↔與橢圓有兩交點

(1)

1-1 橢圓

一、定義：平面上到兩定點 F 和 F的距離和為定值(2a)之所有點所成圖形，

稱為橢圓。其中 2a> FF '

(1)兩定點 F 和 F稱為此橢圓的兩個焦點。 FF ' 長度=2c。

(2)兩焦點的連線 _{FF '}

↔

與橢圓有兩交點 A、A， AA ' 稱為此橢圓的長軸 (長度=2a)。

(3) AA ' 的中點 O 與 FF ' 的中點重合，稱為此橢圓的中心。

(4)過中心且與長軸垂直的直線交橢圓於 B、B， BB ' 稱為此橢圓的短軸 (長度=2b)。

(5)A、A稱為長軸上的頂點，B、B稱為短軸上的頂點。 (6)橢圓上相異兩點的連線段稱為弦，過焦點的弦稱為焦弦，

其中垂直於長軸的焦弦稱為正焦弦。

(7)若 P 為橢圓上任一點，則 ^PF 與 ^{P F}^' 稱為過 P 點的兩個焦半徑。

a c

b a B'

A O

B'

B A A'

F O F'

P

F'

Ex1.若一動點與兩定點(1,-4),(5,-4)的距離和為 10,求動點的軌跡方程式 Ans：

2 2

( 3) ( 4) 1

25 21

x  y 

Ex2.如圖，圓 O 的半徑為 6，F 的坐標為(4,0)，Q 在圓 O 上，

P 為 FQ 的中垂線與 OQ 的交點。當 Q 在圓 O 上移動時，

動點 P 的軌跡方程式為何？Ans： ^x−2₉ ²^^y₅²⁼¹

二、橢圓的標準式：a>b>0，長軸長=2a，短軸長=2b、面積=πab a²=b²+c²

左右型上下型

方程式 ^x−h²

a² y−k ²

b² =1 x−h²

b² y−k ² a² =1

中心 (h,k) (h,k)

焦點 (hc,k) (h,kc)

長軸頂點 (ha,k) (h,ka)

短軸頂點 (h,kb) (hb,k)

正焦弦長 2 b²

a

2 b² a

Ex3.設坐標平面上 A、B、C 三點。若 A(5,0)，B(-5,0)，線段 ^AC 的長度為 ³^¹⁰ ，線段 ^BC 的長度為 ^¹⁰ ，求以 A，B 為焦點，且通過 C 的橢圓方程式 Ans：

x² 40y²

15=1

(2)

Ex4.橢圓 ^^:_{25 16}^x²^^y² ^¹ ，P 在橢圓上，F,F’為其焦點，則△PFF’的周長為？Ans：16

Ex5.橢圓兩焦點 F1(0,3)，F2(0,-3)，弦 ^AB 過 F1，ABF2周長為 20，求此橢圓方程 式？Ans： ₁₆^x²^₂₅^y²⁼¹

Ex6.設 ^{Γ :}^^x²^^y²⁻^{2 x−4y 5}^^x²^^y²−8 x 4y20=10 ，焦點為 F₁, F₂ ， ^PQ 為通 過 F1 的焦弦，則△PQF2的周長為？Ans：20

Ex7.設 ^{Γ :}₆₄^x²^₁₀₀^y² ⁼¹ ，兩焦點為 F1,F2，P 為 Γ 上的一動點，

則(1) PF1PF₂ =？(2)△PF1F2的最大面積為？Ans：20；48

三、橢圓圖形的判別

Ex8.若已知方程式 x²+4y²+2x+4y+k=0 的圖形為橢圓，求 k 之範圍。Ans：k<2

Ex9.設 Γ： ^^x²^^y²2 x− 4y5 ^x²^^y²−6 x2y10= k

(1)若 Γ 的圖形為一橢圓，則 k 的範圍為何？ Ans：k>5 (2)若 Γ 的圖形為一線段，則 k 的範圍為何？ Ans：k=5 (3)若 Γ 表沒有圖形，則 k 的範圍為何？ Ans：k<5

四、軌跡方程式

Ex10.己知圓 C 與兩定圓 C1：(x+2)²+y²=1，C2：(x–2)²+y²=81 均相切 (1)若圓 C 與圓 C1外切時，則圓 C 的圓心軌跡方程式為何？Ans： ₂₅^x²^₂₁^y²^¹ (2)若圓 C 與圓 C1內切時，則圓 C 的圓心軌跡方程式為何？Ans： _{16 12}^x²^^y² ^¹

