摘要： 本章针对冗余直驱运动平台更为普遍的运行工况，即 XY 轴联合运动，基于上一 章节中所提通过直接控制横梁旋转动态以调节约束内力从而保证协同性能的思路，进一 步研究动态负载情况下的平台整体协同控制策略。由于横梁的柔性旋转，将直接破坏 XY 轴直线运动的正交性，从而形成更为复杂的动力学耦合特性。因而，本章基于三自由度 耦合模型指导，提出兼顾内力调节与 XY 轴运动跟踪的多变量精密协同控制方案，其通 过快速准确的在线自适应实时有效补偿耦合效应，从而同时获得 XY 轴的高直线运动定 位精度及横梁旋转角度的强抑制作用。此外，进一步考虑了实际系统中常用增量式编码 器无法提供绝对位置信息从而影响所提方案补偿效果的情况，提出对 X 轴负载初始零位 偏差相关系数在线自适应的拓展解决方案，从而有效避免了实际应用中可能需要的绝对 位置标定措施，保证算法在增量式传感测量及 X 轴负载初始位置任意的情况下，仍可获 得高效的精密协同性能。通过对比实验，验证了所提方案的有效性。
在前一章中，已经提出并验证了通过有效模型补偿处理耦合效应并直接控制旋转动 态以调节内力的协同控制方案，但只是针对 X 轴负载静止的特殊工况。实际应用中，针 对冗余直驱龙门运动平台的应用场景，其 XY 轴往往需要同时运行。此时，X 轴和 Y 轴 之间的动力学耦合关系将更为复杂，最直观的体现为 X 轴负载的动态运动可引起 Y 轴整 体负载质心的动态变化，即上一章中所定义的质心系数 β 为实时变化量，因而在该情况 下无法对其直接自适应处理。现阶段，由于对该类系统的完整动力学建模研究并不完善，
因而只有少数研究者对动态负载下的协同控制问题有所涉及，如赵冶等[119] 通过设计参 数变化的解耦补偿器进行线性解耦控制，但其对实际中的非线性影响没有处理，且本质 上未考虑内力调节问题；浙江大学的李聪设计了带负载运动补偿的动态推力分配协同控 制策略[84]，通过实时计算 Y 轴整体负载质心位置，部分补偿 X 轴负载运动所引起的耦合 效应，但其依然没有考虑旋转动态的直接控制，从而牺牲内力调节瞬态性能。为此，延 续旋转动态直接控制的思路，探索 XY 轴联动工况下的精密协同控制方案亟需进一步研 究，其对于实现此类平台普遍工况下的高性能运动控制具有重要意义。
值得注意的是，横梁旋转将直接破坏 XY 轴直线运动的正交性，从而造成两轴间复
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杂的三自由度耦合关系，即 Y 轴动态对 X 轴动力学亦存在影响。因此，为了满足该类平 台对各轴跟踪性能的高需求，实际上无法将 X 轴动力学独立考虑。据此，本章将依据本 文所建立的平台完整三自由度耦合模型，设计兼顾 XY 轴运动跟踪及内力调节的多变量 精密协同控制方法，保证 XY 轴的高直线运动定位精度及旋转模态的强抑制作用。同时，
进一步考虑由增量式测量造成的补偿偏差问题，提出相应的解决方案，拓展其实用价值。
4.1 的 多 控制
4.1.1
动态负载情况下，由于 Y 轴整体负载的质心位置实时变化，即 yc此时并不是独立于 x 和 α 的坐标量。同时，由于Y 轴动态对 X 轴动力学的耦合关系，因而采用上一章中的 Y 轴子系统两自由度等效动力学 (3.21) 简单叠加 X 轴独立刚性动力学的形式不适于完整 描述平台的整体特性。据此，本节中为研究 XY 轴联动情况下的精密协同控制问题，将 直接依据章节2.1.2 所建立基于独立坐标{x, y, α} 的完整三自由度耦合模型 (2.25)。为了 控制器设计的方便性，首先对动力学 (2.25) 进行量纲归一化处理，可得：
Mkq + C¨ kq + B˙ kq + A˙ kSf( ˙q) + Kkq = v + dkn+ ˜dk (4.1) 其中，•k 为矩阵• 中动力学参数量纲归一化后的形式，即，•k = K•
