↔與橢圓有兩交點

1-1 橢圓

一、定義：平面上到兩定點 F 和 F

′

的距離和為定值(2a)之所有點所成圖形，

稱為橢圓。其中2a> FF '

(1)兩定點 F 和 F′稱為此橢圓的兩個焦點 。 FF ' 長度=2c。

(2)兩焦點的連線 FF '

↔

與橢圓有兩交點A、A

′

， AA ' 稱為此橢圓的長軸 (長度=2a)。

(3) AA ' 的中點 O 與 FF ' 的中點重合，稱為此橢圓的中心 。

(4)過中心且與長軸垂直的直線交橢圓於 B、B

′

， BB ' 稱為此橢圓的短軸 (長度=2b)。

(5)A、A

′

稱為長軸上的頂點 ，B、B′稱為短軸上的頂點 。 (6)橢圓上相異兩點的連線段稱為弦 ，過焦點的弦稱為焦弦 ，

其中垂直於長軸的焦弦稱為正焦弦 。

(7)若 P 為橢圓上任一點，則 PF 與 P F^' 稱為過P 點的兩個焦半徑 。

a

c b a

B'

A O

B'

B A A'

F O F'

P

F'

Ex1.若一動點與兩定點(1,-4),(5,-4)的距離和為 10,求動點的軌跡方程式 Ans：

2 2

( 3) ( 4) 25 21 1 x

− +

y

+ =

Ex2.如圖，圓 O 的半徑為 6，F 的坐標為(4,0)，Q 在圓 O 上，

P 為 FQ 的中垂線與 OQ 的交點。當 Q 在圓 O 上移動時，

動點P 的軌跡方程式為何？Ans： x−2² 9 y²

5 =1

二、橢圓的標準式：a>b>0，長軸長=2a，短軸長=2b、面積=πab

a

²

=b

²

+c

²

左右型 上下型

方程式 x−h²

a² y−k ²

b² =1 x−h²

b² y−k ² a² =1

中心 (h,k) (h,k)

焦點 (h±c,k) (h,k±c)

長軸頂點 (h

±

a,k) (h,k±a)

短軸頂點 (h,k

±b)

(h±b,k)

正焦弦長 2 b²

a

2 b² a

Ex3.設坐標平面上 A、B、C 三點。若 A(5,0)，B(-5,0)，線段 AC 的長度為³



¹⁰ ， 線段 BC 的長度為



¹⁰ ，求以A，B 為焦點，且通過 C 的橢圓方程式 Ans：

x

²

40  y

²

15 =1

Ex4.橢圓

2 2

: 1

25 16 x y

Γ + =

，P 在橢圓上，F,F’為其焦點，則△PFF’的周長為？Ans：16

Ex5.橢圓兩焦點 F1(0,3)，F2(0,-3)，弦 AB 過 F1，ABF2周長為20，求此橢圓方 程式？Ans：

^x

2

16  y

²

25 =1

Ex6.設

Γ :  ^x

²

^{ y}

²

^{−2x−4y5}  ^x

²

^{ y}

²

−8x4y20=10

，焦點為 F₁, F₂ ， PQ 為通 過 F1 的焦弦，則△PQF2的周長為？Ans：20

Ex7.設

Γ : x

²

64  y

²

100 =1

，兩焦點為F1,F2，P 為 Γ 上的一動點，

則(1) PF1PF₂ =？(2)△PF1F2的最大面積為？Ans：20；48

三、橢圓圖形的判別

Ex8.若已知方程式 x²+4y²+2x+4y+k=0 的圖形為橢圓，求 k 之範圍。Ans：k<2

Ex9.設 Γ：

 ^x

²

^{ y}

²

^{2x−4y5}  ^x

²

^{ y}

²

−6x2y10=k

(1)若 Γ 的圖形為一橢圓，則 k 的範圍為何？ Ans：k>5 (2)若 Γ 的圖形為一線段，則 k 的範圍為何？ Ans：k=5 (3)若 Γ 表沒有圖形，則 k 的範圍為何？ Ans：k<5

四、軌跡方程式

Ex10.己知圓 C 與兩定圓 C1：(x+2)²+y²=1，C2：(x–2)²+y²=81 均相切

(1)若圓 C 與圓 C1外切時，則圓C 的圓心軌跡方程式為何？Ans： ^{2 2} 1 25 21 x y

+ =

(2)若圓 C 與圓 C1內切時，則圓C 的圓心軌跡方程式為何？Ans： ^{2 2} 1 16 12

x + y =

Ex11.過點(3,1)，且與圓(x–3)²+(y+3)²=36 相切之圓的圓心軌跡方程式為何？

Ans：x−3²

5 y1² 9 =1

Ex12.有一線段 AB 長度為 10，令 A 點在 x=2 上移動，B 點在 y=3 上移動，

P 為 AB 上的點，滿足 PA

:

PB

=3: 2

，試問當A，B 移動時，P 點的軌跡？

Ans：x−2²

36 y−3²

16 =1 [HINT:設 P(x,y)=>A,B]

Ex13.a∈R，求橢圓 x²+2y²–2(a–2)x+4ay+1=0 中心之軌跡方程式 Ans：x+y=-2

θ P B

A

五、弦長、弦中點、中點弦(換一半)

(對所有二次曲線適用)(圓、橢圓、拋物線、雙曲線) 1.弦長(聯立解交點、根與係數)

AB=



^m21⋅

∣

^x−_x

∣

⁼



^m21⋅



^{xx2−4 xx}

AB=



^m21

m ⋅

∣

^y−_y

∣

⁼



^m21

m ⋅



^y_y²−4 _y_y 2.弦中點(聯立，根與係數)

弦中點( 2

α β +

，□)(以 x 之二根為 α，β) 3.中點弦(換一半得斜率，點斜式)

圓錐曲線的換一半(極軸)(semi-replacement for conic sections)

1 1 1 1

1 1 0

2 2 2

x y xy x x y y ax x b

+ + +

cy y d

+ + +

e

+ +

f

=

1.二次曲線外一點：切點弦

2.二次曲線上一點：切線

3.二次曲線內一點：中點弦之平行線 Ex14.直線 y=2x+1 與橢圓 ^x

2

2 y²

8 =1 相交於A，B 兩點，

(1)求 AB 線段長(2)求 AB 線段中點座標 Ans：⁵



³

2 ； 1 1

( , )

