習題 7.1
習題 7.1-1
圓與圓周如何區別?
解:圓周為一封閉曲線,線上各點都與圓心等距離,如下圖 7.1-6 (a);
圓周內的部份為圓,如下圖 7.1-6 (b)。
習題 7.1-2
一個圓有多少條半徑?多少條直徑?
解:(1) 圓周上任何一點與圓心的距離就是此圓的半徑,如下圖 7.1-6 (c),因此 一個圓有無限多條半徑;
(2) 通過圓心而兩端點在圓周上的線段為此圓的直徑,如下圖 7.1-6 (c),因 此一個圓有無限多條直徑。
(a) 圓周 (b) 圓 (c) 直徑 ,半徑
圖 7.1-6
2
習題 7.1-3
若圓 O 的半徑為 8 公分,根據下列判斷 P 點、Q 點、R 點與圓 O 的位置 關係:
(1) =10 公分 (2) =8 公分 (3) =4 公分 想法:(1) 圓外一點到圓心的距離大於圓半徑
(2) 圓周上一點到圓心的距離等於圓半徑 (3) 圓內一點到圓心的距離小於圓半徑
解:
敘述 理由
(1) 圓 O 半徑為 8 公分 (2) P 點必在圓外 (3) Q 點必在圓周上 (4) R 點必在圓內
已知
已知 =10 公分>8 公分=圓 O 半徑 已知 =8 公分=圓 O 半徑
已知 =4 公分<8 公分=圓 O 半徑
若圓 O 的半徑為 6 公分,P 為圓 O 內部一點, =t,則 t 的範圍為_________。
想法:圓內一點到圓心的距離小於圓半徑
解:
敘述 理由
(1) 0 公分< <半徑
(2) 0 公分<t<6 公分
已知 P 為圓 O 內部一點 & 圓內一點到圓心的距 離小於圓半徑 & 為線段長度必大於 0
由(1) & 已知圓 O 的半徑為 6 公分 & =t
4
習題 7.1-5
已知圓 O 的半徑為 12 公分,且圓心 O 到三條直線 L1、L2、L3的距離分別 為 8 公分、12 公分、16 公分,則:
(1) 直線________和圓 O 相交於兩點。
(2) 直線_______和圓 O 相交於一點。
(3) 直線_______和圓 O 不相交。
想法:(1) 直線外一點到直線的最短距離為垂直線段(詳見例題 4.1-1) (2) 直線到圓心的距離大於圓半徑,則直線與圓不相交
(3) 直線到圓心的距離等於圓半徑,則直線與圓相交於一點 (4) 直線到圓心的距離小於圓半徑,則直線與圓相交兩點
解:
敘述 理由
(1) 直線 L1和圓 O 相交於 P、Q 兩點
(2) 直線 L2和圓 O 相交於一點 R 點 (3) 直線 L3和圓 O 不相交
圓心 O 到直線 L1的距離為 8 公分<12 公分=半徑
圓心 O 到直線 L2的距離為 12 公分=半徑 圓心 O 到直線 L3的距離為
16 公分>12 公分=半徑
若圓 O 的半徑為 6 公分,圓外一點 A 到圓心 O 的距離為 10 公分,則 A 點 到圓 O 的最短距離是______,A 點到圓 O 的最長距離是______。
想法:圓外一點與圓的距離為點到圓周的線段長 解:
敘述 理由
(1) A 到圓 O 的最短距離為 ,如右圖所示
(2) = -
=10 公分-6 公分=4 公分 (3) A 到圓 O 的最長距離為
(4) = +
=10 公分+6 公分=16 公分
B A
C O
已知 =10 公分 & 半徑 =6 公分 如圖所示
已知 =10 公分 & 半徑 =6 公分
6
習題 7.1-7
當時鐘在五點五十五分時,時針和分針的夾角為幾度?
