2 冗余直驱龙门的多

摘要：本章针对冗余直驱龙门平台的完整运动进行了详细的机理分析，基于滚动直线导轨副的弹性特征，给出了平台运动的完整描述—梁上负载和横梁整体的平移运动以及通常被忽略的横梁旋转运动，并准确建立了基于物理连接刚性和导轨副支撑柔性的三自由度耦合动力学模型。随后对耦合模型进行了简化处理，得到易用于频域辨识验证的线性传递函数模型。为通过频域辨识以验证模型结构的准确性，同时获得较为准确的动力学参数，分析了非线性摩擦力对系统本质线性动力学频率响应的影响机理，从而提出一种基于摩擦力补偿的频域辨识新方法。在冗余直驱龙门实验平台上，进行了相应的辨识实验，首先验证了所提出频域辨识方法的有效性，随后进一步验证了动力学建模的正确性并获得准确的模型信息，为高性能控制器设计和控制方法研究提供基础。

冗余直驱龙门运动平台作为数控加工等工业应用的核心功能部件，对平台运动性能、

加工精度等具有严格的需求，这往往导致在机械结构上，各驱动部件、导向元器件与被驱动轴之间具有高刚性的物理连接，以实现更高的整体频宽。为此，针对该类平台的控制研究，往往基于对 X 轴和 Y 轴动力学的全刚性假设，只对各轴的直线平移运动进行单独建模，并以此为基础指导控制器设计。然而，已有研究表明，在此类系统整体部件高刚性连接的前提下，直线导轨副中滚珠元件的刚性相对较低。Zheng 等^[22] 以单侧驱动的龙门平台为研究案例，分析了直线导轨引起的高频柔性模态，由于滚珠的相对柔性特征，

导致横梁在沿导轨直线运动的同时，还允许其小角度摆动。因此，仅仅 X 轴和 Y 轴各自独立的直线平移运动无法完整描述平台的整体运动特性；同时，缺乏对该类系统刚柔耦合特性的认知分析，往往无法处理好冗余驱动轴—Y 轴两平行电机之间的协同运动问题，

从而限制其运动跟踪的性能，甚者造成运动失稳。

目前，基于对此类系统合理刚柔性耦合分析的建模研究尚只涉及 Y 轴冗余驱动子系统的两自由度结构^[32]，其亦无法描述平台的完整动力学特性。实际上，在横梁旋转的影响下，X 轴和 Y 轴的直线运动正交关系不复存在，从而造成两轴运动自由度之间更为复杂的动态耦合关系。因此，基于冗余直驱龙门平台的合理刚柔物理特性分析，选取合适的自由度以描述平台的完整运动，并进一步研究多自由度复杂耦合关系的产生机理、表

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现形式及其对控制性能的限制，进而以此为基础提出适用于实时模型补偿运动控制的准确多变量动力学模型，对指导控制器设计，提高系统整体控制性能，发挥硬件结构的潜在优势具有重要的指导意义。

2.1 冗余直驱龙门动

本节将从 H 型冗余直驱龙门平台的通用结构着手，通过对各部件及其连接的刚柔特性进行合理的分析假设，提出可完整描述平台运动的表达形式，进而选取合适的自由度，

建立涵盖平台刚体特性及主要柔性特征的多自由度耦合动力学模型。

X Y

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图 2.1 冗余直驱龙门平台通用结构示意图

图2.1所示为 H 型冗余直驱龙门运动平台的通用结构示意图。从中可以看出，该平台具有三个独立的直线电机，其中 Y 轴两直线电机 Y1 和 Y2 的定子平行安装在平台底座上，其动子则刚性固定在大跨距横梁的两侧，用以驱动横梁整体沿 Y 轴直线导轨方向的运动。同时，横梁上的移动工作头由 X 轴直线电机驱动，用以提供额外的 X 轴方向运动。

2.1.1 运动

为了准确描述冗余驱动平台的完整运动，首先对其各结构部件进行相对刚柔性分析。

总体来说，为了满足平台高性能定位等应用需求，驱动电机的动子、横梁以及导轨副的滑块之间刚性连接，整体可被视为刚体；而相对的，直线导轨副中刚度相对较低的滚珠

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根据 E = E_k− Ep，可以求出平台的总能量，从而利用拉格朗日方程 ^d

(∂E

∂ ˙qi

)−^∂E_∂q_i =

F_i, i = 1, 2, 3，可以计算得到如下动力学关系式:

M_xysin α + M¨ xh ¨α + M_xx¨− Mxx ˙α² = F₁ (2.7) M_yy + M¨ _x(hsin α + x cos α)¨α + M_xxsin α + M¨ x[(hcos α− x sin α) ˙α²+ 2 ˙x ˙αcos α] = F2

(2.8) M_x(hsin α + x cos α)¨y +[

J_M + M_x(x²+ h²)]