−

4 2

Ex15.若 P(1,2)為橢圓

^x

2

9  y

²

36 =1

之一弦 AB 的中點，

(1)AB 的直線方程式為何？(2)AB 的線段長=？Ans：y=–2x+4；



⁷⁰

Ex16.設橢圓 2x²+(y–1)²=4 與直線 y=x+k 之交弦長為 2，則 k=？Ans：^2±



¹⁵

2

Ex17.斜率為 1 的直線與橢圓 x²+2y²=1 交於 A,B 求 AB 中點軌跡所在直線方程式 Ans：x+2y=0

六、橢圓的參數式 x²

a²y²

b² =1

⇔ {

^{x=a cosθ}y=b sin θ 0≤θ 2 

x−h²

a² y−k ²

b² =1

⇔ {

^{x=ha cosθ}y=kbsin θ

^{0≤θ 2 }

圖例： ( cos , sin ), ( cos , sin ), ( cos , sin )A a

θ

a

θ

B b

θ

b

θ

P a

θ

b

θ

Ex18.橢圓 Γ： ^x

2

a²y²

b²=1 (a>b>0)，求：

(1)橢圓 Γ 內接正方形面積 Ans： ^4a

2b² a²b² (2)橢圓 Γ 的內接矩形最大面積 Ans：2ab (3)橢圓 Γ 的內接矩形最大周長 Ans：⁴



^a2b2

Ex19.己知兩定點 A(6,0),B(0,–3)，若動點 P 在橢圓

^x

2

36  y

²

9 =1

上移動，

則△PAB 之重心 G 的軌跡方程式為？Ans： ^{x−2 }

2

4 y1 ²

1 =1

Ex20.設 P(x,y)為橢圓 ^{2 2}

1 16 9

x

+

y

= 上任一點,求 (1)2x+y 的最大值、最小值 Ans： ±



⁷³

(2)x²–2xy 的最大值、最小值 Ans： 8±4



¹³

(3)點 P 到直線 L：x−y+3=0 的最長、最短距離 Ans： 4 2 ,0

七、斜橢圓

Ex21.求焦點為(-4,-4),(0,0)且過點



2 ,−



2  的橢圓方程式 Ans：3x²-2 xy +3y²+8x+8y-16=0

Ex22.關於橢圓 ^{Γ :}



^{x−12y−2 2}



^{x12y2 2=6} ，下列何者為真？

(A)(0,0)是

Γ的中心

(B)(1,2),(-1,-2)為Γ的焦點(C)

Γ的短軸長為

4 (D)Γ對稱於直線x=y(E)

Γ

對稱於(1,2)與(-1,-2)的連線 Ans：ABCE

Ex23.已知平面上一橢圓的兩焦點為(6,0)及(0,8)，長軸長為 20，則下列敘述那些是 正確的？(A)(3,4)為橢圓的中心(B)短軸的斜率為 3

4(C)(9,−4)為長軸上的一個頂點 (D)橢圓與正 x 軸只有一個交點(E)短軸長為 ¹⁰



3 Ans：ABCDE

八、根軸(未必存在)

Ex24.設 L 為通過橢圓 Γ₁:x−1²

3 y−2² 4 =1

4 與橢圓Γ2：4x²+3y²-18y+25=0 兩交點 的直線，則直線L 的方程式為？Ans：4x-3y+6=0

九、(補充)點線距離比： ( , ) ( , ) c d P F

e

=

a

=

d P L (離心率) 橢圓焦半徑= a±e x

Ex25.定點 F(2,0),定線 L：3x+10=0,試求到 F 的距離與到 L 的距離的比為 3：5 的動 點軌跡Ans：( 5)^{2 2}

25 16 1 x

− +

y

=

Ex26.到直線 x=−1 之距離是到點 F(1,0)之距離的兩倍的所有點所形成的圖形是一橢 圓,其中 F(1,0)為一焦點,則另一個焦點的座標？Ans：(7

3,0)

Ex27.設 P 為橢圓

^x

2

25  y

²

16 =1

上一點,F1,F2為二焦點,若∠F1PF2=60^o, 則△PF1F2的面積為 Ans：16 3

3

Ex28.己知 F1(−3,1)，F2(5,1)為平面上兩定點，則所有滿足 ^PF1PF₂ =12 之 動點P(x,y)的軌跡方程式為何？ Ans：

^{ x−1}

2

36   y−1

²

20 =1

Ex29.求滿足下列條件的橢圓方程式：

(1)中心(1,2)，兩焦點距 6，長軸平行 x 軸，長軸長 8Ans：

^{ x−1}

2

16   y−2 

²

7 =1

(2)中心(0,0),一焦點為 F(3,0),一頂點為 V(-5,0) Ans： ^{2 2} 1 25 16 x y

+ =

(3)中心(-3,2),長軸平行 y 軸,長軸長為 4,短軸長為 2 Ans：^{( 3)2 ( 2)2} 1

1 4

x+ + y− = (4)中心(-3,2),通過(4,0),軸平行座標軸,長軸長為短軸長的 2 倍

Ans：^{( 3)2 ( 2)2} 1 50 200

x+ + y− = or^{( 3)2 4( 2)2} 1

65 65

x+ + y− = (5)過點(3,2)且與 ^x

2

9 y²

4 =1 共焦點 Ans： ^{2 2 1}

15 10 x y

+ =

(6)與

^x

2

5  y

²

10 =1

共焦點且短軸長為6 Ans：

^x

2

9  y

²

14 =1

(7)兩焦點為(2,−1),(2,3)，且過點(5,3) Ans：

^{ x−2 }

2

12   y−1 

²

16 =1

(8)焦點(-1,1),(7,1)，一長軸頂點(8,1) Ans：

^{ x−3}

2

25   y−1

²

9 =1

(9)焦點(

−1,6),( −

1,0)，長軸長 10？ Ans：

^{ x1}

2

16   y−3

²

25 =1

(10)焦點為(0,-1),(0,-9),正焦弦長 12 Ans： ^{2 ( 5)2} 1 48 64 x + y+ =

(11)長軸在 y=1 上,短軸在 x=-2 上,長軸長 4,短軸長 1Ans：^{( 2)2 4( 1)2 1}

4 1

x+ + y− =

(12)焦點(-3,-2)，短軸一頂點為(0,2)，長軸平行 y 軸 Ans：

^{ x3 }

2

9   y−2 

²

25 =1

Ex30.設 k 為實數，方程式 S： ^x

2

k2y² 8−k²=1

(1)若 S 無圖形，則 k 值範圍為？ Ans：k≤−2



² ork=−2,2



² (2)若 S 的圖形為一圓，則 k 值為？ Ans：2

(3)若 S 的圖形為一橢圓，則 k 值範圍為？ Ans：

−2<k<2 

² ,k≠2 (4)若 S 為長軸在 x 軸上的橢圓，則 k 值範圍為？ Ans：2<k<2



² (5)若 S 為長軸在 y 軸上的橢圓，則 k 值範圍為？ Ans：−2<k<2

Ex31.一長方形外切橢圓

^x

2

16  y

²

25 =1

於頂點,求長方形對角線上之弦長 Ans： 82

Ex32.設(p,0)為橢圓 ^x

2

4 y²

1 =1 的長軸上一定點，且0<p<3 2， 若點(a,b)為橢圓上距離(p,0)最近之點，則 a=？(以 p 表示)Ans： 4

3 p

Ex33.己知 A、B 為橢圓 ^x

2

a²y²

b²=1 (a>b>0)與坐標軸負向的二交點。若 P 為第一象限 的橢圓弧上之一點，則

∆

ABP 的最大面積為何？Ans：

^ab

₂ ^1



^2

Ex34.設橢圓

^x

2

12  y

²

4 =1

,則過 P(0,2)的最長弦之長為 Ans： 3 2

Ex35.已知圓錐曲線



^{x32y−1 2} +



^{x−1 2y22} =6，求 (1)圖形名稱為何 (2)兩焦點坐標 (3)中心坐標

(4)長軸長(5)短軸長(6)正焦弦長

(7)長軸上的兩頂點坐標(8)長軸所在的直線方程式(9)短軸所在的直線方程式 Ans：(1)橢圓,(2)(-3,1),(1,-2),(3)(-1,-1/2),(4)6,(5)