想法:兩半徑所夾的角,叫圓心角
圖(a) 解:
敘述 理由
(1) 分針一分鐘走 6 度
(2) 分針從 5 點 25 分走到 5 點 55 分共 走了 180 度 (如上圖(a)所示) (3) 時針一分鐘走 0.5 度
(4) 時針從 5 點走到 5 點 55 分共走了 27.5 度(如上圖(a)所示)
(5) 所以五點五十五分時,時針分針夾角 =180 度-27.5 度
=152.5 度 (如上圖(a)所示)
分針 60 分鐘走 360 度一分鐘 6 度 分針 30 分鐘走 6 度×30 分=180 度
時針 60 分鐘走 30 度一分鐘 0.5 度 時針 55 分鐘走 0.5 度×55 分=27.5 度
由(2) & (4) 減法
作一圓心角為 90的扇形。
想法:兩半徑與所夾的弧圍成的圖形,叫做扇形。
作法:
(1) 在平面上取一線段 ,利用 5.2-1 (通過線上一點作一垂直線的作圖),過 O 點作 ⊥ ,則∠COD=90,如上圖所示。
(2) 以 O 點為圓心,以適當長度為半徑畫弧,此弧分別交 與 於 A、B 兩點,
則扇形 OAB 即為所求,如上圖所示。
8
習題 7.1-9
作一圓周角其角度為 90。
想法:(1) 過圓周上同一點的兩弦所夾的角,叫圓周角 (2) 三角形的外心到三頂點等距離
(3) 三角形三邊中垂線的交點為其外心
圖(a)
圖(b) 圖(c) 作法:
(1) 利用 5.2-1 (通過線上一點作一垂直線的作圖),在平面上作∠ABC=90,
如上圖(a)所示。
(2) 利用例題 5.2-4(線段的中垂線作圖),分別作 、 的中垂線 L、M,且 L、M 兩線相交於 O 點,如上圖(b)所示。
(3) 以 O 點為圓心, 為半徑畫圓,則∠ABC=90為圓 O 之一圓周角,
∠ABC 即為所求,如上圖(c)所示。
試作兩同心圓,其直徑分別為 3 公分與 5 公分。
想法:(1) 半徑不同,圓心相同的諸圓,叫同心圓 (2) 直徑為半徑的兩倍
作法:
(1) 在平面上取一點 O 點,以 O 點為圓心,分別以 1.5 公分、2.5 公分為半徑畫 兩圓,則大圓的直徑為 5 公分、小圓的直徑為 3 公分,兩圓即為所求之同心 圓,如上圖所示。
10
習題 7.1-11
試證矩形的四頂點在同一圓周上。
已知:如上圖所示,ABCD 為一矩形 求證:矩形 ABCD 的四頂點在同一圓周上
圖(a) 圖(b) 想法:(1) 矩形兩對角線等長
(2) 矩形兩對角線互相平分 證明:
敘述 理由
(1) 連接 A、C;B、D,如上圖(a)所示,
則 、 為矩形 ABCD 兩對角線且
、 相交於 O 點 (2) =
(3) = =1
2 & = =1 2 (4) = =1
2 =1
2 = =
作圖,兩點可作一線段
由(1) & 矩形兩對角線等長
由(1) & 矩形兩對角線互相平分
由(2) & (3) 遞移律
(5) 以 O 點為圓心,以 為半徑畫圓,
如上圖(b)所示,此圓必通過 A、B、C、
D 四點
(6) 所以矩形的四頂點在同一圓周上
= = = &
同圓半徑相等
由(5) 已證
12
習題 7.2
習題 7.2-1:
如圖 7.2-54, AB︵
的度數是 60°,試求其所對應的圓心角∠AOB。
圖 7.2-54 想法:圓心角等於所對弧的度數
解:
敘述 理由
(1) AB︵
=60°
(2) ∠AOB= AB︵
=60°
已知 AB︵
的度數是 60°
由(1) AB︵
=60° & 圓心角∠AOB 等於所對弧 AB︵ 的度數
如圖 7.2-55,圓 P 的半徑 為 8 公分,圓 Q 的半徑 為 4 公分,
∠APB=∠CQD,AB︵
=60°。則:
(1) ∠CQD= 度。 (2) CD︵
= 度。
圖 7.2-55 想法:圓心角等於所對弧的度數
解:
敘述 理由
(1) 圓 P 中,∠APB=AB︵
=60°
(2) ∠CQD=∠APB=60°
(3) 圓 Q 中,CD︵
=∠CQD=60°
圓心角∠APB 等於所對弧AB︵
的度數 & 已知AB︵
=60°
已知∠APB=∠CQD & (1)∠APB=60°
圓心角∠CQD 等於所對弧CD︵
的度數
& (2) ∠CQD=60° 已證
14
習題 7.2-3:
如圖 7.2-56,將一圓平分成八等分,試求優弧 ACB︵
所對應的圓心角。
圖 7.2-56 想法:(1) 圓周為 360°
(2) 圓心角等於所對弧的度數 解:
敘述 理由
(1) ACB︵
=8
5×圓周
(2) ACB︵
=8
5×360°=225°
(3) ∠AOB=ACB︵
=225°
如圖,ACB︵
占了 8 等分中的 5 等分
將圓周 360°代入(1)
由(2) & 圓心角∠AOB 等於所對弧ACB︵
的度數
如圖 7.2-57,已知圓心角∠AOB=60,則AB︵
= 度,ACB︵
= 度。
圖 7.2-57 想法:(1) 圓周為 360°
(2) 圓心角等於所對弧的度數 解:
敘述 理由
(1) AB︵
=∠AOB=60
(2) ACB︵
=360°- AB︵ =360°-60°=300°
圓心角∠AOB 等於所對弧 AB︵
的度數 & 已知∠AOB=60
︵AB
+ACB︵
為圓周=360° & 由(1) AB︵
=60已證
16
習題 7.2-5:
如圖 7.2-58,若 AB︵
=60°,BC︵
=140°,則∠AOC 的度數=?
