1-4 圓錐曲線與直線的關係

Ex139.過 ^x2−2y24x4y−26=0 上P(4，3)之切線方程式為？Ans：3x-2y-6=0

2.給定斜率求切線

Ans： ^y=2x3₂ ，y=2x-8， ^y=2x±2



¹⁰ ， y=2x±



⁷ ， y=2x±2



⁵

Ex141.求橢圓

^x

2

9  y

²

16 =1

在直線L：x–y+5=0 上之正射影長度？Ans： 5 2

Ex142.設 P 為橢圓^{4x29y2−8x−32=0} 圖形上之點，平面上二點 A(3，4)，B(5，2)，則△ABP 的最大面積為？Ans： ^6



¹³

3.給曲線外一點 P 求切線

(1)利用已知斜率 m 之切線公式假設切線方程式，再代入點 P 解 m(有兩解) (2)設切線斜率 m 之點斜式，用與聯立方程式之判別式 D=0 求 m(有兩解) 4.漸近線對切線的影響(設漸近線L L )1, 2

(1) P ∈L1 ， P ∉L2

⇒

僅一切線 (2) P ∉L1 ， P ∈L2

⇒

僅一切線 (3) P ∈L1∩L₂

⇒無切線

5.當曲線外一點 P 求雙曲線切線，原應有二解，若解出 m 值僅一解，

有可能是漏一解(鉛垂線的影響)，亦有可能僅一解(漸近線的影響)

Ex143.過 A(10，5)與 ^x24y2=180 相切的直線方程式Ans：x+4y=30 或 x+y=15

Ex144.過 A(2，1)與 x²−y²=4 相切的直線方程式Ans：x=2 或 5x-4y=6

Ex145.過 A(1，-3)與 ^y=x22x3 相切的直線方程式Ans：10x-y=13 或 2x+y+1=0

三、圓錐曲線的光學性質

(1)圓錐曲線上任一點 T 的兩條焦半徑 TF , TF ' 與通過 T 點的切線夾等角 橢圓(內角平分線=法線)、雙曲線(內角平分線=切線)

(2)拋物線上任一點 T 的焦半徑 TF , TF ' (過 T 平行於對稱軸的射線) 與拋物線在T 點的切線夾相等的角度。(內角平分線=法線)

Ex146.設 F1與F2為橢圓

^x

2

32

＋

^y

2

18

＝1 之二焦點﹐若點 A 之坐標為(4，－3)﹐

試求F1AF2之角平分線之直線方程式Ans：4x＋3y－7＝0

Ex147.設

F

₁ 與 F₂ 為坐標平 面上 雙曲線Γ: x²

8 −y²=1 的兩個焦點 ，且

P −4,1

為 Γ 上一點。若

∠ F

₁

P F

₂ 的角平分 線與x 軸交於點 D，則 D 的 x 坐標為？Ans： −2 Ex148.若 F、F′為雙曲線Γ：xy=2 之兩焦點，P(1，2)為Γ上一點，

求

∠FPF′

之角平分線方程式？Ans：2x+y=4

Ex149.如圖，設一光線沿著 y＝2 的直線進行﹐在拋物線 y²＝2x 上之二點 P﹐ Q 反

射，則_PQ＝？Ans： 25 8

四、二元二次方程式與圓錐截痕

1.二元二次方程式 Ax²

+

Bxy Cy

+

²

+

Dx Ey F

+ + =

0之圖形

(小判別式)δ=B²

−

4AC、(大判別式) =△ 2

2 2 A B D B C E D E F

δ 負：橢圓系列。δ 零：拋物線系列。δ 正：雙曲線系列。

△≠0 △=0

2 4 0

B

−

AC

>

雙曲線 二相交直線

2 4 0

B

−

AC

=

拋物線 二平行線、二重合線、

φ

2 4 0

B

−

AC

<

(A <0)△ 橢圓(圓)；(A >0)△

φ

一點 (1)橢圓系列：橢圓、圓、一點、無圖

(2)拋物線系列：拋物線、二平行線、二重合線(一直線)、無圖 (3)雙曲線系列：雙曲線、相交一點之二直線(漸近線)