¹¹ ,(6)11/6,

(7)(7/5,-23/10),(-17/5,13/10),(8)3x+4y+5=0,(9)8x-6y+5=0

Ex36.下列哪些選項中的資訊當作已知條件時，可以在坐標平面上求出橢圓的方程 式？(A)橢圓四個頂點的坐標 (B)橢圓兩個焦點坐標及橢圓上一點的坐標

(C)橢圓的長短軸長度 (D)橢圓兩個焦點坐標及長軸的長度 (E)橢圓的中心坐標及長短軸長度比值 Ans：ABD

Ex37.若橢圓 4x²+2y²+ax+by+2=0 對稱於點(−2,1)，求 a,b 之值及橢圓的焦點坐標 Ans：(a,b)=(16,

−4),焦點( −2,3),( −2, −1)

Ex38.坐標平面上有一橢圓，已知其長軸平行 y 軸，短軸的一個頂點為(0,4)，且其 中一焦點為(4,0)，求此橢圓的長軸長。Ans：8



²

Ex39.已知一橢圓的長軸平行於 x 軸，中心為(1,2)，且通過點(4,6)。則下列哪些點一 定會在這橢圓上？(A)(

−2, −2)(B)( −2,6)(C)(4, −2)(D)(5,6)(E)(3,4)Ans：ABC

Ex40.若方程式

^x

2

15−k  y

²

24−k =1

的圖形表一橢圓，求橢圓之焦點坐標？Ans：(0,±3)

Ex41.設有一橢圓形運動場地。令長軸兩頂點為 A 及 B，短軸兩頂點為 C 及 D。在 D 點豎有一垂直於地面的旗竿，高 10 公尺。若從 C 點地面到旗竿頂的仰角為 22.5°， 而ACD=60°，則短軸CD 之長度為？公尺，長軸 AB 之長度為？公尺 Ans：10(



² +1)，10(



^6



³ )

Ex42.求滿足下列各條件之橢圓方程式：

(1)到兩點(3,0),(−3,0)距離和為 10 Ans：

2 2

25 16 1 x

+

y

=

(2)一焦點為(0,4)，短軸在直線 x=2 上，長軸長為 10 Ans：

^{ x−2 }

2

25   y−4 

²

21 =1

(3)長軸在直線 x=2 上，短軸在直線 y=

−1 上，長軸頂點與較近之焦點距離為 2，短

軸長為4



³ Ans：

^{ x−2 }

2

12   y1 

²

16 =1

(4)與

^x

2

16  y

²

4 =1

共焦點且長軸長為4



⁵ Ans：

^x

2

20  y

²

8 =1

(5)中心在原點，軸上一頂點為(5,0)，正焦弦長為18

5 Ans：

^x

2

25  y

²

9 =1

or ^x

2

25y²

 125/9 ²=1

(6)中心為(1,2),長軸平行 x 軸且過兩點(3,4)、(–2,1) Ans：3( 1)² 5( 2)²

32 32 1 x

− +

y

− =

(7)與 ^{2 2} 1

4 9

x

+

y

=

共焦點且過(2,3) Ans： ^{2 2} 1 10 15

x

+

y

=

(8)頂點(5,-1),(-5,-1)，一焦點(3,-1) Ans：

^x

²

25   y1 

²

16 =1

(9)橢圓長軸在 x＝2，短軸在 y＝1 上﹐短軸長是長軸長的 ³₅ 倍﹐正焦弦長為¹⁸₅ Ans：^{( 2)2 ( 1)2} 1

9 25

x− + y− =

A B C ^D E

1-2 拋物線

一、定義：

平面上到一定點F 與一定直線 L 等距離的所有點所成的圖形，稱為拋物線。( F ∉L ) (1)焦點(2)準線(3)對稱軸(4)頂點(5)焦距(6)弦、焦弦、正焦弦

F

E F C A

V H

DB

I

Ex43.求以(0，-1)為焦點，y=1 為準線之拋物線方程式？Ans：x²

= −

4y

Ex44.已知坐標平面上圓 O₁: x−7²y−1²=144 與 O₁: x2²y−13²=9 相切，

且此兩圓均與直線 L : x=−5 相切。若Γ 為以 L 為準線的拋物線，且同時通過

^O

1

與 O2 的圓心，則Γ 的焦點坐標為？Ans：

^{ −1} 5 , 53

5 

Ex45.平面上，過 A(3，0)且與 x=-1 相切之所有圓的圓心所成的圖形之方程式為何？

Ans： y²=8 x−1 

二、拋物線的標準式：(新型：y²項)(舊型：x²項)

方程式 (y-k)²=4c(x-h) (x-h)²=4c(y-k)

頂點 (h，k) (h，k)

焦點 (c+h，k) (h，k+c)

準線 x=–c+h y=–c+k

對稱軸 y=k x=h

正焦弦長 4|c| 4|c|

開口方向

{

^c0c0

右 左

上 下

Ex46.在拋物線 y²=16x 上求一點 P，使得 P 點到焦點與定點 A(5，4)的距離和 PF



PA 為最小，求 P 的坐標。Ans：(1，4)

Ex47.右圖為一拋物線的部分圖形，

且A、B、C、D、E 五個點中有一為其焦點。

試判斷哪一點是其焦點？

(可利用你手邊現有簡易測量工具) (A)A(B)B(C)C(D)D(E)E.Ans：C

Ex48.求拋物線

 y−2 

²

=8 x3 

的準線？焦點？頂點？對稱軸？正焦弦長？

Ans：準線 x=-5，焦點(-1，2)，頂點(-3，2)，對稱軸 y=2，正焦弦長 8

三、拋物線的一般式：

1.上下型(舊型)：軸平行 y 軸的拋物線：y=ax²+bx+c；頂點( , ^{2 4} )

2 4

b b ac

a a

−

− −

a 正：開口向上；a 負：開口向下

註:此處的常數項 c 與標準式的焦距 c 是不同的

Ex49.已知拋物線 x²–4x–2y+2=0，求(1)頂點坐標(2)對稱軸方程式(3)正焦弦長(4)焦 點坐標(5)準線方程式(6)正焦弦的兩端點坐標。

Ans：(1)(2，–1)(2)x=2(3)2(4)(2， 1 2

−

)(5)y= 3 2

−

(6)(3， 1 2

−

)，(1， 1 2

−

)