圖 7.2-58 想法:(1) 圓周為 360°
(2) 圓心角等於所對弧的度數 解:
敘述 理由
(1) AB︵
+BC︵
+CA︵
=360°
(2) 60°+140°+CA︵
=360°
(3) CA︵
=360°-60°-140°=160°
(4) ∠AOC=CA︵
=160°
AB︵
+BC︵
+CA︵
為圓周=360°
將AB︵
=60°,BC︵
=140° 代入 (1)
由(2) 移項
圓心角∠AOC 等於所對弧CA︵
的度數 & (3) CA︵
=160°
如圖 7.2-59,已知 A、B、C 是圓 O 上相異三點,若ACB︵
的度數比AB︵ 度數 的 3 倍少 60°,則∠AOB=_______度。
圖 7.2-59 想法:(1) 圓周為 360°
(2) 圓心角等於所對弧的度數 解:
敘述 理由
(1) AB︵
+ACB︵
=360°
(5) ACB︵
=3AB︵
-60°
(6) AB︵
+(3AB︵
-60°)=360°
(7) AB︵
=105°
︵
︵AB
+ACB︵
為圓周=360°
已知ACB︵
的度數比 AB︵
度數的 3 倍少 60°
將(2) ACB︵
=3AB︵
-60° 代入(1)
由(3) 解一元一次方程式
︵
18
習題 7.2-7:
如圖 7.2-60, 、 、 皆為直徑,AC︵
=3x°,CE︵
=4x°,EB︵
=5x°,則:
(1) x=_______。
(2) ∠4=______度。
(3) ∠6=______度。
圖 7.2-60 想法:(1) 半圓周為 180°
(2) 圓心角等於所對弧的度數 解:
敘述 理由
(1) AC︵
+ CE︵
+ EB︵
=180°
(2) 3x°+4x°+5x°=180°
(3) x=15
(4) ∠1=AC︵
=3x°=3×15°=45°
(5) ∠4=∠1=45°
(6) ∠3= EB︵
=5x°=5×15°=75°
(7) ∠6=∠3=75°
為直徑 & AC︵
+ CE︵
+ EB︵
為半圓 180°
將已知AC︵
=3x°,CE︵
=4x°,EB︵
=5x°代入(1) 由(2) & 解一元一次方程式
圓心角∠1 等於所對弧AC︵
的度數 & 已知AC︵
=3x°
對頂角相等 & (4) ∠1=45°
圓心角∠3 等於所對弧 EB︵
的度數 & 已知 EB︵
=5x°
對頂角相等 & (6) ∠3=75°
如圖 7.2-61,若 是圓 O 的直徑,C 在圓 O 上,且 AC︵
=4BC︵
, 則∠BOC=______度。
圖 7.2-61 想法:(1) 半圓周為 180°
(2) 圓心角為所對弧度數 解:
敘述 理由
(1) ACB︵
=180°
(2) AC︵
+BC︵
=ACB︵
=180°
(3) 4BC︵
+BC︵
=180°
(4) BC︵
=180°÷5=36°
(5) ∠BOC=BC︵
=36°
已知 是圓 O 的直徑 & ACB︵
為圓周的一半
如圖所示AC︵
+BC︵
=ACB︵
& 由(1) ACB︵
=180°
將已知AC︵
=4BC︵
代入(2)
由(3) 解一元一次方程式
圓心角∠BOC 為所對弧BC︵
的度數 & (4)BC︵
=36°
20
習題 7.2-9:
如圖 7.2-62,兩同心圓的圓心為 O, 、 為小圓的半徑, 、 為
大圓的半徑。已知∠AOB=60,則:
(1) ∠COD= 度。 (2) AB︵
= 度,CD︵
= 度。
圖 7.2-62 想法:(1) 同心圓圓心角相等
