圖 7.2-76
己知：如圖 7.2-76 中， 為圓 O 的直徑，∠1＝∠2。
求證： ＝ 。
想法：1. 圓周角的性質有：
(1) 圓周角為所對弧度的一半 (2) 弧度為所對圓周角的 2 倍 (3) 同弧之圓心角為圓周角的 2 倍 (4) 同弧之圓周角為圓心角的一半 (5) 同弧之圓周角相等
(6) 直徑所對的圓周角為直角 2. 直徑將圓周分為兩等份 3. 等弧對等弦
證明：
敘述 理由
(1) ACB︵
＝BDA︵
(2) BC︵
＝2∠1 (3) AD︵
＝2∠2 (4) BC︵
＝2∠1＝2∠2＝AD︵ (5) ACB︵
＝AC︵
＋BC︵
已知 為圓 O 的直徑 ＆ 直徑將圓周分為兩 等份
如圖 7.2-76，弧度為所對圓周角的 2 倍 如圖 7.2-76，弧度為所對圓周角的 2 倍 由(2) ＆ (3) ＆ 已知∠1＝∠2 遞移律 如圖 7.2-76 所示，全量等於分量之和
(6) AC＝ACB－BC ＝BDA︵
－AD︵
＝BD︵ (7) ＝
由(5) 移項 ＆ 由(1) ACB︵
＝BDA︵
＆ (4) BC︵
＝AD︵
由(6) AC︵
＝BD︵
＆ 等弧對等弦
36
習題 7.3
習題 7.3-1：
有一個圓 O，其半徑為 7 公分，判斷直線 L 與圓的相交情形及交點個數。
想法：直線與圓的關係
(1) 若直線到圓心的距離大於半徑長，則直線與圓不相交；
(2) 若直線到圓心的距離等於半徑長，則直線與圓相交於一點，且此直線 稱為此圓的切線；
(3) 若直線到圓心的距離小於半徑長，則直線與圓相交於兩個點，且此直 線稱為此圓的割線。
解：
敘述 理由
(1) 如右圖所示，圓 O 半徑為 7 公分，直線 L 到圓心 O 的距離為 10 公分，則此直線 L 與圓 O 沒有交點
(2) 如右圖所示，圓 O 半徑為 7 公分，直線 L 到圓心 O 的距離為 7 公分，則此直線 L 與圓 O 交於一點
(3) 如右圖所示，圓 O 半徑為 7 公分，直線 L 到圓心 O 的距離為 3 公分，則此直線 L 與圓 O 相交於 2 點
10 公分＞7 公分
7 公分＝7 公分
3 公分＜7 公分 圓心 O 到直線 L 距離 10 公分 7 公分 3 公分
交點個數
0 1 2
圖 7.3-68
已知：如圖 7.3-68， 為圓 O 的直徑，L 與 M 為圓 O 的兩切線，且 L 切圓 O 於 A 點、M 切圓 O 於 B 點
求證：L∥M
想法：(1) 切線與過切點的半徑互相垂直 (2) 垂直於同一直線的兩直線互相平行 證明：
敘述 理由
(1) ⊥L ( 即 ⊥L ) (2) ⊥M
( 即 ⊥M ) (3) 所以 L∥M
已知 L 圓 O 的切線 ＆ 切線與過切點的半徑互相垂直 ( 已知 為圓 O 的直徑 )
已知 M 圓 O 的切線 ＆ 切線與過切點的半徑互相垂直 ( 已知 為圓 O 的直徑 )
由(1) ⊥L ＆ (2) ⊥M 垂直於同一直線的兩直線互相平行
38
習題 7.3-3：
如圖 7.3-69，P 點在圓 O 的外部， 與 分別與圓 O 相切於 A 與 B 兩點。
若∠P＝35°，則∠AOB＝_______度。
圖 7.3-69 想法：利用切線與過切點的半徑互相垂直 解：
敘述 理由
(1) ⊥ ，∠OAP＝90°
(2) ⊥ ，∠OBP＝90°
(3) 四邊形 OAPB 中，
∠OAP＋∠OBP＋∠P＋∠AOB＝360°
(4) 90°＋90°＋35°＋∠AOB＝360°
(5) ∠AOB＝360°－90°－90°－35°＝145°