Ex11.過點(3,1)，且與圓(x–3)²+(y+3)²=36 相切之圓的圓心軌跡方程式為何？

Ans： ^x−3₅ ²^^^y1₉ ²⁼¹

Ex12.有一線段 ^AB 長度為 10，令 A 點在 x=2 上移動，B 點在 y=3 上移動，

P 為 ^AB 上的點，滿足 PA: PB =3 : 2 ，試問當 A，B 移動時，P 點的軌跡？

Ans： ^x−2₃₆ ²^^^y−3₁₆ ²⁼¹ [HINT:設 P(x,y)=>A,B]

Ex13.aR，求橢圓 x²+2y²–2(a–2)x+4ay+1=0 中心之軌跡方程式 Ans：x+y=-2

(3)

 P B

A

五、弦長、弦中點、中點弦(換一半)

(對所有二次曲線適用)(圓、橢圓、拋物線、雙曲線) 1.弦長(聯立解交點、根與係數)

A B =^m²^1⋅∣^x− _x∣⁼^m²^1⋅^{ }x _x²−4 _x_x

AB=^m²^1

m ⋅∣^y− y∣⁼^m²^1

m ⋅^{ }yy²−4 _yy

2.弦中點(聯立，根與係數)

弦中點( ^{ }₂^ ，□)(以 x 之二根為 α，β) 3.中點弦(換一半得斜率，點斜式)

圓錐曲線的換一半(極軸)(semi-replacement for conic sections )

1 1 1 1

1 1 0

2 2 2

x y xy x x y y

ax xb  cy yd  e   f 

1.二次曲線外一點：切點弦 2.二次曲線上一點：切線

3.二次曲線內一點：中點弦之平行線

Ex14.直線 y=2x+1 與橢圓 ₂^x²^₈^y²⁼¹ 相交於 A，B 兩點，

(1)求 ^AB 線段長(2)求 ^AB 線段中點座標 Ans： ⁵₂^³ ； ⁽^^{1 1}_{4 2}^{, )}

Ex15.若 P(1,2)為橢圓 ₉^x²^₃₆^y²⁼¹ 之一弦 ^AB 的中點，

(1)AB 的直線方程式為何？(2)AB 的線段長=？Ans：y=–2x+4； ^⁷⁰

Ex16.設橢圓 2x²+(y–1)²=4 與直線 y=x+k 之交弦長為 2，則 k=？Ans： ^2±₂ ^¹⁵

Ex17.斜率為 1 的直線與橢圓 x²+2y²=1 交於 A,B 求 ^AB 中點軌跡所在直線方程式 Ans：x+2y=0

六、橢圓的參數式

x² a²y²

b²=1 

{

^{x=a cos θ}^{y=b sin θ} ^{0≤θ 2 }

x−h²

a² y−k ²

b² =1 

{

x=ha cos θ

y=kbsin θ 0≤θ 2 

圖例： ^{A a}⁽ ^cos^^,^a^sin^^),^{B b}⁽ ^cos^^,^b^sin^^),^{P a}⁽ ^cos^^,^b^sin^⁾ Ex18.橢圓 Γ： _a^x²²^_b^y²²⁼¹ (a>b>0)，求：

(1)橢圓 Γ 內接正方形面積 Ans： _a^4a²_b²^b²² (2)橢圓 Γ 的內接矩形最大面積 Ans：2ab (3)橢圓 Γ 的內接矩形最大周長 Ans： ⁴^^a²^^b²

(4)

Ex19.己知兩定點 A(6,0), B(0,–3)，若動點 P 在橢圓 ^x₃₆²^₉^y²⁼¹ 上移動，

則△PAB 之重心 G 的軌跡方程式為？Ans： ^₄^{x −2 }²^^₁^{y 1 }²⁼¹

Ex20.設 P(x,y)為橢圓 ₁₆^x²^^y₉²^¹ 上任一點,求 (1)2x+y 的最大值、最小值 Ans： ±



⁷³

(2)x²–2xy 的最大值、最小值 Ans： 8±4



¹³

(3)點 P 到直線 L：xy+3=0 的最長、最短距離 Ans： ^{4 2} ,0

七、斜橢圓

Ex21.求焦點為(-4,-4),(0,0) 且過點 ^^^{2 , −}^^{2 } 的橢圓方程式 Ans：3x²-2 xy +3y²+8x+8y-16=0

Ex22.關於橢圓 ^{Γ :}^^^{x − 1 }²^{ }^{y − 2 }²^^^^{x  1 }²^{ }^{y  2 }²⁼⁶ ，下列何者為真？

(A)(0,0)是的中心 (B)(1,2),(-1,-2)為的焦點(C)的短軸長為 4 (D)對稱於直線 x=y(E)對稱於(1,2)與(-1,-2)的連線 Ans：ABCE

