5.1 前言
在本章中我們將利用第二章中所介紹的 CSTR 程序，利用第四章 所介紹的控制理論，來進行溫度控制，包括 NL-IMC 及逆迴遞部份反 轉型控制設計，並考慮系統的時延及擾動，進而比較兩種控制器的效 能。由第二章可知將 CSTR 無因化後可得
1 2
2 1
1
1
)
/ exp( 1 ) 1
( d
x x x
Da x
x +
− + +
−
= ψ
&
(2-4-10)2 3 2 2
2 1
2
2 ) ( )
/ exp(1
) 1
(
x x d
x x x
BDa x
x −
r− +
− + +
−
= β
&
ψ
(2-4-17)) ( ) ( ) (
)
(
2 3 3 3 33
= β x − x + x − x u t − θ + d u t − θ
x &
c f (2-4-23)無因次化過程如第三章所示，其中
d
1、d 2
、d 3
為程序干擾，u 為輸入，x 2
y =
為輸出。5.2 NL-IMC 控制設計
非線性內部模式控制(NL-IMC)的控制器為系統的反轉再加上一 個過濾器，控制器的狀態變數都由預測的模式求得,假設預測的模式 為式(5-2-1)式至(5-2-3)式，在預測的模式中並不考慮系統擾動。
/ )
可知相對度為 2，有一個零動態，為不可觀測部分，將其座標轉換可
其中
r = y s − y + ~ y
，，k
1及k
2為控制器的參數，y s
為設定點， y 為真將(5-2-1)式及(5-2-2)式代入可得
)]
)]
) (
/ ) exp( 1 ) 1
(
2 32 2 1
2
2
x x
x x x
BDa x
x −
r−
− + +
−
= β
& ψ
) (
) (
/ ) exp( 1 ) 1
(
2 1 3 12 2 1
2
β α β α
ψ − − + −
− + +
−
= x x
x x x
BDa
x
r r (5-3-1)其中
α 1
為第一步的虛擬控制器 定義r x
Z
1=
2−
(5-3-2)選擇第一條李阿普若夫函數為
2 1
1
2
1 Z
V =
(5-3-3)李阿普若夫函數的微分為
1 1
1
Z Z
V
&=
&) (
)]
( / )
exp(1 ) 1 (
[ 2 1 2 2 1 1 3 1
1
β α β α
ψ − − + −
− + +
−
= x Z x
x x x
BDa x
Z
r r (5-3-4)
由(5-3-4)式可知要得到虛擬控制器
α 1
必須解(5-3-5)式) (
/ ) exp( 1 ) 1
(
2 12 2 1
2 1
1
β α
ψ − −
− + +
−
=
− x
x x x
BDa x
Z
c
r (5-3-5)其中
c 1
為控制器的參數，必須為正值 解(5-3-5)後得α 1
為(5-3-6)式1 = α
r
r
x x
x x BDa x
Z c
β
ψ β
22 2 1
2 1
1 )
/ exp(1 ) 1
(
+
− +
− +
−
(5-3-6)
將
α 1
代回(5-3-4)式後可得(5-3-7)式) ( 3 1
1 2 1 1
1
= − c Z + Z β x − α
V
& r
≤ − w
1+ Z
1β
r(x
3− α
1) (5-3-7) 定義1 3 2
= x − α
Z
(5-3-8)選擇第二條李亞普若夫函數為(5-3-9)式
2 2 2
1
2
2
1 2
1 Z Z
V = +
(5-3-9)李阿普若夫函數的微分為
Z
rZ w
V
&2= −
1+
1 2β + Z
2[ β
c( x
2− x
3) + ( x
3f− x
3) u ( t − θ ) − α &
1]
Z
rZ w
1+
2[ 1β
−
= + β
c( x
2− x
3) + ( x
3f− x
3) u ( t − θ ) − α &
1]
(5-3-10)由(5-3-10)式可知只微分第二步的李阿普若夫函數即找到控制器
) ( t − θ
u
，故此系統包含了一個零動態，這點和 NL-IMC 控制設計一樣，都具有一個不可觀測的零動態，要得控制器
u ( t − θ )
必須解(5-3-11)式Z