(2) 圓心角等於所對弧的度數 解:
敘述 理由
(1) ∠COD=∠AOB=60
(2) AB︵
=∠AOB=60
(3) CD︵
=∠COD=60
同心圓圓心角∠COD 與∠AOB 相等
圓心角∠AOB 等於所對弧AB︵
的度數 & 已知∠AOB=60°
圓心角∠COD 等於所對弧CD︵
的度數 & (1) ∠COD=60°
如圖 7.2-63, 、 為圓 O 的兩弦,且 = 。若AB︵
=60,則CD︵
= 度。
圖 7.2-63 想法:等弦對等弧定理
解:
敘述 理由
(1) CD︵
=AB︵
(2) CD︵
=AB︵
=60
已知 = & 等弦對等弧定理
由(1) & 已知AB︵
=60
22
習題 7.2-11:(試證同圓或等圓中,等圓心角必對等弦。)
圖 7.2-64
已知:如圖 7.2-64,圓 O 與圓 O'兩圓之半徑相等,∠AOB=∠A'O'B'。
求證: =
想法:(1) 等圓心角對等弧定理 (2) 等弧對等弦定理 證明:
敘述 理由
(1) AB︵
=A'B'︵ (2) =
已知∠AOB=∠A'O'B' & 等圓心角對等弧定理 由(1) & 等弧對等弦定理
如圖 7.2-65, 為圓 O 直徑, 為圓 O 之一弦,若 ⊥ ,且 =10 公分、DE︵
=120,試求:(1) =? (2) AE︵
=?
圖 7.2-65
想法:垂直於弦的直徑必平分這弦與這弦所對的弧 解:
敘述 理由
(1) = & AE︵
=AD︵
(2) = =1 2 =1
2×10 公分=5 公分 (3) AE︵
=AD︵
=1 2︵DE
=1
2×120=60
已知 為圓 O 直徑, 為圓 O 之一弦,
且 ⊥ & 垂直於弦的直徑必平分 這弦與這弦所對的弧
由(1) & 已知 =10 公分
由(1) & 已知DE︵
=120
24
習題 7.2-13:
如圖 7.2-66, 與 為圓 O 之兩弦,已知 = 、 ⊥ 、 ⊥ 且
=10 公分,則 =?
C D
E
F O
A
B
圖 7.2-66
想法:在同圓中,若兩弦相等,則與圓心的距離也相等 解:
敘述 理由
(1) =
(2) = =10 公分
已知 與 為圓 O 之兩弦,且 = 、 ⊥ 、
⊥ & 在同圓中,若兩弦相等,則與圓心的距離 也相等
由(1) & 已知 =10 公分
如圖 7.2-67,A、B、C、D 四點都在圓 O 上,∠AOC=160°,則ABC︵
= 度,
ADC︵
= 度,∠B= 度。
圖 7.2-67 想法:1. 圓周角的性質有:
(1) 圓周角為所對弧度的一半 (2) 弧度為所對圓周角的 2 倍 (3) 同弧之圓心角為圓周角的 2 倍 (4) 同弧之圓周角為圓心角的一半 (5) 同弧之圓周角相等
(6) 直徑所對的圓周角為直角 2. 直徑將圓周分為一半
3. 圓周 360°
解:
敘述 理由
(1) ∠AOC 為ABC︵
所對的圓心角 (2) ABC︵
=∠AOC=160°
(3) ABC︵
+ADC︵
=360°
(4) 160°+ADC︵
=360°
如圖所示,∠AOC 對ABC︵
由(1)圓心角∠AOC 等於所對弧ABC︵
的度數
& 已知∠AOC=160°
如圖所示,ABC︵
+ADC︵
為圓周 360°
將(2) ABC︵
=160° 代入(3)
26
& (5) ADC︵
=200°
習題 7.2-15:
如圖 7.2-68,△ABC 三頂點皆在圓周上,且 = 。已知∠B=65°,則 BC︵ 的度數=?