2.左右型(新型)：軸平行 x 軸的拋物線：x=ay²+by+c；頂點( ^{2 4} , )

4 2

b ac b

a a

−

− −

a 正：開口向右；a 負：開口向左

Ex50.求拋物線^{2y23x−4y4=0} 的頂點？焦點？準線？

Ans： 2 25 7

( ,1), ( ,1), 3 24 x 24

− − = −

3.歪斜型：有 xy 項；從定義化簡可得一般式(無標準式) Ex51.設拋物線方程式



^{x32y−12=}

^

^{2 x− y 2}



^{5 ，}

求(1)焦點坐標(2)準線方程式(3)正焦弦長(4)對稱軸方程式(5)頂點坐標 Ans：(1)(-3，1)(2)2x–y+2=0(3)2



⁵ (4)x+2y+1=0(5)(-2， 1

2)

Ex52.滿足頂點為 V(0，1)，焦點為 F(–1，3)的拋物線方程式為何？Ans：

4x²+4 xy +y²+16x–42y+41=0

四、拋物線方程式的求法 (1)利用拋物線定義解之。

(2)利用標準式或一般式的公式解之

Ex53.求合乎下列條件的拋物線方程式：

(1)準線 L：x=3，頂點 V(–2，3)。Ans：(y–3)²=–20(x+2) (2)頂點 V(1，–2)，焦點 F(1，–3)。Ans：(x–1)²=–4(y+2) (3)準線為水平線，焦點 F(3，–2)，正焦弦長為 16。

Ans：(x–3)²=–16(y–2)或(x–3)²=16(y+6)

(4)過兩點 A(2，3)，B(–1，6)，且與直線 x=1 對稱。Ans：(x–1)²=y–2

Ex54.過點 A(7，8)，且與拋物線 y²=4x 共焦點、共軸的拋物線方程式？

Ans：y²=8(x+1)或 y²=–32(x–9)

五、軌跡方程式：

L y

x

(c,0)

(x2,y2)=(ck²,2ck) (x1,y1)=(ct²,2ct)

B O F

A

Ex55.設有一動圓 C

′

與圓C：x²+y²–8x+12=0 及直線 L：x+2=0 均相切，求此動圓 C

′

的圓心所成之圖形方程式。Ans：y²–16x=0 或 y²–8x+16=0

六、參數式：

(上下型)P

∈Γ：(x-h)

²=4c(y-k)⇔P(h+2ct，k+ct²) (左右型)P

∈Γ：(y-k)

²=4c(x-h)⇔P(h+ct²，k+2ct)

Ex56.拋物線 y²=16x 上與直線 4x–3y+24=0 距離最短之點坐標？Ans：( 9 4，6)

Ex57. ^{Γ : y2=8x} 之焦點為F，若 P

∈Γ，求 PF 中點軌跡方程式？Ans：

^{y2=4  x−1}

參數式vs.焦弦(補充) (1)左右型

設拋物線y²

=

4cx，c

>

0， AB 為其焦弦，

2 2

1 1 2 2

( , ) ( , 2 ), ( , ) ( , 2 ), 0 A x y

=

ct ct B x y

=

ck ck t

>

1.tk

= −

1

2.x x1 2

=

c²， y y1 2

= −

4c² 3.^{AB c t t}

⁼ ( ⁺

⁻¹

)

²

4.a OAB c t tV

=

²

( +

⁻¹

)

(2)上下型(同理)

設拋物線x²

=

4cy，c

>

0， AB 為其焦弦，

2 2

1 1 2 2

( , ) (2 , ), ( , ) (2 , ), 0 A x y

=

ct ct B x y

=

ck ck t

>

1.tk

= −

1

2.x x1 2

= −

4c²，y y_{1 2}

=

c² 3.^{AB c t t}

⁼ ( ⁺

⁻¹

)

²

4.a OAB c t tV

=

²

( +

⁻¹

)

七、弦長、中點弦、弦中點：(略)

Ex58.已知拋物線 y²=4x 的焦點為 F，頂點為原點 O，若拋物線焦弦 PQ 長為 6，求

△OPQ 的面積為何？Ans：



⁶

Ex59.求滿足下列各條件之拋物線方程式：

(1)頂點 V(1，–2)，準線 L：x+1=0。Ans：(y+2)²=8(x–1)

(2)頂點在 y 軸上，軸為 y=2 且焦點在 x+2y=7 上。Ans：(y–2)²=12x

(3)焦點(–2，0)，準線平行 y 軸，正焦弦長為 8。Ans：y²=–8x、y²=8(x+4) (4)過三點(–4，1)、(0，–1)、(–3，0)且對稱軸平行 x 軸。Ans：x=y²–2y–3 (5)過兩點(2，3)、(–1，6)，對稱軸為 x=1。Ans：y=x²–2x+3

Ex60.在拋物線 y²=20x 上求一點 P，使 P 點與焦點的距離為 15，求 P 點的坐標。

Ans：(10， ^±10



2 )

Ex61.坐標平面上拋物線^{C : y=−4x29} 以外部分被C 分成兩個不相交區域，試問下 列哪些點與拋物線的焦點位於同一區域？

(A)( 3

2，2)(B)(1，4)(C)( 1 2

−

，7)(D)(1

2，7)(E)(0，9)Ans：BCD

Ex62.若拋物線 y²–4cx+4y+2(2+11c)=0 之準線為 x–6=0，求 c 值，頂點、焦點坐標。

Ans：c= 1 2

−

;V(11

2 ，–2);F(5，–2)

Ex63.圓 x²+y²–2x+4y–3=0 與 x 軸交於 A、B 兩點，則以 AB 為正焦弦之拋物線方程 式為何？Ans：(x–1)²=4(y+1)或(x–1)²=–4(y–1)

Ex64.設 BC 為等腰△ABC 之底邊，且 BC =2，點 A 在以 B 為頂點，C 為焦點的一拋 物線上，求△ABC 的腰長。Ans：3

Ex65.設 k>0，而點 P(k²，2k)為拋物線 y²=4x 上一點，且 P 與焦點之連線交拋物線 於另一點Q，又 R 點坐標為(3，0)，則(1)△PQR 的面積？(2)若 P 點在拋物線上移 動，則當k=？△PQR 的面積為最小值？Ans：(1)^{2k 2}_k (2)k=1，4

Ex66.設 k>0，若兩直線在 y=kx²的頂點O 互相垂直，且分別與此拋物線交於 A、B 兩點，則OAB 的面積最小值為何？Ans：¹_k2

Ex67.設 y=f(x)及 y=g(x)的圖形都是拋物線，一個開口向上，一個開口向下，則 y=f(x)+g(x)的圖形可能出現下列那些情形？(A)兩條拋物線(B)一條拋物線(C)一條 直線(D)橢圓(E)雙曲線 Ans：BC