Ex23.已知平面上一橢圓的兩焦點為(6,0)及(0,8)，長軸長為 20，則下列敘述那些是 正確的？(A)(3,4)為橢圓的中心(B)短軸的斜率為 ³₄ (C)(9,4)為長軸上的一個頂點 (D)橢圓與正 x 軸只有一個交點(E)短軸長為 ¹⁰^³ Ans：ABCDE

八、根軸(未必存在)

Ex24.設 L 為通過橢圓 ^Γ1:x−1²

3 y−2² 4 =1

4 與橢圓 Γ2：4x²+3y²-18y+25=0 兩交點 的直線，則直線 L 的方程式為？Ans：4x-3y+6=0

九、(補充)點線距離比： ^e^{ }^c_a ^{d P F}_{d P L}^{( , )}_{( , )} (離心率) 橢圓焦半徑= a±e x

Ex25.定點 F(2,0), 定線 L：3x+10=0,試求到 F 的距離與到 L 的距離的比為 3：5 的動 點軌跡 Ans： ⁽ ⁵⁾² ² 1

25 16

x  y 

Ex26.到直線 x=1 之距離是到點 F(1,0)之距離的兩倍的所有點所形成的圖形是一橢 圓,其中 F(1,0)為一焦點,則另一個焦點的座標？Ans：( ⁷₃ ,0)

(5)

Ex27.設 P 為橢圓 ₂₅^x²^₁₆^y²⁼¹ 上一點,F1,F2為二焦點,若∠F1PF2=60^o, 則△PF1F2的面積為 Ans： ^{16 3}

3

Ex28.己知 F1(3,1)，F2(5,1)為平面上兩定點，則所有滿足 ^PF¹^^PF² =12 之 動點 P(x,y)的軌跡方程式為何？ Ans： ^₃₆^x−1²^^₂₀^y−1²⁼¹

Ex29.求滿足下列條件的橢圓方程式：

(1)中心(1,2)，兩焦點距 6，長軸平行 x 軸，長軸長 8Ans： ^₁₆^x−1²^^₇^{y−2 }²⁼¹ (2)中心(0,0), 一焦點為 F(3,0),一頂點為 V(-5,0) Ans： _{25 16}^x²^^y²^¹

(3)中心(-3,2), 長軸平行 y 軸,長軸長為 4,短軸長為 2 Ans： ⁽^x^₁³⁾²^⁽^y^₄²⁾² ^¹ (4)中心(-3,2), 通過(4,0), 軸平行座標軸,長軸長為短軸長的 2 倍

Ans： ⁽^x₅₀^³⁾²^⁽^y₂₀₀^²⁾² ^¹ or ⁽^x₆₅^³⁾²^⁴⁽^y₆₅^²⁾²^¹

(5)過點(3,2)且與 ₉^x²^₄^y²⁼¹ 共焦點 Ans： _{15 10}^x²^^y²^¹ (6)與 ₅^x²^₁₀^y²⁼¹ 共焦點且短軸長為 6 Ans： ₉^x²^₁₄^y²⁼¹

(7)兩焦點為(2,1),(2,3)，且過點(5,3) Ans： ^₁₂^{x−2 }²^^₁₆^{y−1 }²⁼¹ (8)焦點(-1,1),(7,1)，一長軸頂點(8,1) Ans： ^₂₅^x−3²^^₉^y−1²⁼¹ (9)焦點(1,6),(1,0)，長軸長 10？ Ans： ^₁₆^x1²^^₂₅^y−3²⁼¹

