2.相對階數（relative degree） - 非線性內在模式控制策略研究(II)

= ∂

（3.1-3）

2.相對階數（relative degree）

一個 SISO 系統如下:

) (

) ( ) (

x h y

u x g x f x

=

+

=

滿足下列條件:在區域Ω內，若

∀

∈

( ) ^x ⁼

⁰

h L

L _g ⁱ _f

；

0 ≤ i < r −

1 (3.1-4)

^L g ^L ^r f ⁻ ¹ ^h ( ) ^x ^≠

⁰ （3.1-5）

則系統具有相對階數 r。

接下來，考慮一具有以下之數學型式單輸入單輸出非線性系統

P

) (

) ( ) (

x h y

u x g x f x

=

+

=

(3.1-6)

其中，

x ∈ R

ⁿ為狀態變數，

u ∈ R

為作動變數，

y ∈ R

為輸出變數，

f ( x )

，

) ( x

g

為

n

維平滑向量函數，

h

( x)為平滑純量輸出函數。用來作為控制器設計的單輸入單輸出非線性模式

M

具有以下之數學型式:

)

x h y

u x g x f x

=

+

=

(3.1-7)

其中，

x

∈ R

ⁿ^~為狀態變數，

u ∈ R

為作動變數，

y

∈ R

為輸出變數，

~),

x g x

f

為

n~

維平滑向量函數，~(~)

x

h

為平滑純量輸出函數。

將輸出變數~

y

對時間微分可得

u x h L x h L

y

_f _g~(~)

=

+

~ (3.1-8) 若 ~(~) 0

h x =

L

_g 則再取~

y&

微分表示成

u x h L L x h L

y

_f _g _f~(~)

~ _~

2 ~

+

=

(3.1-9)

若

L

^~_g

L

^~_f

h ( ~ x )

仍為零，則繼續對~

y

微分直到

L

^r_f⁻¹

h ( x ) ≠ 0

為止，其中

r

即為此程序的相對階數，最後可得

u x h L L x h L

y

^r ^r_f _g ^r_f ~(~) )

~ ( ¹

~ ~ )

(

= +

_&−_&& (3.1-10)

因此對於~

y

的

r

次微分可整理得

1 , , 1 , 0

~⁽ ⁾

= L

h x k = r −

y

^k ^k_f L (3.1-11)

u x h L L x h L

y

^r ^r_f _g _f~(~)

~ _~

~ ~ )

(

= +

(3.1-12)

其中 (3.1-11) 式中的非線性函數為線性獨立 (linearly independent)(Isidori,1989)。

接著可定義坐標轉換之微分同構(diffeomorphism)為

r k

x h L k

z

_k _k ^k_f ~(~) 1,2, , )

(

=

^~¹

=

= φ

⁻ (3.1-13)

~) ( ,

~),

( ~ ~

x z x

z

_r₊

= φ

_r₊ L _n

= φ

_n (3.1-14)

藉由(3.1-13)與 (3.1-14)之坐標轉換可將(3.1-7)換成一標準型態 (normal form):

ζ η ζ η

ζ ζ

C y

q

Bv A

=

= +

=

) ,

& (

(3.1-22)

其中

[ ] [

r n

]

? z z

z

L =

₊1

L

=

ζ

(3.1-23)

[ ¹ ⁰ ⁰ ⁰ ]

,

1 0 0 0

,

0 0

1 0

0 0

0 1

0 0

1 0

L M

L L

M O M M M

L L

=

 





 





=

 





 





= B c

A

(3.1-24)

(3.1-22)中

η

為程序中不可觀測的部分，因此根據輸入輸出線性化後的系統可看由外部動態及一內部動態組成，外部動態的穩定可以經由

y

與

v

的線性關係來設計達成，至於內部動態則必須考慮系統的零動態(zero dynamic)(Isodori,1989):

) , 0 ( ) ,

(

ζ η η

η

= q = q

若零動態具漸進性穩定(asymptotically stable)則系統稱為最小相系統，且零動態的穩定為輸入輸出線性化控制法則將系統穩定的必要條件（Isodori,1989）。

3.2 非線性內部模式（nonlinear internal model）控制

圖 3-1 非線性內在模式控制架構

如圖 3-1 所示之非線性內在模式控制架構(Henson & Seborg,1991)，

控制器輸入訊號

e

定義為:

~ )

( y y

y

e =

_sp

− −

(3.2-1) 控制法則

C

為輸入輸出線性化之結果（３.1-21）式與設計外部輸入變數為

e x h x h L x

h L x

h L

v

_r ^r_f^~¹ _r ₁ ^r^~_f² ₂ _f^~ ₁~(~) ₁

α α

α − − − − +

−

=

⁻ ₋ ⁻ L (3.2-2)

之結合，控制法則中所用到的狀態變數皆由內部模式

M

提供。根據 (3.1-18)與(3.2-2)可以得到

y~

與

e

閉環路的轉移函數(CLTF)為

1 2 1

) (

)

~ (

α α α

α

+ + +

= +

₋

s s

s s e

s y

r r

L

(3.2-3) 若適當的選擇

{ } α

i (Henson and Seborg,1990b)(3.2-3)式可以用單一個調諧參數

_ε

改寫為

P

M C

x~

u

e y

y

-

⁺

y

s

s e

s y

) 1 (

1 )

( )

= +

ε

(3.2-4) 當設計模式與程序間沒有誤差，即

y ~ = y

，(3.2-4)變成

s s

y s y

) 1 (

1 )

( ) (

= +

ε

(3.2-5) 因此當

ε >

0且

y

_sp為有界時，則保證閉環路系統為輸入輸出穩定。

另外，也必須適當選擇內部模式的狀態變數

x~

的起始值，因為

x~

的起始值亦會影響控制效果，對於連續程序通常使用穩態操作值做為

x~

的起始值。

考慮具有更新程序模式的內部模式控制結構如下圖所示，即將程序估測器埋入內在模式中，利用線上數據─量測輸出與估測輸出的差異信號和控制輸入信號，以更新內在模式，而此控制結構的特色即隨數據增加可以有效改善控制效果。

此控制結構中的估測器隨時更新估測狀態變數，提供控制法則更新控制律，其估測器可使用線性系統的方法延伸至非線性系統。考慮 一般非線性方程式

( , ) ( ) x f x u

y h x

=

&

其模式估測器方程式可以延伸線性系統結構而寫成

( , ) ( )( )

( )

x f x u K x y y y h x

= + −

=

&% % % %

% %

其中

K

為估測參數。

若定義

e = − x x

%則以上方程式可以進一步整理為

( , ) ( , ) ( )[ ( ) ( )]

e & = f x e u % + − f x u % − K x h x e % % + − h x %

針對

e =

0展開線性化並整理為

( ( ) ( ) ( ))

( ) , ( )

x x x x

e A x K x L x e

f h

A x L x

x

₌

x

₌

= −

∂ ∂

   

=     ∂

& % % %

% %

所以程序模式估測策略設計已轉成估測參數

K

選擇設計的問題。

K

選擇的方法可以利用估測器動態的指定根值，線上選擇適宜的參數大小，或利用最適化原理搜尋最佳目標值如:

0 t

在文檔中非線性內在模式控制策略研究(II) (頁 135-141)

2.相對階數（relative degree）

= ∂