3，1)之一道光線垂直向上射到 Γ 上之點 Q，經反射後又射到 Γ 之上點 R (2)過點(3，5)之一道光線垂直向下射到 Γ 上之點 Q，經反射後通過點 S，而

QS =34

試求 R、S 兩點之坐標。Ans： ^{R −63}₁₃ ^,−64₆₅ ^{ , S 33 ,96}₅ ^

Ex184.設拋物線 ^{Γ : y2=8x} ，

(1)過點 P1(20，12)之一道水平光線，射到 Γ 上之點 Q，經反射後又射到 Γ 上之點 R

(2)過點 P2(1，12)之一道水平光線，射到 Γ 上之點 Q，經反射後通過點 S，而 ^QS

=15，試求 R、S 兩點之坐標。Ans：R( ²₉ ， ⁴

3

 )，S(30，21)

Ex185.如右圖﹐直圓錐頂點為 A﹐ ^BC 為底面之直徑﹐

O 為圓心﹐ ^AE ＝ ^CE ﹐ ^DF ⊥ ^BC 於 O﹐ ^AB ＝ ^AC ＝ ^BC ＝6﹐ 則 D﹑E﹑F 三點所在平面截圓錐得一截痕﹐

則其正焦弦長為？Ans：3