(10)焦點為(0,-1),(0,-9),正焦弦長 12 Ans： ₄₈^x²^⁽^y₆₄^⁵⁾² ^¹

(11)長軸在 y=1 上,短軸在 x=-2 上,長軸長 4,短軸長 1Ans： ⁽^x^₄²⁾²^⁴⁽^y₁^¹⁾²^¹ (12)焦點(-3,-2)，短軸一頂點為(0,2)，長軸平行 y 軸 Ans： ^₉^{x3 }²^^₂₅^{y−2 }²⁼¹

Ex30.設 k 為實數，方程式 S： ^x_{k 2}² ^_8−k^y² 2=1

(1)若 S 無圖形，則 k 值範圍為？ Ans：k2 ^² ork=2,2 ^² (2)若 S 的圖形為一圓，則 k 值為？ Ans：2

(3)若 S 的圖形為一橢圓，則 k 值範圍為？ Ans：2<k<2 ^² ,k2 (4)若 S 為長軸在 x 軸上的橢圓，則 k 值範圍為？ Ans：2<k<2 ^² (5)若 S 為長軸在 y 軸上的橢圓，則 k 值範圍為？ Ans：2<k<2

(6)

Ex31.一長方形外切橢圓 ₁₆^x²^₂₅^y²⁼¹ 於頂點,求長方形對角線上之弦長 Ans： ⁸²

Ex32.設(p,0)為橢圓 ^x₄²^₁^y²⁼¹ 的長軸上一定點，且 0<p< ³₂ ， 若點(a,b)為橢圓上距離(p,0)最近之點，則 a=？(以 p 表示)Ans： ⁴₃^p

Ex33.己知 A、B 為橢圓 _a^x²²^_b^y²²⁼¹ (a>b>0)與坐標軸負向的二交點。若 P 為第一象限 的橢圓弧上之一點，則ABP 的最大面積為何？Ans： ^ab₂ ^^1^^2

Ex34.設橢圓 ₁₂^x²^₄^y²⁼¹ ,則過 P(0,2)的最長弦之長為 Ans： ^{3 2}

Ex35.已知圓錐曲線 ^^^{x  3 }²^{ }^{y − 1 }² + ^^^{x − 1 }²^{ }^{y  2 }² =6，求 (1)圖形名稱為何 (2)兩焦點坐標 (3)中心坐標

(4)長軸長(5)短軸長(6)正焦弦長

(7)長軸上的兩頂點坐標(8)長軸所在的直線方程式(9)短軸所在的直線方程式 Ans：(1)橢圓,(2)(-3,1),(1,-2),(3)(-1,-1/2),(4)6,(5) ^¹¹ ,(6)11/6,

(7)(7/5,-23/10),(-17/5,13/10),(8)3 x+4y+5=0,(9)8x-6y+5=0

Ex36.下列哪些選項中的資訊當作已知條件時，可以在坐標平面上求出橢圓的方程 式？(A)橢圓四個頂點的坐標 (B)橢圓兩個焦點坐標及橢圓上一點的坐標

(C)橢圓的長短軸長度 (D)橢圓兩個焦點坐標及長軸的長度 (E)橢圓的中心坐標及長短軸長度比值 Ans：ABD

Ex37.若橢圓 4x²+2y²+ax+by+2=0 對稱於點(2,1)，求 a,b 之值及橢圓的焦點坐標 Ans：(a,b)=(16,4),焦點(2,3),(2,1)

Ex38.坐標平面上有一橢圓，已知其長軸平行 y 軸，短軸的一個頂點為(0,4)，且其 中一焦點為(4,0)，求此橢圓的長軸長。Ans：8 ^²

Ex39.已知一橢圓的長軸平行於 x 軸，中心為(1,2)，且通過點(4,6)。則下列哪些點一 定會在這橢圓上？(A)(2,2)(B)(2,6)(C)(4,2)(D)(5,6)(E)(3,4)Ans：ABC

Ex40.若方程式 _15−k^x² ^_24−k^y² ⁼¹ 的圖形表一橢圓，求橢圓之焦點坐標？ Ans：(0,3)

(7)

Ex41.設有一橢圓形運動場地。令長軸兩頂點為 A 及 B，短軸兩頂點為 C 及 D。在 D 點豎有一垂直於地面的旗竿，高 10 公尺。若從 C 點地面到旗竿頂的仰角為 22.5，

而ACD=60，則短軸 CD 之長度為？公尺，長軸 AB 之長度為？公尺 Ans：10(

2 +1)，10( ^^6^³ )