已知 與圓 O 相切於 A 點 ＆ 切線與過切點的半徑互相垂直 已知 與圓 O 相切於 B 點 ＆ 切線與過切點的半徑互相垂直 如圖 7.3-69 所示，
四邊形內角和為 360°
將(1) ∠OAP＝90°、(2) ∠OBP＝90°
＆ 已知∠P＝35° 代入(3)式得 由(4)式移項得
如圖 7.3-70， 、 為圓 O 之切線，A、B 為切點。若 ＝10 公分，
則 ＝？
圖 7.3-70 想法：利用圓外一點到圓的兩切線等長 解：
敘述 理由
(1) ＝
(2) ＝ ＝10 公分
已知 、 為圓 O 之切線，A、B 為切點。
＆ 圓外一點到圓的兩切線等長 由(1) ＆ 已知 ＝10 公分
40
習題 7.3-5：
如圖 7.3-71，已知 、 、 分別與圓相切於 D、E、F 三點。
若 ＝20 公分，求 ＋ ＋ 之值。
圖 7.3-71 想法：利用圓外一點到圓的兩切線等長 解：
敘述 理由
(1) ＝ ＝20 公分
(2) 、 、 、 皆為切線 (3) ＝
(4) ＝
(5) ＋ ＋
＝ ＋( ＋ )＋
＝( ＋ )＋( ＋ )
＝( ＋ )＋( ＋ )
＝ ＋
＝(20 公分)＋(20 公分)
＝40 公分
(6) ＋ ＋ ＝40 公分
已知 、 分別與圓相切於 D、E 兩點 ＆ 圓外一點到圓的兩切線等長 ＆
已知 ＝20 公分
已知 、 、 皆為切線
由(2) 、 為切線 ＆ 圓外一點到圓的兩切 線等長
由(2) 、 為切線 ＆ 圓外一點到圓的兩切 線等長
題目所求
如圖 7.3-71， ＝ ＋ 加法結合律
將(3) ＝ ＆ (4) ＝ 代入 如圖 7.3-71， ＋ ＝ ＆ ＋ ＝ 將(1) ＝ ＝20 公分 代入
由(5)
圖 7.3-72 中，已知△ABC 為直角三角形，A＝90，且 I 點為△ABC 的內 心，若 ＝5 公分、 ＝12 公分、 ＝13 公分，則△ABC 內切圓半徑為 何？
圖 7.3-72
想法：若△ABC 為直角三角形，A＝90，則△ABC 內切圓半徑＝
2
AB
+AC
−BC
解：敘述 理由
(1) △ABC 內切圓半徑
＝ 2
AB
+AC
−BC
＝5公分+12公分-13公分 2
＝2 公分
若△ABC 為直角三角形，A＝90，則△ABC 內切圓半徑＝
2
AB
+AC
−BC
＆
已知 ＝5 公分、 ＝12 公分、 ＝13 公分
42
習題 7.3-7：
已知圓 A 與圓 B 的連心線段長為 10 單位。若圓 A 與圓 B 的半徑分別如下，
試問兩圓位置關係各為何？
圓 O1的半徑 2 單位 5 單位 4 單位 7 單位 15 單位 圓 O2的半徑 3 單位 7 單位 6 單位 21 單位 25 單位 兩圓位置關係
想法：判斷兩圓關係的規則如下：
(1) 若連心線長＞兩半徑和，則兩圓外離。
(2) 若連心線長＝兩半徑和，則兩圓外切。
(3) 若兩半徑差＜連心線長＜兩半徑和，則兩圓相交於兩點。
(4) 若連心線長＝兩半徑差，則兩圓內切。
(5) 若連心線長＜兩半徑差，則兩圓內離。
(6) 若連心線長＝0，則兩圓為同心圓。
解：
敘述 理由
(1) ＝10 單位＞(2＋3) 單位 所以圓 A 與圓 B 外離
(2) (7－5) 單位＜ ＝10 單位＜(7＋5) 單位 所以圓 A 與圓 B 交於兩點
(3) ＝10 單位＝(4＋6) 單位 所以圓 A 與圓 B 外切
(4) ＝10 單位＜(21－7) 單位 所以圓 A 與圓 B 內離
(5) ＝10 單位＝(25－15) 單位 所以圓 A 與圓 B 內切