1，其形式与 (2.25) 中 的对应矩阵形式一致；v = [v1, v2, v3]T 为表征控制合力的矩阵，定义为：
v = Tkuq, Tk =
kmx 0 0
kmxsin α 1 kmy 0 −lm2 kmylm2
(4.2)
其中，uq = [ux, u1, u2]T 为系统的实际输入；注意到此处 Tk 与上一章 (3.22) 中所定义的 Tt具有明显的区别，简单来说，Tk 中的不包含可变的动力学参数，kmy、kmx 以及 lm均 为固定已知常数，而 α 为实时反馈量。
针对以上三自由度模型 (4.1)，作如下未知参数向量定义及假设：
θ = [θ1,· · ·, θ13]T
= [Mxk, Bxk, Af xk, dxkn, Myk, Byk, Af yk, dykn, JM k, Kαk/1e4, Bck, Af ck, dαkn]T
(4.3)
假设 4.1： 未知参数 θ 及不确定非线性 ˜d 的变化范围是已知的，即 θ ∈ Ωθ
=∆ {θ : θjmin≤ θj ≤ θjmax} (4.4) d˜∈ Ωd
=∆
{d :˜ ˜d ≤ δ}
(4.5)
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提方案，从图4.1 可以看出，其耦合影响完全通过正确的模型补偿与合理的鲁棒反馈来进 行处理，依据 Tk的形式可知，v 与 uq的关系与未知动力学参数完全无关，因而在线估计 得到的参数只应用于模型补偿单元。下面介绍其具体实现过程。
4.1.3 的直 / 控制 DCDIARC
定义如下误差指标：
e = [ex, ey, eα]T = [x(t)− xd(t), y(t)− yd(t), α(t)− αd(t)]T (4.6) 其中，αd(t) = 0。从而，只要保证 e 在瞬态和稳态始终很小，即可实现前文所述的控制 目标。类似的，首先定义以下类滑模变量：
s = ˙e + Λe (4.7)
其中，Λ 为 3× 3 的正定对角矩阵，其保证了控制 s 很小与控制 e 很小之间的等效性。
选择如下关于 s 和 e 的正定函数:
V (t) = 1
2sTMks + 1
2eTKee (4.8) 其中，Ke为 3× 3 的正定矩阵矩阵。对 V (t) 关于时间求导有：
V (t) = s˙ T[Mk˙s + 12M˙ks] + eTKe˙e (4.9) 此时注意到性质2.2，可知 Nk = ˙Mk− 2Ck也为斜对称矩阵，即 sTNks = 0，其可用于消 除上式中的 12sTM˙ks。同时，将(4.1) 代入上式可得：
V (t) = s˙ T[v + + ˜dk+ dkn− Mkq¨d− Ckq˙d− Bkq˙d− Kkqd− AkSf( ˙qkd)
− Bk˙e− Kke− Akgk˙e + CkΛe + MkΛ ˙e] + eTKe˙e
= sT[v + Ψ(q, ˙q, t)θ + ˜dk] + eTKe˙e
(4.10)
其中，qd(t) = [xd(t), yd(t), αd(t)]T 为期望轨迹，gk( ˙q, t) ˙e = Sf( ˙q)− Sf( ˙qd)，gk( ˙q, t) 为由已 知函数组成的 3× 3 矩阵；Ψ 为 3 × 13 的回归量矩阵，定义如下：
dkn− Mkq¨d− Ckq˙d− Bkq˙d− Kkqd− AkSf( ˙qd)
− Bk˙e− Kke− Akgk˙e + CkΛe + MkΛ ˙e = Ψ(q, ˙q, t)θ
(4.11)
注意到，回归量 Ψ 实际上可以分为两个部分：
Ψ(q, ˙q, t) = ˜Ψ(e, ˙e, t) + Ψd(qd, ˙qd, t) (4.12)
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其中，Ψd(qd, ˙qd, t) 为 Ψ(q, ˙q, t) 中只包含期望轨迹信息的期望回归量。