Ex42.求滿足下列各條件之橢圓方程式：

(1)到兩點(3,0),( 3,0)距離和為 10 Ans： _{25 16}^x²^^y²^¹

(2)一焦點為(0,4)，短軸在直線 x=2 上，長軸長為 10 Ans： ^₂₅^{x−2 }²^^₂₁^{y−4 }²⁼¹ (3)長軸在直線 x=2 上，短軸在直線 y=1 上，長軸頂點與較近之焦點距離為 2，短 軸長為 ⁴^³ Ans： ^₁₂^{x−2 }²^^₁₆^{y1 }²⁼¹

(4)與 ₁₆^x²^₄^y²⁼¹ 共焦點且長軸長為 ⁴^⁵ Ans： ₂₀^x²^₈^y²⁼¹ (5)中心在原點，軸上一頂點為(5,0)，正焦弦長為 ¹⁸₅ Ans： ₂₅^x²^₉^y²⁼¹ or ₂₅^x²^_^y_{125/ 9 }² ²⁼¹

(6)中心為(1,2), 長軸平行 x 軸且過兩點(3,4)、(–2,1) Ans： ³⁽^x₃₂^¹⁾²^⁵⁽^y₃₂^²⁾² ^¹

(7)與 ² ² ¹

4 9

x y  共焦點且過(2,3) Ans： ² ² ¹

10 15 x  y 

(8)頂點(5,-1),(-5,-1)，一焦點(3,-1) Ans： ₂₅^x²^^₁₆^{y1 }²⁼¹

(9)橢圓長軸在 x＝2，短軸在 y＝1 上﹐短軸長是長軸長的 ³₅ 倍﹐正焦弦長為 ¹⁸₅ Ans： ⁽^x^₉²⁾²^⁽^y₂₅^¹⁾² ^¹

(8)

A B C ^D E

1-2 拋物線

一、定義：

平面上到一定點 F 與一定直線 L 等距離的所有點所成的圖形，稱為拋物線。( F ∉L ) (1)焦點(2)準線(3)對稱軸(4)頂點(5)焦距(6)弦、焦弦、正焦弦

F

E C F A

V H

B D

I

Ex43.求以(0，-1)為焦點，y=1 為準線之拋物線方程式？Ans： ^x²^{ }⁴^y

Ex44.已知坐標平面上圓 O₁: x−7²y−1²=144 與 O₁: x2²y−13²=9 相切，且此兩圓均與直線 L : x=−5 相切。若 Γ 為以 L 為準線的拋物線，且同時通過

O₁ 與 O₂ 的圓心，則 Γ 的焦點坐標為？Ans： −1 5 ,53

5 

Ex45.平面上，過 A(3，0)且與 x=-1 相切之所有圓的圓心所成的圖形之方程式為 何？Ans： ^y²=8  x − 1 

二、拋物線的標準式：(新型：y²項)(舊型：x²項)

方程式 (y-k)²=4c(x-h) (x-h)²=4c(y-k)

頂點 (h，k) (h，k)

焦點 (c+h，k) (h，k+c)

準線 x=–c+h y=–c+k

對稱軸 y=k x=h

正焦弦長 4|c| 4|c|

開口方向

{

^c0^c0 ^右^左 ^上^下

Ex46.在拋物線 y²=16x 上求一點 P，使得 P 點到焦點與定點 A(5，4)的距離和

PF  PA 為最小，求 P 的坐標。Ans：(1，4)

Ex47.右圖為一拋物線的部分圖形，

且 A、B、C、D、E 五個點中有一為其焦點。

試判斷哪一點是其焦點？

(可利用你手邊現有簡易測量工具) (A)A(B)B(C)C(D)D(E)E.Ans：C

Ex48.求拋物線 ^^y−2^²^{=8  x3 } 的準線？焦點？頂點？對稱軸？正焦弦長？

Ans：準線 x=-5，焦點(-1，2)，頂點(-3，2)，對稱軸 y=2，正焦弦長 8

(9)