已知 ＝10 單位 ＆ 圓 A 及圓 B 的 半徑各為 2 單位及 3 單位 ＆ 連心線長＞兩半徑和，則兩圓外離 已知 ＝10 單位 ＆ 圓 A 及圓 B 的 半徑各為 7 單位及 5 單位 ＆ 兩半徑差＜連心線長＜兩半徑和，則 兩圓相交於兩點
已知 ＝10 單位 ＆ 圓 A 及圓 B 的 半徑各為 4 單位及 6 單位 ＆ 連心線長＝兩半徑和，則兩圓外切 已知 ＝10 單位 ＆ 圓 A 及圓 B 的 半徑各為 21 單位及 7 單位 ＆ 連心線長＜兩半徑差，則兩圓內離 已知 ＝10 單位 ＆ 圓 A 及圓 B 的 半徑各為 25 單位及 15 單位 ＆ 連心線長＝兩半徑差，則兩圓內切
已知大、小兩圓的半徑分別為 5r、3r，當兩圓內切時，其連心線段長為 6 公 分，則當兩圓外切時，則連心線段長為_______cm。
想法：(1) 若兩圓外切，則連心線長＝兩半徑和 (2) 若兩圓內切，則連心線長＝兩半徑差。
解：
敘述 理由
(1) 5r－3r＝6 cm
(2) r＝3 cm
(3) 連心線長＝5r＋3r＝8 r (4) 所以連心線長＝8×(3cm)
＝24 公分
已知兩圓內切時，其連心線段長為 6 cm ＆ 若兩圓內切，則連心線長＝兩半徑差
由(1) 解一元一次方程式
若兩圓外切，則連心線長＝兩半徑和 將(2) r＝3 cm 代入(3)式得
44
習題 7.3-9：
設有 A、B、C 三圓，圓 A 與圓 B 外切，且兩圓同時和圓 C 內切。若圓 A 的 半徑為 5 公分，圓 B 半徑為 4 公分，圓 C 半徑為 11 公分，則 ＋ ＋ 之 值為何？
圖(a)
想法：(1) 若兩圓外切，則連心線長＝兩半徑和 (2) 若兩圓內切，則連心線長＝兩半徑差。
解：
敘述 理由
(1) 依題意繪圖，如上 圖(a)所示
(2) ＝ ＋
(3) ＝5 公分＋4 公分 ＝9 公分
(4) ＝ －
(5) ＝11 公分－4 公分 ＝7 公分
(6) ＝ －
(7) ＝11 公分－5 公分 ＝6 公分
(8) 所以 ＋ ＋ ＝(9＋7＋6) 公分 ＝22 公分
由已知圓 A 與圓 B 外切，且兩圓同時和圓 C 內切作圖
已知 A、B 兩圓外切 ＆ 連心線長＝兩半徑和 將已知圓 A 半徑 ＝5 公分 ＆
圓 B 半徑 ＝4 公分 代入(2)
已知 B、C 兩圓內切 ＆ 連心線長＝兩半徑差 將已知圓 B 半徑 ＝4 公分 ＆
圓 C 半徑 ＝11 公分 代入(4)
已知 A、C 兩圓內切 ＆ 連心線長＝兩半徑差 將已知圓 A 半徑 ＝5 公分 ＆
圓 C 半徑 ＝11 公分 代入(6) 由(3)式＋(5)式＋(7)式得
已知圓 O1與圓 O2的連心線段長為 10 公分，若圓 O1與圓 O2的半徑分別如 下表，請完成下表。
圓 O1半徑 6 公分 5 公分 4 公分 5 公分 6 公分 圓 O2半徑 16 公分 3 公分 6 公分 8 公分 20 公分 兩圓位置關係
公切線數
想法：1.在同一平面上，若兩圓外離，則此兩圓共有 4 條公切線，其中 2 條 為內公切線，2 條為外公切線。
2. 在同一平面上，若兩圓外切，則此兩圓共有 3 條公切線，其中 1 條 為內公切線，2 條為外公切線。
3. 在同一平面上，若兩圓相交於兩點，則此兩圓共有 2 條公切線，且 此 2 條皆為外公切線。
4. 在同一平面上，若兩圓內切，則此兩圓只有 1 條公切線，且此公切 線為外公切線。
5. 在同一平面上，若兩圓內離，則此兩圓沒有公切線。
解：
敘述 理由