因而，类似的，为了减小测量噪声的影响，设计以下 DCDIARC 控制器：
v = va+ vs, va= va1+ va2, va1 =−Ψdθˆ (4.13) 其中，va1为期望模型补偿项，ˆθ 通过限速投影型自适应律(3.27) 在线更新：
˙ˆθ = satθ˙ˆ
M
(P rojθˆ(Γτ )) (4.14) 其中，Γ 和 τ 为待设计的自适应更新率和自适应函数；va2 为快速模型补偿项，其形式将 在后面给出；vs表示非线性鲁棒反馈项：
vs= vs1+ vs2; vs1=−Ks1s− Kee− Ka∥e∥2s (4.15) 其中，Ks1和 Ka均为 3× 3 正定矩阵。由文献[116]可知， ˜Ψθ 有如下性质：
˜Ψθ ≤ ζ1∥e∥ + ζ2∥e∥2+ ζ3∥s∥ + ζ4∥s∥ ∥e∥ (4.16) 其中，ζ1、ζ2、ζ3 和 ζ4 为只与期望轨迹和硬件物理特性相关的正常数。因而，设计合适 的 Ka、Ks1和 Ke以满足以下条件：
Q =
σmin(KeΛ)− 14ζ2 −12ζ1
−12ζ1 σmin(Ks1)− ζ3−14ζ4
> 0 (4.17)
通常，Ka、Ks1 和 Ke可设计为：
σmin(Ka)≥ ζ2+ ζ4, σmin(KeΛ)≥ 1 2ζ1+ 1
4ζ2, σmin(Ks1)≥ 1
2ζ1+ ζ3+1
4ζ4 (4.18) 类似的，为了进一步处理参数估计误差、外干扰等建模不确定性的影响，定义：
dc+ d∗ =−Ψdθ + ˜˜ dk (4.19) 其中，dc和 d∗ 分别表示以上不确定性的低频和高频分量。设计快速动态模型补偿项 va2 以处理低频分量 dc：
va2=− ˆdc, d˙ˆc= P rojdˆc(γds), ˆdc ≤ dcmax (4.20) 其中，γd为 3× 3 的常数对角矩阵，dcmax为 ˆdc预设的上界，投影式自适应率 P rojdˆc(γdcs) 参见 (3.9)。
同时，设计非线性鲁棒反馈项 vs2满足以下条件:
i sT{vs2− ˜dc+ d∗} ≤ η
ii sTvs2 ≤ 0 (4.21)
其中，η = η1δ2+ η2||˜θ||2+ η3dcmax2，ηi为表征不确定性影响的正常数。
第 4 章 动态负载情况下的冗余直驱龙门平台精密协同控制研究 浙江大学博士学位论文 DCDIARC 控制律 (4.13)、(4.15) 均可保证系统内所有状态信号及控制输入的有界性。此 外，鉴于上文中所给定的正定函数 (4.8) 可被以下关系式所界定：
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定理 4.2： 假定在有限时间 t0 后系统只受参数不确定性影响，（即满足 ˜dk = 0，
∀t ≥ t0)，所提出的 DCDIARC 控制律 (4.13)、(4.15) 采用限速投影型自适应律 (4.14) 和最 小二乘估计函数 (4.33) 时，只要满足以下 PE 条件：
∫ t+T
t
φfφTf ≥ ξIp, f or some ξ > 0 and T > 0 (4.34) 那么，除了在定理4.1中所陈述的结论外，还可保证 ˆθ 中的所有参数估计值均收敛于其 真实值，即，当 t → ∞，˜θ → 0；同时，系统还能获得渐进跟踪的零稳态误差，即，当 t→ ∞，e → 0 ，s → 0，从而可保证 x → xd，y→ yd，α→ 0。 证明： 当 ˜dk = 0 且满足PE 条件 (3.62)，参照文献[118]可知，当 t→ ∞ 时，˜θ → 0。
选择以下正定函数:
Va = V +1 2
dˆTcγd−1dˆc (4.35) 对其求导，并注意到 (4.19)、(4.21) 以及性质3.2，有
V˙a ≤ −χTQχ− sTΨdθ + ˆ˜ dTc(−s + γd−1d˙ˆc)