三、拋物線的一般式：

1.上下型(舊型)：軸平行 y 軸的拋物線：y=ax²+bx+c；頂點 ⁽_^b₂_a^,^b²_^₄⁴_a^ac⁾ a 正：開口向上；a 負：開口向下

註:此處的常數項 c 與標準式的焦距 c 是不同的

Ex49.已知拋物線 x²–4x–2y+2=0，求(1)頂點坐標(2)對稱軸方程式(3)正焦弦長(4)焦 點坐標(5)準線方程式(6)正焦弦的兩端點坐標。

Ans：(1)(2，–1)(2)x=2(3)2(4)(2， ₂^¹ )(5)y= ^³₂ (6)(3， ^¹₂ )，(1， ¹₂^ )

2.左右型(新型)：軸平行 x 軸的拋物線：x=ay²+by+c；頂點 ⁽^b²_^₄⁴_a^ac^,_₂^b_a⁾ a 正：開口向右；a 負：開口向左

Ex50.求拋物線 ^2y²3 x− 4y  4= 0 的頂點？焦點？準線？

Ans： ⁽^₃²^{,1), (}^₂₄²⁵^,1),^x^^₂₄⁷

3.歪斜型：有 xy 項；從定義化簡可得一般式(無標準式) Ex51.設拋物線方程式



^^x3²^^y−1²⁼

^

^{2 x− y 2}



⁵ ^，

求(1)焦點坐標(2)準線方程式(3)正焦弦長(4)對稱軸方程式(5)頂點坐標 Ans：(1)(-3，1)(2)2x–y+2=0(3)2 ^⁵ (4)x+2y+1=0(5)(-2， ¹₂ )

Ex52.滿足頂點為 V(0，1)，焦點為 F(–1，3)的拋物線方程式為何？Ans：

4x²+4 xy +y²+16x–42y+41=0

四、拋物線方程式的求法 (1)利用拋物線定義解之。

(2)利用標準式或一般式的公式解之

Ex53.求合乎下列條件的拋物線方程式：

(1)準線 L：x=3，頂點 V(–2，3)。Ans：(y–3)²=–20(x+2) (2)頂點 V(1，–2)，焦點 F(1，–3)。Ans：(x–1)²=–4(y+2) (3)準線為水平線，焦點 F(3，–2)，正焦弦長為 16。

Ans：(x–3)²=–16(y–2)或(x–3)²=16(y+6)

(4)過兩點 A(2，3)，B(–1，6)，且與直線 x=1 對稱。Ans：(x–1)²=y–2 Ex54.過點 A(7，8)，且與拋物線 y²=4x 共焦點、共軸的拋物線方程式？

Ans：y²=8(x+1)或 y²=–32(x–9)

五、軌跡方程式：

Ex55.設有一動圓 C與圓 C：x²+y²–8x+12=0 及直線 L：x+2=0 均相切，求此動圓 C

的圓心所成之圖形方程式。Ans：y²–16x=0 或 y²–8x+16=0

六、參數式：

(上下型)PΓ：(x-h)²=4c(y-k)P(h+2ct，k+ct²) (左右型)PΓ：(y-k)²=4c(x-h)P(h+ct²，k+2ct)

(10)

L y

x

(c,0)

(x2,y2)=(ck²,2ck) (x1,y1)=(ct²,2ct)

B O F

A

Ex56.拋物線 y²=16x 上與直線 4x–3y+24=0 距離最短之點坐標？Ans：( ⁹₄ ，6)

Ex57. ^{Γ : y}²^{=8 x} 之焦點為 F，若 PΓ，求 ^PF 中點軌跡方程式？Ans： ^y²=4  x − 1 

參數式 vs.焦弦(補充) (1)左右型

設拋物線 ^y²^⁴^cx ， ^c^⁰ ， ^AB 為其焦弦，

2 2

1 1 2 2

( , ) ( , 2 ), ( , ) ( , 2 ), 0 A x y  ct ct B x y  ck ck t

1. ^tk^{ }¹

2. ^{x x}^{1 2}^^c² ， ^{y y}¹ ²^{ }⁴^c² 3. ^AB^^{c t} ^^t^¹²

4. ^{a OAB}^ ^^c²^^t^^t^¹^ (2)上下型(同理)

設拋物線 ^x²^⁴^cy ， ^c^⁰ ， ^AB 為其焦弦，

2 2

1 1 2 2

( , ) (2 , ), ( , ) (2 , ), 0 A x y  ct ct B x y  ck ck t

1. ^tk^{ }¹

2. ^{x x}¹ ²^{ }⁴^c² ， ^{y y}¹ ²^^c² 3. ^AB^^{c t} ^^t^¹²

4. ^{a OAB}^ ^^c²^^t^^t^¹^

七、弦長、中點弦、弦中點：(略)