(1) 若圓 O1與圓 O2半徑分別為 6 公分、
16 公分，則圓 O1與圓 O2內切 所以圓 O1與圓 O2只有一條公切線
(2) 若圓 O1與圓 O2半徑分別為 5 公分、
3 公分，則圓 O1與圓 O2外離 所以圓 O1與圓 O2共有 4 條公切線
已知圓 O1與圓 O2半徑分別為 6 公分、
16 公分，連心線段長為 10 公分
10 公分＝(16－6) 公分 ＆
連心線長＝兩半徑差，則兩圓內切 ＆ 兩圓內切，則此兩圓只有 1 條公切線 已知圓 O1與圓 O2半徑分別為 5 公分、
3 公分，連心線段長為 10 公分
10 公分＞(5＋3)公分 ＆
連心線長＞兩半徑和，則兩圓外離 ＆
46
(4) 若圓 O1與圓 O2半徑分別為 5 公分、
8 公分，則圓 O1與圓 O2交於 2 點 所以圓 O1與圓 O2共有 2 條公切線
(5) 若圓 O1與圓 O2半徑分別為 6 公分、
20 公分，則圓 O1與圓 O2內離 所以圓 O1與圓 O2沒有公切線
已知圓 O1與圓 O2半徑分別為 5 公分、
8 公分，連心線段長為 10 公分
(8－5)公分＜10 公分＜(8＋5)公分
＆ 兩半徑差＜連心線長＜兩半徑和 則兩圓相交於 2 點 ＆
兩圓相交於 2 點，則此兩圓共有 2 條 公切線
已知圓 O1與圓 O2半徑分別為 6 公分、
20 公分，連心線段長為 10 公分
10 公分＜(20－6) 公分 ＆ 連心線長＜兩半徑差，則兩圓內離 ＆ 兩圓內離，則此兩圓沒有公切線
圖 7.3-73
已知：如圖 7.3-73，圓 O1與圓 O2兩圓外切於 M 點， 為兩圓的內公切線，
為圓 O1及圓 O2兩圓的外公切線，切點分別為點 P 與點 Q， 與 相交 於點 N。
求證： ＝
想法：利用圓外一點到圓的兩切線等長 證明：
敘述 理由
(1) ＝
(2) ＝
(3) 所以 ＝
已知 為圓 O1的切線、 為圓 O1的切線，切點 分別為點 M 與點 P，且 與 相交於點 N
＆ 圓外一點到圓的兩切線等長
已知 為圓 O2的切線、 為圓 O2的切線，切點 分別為點 M 與點 Q，且 與 相交於點 N
＆ 圓外一點到圓的兩切線等長
由(1) ＝ ＆ (2) ＝ 遞移律
48
習題 7.3-12：
圖 7.3-74 中， 為圓的切線，A 為切點，C 為AB︵
的中點，求證 為BAD 的角平分線。
圖 7.3-74 想法：(1) 弦切角為所對弧度的一半
(2) 圓周角為所對弧度的一半 證明：
敘述 理由
(1) BC︵
＝AC︵ (2) ∠CAD 為AC︵
所對的弦切角
(3) ∠CAD＝1 2︵AC (4) ∠CAB＝1
2︵BC (5) ∠CAD＝∠CAB
(6) 所以 為BAD 的角平分線
已知 C 為AB︵
的中點
已知 為圓的切線，A 為切點，C 為AB︵ 的中點， 為一弦 ＆ 弦切角定義 由(2) ＆ 弦切角為所對弧度的一半
圓周角為所對弧度的一半 由(1)、(3) ＆ (4) 遞移律 由(5) 已證
如圖 7.3-75，ABCDE 為正五邊形，且 5 個頂點皆在圓周上，若 切圓 O 於 A 點，則∠PAE＝？
圖 7.3-75
想法：(1) 利用正五邊形五個頂點將圓周五等分 ＆ 圓周為 360°，可以得知
︵AE
＝72°；
(2) 利用 AE︵
＝72° ＆ 弦切角等於所對弧度的一半，可以得知∠PAE＝36°
解：
敘述 理由
(1) AE︵
＝360°÷5＝72°
(2) ∠PAE＝
2 1︵AE
＝2 1×72°
＝36°