Ex68.已知y

=

f x( )的圖形為拋物線，且圖形通過(−1，0)、(

−9，0)、(0，9)三點，

試求f(x)、頂點座標、焦點座標及準線方程式 Ans： y x

=

²

+

10x

+

9；(

−

5，16)；(

−

5， 63

4

−

)；y= 65 4

−

Ex69.已知拋物線的軸平行於 x 軸，且過三點(1，0)，(1，-4)，(-2，2)，

則此拋物線的方程式為？Ans： ^y24x4y −4 =0

Ex70.求頂點為(2，2)，軸平行 y 軸，且過(6，4)的拋物線方程式。

Ans：^x−2 ²=8 y −2 

Ex71.關於方程式3 19 ^{2 2} ( 1) ( 2) 10

x y

x y

+ − = + + −

所代表的錐線圖形

Γ

，下列何者為真？

(A)Γ為拋物線(B)(1，2)為Γ的焦點(C)3x+y

−19=0 為Γ

的漸近線(D)x

−

3y+7=0 為Γ的 對稱軸(E)(3，1)為Γ的頂點Ans：AD

Ex72.方程式

5  ^{ x−3 }

²

^{ y−5}

²

=∣3x4y12∣

，(1)焦點為？(2)準線方程式為？(3)對 稱軸方程式為？(4)正焦弦長為？Ans：(3，5)，3x+4y+12=0，4x-3y+3=0，⁸²₅

Ex73.

 ^5x

²

^5y

²

⁻¹⁰ x20 y25=∣x2y3∣

的圖形為(A)拋物線(B)雙曲線(C)橢圓(D) 一直線(E)圓。Ans：D

Ex74.拋物線以(1，1)為焦點，以直線 x+y+2=0 為準線，

求此拋物線方程式、頂點坐標、對稱軸、正焦弦長。

Ans： ^{x2−2xyy2−8x−8y=0} ，(0，0)，x-y=0， 4



²

Ex75.拋物線Γ的準線為2x–y–2=0，頂點是(–2，–1)，求

Γ的(1)軸方程式(2)焦點坐

標(3)正焦弦長。Ans：(1)x+2y+4=0(2)(–4，0)(3)4



⁵

Ex76.拋物線之焦點為(1，1)，準線為 x+y+2=0，a 為一實數。若點(15，a)在此拋物 線上，且a<15，求 a 值。Ans：3

Ex77.拋物線的準線為 x+y–2=0，對稱軸為 x–y=0，正焦弦長為4



² ，且焦點在第 一象限，求拋物線方程式。Ans： ^{x2−2xyy2}−8x−8y32=0

Ex78.已知拋物線之焦點 F(2，2)，對稱軸 x–y=0，正焦弦長 4



^{2 ，求拋物線方程式} Ans：x²

−

2xy

+

y²

−

8x

−

8y

+

16 0

=

或x²

−

2xy

+

y²

+

8x

+

8y

−

48 0

=

Ex79.若 P 為拋物線 ^y2=4x 上的動點，Q 為圓^x−3²y²=1 上的動點，則 PQ 的最 小值為？此時 Q 點坐標為？Ans： 2



²⁻¹ ，

^{ 3}  ²⁻¹

 ^{2 ,±}

1

 ^{2 }

Ex80.拋物線 ^y=x2 的一弦 AB 被點P(2，12)分割成 PA

:

PB

=2 : 1

，則^AB 的方程式 為？Ans：

^y=2x8

or

y=6x

Ex81.若一拋物線的正焦弦二端點 M(1,－1)﹐ N(3,5)﹐ 試求準線的方程式？

Ans： 3x y

− =

14or 3x y

− = −

6

Ex82.求滿足下列條件的拋物線方程式：

(1)焦點 F(1，1)，準線 L：x+y+2=0。Ans：x²–2xy+y²–8x–8y=0

(2)頂點 V(4，4)，準線 L：x+y+4=0。Ans：x²–2xy+y²–48x–48y+384=0

Ex83.過三點(1，1)，(2，3)，(–1，3)且對稱軸平行 y 軸的拋物線？Ans：y=x²–x+1

Ex84.給定圓 C：(x–1)²+(y+1)²=2，直線 L：x–y+2=0，

(1)若圓 C1與圓C 外切，且與 L 相切，則 C1圓的圓心軌跡方程式為何？

(2)若圓 C2與圓C 內切，且圓 C2與L 相切，則 C2圓的圓心軌跡方程式？

Ans：(1)x²+2xy+y²–12x+12y–12=0(2)x²+2xy+y²–4x+4y+4=0

Ex85.設 P 為拋物線Γ：y=2x²上的動點，Q 為直線 L：y=2x–5 上的動點，求：

(1) PQ 的最小值。(2)相應的 P、Q 點坐標。Ans： ^{1 9}₂



^{5 2  P }

1 2 ,1

2 ,Q 23 10 ,−2

5 

Ex86.直線 y=2x+k 與拋物線 ^{y=x2−7x10} 相交的弦長為5，求 k？Ans：-9

Ex87.設拋物線 x²+4x–4y+8=0 之一弦被點(–1，3)平分，求：

(1)包含此弦之直線方程式為何？(2)此弦之長度為何？

Ans：x–2y+7=0；



³⁵

Ex88.拋物線與圓恰相切於三點，求焦距與半徑關係？

L₂ L₁

B' A'

B A

F₂ F₁

O

1-3 雙曲線

一、定義：平面上到兩定點 F1和F2的距離差的絕對值為定值 2a 之 所有點所成的圖形，稱為雙曲線 ，其中F F >2a>0_{1 2}

(F F >2a_{1 2}

⇔雙曲線

F F =2a⇔二射線_{1 2} F F <2a_{1 2}

⇔沒有圖形

) 兩定點F1和F2稱為此雙曲線的兩個焦點

兩焦點的連線F F 與雙曲線交於 A、A_{1 2}

′

，稱為此雙曲線的兩個 頂點 ，而 A A^' 稱為此雙曲線的貫軸 (2a)