圖 7.2-68 想法:1. 三角形內角和 180°
2. 圓周角的性質有:
(1) 圓周角為所對弧度的一半 (2) 弧度為所對圓周角的 2 倍 (3) 同弧之圓心角為圓周角的 2 倍 (4) 同弧之圓周角為圓心角的一半 (5) 同弧之圓周角相等
(6) 直徑所對的圓周角為直角 解:
敘述 理由
(1) △ABC 為等腰三角形 (2) ∠C=∠B=65°
(3) △ABC 中,
∠A+∠B+∠C=180°
(4) ∠A+65°+65°=180°
(5) ∠A=180°-65°-65°=50°
(6) BC︵
=2∠A=2×50°=100°
已知 =
等腰三角形兩底角相等 & 已知∠B=65°
如圖 7.2-68 所示 三角形內角和 180°
將(2) ∠C=∠B=65° 代入(3)式得 由(4) 移項
弧度( BC︵
)為所對圓周角( ∠A )的 2 倍
& 由(5) ∠A=50°
如圖 7.2-69,△ABC 三頂點皆在圓周上。若∠C=65°,則∠AOB=____度。
圖 7.2-69 想法:圓周角的性質有:
(1) 圓周角為所對弧度的一半 (2) 弧度為所對圓周角的 2 倍 (3) 同弧之圓心角為圓周角的 2 倍 (4) 同弧之圓周角為圓心角的一半 (5) 同弧之圓周角相等
(6) 直徑所對的圓周角為直角 解:
敘述 理由
(1) ∠AOB 為AB︵
所對之圓心角 (2) ∠C 為AB︵
所對之圓周角 (3) ∠AOB=2∠C=2×65°=130°
如圖 7.2-69 所示
如圖 7.2-69 所示 由(1) & (2) 同弧AB︵
之圓心角∠AOB 為 圓周角∠C 的 2 倍 & 已知∠C=65°
28
習題 7.2-17:
如圖 7.2-70,A、B、C 三點都在圓周上,∠BOC=110,則∠A= 度。
圖 7.2-70 想法: 圓周角的性質有:
(1) 圓周角為所對弧度的一半 (2) 弧度為所對圓周角的 2 倍 (3) 同弧之圓心角為圓周角的 2 倍 (4) 同弧之圓周角為圓心角的一半 (5) 同弧之圓周角相等
(6) 直徑所對的圓周角為直角 解:
敘述 理由
(1) ∠A 為BC︵
所對的圓周角
(2) ∠BOC 為BC︵
所對的圓心角
(3) ∠A=
2
1
∠BOC=2
1
×110°=55°如圖 7.2-70 所示,∠A 對BC︵
如圖 7.2-70 所示,∠BOC 對BC︵
由(1)(2)同弧 BC︵
之圓周角∠A 等於圓心 角∠BOC 的一半 & 已知∠BOC=110°
如圖 7.2-71, 和 是圓的兩弦,且相交於 E 點。若∠B=65°,∠A=45°,
則:(1) ∠1=_______度。(2) ∠2=_______度。
圖 7.2-71 想法:圓周角的性質有:
(1) 圓周角為所對弧度的一半 (2) 弧度為所對圓周角的 2 倍 (3) 同弧之圓心角為圓周角的 2 倍 (4) 同弧之圓周角為圓心角的一半 (5) 同弧之圓周角相等
(6) 直徑所對的圓周角為直角 解:
敘述 理由
(1) ∠B 為AD︵
所對之圓周角
(2) ∠1 為AD︵
所對之圓周角
(3) ∠1=∠B=65
如圖 7.2-71 所示,∠B 對AD︵
如圖 7.2-71 所示,∠1 對AD︵
由(1) & (2) 同弧AD︵
所對之圓周角∠1 與∠B 相等 & 已知∠B=65
30
相等& 已知∠A=45
習題 7.2-19:
如圖 7.2-72, 為直徑,求∠C、∠D、∠E 各為幾度?