2.圓錐截痕：直圓錐面與一平面之相交情形(缺二平行線 與無圖 ) (1)圓、一點

(2)橢圓、一點 (3)拋物線、一直線

(4)雙曲線、相交一點之二直線

Ex150.試判別下列各方程式的圖形：

(1) ^{x22y22x−8y9=0} Ans：一點(-1,2) (2) ^2x2y²−4x2y5=0 Ans：無圖形

(3) ^{9x2−12xy4y2−6x4y−3=0} Ans：二平行線

(4) ^{x24xy4y2}4 x8y4=0 Ans：一直線(二重合線) (5) ^{4x2−4xyy24x−2y2=0} Ans：無圖形

(6)

5  ^{ x−2}

²

^{ y3}

²

⁼  ^{3 x4 y6}

Ans：一直線(垂直線)

Ex151.若 6x²－xy－y²＋ax＋by＋c＝0 表交於一點(1，2)的二條直線﹐則 (1)c＝0(2)a＝10(3)b＝5(4)a＝－2b(5)二直線所夾銳角為 45°Ans：1345

Ex152.若 8x²＋2xy－3y²＋14x＋8y＋k＝0 之圖形為二相交直線，

(1)k 之值＝？(2)若此二直線之交角為﹐則 sin

θ

＝？Ans：(1)3,(2) 2 5

Ex153.設一直圓柱底面半徑為 5 公分﹐今有一平面與此直圓柱的底面成 30°夾角﹐

而將直圓柱截出一橢圓﹐則此橢圓的正焦弦長為？Ans： 5 3

Ex154.已知拋物線的方程式為 y=(x+1)²+1，且直線方程式 y=2x+2 與相切。設 L 為斜率等於 2 的直線，若 L 與有二個交點，則 L 上任一點 P(x，y)滿足下列那 個關係式？

(A)y>(x+1)²+1(B)y<(x+1)²+1(C)y=(x+1)²+1(D)y>2x+2(E)y<2x+2Ans：D

Ex155.適當選取數對(h，k)可使拋物線 y=x²+hx+h–k²與 x 軸相切或無交點。設 D 為 所有此種數對(h，k)在平面上所對應的點所構成的區域。試問區域 D 的邊界是何種 圖形？(A)圓(B)橢圓(C)拋物線(D)雙曲線(E)兩條直線。

Ans：B

Ex156.在坐標平面上，請問下列那些直線與雙曲線

^x

(1)點 F(2，4)、線 L﹕ x＋2＝0，d(P，F)：d(P，L)=1：1 (2)點 F(2，0)、線 L﹕ x＝－¹⁰₃ ，d(P，F)：d(P，L)=3：5

Ex165.橢圓Γ：

2 2

3 6 1 y

x

+ =

，

(1)求過橢圓上一點 P(1，–2)之切線方程式 Ans：x-y=3 (2)求斜率為 5 且與橢圓相切之直線方程式 Ans：y=5x±9 (3)求

Γ在直線

x+5y–8=0 上之投影長 Ans：9 26

13

(4)求過橢圓外一點 Q(2，1)之切線方程式 Ans：(y-1)=5(x-2)或(y-1)=-1(x-2) (5)由 Q(2，1)對橢圓作兩切線，求兩切點連線之直線方程式 Ans：4x+y=6

Ex166.若拋物線 y=ax²+bx 與二直線 x–y=1 及 5x–y=1 都相切，求 a，b。

Ans：a=1，b=3

Ex167.設 H： ^x

2

a²−y²

b²=1 為一雙曲線，其中a，b 均為正數，設 0<

α< π/2，則 H 上

以

(

^{asec , tan}

^α

^b

^α )

為切點的切線，其斜率為何？此切線與H 的兩漸近線相交而圍成 一三角形，其面積為何？Ans：^b_a cscα；ab

Ex168.求Γ： ₃^x2−₂^y2=1 在點(3，-2)的切線方程式。Ans：x+y–1=0

Ex169.設拋物線 ^{y=ax2bxc} 過點(1，1)，且與直線 y=2x-2 相切於點(2，2)，求 數對(a，b，c)=？Ans：(1，-2，2)