貫軸的中點與F F 的中點重合，稱為此雙曲線的中心_{1 2}

以中心為中點且與貫軸垂直的一特定線段，稱為此雙曲線的共軛軸

雙曲線上相異兩點的連線段稱為弦 ，過焦點的弦稱為焦弦 ，垂直於貫軸所在直線的焦弦稱 為正焦弦

若P 為雙曲線上任一點，則PF 與₁

PF 稱為過 P 點的兩個焦半徑2

設P 為雙曲線上一點，當 P 點沿著雙曲線向遠處移動時，若此點到某一直線之距離愈來愈 接近0，則稱此直線為雙曲線的漸近線

Ex89.一動點 P 到二定點 A(-3，2)，B(5，2)的距離差為 4 的 P 點軌跡方程式 Ans：

^{ x−1}

2

4 −  y−2 

²

12 =1

Ex90.試就 k 值討論 (x−1)²+ (y+ 2)² − (x+ 2)² + (y− 2)² = k之圖形

Ans：0<|k|<5⇔雙曲線的一支；|k|=5⇔一射線；k=0

⇔

一直線；|k|>5⇔沒有圖形

Ex91.試判斷下列方程式圖形：

(1) ^∣



^{x−1 2y−1 2−}



^{x2y12∣=3} ， (2) ^∣



^{x−1 2y−1 2−}



^{x2y12∣=}



⁵ ，

(3) ^∣



^{x−1 2y−1 2−}



^{x2y12∣=2} Ans：(1)沒有圖形，(2)兩射線，(3)雙曲線

二、雙曲線的標準式：a>0，b>0，貫軸長=2a 共軛軸長=2b 焦點距=2c

c

²

=a

²

+b

²

方程式 x−h²

a² −y−k ²

b² =1 −x−h²

b² y−k ² a² =1

中心 (h，k) (h，k)

焦點 (h±c，k) (h，k

±c)

貫軸 y=k x=h

貫軸頂點 (h±a，k) (h，k

±

a)

共軛軸 x=h y=k

正焦弦長 2 b²

a

2 b² a

漸近線 b(x-h)

±a(y-k)=0

a(x-h)

±b(y-k)=0

F₂ F₁

F₂ F₁

Ex92.雙曲線方程式為 3x²–y²+6x+2y–16=0，則(1)中心？(2)貫軸長？(3)共軛軸長？

(4)正焦弦長？(5)頂點？(6)焦點？(7)貫軸所在的直線方程式？(8)共軛軸所在的直 線方程式為？(9)漸近線方程式？(10)共軛雙曲線方程式？

Ans：(1)(

−1，1)(2)2 

⁶ (3)6



² (4)6



⁶ (5)(

−1 ± 

⁶ ，1)(6)(

−1±

2



⁶ ，1)(7)y=1 (8)x=−1(9)



³ x+y+



³

−

1=0；



³ x

−y+ 

³ +1=0(10)

−  x1 

²

6   y−1 

²

18 =1

Ex93.求雙曲線9x²

−

4y²

+

18x

+

12y

−

144 0

=

之中心、漸近線 Ans：(

−

1，3

2)；3x

−

2y+6=0、3x+2y=0

三、求雙曲線方程式

Ex94.試求滿足下列條件的雙曲線方程式：

(1)焦點為(15，2)，(

−11，2)，貫軸長為 10

(2)貫軸在 x 軸上，共軛軸在 x+2=0 上，且過兩點(8，7)，(3，1) (3)與橢圓 ^{2 2} 1

5 3 x y

+ = 共焦點，且過點(−1，0)之雙曲線方程式 (4)與雙曲線( 2)² ( 3)²

9 16 1

x

+ −

y

− =

共焦點，且過(-2，0)之橢圓方程式

Ans：(1)^{( 2)2 ( 2)2} 1 25 144

x− − y− = (2)^{16( 2)2 2} 1 375 15

x+ − y = (3)x²–y²=1(4)( 2)² ( 3)² 34 9 1 x

+ +

y

− =

Ex95.以(−1，1)，(3，1)為焦點，且通過點(3，4)畫一雙曲線，試問此雙曲線也會 通過下列那些點？(A)(1，1)(B)(

−1，4)(C)(3，2)(D)( −1，2)(E)(3，1)

Ans：BCD

四、已知二漸近線 a1x+b1y+c1=0，a2x+b2y+c2=0，

則雙曲線方程式為(a1x+b1y+c1)(a2x+b2y+c2)=k， k ≠0 例: x y=1 (國中的反比)

Ex96.求二漸近線 y=2x，y=

−2x 且過點(3，8)的雙曲線方程式 Ans：4x

2

−

y2+28=0

五、等軸雙曲線：

(1)貫軸長=共軛軸長(即 a=b=

2 c ) (2)漸近線互相垂直

(3)長方形

⇒正方形

Ex97.過點(4，2)之等軸雙曲線，其中心(2，3)，其一漸近線 x+2y

−8=0，

求(1)另一漸近線方程式(2)雙曲線方程式(3)此雙曲線之共軛雙曲線方程式 Ans：(1)2x–y–1=0(2)(2x−y−1)(x+2y−8)=−72(3)(2x−y−1)(x+2y−8)=72

六、共軛雙曲線

(1)定義：設 ^1, ₂為兩雙曲線，若 ₁的共軛軸為 ₂的貫軸(含長度)，且 ₁的貫軸為 ₂的 共軛軸(含長度)，稱 1, ₂ 互為共軛雙曲線

(2)特性：有共同的漸近線及中心，且焦距相等 例：

Γ

1： ^x

2

a²−y²

b²=1 與

Γ

2： ^−x

2

a²y²

b²=1 互為共軛雙曲線 例：(a1x+b1y+c1)(a2x+b2y+c2)=±k 互為共軛雙曲線

Ex98.求雙曲線2x²

−

3y²

+

4x

+

12y

−

22 0

=

之共軛雙曲線 Ans：

2 2

2x

−

3y

+

4x

+

12y

+ =

2 0

Ex99.求雙曲線(3x-2y-1)(3x+2y-2)=2 的共軛雙曲線？Ans：(3x-2y-1)(3x+2y-2)=-2

七、二次曲線標準式ax²+cy²+dx+ey+f=0 之圖形的討論 ac=0：

可化成(y-k)²=T(x-h)或(x-h)²=T(y-k)

⇒拋物線

可化成(y-k)²=T 或(x-h)²=T (a)T>0⇒二平行直線 (b)T=0⇒二重合直線 (c)T<0⇒無圖形 ac

≠

0：

可化成 x−h²

p y−k ²

q =0 ，則 (a)pq<0⇒二相交直線

(b)pq>0⇒一點(h,k)

可化成 x−h²

p y−k ²

q =1 ，則 (a)pq<0⇒雙曲線

(b)p<0，q<0⇒無圖形

(c)p>0，q>0⇒橢圓(A

≠B)或圓(A=B)

Ex100.設 k 為一實數，若方程式 y2

−2ky −kx

2

−

4x+6=0 之圖形為貫軸與 x 軸平行之雙 曲線，求k 之範圍 Ans：0<k

<

1

+

3

Ex101.設方程式 ^x

2

k²−4y²

k²−16=1 的圖形為S，k

∈R

(1)若 S 的圖形為一橢圓，則 k 值範圍？焦點坐標為？

(2)若 S 的圖形為一雙曲線，則 k 值範圍？焦點坐標？

Ans：k>4ork<-4，(±2



³ ，0)；2<k<4or–4<k<-2，(±2



³ ，0)