已知 ABCDE 為正五邊形，且 5 個頂點皆在圓周 上，五個頂點將圓周五等分 ＆ 圓周為 360°
弦切角的度數等於這弦與切線間的弧度數 的一半 ＆ (1) AE︵
＝72°
50
習題 7.3-14：
如圖 7.3-76， 切圓於 C 點。若 EB︵
＝150°，∠B＝30°，
(1) 求∠ACE 的度數。 (2) 求∠BCD 的度數。
圖 7.3-76
想法：(1) 利用已知∠B＝30° ＆ 弧度為所對圓周角的 2 倍，可得 CE︵
＝60°；
(2) 利用 CE︵
＝60° ＆ 弦切角等於所對弧度的一半，可得∠ACE＝30°；
(3) 利用已知 EB︵
＝150°、 CE︵
＝60° ＆ 圓周為 360°，可得BC︵
＝150°；
(4) 利用 BC︵
＝150° ＆ 弦切角等於所對弧度的一半，可得∠BCD＝75°
解：
敘述 理由
(1) CE︵
＝2∠B＝2×30°＝60°
(2) ∠ACE＝
2 1 ︵CE
(3) ∠ACE＝
2
1×60°＝30°
(4) BC︵
＋ CE︵
＋ EB︵
＝360°
(5) BC︵
＋60°＋150°＝360°
弧度為所對圓周角的 2 倍 ＆ 已知∠B＝30°
弦切角的度數等於這弦與切線間的弧度數 的一半
將(1) CE︵
＝60°代入(2)式得
如圖 7.3-76 所示，BC︵
＋ CE︵
＋ EB︵
＝圓周 將(1) CE︵
＝60° ＆ 已知 EB︵
＝150°
代入(4)式得
(6) BC＝360°－60°－150°＝150°
(7) ∠BCD＝
2 1︵BC
(8) ∠BCD＝
2
1×150°＝75°
由(5)式移項得
弦切角的度數等於這弦與切線間的弧度數 的一半
將(6) BC︵
＝150° 代入(7)式得
習題 7.3-15：
如圖 7.3-77， 是圓 O 的弦， 切圓 O 於 A 點。若∠CAB＝40°，則：
(1) ∠COA＝_______ 度。 (2) ∠CDA＝_______度。
圖 7.3-77
想法：(1) 利用已知∠CAB＝40° ＆ 弦與切線所夾的弧度等於弦切角的 2 倍，
可得知AC︵
＝80°；
(2) 利用AC︵
＝80° ＆ 圓心角等於所對的弧度，可得知∠COA＝80°；
(3) 利用AC︵
＝80° ＆ 圓周角等於所對弧度的一半，可得知∠CDA＝40°
解：
敘述 理由
52
習題 7.3-16：
如圖 7.3-78，圓 P 與圓 Q 外切於 A 點，直線 L 為兩圓的外公切線，與圓 P、
圓 Q 的切點分別為 B 點、C 點。已知AB︵
＝68，AC︵
＝112，則
∠BAC＝ 度。
圖 7.3-78 想法：(1) 利用已知AB︵
＝68 ＆ 弦切角等於所對弧度的一半，可得知
∠ABC＝34；
(2) 利用已知AC︵
＝112＆ 弦切角等於所對弧度的一半，可得知
∠ACB＝56；
(3) 利用∠ABC＝34、∠ACB＝56 ＆ △ABC 內角和 180，可得知 ∠BAC＝90
解：
敘述 理由
(1) ∠ABC＝
2 1︵AB
＝2
1×68＝34
(2) ∠ACB＝
2 1︵AC
＝2
1×112＝56
(3) △ABC 中，
∠ABC＋∠ACB＋∠BAC＝180
(4) 34＋56＋∠BAC＝180
(5) ∠BAC＝180－34－56＝90
弦切角等於所對弧度之一半 ＆ 已知AB︵
＝68
弦切角等於所對弧度之一半 ＆ 已知AC︵
＝112
如圖 7.3-78 所示，
三角形內角和 180
將(1)∠ABC＝34 ＆ (2) ∠ACB＝56
代入(3)式得 由(4)式移項得