Ex170.拋物線Γ之頂點(2，2)，準線 x=1。L 為過點(0，3)之直線，其斜率大於 0，

且L 與

Γ有唯一的交點

Q。求 L 斜率及 Q 點坐標。Ans：1

2，(6，6)

Ex171.求垂直於 x–2y=0 且與

Γ：

^{2 ( 1)2 1}

8 7

x − y+ = 相切之直線方程式。

Ans：2x+y–4=0 或 2x+y+6=0

Ex172.設(a，b)為橢圓 ^x

2

4 y²

9 =1 上之一點，

試求2a–b 之最大值與相對應的(a，b)Ans：Max=5，(8 5， 9

5

−

)

Ex173.橢圓Γ：^{x−1 }

2

3 y²

9 =1 ：

(1)求斜率為 3 之切線方程式？Ans：y=3x+3，y=3x–9

(2)求在直線 x+3y+10=0 上之投影長？Ans：

¹²

 ¹⁰

Ex174.直線 y=2x+1 與橢圓 x² 2 y²

8 =1 相交於 A，B 兩點，求 AB 線段長？Ans：

5



³

2

Ex175.設直線 y=2x+k 與拋物線 y=x²−7x10 相交於 P，Q 兩點，且 PQ =5 ， 則k=？Ans：–9

Ex176.設過 P(

¹ 3 , 2

3

)的直線與雙曲線 x²–y²=1 相交於兩點 M，N，且 P 為線段 MN 的中點，求(1)直線 MN 的方程式。(2)弦 MN 的長。Ans：x–2y+1=0， 4



⁵

3

Ex177.設拋物線 y=x²–3x+k 與直線 y=3x–1 交於 A、B 兩點，且 AB =4



^{5 ，}

則(1)k=？(2)此拋物線之焦點坐標為何？Ans：6，(3 2，4)

Ex178.已知二拋物線 x＝y²＋3y－2 與 y＝x²－kx＋19 有交點，其中有二個交點 在直線x＋y＝3 上，則 k 的值等於多少？Ans：11

Ex179.若 t(x²＋y²－2)＋(x²－3y²+2)＝0 表一雙曲線﹐求實數 t 之範圍？

Ans：-1<t<3,t≠1

Ex180.設 F1﹑ F2為雙曲線 x²

16 － y²

4 ＝1 之兩焦點﹐P( 4 2 ，2)為其上一點，

求F1PF2之角平分線方程式？Ans： 2x

−

2y

=

4

Ex181.若 F、F′為橢圓Γ：

2 2

3 6 1 y

x

+ =

之兩焦點，P(1，2)為Γ上一點，

求FPF

′

之角平分線方程式Ans：x-y+1=0

Ex182.設點 P

∈Γ：

x²

+

4y²

=

4，L 是過 P 之切線，從焦點 F、F'各作 L 之垂線，

得垂足D、D'。若 ∠ FPF '=60⁰，試求(1)梯形 FDD'F'的面積(2)△PFF'的面積。Ans：

(1) 2



3 (a²sin

θ

)(2) 3

3 ( ²tan b

θ

2

)

Ex183.設橢圓 Γ :x² 25y²

16=1 ，

(2)過點(3，5)之一道光線垂直向下射到 Γ 上之點 Q，經反射後通過點 S，而 QS =34

試求R、S 兩點之坐標。Ans： R −63

13 ,−64

65 , S  33 ,96 5 

Ex184.設拋物線

_{Γ : y}

²

_=8x

，

(1)過點 P1(20，12)之一道水平光線，射到 Γ 上之點 Q，經反射後又射到 Γ 上之點 R

(2)過點 P2(1，12)之一道水平光線，射到 Γ 上之點 Q，經反射後通過點 S，而 QS

=15，試求 R、S 兩點之坐標。Ans：R( 2 9， 4

3

−

)，S(30，21)

Ex185.如右圖﹐直圓錐頂點為 A﹐ BC 為底面之直徑﹐

O 為圓心﹐_AE＝CE﹐_DF⊥BC於O﹐ _AB＝AC＝BC＝6﹐

則D﹑ E﹑ F 三點所在平面截圓錐得一截痕﹐

則其正焦弦長為？Ans：3

在文檔中 ↔與橢圓有兩交點 (頁 22-29)