八、軌跡方程式：

Ex102.動點 P 到定點 F(–5，0)的距離是到定直線 L：x+¹⁶₅ =0 距離的⁵₄ 倍，求所 有P 點所成之軌跡方程式 Ans：

^x

2

16 − y

²

9 =1

Ex103.設一動圓 C

′

與圓C：(x+4)²+y²=36 相切，且過定點 A(4，0)，求 C′圓之圓心 軌跡方程式Ans： ^x

2

9 −y² 7 =1

Ex104.過原點的動直線與二直線 x+y=2，x-y=2 交於 P，Q 兩點，則 PQ 中點的軌跡 為何？Ans：(x

−

1)²

−

y²

=

1

九、弦長、中點弦：(略) 十、參數式：Γ： ^x

2

a²−y²

b²=1

⇔ {

^{x=a secy=b tan  (}

^θ≠

^{π2 nπ ，n∈Z)}

Ex105.設 A 點(3，0)，P 是雙曲線 x²=4y²+4 上任一點，求 AP 最小值為何？此時 P 點坐標為何？Ans：min= 2



⁵

5 ； P 12

5 ,±



¹¹

5 

十一、漸近線的性質：P 為雙曲線Γ： ^x

2

a²−y²

b²=1 上任一點，

(1)P 至兩漸近線距離之乘積為一定值^a

2b²

a²b²

(2)過 P 點作兩漸近線的平行線，則此兩線與漸近線所圍的平行四邊形面積為 ∣a b∣

2 (3)過 P 點作雙曲線的切線交雙曲線於 Q、R，則∆PQR 面積= ∣a b∣

Ex106.雙曲線 4x²–9y²+8x+18y–41=0 (1)二條漸近線所夾之銳角為

θ

，求tan

θ

(2)此雙曲線上任一點到其二漸近線距離之積為何？Ans：12 5 ； 36

13

Ex107.若 P 為雙曲線 ^x

2

9 −y²

4 =1 上任一點，過P 做二漸近線的平行線，則此二直線 與二漸近線所圍成的平行四邊形的面積為何？Ans：3

Ex108.雙曲線|



^{x−2 2y−12−}



^{x2y1 2} |=2，則

(1)焦點？(2)中心？(3)貫軸長？(4)頂點？(5)共軛軸長？(6)正焦弦長？(7)貫軸直線 方程式？(8)共軛軸直線方程式？Ans：(1)(2，1)，(0，1)(2)(1，0)(3)2(4)(

 ²⁻¹

 ^{2 ,−}

1

 ²

^)，(

 ^21

 ^{2 ,}

1

 ²

)(5)2(6)2(7)x–y–1=0(8)x+y–1=0

Ex109.設 F(1，1)，F′(

−1，1)，P(x，y)為平面之點，且| PF -

^{P F'} |=2，

求P 點的軌跡方程式 Ans：xy= 1 2

Ex110.已知兩定點 A(2，1)，B(0，–1)，k∈R，設 S2表滿足| PA

⁻

PB |=k 的 P 點軌 跡，則

(1)當 S2的圖形為一雙曲線，k 值範圍為何？Ans：0<k<2



² (2)當 S2的圖形為一直線，k 值範圍為何？Ans：k=0

(3)當 S2沒有圖形，k 值範圍為何？Ans：k>2



² ork<0

Ex111.在平面上有兩定點 F1(

−1，2)，F

2(3，1)及一動點 P，則 (1)滿足 ^PF1−PF₂ =4 之所有點 P 的軌跡為？Ans：雙曲線的一支 (2)滿足| ^PF1−PF₂ |=3 之所有點 P 的軌跡為？Ans：雙曲線 (3)滿足| ^PF1−PF₂ |=5 之所有點 P 的軌跡為？Ans：二射線 (4)滿足 ^PF1−PF₂ =0 之所有點 P 的軌跡為？Ans：一直線 (5)滿足| ^PF1−PF₂ |=8 之所有點 P 的軌跡為？Ans：沒有圖形：

Ex112.試求滿足下列條件的雙曲線方程式：

(1)中心為(1，-1)，一焦點為(11，-1)，一漸近線斜率為 3 4

(2)貫軸平行 x 軸，兩漸近線為 3x+4y=0，3x–4y=0，且正焦弦長為9 2 (3)漸近線為 3x+4y+2=0，3x-4y+10=0，且一焦點為(-2，5)

(4)中心為(1，2)，兩漸近線為 2x-ay=0，2x+y=b 且過(6，10) Ans：(1)^{( 1)2 ( 1)2} 1

64 36

x− − y+ = (2) ^{2 2} 1 16 9

x − y = (3) ^{25( 2)2 25( 1)2} 1

256 144

x+ y−

− + = (4)(2x-y)(2x+y- 4)=36

Ex113.已知雙曲線^{9 x2−4y218}x−16 y −43=0 ，試求(1)中心？(2)頂點？(3)焦點？

(4)漸近線方程式？(5)正焦弦長？Ans：(1)^{−1,−2 ,} (2) (1, 2),( 3, 2)

− − −

，(3)

−1±



¹³,−2 ，(4) 3x

−

2y

− =

1 0or x3

+

2y

+ =

7 0，(5)9

Ex114.雙曲線9x²

−

4y²

+

18x

+

8y

−

31 0

=

的貫軸長等於 Ans：4

Ex115.求雙曲線 ^{4y2−49x2=196} 的(1)焦點，(2)頂點，(3)貫軸長，(4)共軛軸長，

(5)正焦弦長 Ans：(1) ^0,±



^53 ，(2)(0，±7)，(3)14，(4)4，(5)⁸₇

Ex116.二漸近線 3x+4y=0，3x–4y=0 且一焦點(0，5)的雙曲線方程式為？

Ans： ^{2 2} 1 16 9

x y

− + =

Ex117.已知等軸雙曲線Γ的一條漸近線為x−y=0，中心座標為(1，1)，

且通過點(3，0)，試問下列那些敘述是正確的？

(A)二條漸近線互相垂直(B)x+y=0 為

Γ的另一條漸近線

(C)Γ的貫軸在直線y=1 上 (D)(1，

 ³⁻¹

^)為

Γ

的一個頂點(E)(1，



^{6−1 )為}

^Γ

的一個焦點 Ans：AC

Ex118.已知等軸雙曲線的中心為(1，2)，一漸近線為 x–2y+3=0，且過(2，2)，

求：(1)另一漸近線方程式(2)雙曲線方程式 Ans：2x+y–4=0；(x–2y+3)(2x+y–4)=2

Ex119.雙曲線的貫軸平行 x 軸，兩漸近線垂直於(-1，2)，且其貫軸長為 4，求其方 程式Ans：^x1

2

4 −y−2 ²

4 =1

Ex120.已知雙曲線 G 的二漸近線為 3x+2y–7=0，3x–2y+1=0，又 G 的共軛雙曲線 G

′

過點P(3，0)，試求 G 之方程式 Ans：(3x+2y–7)(3x–2y+1)=-20

Ex121.雙曲線兩焦點為(3，2)，(-1，4)，求共軛雙曲線之兩焦點 Ans：(2，5)，(0，1)