1β
r+ β
c( x
2− x
3) + ( x
3f− x
3) u ( t − θ ) − α &
1= − c
2Z
2 (5-3-11)之前定義 A=
)]
在此比較兩種控制器，也就是 NL-IMC 的控制器(5-2-18)式與逆迴遞
~ )]
5.4 逆迴遞部分反轉型控制設計
在本章節中我們將針對之前的 CSTR 系統來探討如何設計逆迴 遞部分反轉型控制器，使控制器有更好的效能。
前半段的推導從(5-3-1)式至(5-3-10)式與全部反轉型控制設計相 同，可能可以不需反轉的項隱藏在(5-3-10)式的
α
&1的項次中Z
rZ w
V
&2= −
1+
1 2β + Z
2[ β
c( x
2− x
3) + ( x
3f− x
3) u ( t − θ ) − α &
1]
Z
rZ w
1+
2[ 1β
−
= + β
c( x
2− x
3) + ( x
3f− x
3) u ( t − θ ) − α &
1]
(5-3-10)之前定義
/ )]
[exp( 1
2 2
ψ x x dt
A d
= +
) ] / 1 ( /
)[ 1 /
exp( 1
22 2 2 2
2 2
2
ψ ψ
ψ
ψ x
x x x
x x
x
− + +
= + & &
) ] / 1 ( /
1 )[ 1 /
exp( 1
22 2 2
2 2
2
ψ ψ ψ x ψ
x x
x x x
− + +
= & +
(5-2-8)由之前推導可知
α
&1 1 22 2 1
2 2
1
)
/
exp( 1 BDa x A x
x x x
BDa BDaA
x x c
r r
r r r
&
&
&
& + +
+ +
−
− +
= β β β β ψ β
(5-3-12)將(5-2-8)式代入(5-3-12)式中可整理成(5-4-1)式
+ +
將(5-3-1)式及(3-3-10)式代入(5-4-1)式可得
1
=
1
=
−
α &
1 代表必須反轉的項所以(5-4-3)式可變為
− +
+
=
1 11
α α
α & & &
(5-4-6)將(5-4-6)式代入(5-3-10)式可得(5-4-7)式
r
rx x
w
V &
2≤ −
1+ (
3− α
1)[(
2− ) β + β
c( x
2− x
3) + ( x
3f− x
3) u ( t − θ ) − α &
1+− α &
1−]
r
rx x
w
1+ (
3− α
1)[(
2− ) β
−
≤ + β
c( x
2− x
3) + ( x
3f− x
3) u ( t − θ ) − α &
1−] −
(x
3− α
1)α
&1+ (5-4-7) 在上式中因
=
−
−
(x
3α
1)α
&1+2 1
3
)
( α
β −
−
rx +
β
r[ 1
22 2 2 2
) / 1 (
/ ) exp(1
ψ ψβ
ψ x
x BDax x
r
+
+
) / 1 (
/ ) exp(1
2 2 2 1
ψ β
ψ x
x BDax x
r
+
+ + + 1 ]
(5-4-8)上式中因
β r
、 B 、 Da 、ψ
為系統之參數恆為正，且x
2為無因次群亦 恆為正，故(5-4-8)式恆為負，故此項是不需反轉的項，由(5-4-7)式可 設計出逆迴遞部分反轉型控制器如(5-4-9)式所示3 3
1 3 2 2
1 3
2( ) ( ) ( )
)
(
x x
x x r
x x
t c u
f
c r
−
+
−
−
−
−
−
= −
− θ α β β α
&− (5-4-9)若將控制器(5-4-9)式代回(5-4-7)是可得
)]
除的能力。
在 5.2 節中知道只要讓控制器參數符合(5-3-18)式即(5-3-19)式，
則逆迴遞全部反轉型之控制器與 NL-IMC 之控制器是相同的，若將逆 迴遞控制器參數
c
1、c
2都設為1
，即可求出相對應的傳統 NL-IMC 控 制器參數k
1=
43.24，k
2=
2，若設c
1= c
2=
2，則k
1=
46.24，k
2=