α + M_xh¨x + 2M_xx ˙x ˙α+K_αα = F₃ (2.9) 其中，M_y = M_b+ M_x表示 Y 轴整体负载的质量，J_M = J_M_b + J_M_x，F_i 为相应广义力；

且从 (2.9) 中可明显看出三自由度间最为显著的耦合关系 M_x(hsin α + x cos α)¨y，其本质 上为 X 轴负载在随横梁沿 Y 轴运动期间的惯性力 Mxy，以 h¨ sin α + x cos α 的力臂长度作 用在横梁中点 ˜o 上。显然，即使在X 轴静止不动的情况下，也会由于 X 轴负载质量及其固定位置的变化而产生不同的影响。

为了通过虚功原理求解广义力矩阵 F ，首先对图2.3 中的平台进行作用力分析，其所 受作用力包括电机驱动力 F_m = [F_mx, F_m1, F_m2]^T ，导轨处的摩擦力 F_r = [F_rx, F_r1, F_r2]^T， 以及未知外干扰力 F_l，其中，未知外干扰力由于其作用点未知暂时不予直接分析，而会将其包括在后面的建模不确定性中。通常而言，目前工业应用的电机系统都配备相应的驱动器，采用驱动器实现功率放大并生成相应的相电压用以驱动电机获得期望的电磁推力。而驱动器内部往往包含高频宽的 PI 反馈控制电流环，经过 PI 增益的合理调制，电流环的稳态增益为 1，其闭环频宽可达 KHz 级别。因而，在实际建模过程中，往往可以忽略高频响的电气动力学，从而将电机驱动力建模为:

F_mx = K_xu_x F_m1= K₁u₁ F_m2= K₂u₂

(2.10)

其中，K_x，K₁ 和 K₂ 为各电机的推力系数，u_x，u₁ 和 u₂ 为各电机对应的控制输入电压信号。而导轨处的摩擦力可建模为粘性摩擦力和非线性库伦摩擦力的和，即:

F_rx = B_x˙x + F_{f x}( ˙x) F_r1 = B₁y˙_g1+ F_{f 1}( ˙y_g1) F_r2 = B₂y˙_g2+ F_{f 2}( ˙y_g2)

(2.11)

其中，B_x，B₁ 和 B₂ 为各导轨的粘性阻尼系数，F_{f x}，F_{f 1} 和 F_{f 2}为各导轨的非线性库伦摩擦力。考虑到后期模型补偿时对补偿模型的连续性需求，采用如下光滑函数对非线性

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库伦摩擦力进行近似处理:

F¯_{f x}( ˙x) = A_{f x}S_f( ˙x) F¯_{f 1}( ˙y_g1) = A_{f 1}S_f( ˙y_g1) F¯_{f 2}( ˙y_g2) = A_{f 2}S_f( ˙y_g2)

(2.12)

其中，A_{f x}，A_{f 1}和 A_{f 2} 为库伦摩擦力系数，S_f(•) 为可以近似符号函数 sgn(•) 的连续函 数，例如选取 ρ 足够大的反正切函数，即 S_f(•) = arctan(ρ•)。

随后，对图2.3 中的各作用力的虚位移进行分析，其结果在表2.1 中给出。从而求出总虚功如下:

W = [F_m1+ F_m2− Fr1− Fr2 + (F_mx− Frx)sin α]δy + [(F_m2− Fm1)^l^m₂ + (F_r1− Fr2)^l₂^g + (F_mx− Frx)h]δα + (F_mx − Frx)δx

(2.13)

表 2.1 作用力与虚位移对照表

作用力虚位移

F_m1 δy− ^l^m₂ δα F_r1 δy− ^l₂^gδα F_m2 δy + ^l^m₂ δα F_r2 δy + ^l₂^gδα

(Fmx− Frx)cos α cos αδx− x sin αδα + h cos αδα (F_mx− Frx)sin α δy +sin αδx + h sin αδα + x cos αδα 根据 (2.13) 求得广义力矩阵为:

F =







F_mx − Frx

F_m1+ F_m2− Fr1− Fr2+(F_mx− Frx)sin α (F_m2− Fm1)^l^m₂ + (F_r1− Fr2)^l₂^g + (F_mx− Frx)h





 (2.14)

联立 (2.7)，(2.8)，(2.9) 和 (2.14)，平台的动力学可以表示为如下多输入多输出形式:

M_qq + C¨ _qq + K˙ _qq = T F_m− Boq˙_o− AoS_f( ˙q_o) + ∆ (2.15) 其中，q_o = [x, y_g1, y_g2]^T，S_f( ˙q_o) = [S_f( ˙x), S_f( ˙y_g1), S_f( ˙y_g2)]，∆ 为建模误差，其包含 F_f− ¯F_f 所引起的近似误差以及未知外干扰力的影响；Mq 为惯性矩阵，Cq为科氏力和向心力矩

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A_q =







A_{f x} 0 0

A_{f x}sin α A_{f y} 0 hA_{f x} A_{f c}l_g/2 0





 (2.24)