≤ −χTQχ− sTΨdθ˜
(4.36)
由性质3.1可知 ˆθ ∈ L2[0,∞)，而 θ 有界，因而 ˜θ ∈ L2[0,∞)；同时，由定理4.1可知所有信 号有界，即 Ψd是有界的，故 Ψdθ˜∈ L2[0,∞)。于是，从不等式4.36可得 s ∈ L2[0,∞) 和 χ∈ L2[0,∞)。从而，由 Barbalat 引理可知，当 t → ∞ 时，e → 0，即，实现渐进跟踪。
4.1.5
为了验证本节所提基于在线参数准确估计的三输入三输出精密协同控制策略的有效 性，将在 XY 轴联合运动的工况下，设计相应对比实验，并与上一章中的推力分配协同 控制策略[83]以及带负载运动补偿的动态推力分配协同控制算法[84] 进行对比研究。
4.1.5.1
类似的，为了定量评估控制算法性能的优劣，定义以下性能指标[61]：
•M =max
t {|•|}，代表信号 • 在整个运行时间 T 内的最大值；
•F = max
T−25≤t≤T{|•|}，代表信号 • 在整个运行时间 T 最后 25s 内的最大值；
L2[•] = (251 ∫T
T−25|•|2dt)1/2，代表信号• 在整个运行时间 T 最后 25s 的均方根值；
L2[uy] = (251 ∫T
T−25(|u1| + |u2|)2dt)1/2，代表 Y 轴两电机控制输入绝对值在整个运行时 间 T 最后 25s 的均方根值；
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同时，依据章节2.3.4 中辨识结果并结合实际情况中的不同工况及环境变化，设定以 下参数估计的上下界：
θminT = [0.08, 0.05, 0.01,−1, 0.7, 0.2, 0.1, −1, 0.2, 5, −1, −0.5, −1] (4.37) θmaxT = [ 0.6, 0.4, 0.3, 1, 2, 5, 1, 1, 0.5, 15, 1, 0.5, 1] (4.38) 为了验证所提出多变量协同控制算法的有效性，并说明动态负载情况下的动态耦合 影响，将对比以下三种控制器：
• C1: 本 节 所 提 基 于 三 自 由 度 耦 合 模 型 指 导 的 三 输 入 三 输 出 精 密 协 同 控 制 器。
矩 阵 Λ 选 择 为 Λ = diag[240, 200, 150]。 在 实 际 实 施 过 程 中， (4.15) 中 的 鲁 棒 反 馈 项 简 化 为 vs = −Kss − Kee − Ka∥e∥2s， 其 中， Ks = Ks1 + Ks2，Ks2 为 足 够 大 的 常 值 反 馈 矩 阵。于 是，控 制 增 益 矩 阵 选 择 为 Ks = diag[60, 340, 100], Ke = diag[1000, 2000, 2000]，Ka = diag[1500, 3000, 3000]。 ˆdc的上界设置为 dcmax = [1, 1, 2]T ，其对应自适应率设计为 γd = diag[3000, 6000, 1500]。同样，为显示 D-CDIARC 控 制 器 快 速 准 确 的 在 线 参 数 估 计 能 力， 设 计 参 数 估 计 的 初 始 值 为 θ(0) = [0.11, 0.14, 0.04, 0, 0.8, 1, 0.1, 0, 0.2, 8, 0, 0, 0]ˆ T，与其对应的自适应率矩阵初 值选择为 Γ(0) = diag[10, 30, 30, 10, 10, 30, 30, 10, 10, 10, 10, 10, 10]，且相关系数取为，
ρM = 5000, µ = 0.02，κ = 0.1。
• C2: 上一节中所改进的基于准确离线参数辨识的静态推力分配协同控制算法。为了
• C2: 上一节中所改进的基于准确离线参数辨识的静态推力分配协同控制算法。为了