Ex58.已知拋物線 y²=4x 的焦點為 F，頂點為原點 O，若拋物線焦弦 ^PQ 長為 6，求

△OPQ 的面積為何？Ans： ^⁶

Ex59.求滿足下列各條件之拋物線方程式：

(1)頂點 V(1，–2)，準線 L：x+1=0。Ans：(y+2)²=8(x–1)

(2)頂點在 y 軸上，軸為 y=2 且焦點在 x+2y=7 上。Ans：(y–2)²=12x

(3)焦點(–2，0)，準線平行 y 軸，正焦弦長為 8。Ans：y²=–8x、y²=8(x+4) (4)過三點(–4，1)、(0，–1)、(–3，0)且對稱軸平行 x 軸。Ans：x=y²–2y–3 (5)過兩點(2，3)、(–1，6)，對稱軸為 x=1。Ans：y=x²–2x+3

Ex60.在拋物線 y²=20x 上求一點 P，使 P 點與焦點的距離為 15，求 P 點的坐標。

Ans：(10， ^±10^² )

Ex61.坐標平面上拋物線 C : y =− 4 x²9 以外部分被 C 分成兩個不相交區域，試問下 列哪些點與拋物線的焦點位於同一區域？

(A)( ³₂ ，2)(B)(1，4)(C)( ¹₂^ ，7)(D)( ¹₂ ，7)(E)(0，9)Ans：BCD

(11)

Ex62.若拋物線 y²–4cx+4y+2(2+11c)=0 之準線為 x–6=0，求 c 值，頂點、焦點坐標。

Ans：c= ^¹₂ ;V( ¹¹₂ ，–2);F(5，–2)

Ex63.圓 x²+y²–2x+4y–3=0 與 x 軸交於 A、B 兩點，則以 ^AB 為正焦弦之拋物線方程 式為何？Ans：(x–1)²=4(y+1)或(x–1)²=–4(y–1)

Ex64.設 ^BC 為等腰△ABC 之底邊，且 ^BC =2，點 A 在以 B 為頂點，C 為焦點的一拋 物線上，求△ABC 的腰長。Ans：3

Ex65.設 k>0，而點 P(k²，2k)為拋物線 y²=4x 上一點，且 P 與焦點之連線交拋物線 於另一點 Q，又 R 點坐標為(3，0)，則(1)△PQR 的面積？(2)若 P 點在拋物線上移 動，則當 k=？△PQR 的面積為最小值？Ans：(1) ^2k²_k (2)k=1，4

Ex66.設 k>0，若兩直線在 y=kx²的頂點 O 互相垂直，且分別與此拋物線交於 A、B 兩點，則OAB 的面積最小值為何？Ans： ¹_k²

Ex67.設 y=f(x)及 y=g(x)的圖形都是拋物線，一個開口向上，一個開口向下，則 y=f(x)+g(x)的圖形可能出現下列那些情形？(A)兩條拋物線(B)一條拋物線(C)一條 直線(D)橢圓(E)雙曲線 Ans：BC

Ex68.已知 ^y^^{f x}^{( )} 的圖形為拋物線，且圖形通過(1，0)、(9，0)、(0，9)三點，

試求 f(x)、頂點座標、焦點座標及準線方程式 Ans： ^y^^x² ^¹⁰^x^⁹ ；(5，16)；(5， ^⁶³₄ )；y= ^⁶⁵₄

Ex69.已知拋物線的軸平行於 x 軸，且過三點(1，0)，(1，-4)，(-2，2)，

則此拋物線的方程式為？Ans： ^y²4 x  4 y − 4 = 0

Ex70.求頂點為(2，2)，軸平行 y 軸，且過(6，4)的拋物線方程式。

Ans： ^^{x − 2 }²=8  y − 2 

Ex71.關於方程式 ³^x^₁₀^y^¹⁹^ ⁽^x^¹⁾²^⁽^y^²⁾² 所代表的錐線圖形，下列何者為 真？(A)為拋物線(B)(1，2)為的焦點(C)3x+y19=0 為的漸近線(D)x3y+7=0 為的對稱軸(E)(3，1)為的頂點 Ans：AD