其中，B_y = B₁+ B₂，B_c = B₂− B1，A_{f y} = A_{f 1}+ A_{f 2}，A_{f c} = A_{f 2}− Af 1。将 (2.23) 和 (2.24) 带入到 (2.15)，可得到如下动力学模型:

M_qq + C¨ _qq + B˙ _qq+A˙ _qS_f( ˙q) + K_qq = T F_m+ d_n+ ˜d (2.25) 其中，d_n+ ˜d = ∆− AoS_f( ˙q_o) + A_qS_f( ˙q) 代表总的建模不确定性，d_n = [d_xn, d_yn, d_αn]^T 表示不确定性中的常值分量。

由 (2.25) 可以看出，H 型冗余直驱龙门平台的完整动力学实际上是一个三输入三输出的耦合系统，其满足以下性质：

性质 2.1：在任意有限的工作空间 Ω_q内，M_q为对称正定矩阵且满足

ς₁I ≤ Mq ≤ ς2I, ∀q ∈ Ωq (2.26) 其中 ς₁ 和 ς₂ 为正标量，I 为单位矩阵。

性质 2.2： N_q= ˙M_q− 2Cq 为斜对称矩阵。

性质 2.3： (2.25) 中的各系数矩阵 Mq, Cq, Bq, Aq, dn可以写成向量 Θ 的参数线性化形式。Θ 的定义如下：

Θ = [Θ₁, ..., Θ₁₃]^T = [M_x, B_x, A_{f x}, d_xn, M_y, B_y, A_{f y}, d_yn, J_M, B_c, A_{f c}, K_α, d_αn]^T (2.27) 同时，为了叙述的方便，对下文中使用的通用符号进行统一说明，ˆ• 表示对参数 • 的 估计值，˜• 表示估计误差，即 ˜• = ˆ• − •；•i 表示向量• 的第 i 个元素；•f 表示信号• 经 滤波后的输出信号；•max和•min分别表示• 的最大值和最小值；σmax(•) 和 σmin(•) 表示矩 阵• 的最大和最小特征值；•k 表示模型参数• 根据控制输入 u1 量纲归一化后的值，即

•k=•/K1；两向量之间的不等号，如≤，表示不等号两侧向量中每一个对应元素都满足 该不等式关系。

2.1.3

为了方便后期通过频域辨识以验证该模型的正确性，可先推导出 X 轴和 Y 轴的主要线性动力学传递函数。

1）X 轴

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根据 (2.25)，X 轴的动力学可写成如下形式:

M_xx + B¨ _x˙x + A_{f x}S_f( ˙x) = K_xu_x+ d_x+ d_xF (2.28) 其中，d_xF = −(Mxysin α + M¨ xh ¨α− Mxx ˙α²) 为Y 轴动力学对 X 轴的耦合项，其在只激励 X 轴电机的情况下可以不计。同时，忽略非线性库伦摩擦力及外干扰等建模不确定性，

对等式两侧进行拉普拉斯变换，容易推出控制输入 u_x 到 X 轴电机位移 x 的本质线性传递 函数，其为大家所熟知的二阶系统:

P_x(s) = 1

M_xs²+ B_xs (2.29) 1）Y 轴

由 (2.25) 可知，Y 轴两自由度 y 和 α 动力学中的耦合关系较为复杂，因而为了方便 得到相应的线性传递函数，对 Y 轴动力学作如下近似处理。

根据图2.3中的几何关系得出 y，yc，α 三者之间的关系式如下:

y_c=y + [x_a+ M_x

M_y(x− xa)]sin α− M_x

M_yhcos α (2.30) 其中，x_a =|−−→

oC₁|，yc在 X 轴负载静止时亦可视为独立状态。考虑到本文所采用的冗余驱动龙门平台具有如图2.7 所示的对称性结构，因而为了此处求解及后期验证的方便性，在 本文中均假设 x_a ≈ 0，h ≈ 0。为此，图2.3中所示 Y 轴作用力，其针对整体负载质心 C 的力臂具有如下关系:

l_m2(x) = ^l^m₂ −^M_M^x_yx, l_m1(x) = ^l^m₂ + ^M_M^x

yx l_g2(x) = ^l₂^g − ^M_M^x_yx, l_g1(x) = ^l₂^g +^M_M^x

(2.31)

其中，定义 x₁ = ^M_M^x

yx，x₂ = ^M_M^b

yx，分别表示|−−→

C₁C| 和 |−−→

CC₂| 在 ˜x 轴上投影的长度，显然 M_bx₁ = M_xx₂ (2.32) 基于本文 α 很小的假设，cos α ≈ 1, sin α ≈ α。将 (2.30) 和 (2.31) 代入到 (2.15) 中关 于 y 和 α 的动力学中，对耦合项 M_xx¨ycos α 进行转换处理，从而可得到以下关于 y_c和 α

在文檔中 Redundantly Driven Gantry Systems with Direct Actuators (頁 41-69)

2 冗余直驱龙门 的多