4，在模 擬中均設時延為 5 分鐘，控制器動作(control move)的範圍為0到100， 經過無因次反轉後可得真實的冷卻水流量範圍為 0 到 182m
3/ min
。 圖 5-1 及圖 5-2 顯示 NL-IMC 有時延補償及無時延補償之差別，調節參數為
k
1=
43.24，k
2=
2，圖 5-3 及圖 5-4 為兩種控制器的動作，圖 5-5 顯示逆迴遞全部反轉型控制設計有時延補償時的輸出應答，調 節參數為
c
1= c
2=
1，圖 5-6 為其控制器動作，圖 5-7 為逆迴遞部分反 轉及全部反轉型控制器有時延補償時之比較，調節參數為c
1= c
2=
1， 圖 5-8 為其控制器動作，圖 5-9 為逆迴遞部分反轉及全部反轉型控制 器有時延補償時之比較，調節參數為c
1= c
2=
2，圖 5-10 為其控制器 動作，圖 5-11 為考慮在10分鐘時有干擾d
1=
0.01，逆迴遞部分反轉及 全部反轉型控制器有時延補償時之比較，調節參數為c
1= c
2=
1，圖 5-12 為其控制器動作，圖 5-13 為考慮干擾d
2=
0.01，逆迴遞部分反轉 及全部反轉型控制器有時延補償時之比較，調節參數為c
1= c
2=
1，圖 5-14 為其控制器動作，圖 5-15 為考慮干擾d
3=
0.01，逆迴遞部分反轉及全部反轉型控制器有時延補償時之比較，調節參數為
c
1= c
2=
1，圖 5-16 為其控制器動作，圖 5-17 為考慮干擾d
1= d
2= d
3=
0.01，逆迴遞 部分反轉及全部反轉型控制器有時延補償時之比較，調節參數為2 1
1
= c =
c
，圖 5-18 為其控制器動作，圖 5-19 為考慮干擾05 .
3 0
2
1
= d = d =
d
，逆迴遞部分反轉及全部反轉型控制器有時延補償時之比較，調節參數為
c
1= c
2=
1，圖 5-20 為其控制器動作，圖 5-21 為 考慮干擾d
1= d
2= d
3=
0.05，逆迴遞部分反轉及全部反轉型控制器有時 延補償時之比較，調節參數為c
1= c
2=
2，圖 5-22 為其控制器動作，圖 5-23 為考慮干擾
d
1= d
2= d
3=
0.1，逆迴遞部分反轉及全部反轉型控 制器有時延補償時之比較，調節參數為c
1= c
2=
2，圖 5-24 為其控制 器動作。
0 2 0 4 0 6 0 8 0 1 0 0 4 . 0
4 . 5 5 . 0 5 . 5 6 . 0 6 . 5 7 . 0
d e a d t i m e = 5 m i n s e t p o i n t
o u t p u t r e s p o n s e
X2
t i m e ( m i n )
圖 5-1 NL-IMC 無時延補償時的輸出應答，
24 .
1
=
43k
，k
2=
20 2 0 4 0 6 0 8 0 1 0 0
4 . 0 4 . 5 5 . 0 5 . 5 6 . 0 6 . 5 7 . 0
N - I M C c o m p e n s a t i o n t i m e d e l a y d e a d t i m e = 5 m i n
k 1 = 2 k 2 = 4 3 . 2 4 s e t p o i n t
o u t p u t r e s p o n s e
X2
t i m e ( m i n )
圖 5-2 NL-IMC 有時延補償時的輸出應答，
24 .
=
43k
，k =
20 2 0 4 0 6 0 8 0 1 0 0 0
2 0 4 0 6 0 8 0 1 0 0
c o n t r o l m o v e
u
t i m e ( m i n )
圖 5-3 NL-IMC 無時延補償時的控制器動作，
24 .
1
=
43k
，k
2=
22 0 40 6 0 8 0 1 0 0
0 2 0 4 0 6 0 8 0 1 0 0
c o n t r o l m o v e
u
t i m e ( m i n )
圖 5-4 NL-IMC 有時延補償時的控制器動作，
24 .
1
=
43k
，k
2=
2
0 20 40 60 80 100
4.0 4.5 5.0 5.5 6.0 6.5 7.0