Ex122.設 a，b 為實數，關於二元二次方程式 x²+ay²+2bx–4y=0 的圖形 Γ，下列那 些敘述是正確的？(複選)(A)若 a=0 且 b=0，則 Γ 是一個拋物線(B)若 Γ 是一個拋物 線，則a=0 且 b=0(C)若 Γ 是一圓，則 a=1(D)若 Γ 是一個橢圓，則 a>0(E)若 Γ 是一 個雙曲線，則 a<0Ans：(A)(C)(D)(E)

Ex123.若方程式 ^x

2

t 1y²

2t²−4=1 表一雙曲線，則 t 的範圍為？

Ans：^{t −}



2 or −1 t 



2

Ex124.在坐標平面上，請問下列那些直線與雙曲線

^x

2

25 − y

²

4 =1

不相交？

(A)5y=2x(B)5y=3x(C)5y=2x+1(D)5y=−2x(E)y=100Ans：ABD

Ex125.已知一等軸雙曲線中心為(0，0)，貫軸在 x 軸上，若其上任一點到兩漸近線 距離乘積為4，則此雙曲線方程式為何？Ans： ^x

2

8 −y² 8 =1

Ex126.兩焦點(2，–1)、(2，5)，共軛軸長 4 的雙曲線上任一點到其二漸近線距離之 乘積為？Ans：20

9

Ex127.雙曲線 ^x2−4y2=4 上任一點至二漸近線之距離乘積為何？Ans：₅⁴

Ex128.求雙曲線 (x

+

4)²

+

(y

−

1)²

−

(x

−

2)²

+

(y

+

7)²

=

6之頂點座標 Ans：(4

5， 27 5

−

)，( 14 5

−

， 3

5

−

)

Ex129.方程式



^{x32y−1 2−}



^{x−5 2y52=±8 的}

(1)中心？(2)頂點？(3)正焦弦長為？Ans：(1，-2)， ^₅^21,−22₅ ^,−11₅ ^,2₅ ^ ， 9 2

Ex130.試求滿足下列條件的雙曲線方程式：

(1)焦點為(2，3)，(2，-1)且過點 P(5，1)Ans： ^{( 2)2 ( 1)2 1}

3 1

x− y−

− + =

(2)中心在原點，一漸近線為 3x–4y=0，一焦點為(–3，0)Ans：

2 25 2

25 1

144 81 y x − = (3)頂點為(2，–2)，(8，–2)，一漸近線斜率為 3

4

−

Ans：^{( 5)2 16( 2)2} 1

9 81

x− − y+ =

Ex131.橢圓 C1與雙曲線C2共焦點，直線 y=x 為 C2之一漸近線，點(



⁶ ，



³ )為 C1

與C2之一交點，若C1方程式為 ^x

2

a²y²

b²=1 ，其中a>b>0，求 a²，b²之值 Ans：12，6

Ex132.與橢圓

^{ x2 }

2

9   y−3 

²

16 =1

共焦點，且貫軸長為4 的雙曲線方程式？

Ans：^{x2 }

2

3 −y−3 ²

4 =−1

Ex133.圓 C1：(x–5)²+y²=1，圓 C2：(x+5)²+y²=49，若一動圓與 C1，C2均內切或均 外切，求此動圓之圓心軌跡方程式Ans：

^x

2

9 − y

²

16 =1

Ex134.雙曲線的兩漸近線 M1﹕ 2x＋3y－5＝0﹐ M2﹕ 2x－3y＋1＝0﹐ 貫軸平行 x 軸 且正焦弦長為 ⁸₃ ﹐求雙曲線的方程式？Ans：( 1)² ( 1)²

9 4 1 x

− −

y

− =

Ex135.雙曲線 x²－4y²＋4x＋8y－4＝0 中﹐所有斜率為－2 的弦的中點所在直線方 程式？Ans：x+8y=6

Ex136.設過 P(¹₃ ^,2₃ )的直線與雙曲線 x²–y²=1 相交於兩點 M，N，且 P 為線段 MN 的 中點，求：(1)直線^MN 的方程式(2)弦 MN 的長 Ans：x–2y+1=0； ⁴



⁵

3

1-4 圓錐曲線與直線的關係

一、直線與錐線的關係：直線L：ax+by+c=0 與錐線 Γ：f(x，y)=0 解聯立得一元二次方程式，

設此方程式的判別式為D

(1)若 D>0，則 L 與 Γ 交於兩點。

(2)若 D=0，則 L 與 Γ 相切。

(3)若 D<0，則 L 與 Γ 不相交。

註：若聯立所得為一元一次方程式，則L 與 Γ 交於一點，但非相切 穿刺非相切，漸近線也非切線

切線的定義：設直線L 和錐線 Γ 相交於 P，Q 兩點，當直線 L 連續變動時，

P，Q 兩點沿著錐線漸漸靠近，一直到 P，Q 兩點重合成一點 T，

此時直線L 稱為錐線在 T 點的切線，T 稱為切點。

通過切點T 且與切線垂直的直線稱為錐線在 T 點的法線。

Ex137.判斷 L 與 Γ 相交的情形：

(1)L：y=2x+5，Γ： y x

=

² (2)L：y=2x+5，Γ：

2 2

4 9 1 x

+

y

=

(3)L：y=2x，Γ： ^{2 2} 1

1 4 x

−

y

=

(4)L：y=2x-1，Γ：

2 2

1 4 1 x

−

y

=

Ans：交於兩點，相切，沒有交點，交於一點(非相切)

Ex138.若直線 y=x+k 與橢圓 ^x

2

2 y²

3 =1 相交於兩相異點，則k 的範圍為？

Ans：⁻



^{5k }



⁵

二、求切線

1.給曲線上一點(切點)求切線(換一半)

已知切點(x1，y1)，圓錐曲線ax²

+

bxy cy

+

²

+

dx ey

+ +

f

=

0的切線方程式為

1 1 1 1

1 1 0

2 2 2

x y xy x x y y ax x b

+ + +

cy y d

+ + +

e

+ +

f

=

Ex139.過 ^x2−2y24x4y−26=0 上P(4，3)之切線方程式為？Ans：3x-2y-6=0

2.給定斜率求切線

圓錐曲線 切線方程式(斜率 m)

(x h

−

)2

=

4 (c y k

−

) (y k

−

)

=

m x h(

−

)

−

cm² (y k

−

)2

=

4 (c x h

−

) ( ) ( ) c

y k m x h

− = − +

m

2 2

( ) ( ) x h y k 1

p q

− + − =

y−k =m x−h±



^{p m2q}

Ex140.已知切線斜率為 2，求下列錐線的切線方程式：(1) ^y2=12x (2) ^x2=8y (3) x²

y²=1 (4) ^x

2

−y²=1 (5) ^x2y²=4 。