Ex72.方程式 ⁵^^^{x−3 }²^^{y −5 }²=∣3 x 4y12∣ ，(1)焦點為？(2)準線方程式為？(3)對 稱軸方程式為？(4)正焦弦長為？Ans：(3，5)，3x+4y+12=0，4x-3y+3=0， ⁸²₅

(12)

Ex73. ^^{5 x}²^5y²−10x 20 y 25=∣ x 2y 3∣ 的圖形為(A)拋物線(B)雙曲線(C)橢圓(D) 一直線(E)圓。Ans：D

Ex74.拋物線以(1，1)為焦點，以直線 x+y+2=0 為準線，

求此拋物線方程式、頂點坐標、對稱軸、正焦弦長。

Ans： ^x²⁻²^{xy  y}²−8 x − 8 y = 0 ，(0，0)，x-y=0， ⁴^²

Ex75.拋物線的準線為 2x–y–2=0，頂點是(–2，–1)，求的(1)軸方程式(2)焦點坐 標(3)正焦弦長。Ans：(1)x+2y+4=0(2)(–4，0)(3)4 ^⁵

Ex76.拋物線之焦點為(1，1)，準線為 x+y+2=0，a 為一實數。若點(15，a)在此拋物 線上，且 a<15，求 a 值。Ans：3

Ex77.拋物線的準線為 x+y–2=0，對稱軸為 x–y=0，正焦弦長為 ⁴^² ，且焦點在第 一象限，求拋物線方程式。Ans： ^x²⁻²^{xy  y}²⁻8 x − 8 y 32= 0

Ex78.已知拋物線之焦點 F(2，2)，對稱軸 x–y=0，正焦弦長 4 ^² ，求拋物線方程 式。Ans： ^x²^²^xy^^y²^⁸^x^⁸^y^¹⁶^⁰ 或 ^x²^²^xy^ ^y²^⁸^x^⁸^y^⁴⁸^⁰

Ex79.若 P 為拋物線 ^y²^{=4 x} 上的動點，Q 為圓 ^^{x − 3 }²^^y²⁼¹ 上的動點，則 ^PQ 的最 小值為？此時 Q 點坐標為？Ans： ²^^{2 −1} ， ^³^²⁻¹

2 ,±1

2

Ex80.拋物線 ^{y = x}² 的一弦 ÂB 被點 P(2，12)分割成 PA: PB =2 : 1 ，則 ^ÂB 的方程式 為？Ans： ^{y =2 x 8}ôr ^{y =6 x}

Ex81.若一拋物線的正焦弦二端點 M(1,－1)﹐N(3,5)﹐試求準線的方程式？

Ans： ³^x^^y^¹⁴ or ³^x^^y^{ }⁶

Ex82.求滿足下列條件的拋物線方程式：

(1)焦點 F(1，1)，準線 L：x+y+2=0。Ans：x²–2xy+y²–8x–8y=0

(2)頂點 V(4，4)，準線 L：x+y+4=0。Ans：x²–2xy+y²–48x–48y+384=0

Ex83.過三點(1，1)，(2，3)，(–1，3)且對稱軸平行 y 軸的拋物線？Ans：y=x²–x+1 Ex84.給定圓 C：(x–1)²+(y+1)²=2，直線 L：x–y+2=0，

(1)若圓 C1與圓 C 外切，且與 L 相切，則 C1圓的圓心軌跡方程式為何？

(2)若圓 C2與圓 C 內切，且圓 C2與 L 相切，則 C2圓的圓心軌跡方程式？

Ans：(1)x²+2xy+y²–12x+12y–12=0(2)x²+2xy+y²–4x+4y+4=0

(13)

Ex85.設 P 為拋物線：y=2x²上的動點，Q 為直線 L：y=2x–5 上的動點，求：

(1) ^PQ 的最小值。(2)相應的 P、Q 點坐標。Ans： ^{1 }⁹₂_₅  2  P 1 2 ,1

2, Q 23 10, −2

5

Ex86.直線 y=2x+k 與拋物線 ^{y = x}²^{−7 x }¹⁰ 相交的弦長為 5，求 k？Ans：-9

Ex87.設拋物線 x²+4x–4y+8=0 之一弦被點(–1，3)平分，求：

(1)包含此弦之直線方程式為何？(2)此弦之長度為何？

Ans：x–2y+7=0； ^³⁵

Ex88.拋物線與圓恰相切於三點，求焦距與半徑關係？