圖 7.2-72 想法:圓周角的性質有:
(1) 圓周角為所對弧度的一半 (2) 弧度為所對圓周角的 2 倍 (3) 同弧之圓心角為圓周角的 2 倍 (4) 同弧之圓周角為圓心角的一半 (5) 同弧之圓周角相等
(6) 直徑所對的圓周角為直角 解:
敘述 理由
(1) ∠C 為直徑 所對的圓周角 (2) ∠C=90°
(3) ∠D 為直徑 所對的圓周角 (4) ∠D=90°
(5) ∠E 為直徑 所對的圓周角 (6) ∠E=90°
如圖 7.2-72 所示 & 已知 為圓 O 的直徑 由(1) 直徑 所對的圓周角∠C 為直角 如圖 7.2-72 所示 & 已知 為圓 O 的直徑 由(3) 直徑 所對的圓周角∠D 為直角 如圖 7.2-72 所示 & 已知 為圓 O 的直徑 由(5) 直徑 所對的圓周角∠E 為直角
如圖 7.2-73,△ABC 三頂點皆在圓周上,且 為圓 O 的直徑。已知
∠B=20°,則∠C=_____度。
圖 7.2-73 想法:1. 圓周角的性質有:
(1) 圓周角為所對弧度的一半 (2) 弧度為所對圓周角的 2 倍 (3) 同弧之圓心角為圓周角的 2 倍 (4) 同弧之圓周角為圓心角的一半 (5) 同弧之圓周角相等
(6) 直徑所對的圓周角為直角 2. 三角形內角和 180°
解:
敘述 理由
(1) ∠A 為直徑 所對的圓周角 (2) ∠A=90°
(3) 三角形 ABC 中,
∠A+∠B+∠C=180°
(4) 90°+20°+∠C=180°
如圖 7.2-73 所示 & 已知 為圓 O 的 直徑
由(1) & 直徑所對的圓周角為直角 如圖 7.2-73 所示
三角形內角和 180°
將(2) ∠A=90° & 已知 ∠B=20°
32
習題 7.2-21:
如圖 7.2-74,兩弦 、 相交於圓內一點 P。若 AC︵
=20°,BD︵
=50°,
則∠BPD=_______度。
圖 7.2-74
想法:圓內角的度數,等於這角與它的對頂角所對兩弧度數和的一半 解:
敘述 理由
(1) ∠BPD 為圓內角 (2) ∠BPD=
2 1( BD︵
+AC︵ )
(3) ∠BPD=
2
1( 50°+20° )
=35°
如圖 7.2-74,已知 P 點為兩弦 與 在圓內的 交點
由(1) 圓內角∠BPD 的度數,等於這角∠BPD 與 它的對頂角∠CPA 所對兩弧BD︵
與AC︵
度數和的 一半
將已知BD︵
=50 & AC︵
=20代入(2)式得
如圖 7.2-75,圓 A 與圓 B 相交於 C、D 兩點,若 =8 公分,則:
(1) =? (2) ∠CEB=?
圖 7.2-75
想法:相交兩圓的兩圓心連線(連心線),必垂直平分這兩圓的公弦 解:
敘述 理由
(1) 為連心線 & 為公弦 (2) ⊥ & =
(3) ∠CEB=90° & =4 公分
已知圓 A 與圓 B 相交於 C、D 兩點 由(1) 連心線必垂直平分這兩圓的公弦 由(2) ⊥ & = & 已知 =8 公分
34
習題 7.2-23: 過直徑兩端的弦,若與這直徑所成的角相等,則這兩弦相等。
圖 7.2-76
己知:如圖 7.2-76 中, 為圓 O 的直徑,∠1=∠2。
求證: = 。
想法:1. 圓周角的性質有:
(1) 圓周角為所對弧度的一半 (2) 弧度為所對圓周角的 2 倍 (3) 同弧之圓心角為圓周角的 2 倍 (4) 同弧之圓周角為圓心角的一半 (5) 同弧之圓周角相等
(6) 直徑所對的圓周角為直角 2. 直徑將圓周分為兩等份 3. 等弧對等弦
證明:
敘述 理由
(1) ACB︵
=BDA︵
(2) BC︵
=2∠1 (3) AD︵
=2∠2 (4) BC︵
=2∠1=2∠2=AD︵ (5) ACB︵
=AC︵
+BC︵
已知 為圓 O 的直徑 & 直徑將圓周分為兩 等份
如圖 7.2-76,弧度為所對圓周角的 2 倍 如圖 7.2-76,弧度為所對圓周角的 2 倍 由(2) & (3) & 已知∠1=∠2 遞移律 如圖 7.2-76 所示,全量等於分量之和
(6) AC=ACB-BC =BDA︵
-AD︵
=BD︵ (7) =
由(5) 移項 & 由(1) ACB︵
=BDA︵
& (4) BC︵
=AD︵
由(6) AC︵
=BD︵
& 等弧對等弦
36
習題 7.3
習題 7.3-1:
有一個圓 O,其半徑為 7 公分,判斷直線 L 與圓的相交情形及交點個數。
想法:直線與圓的關係
(1) 若直線到圓心的距離大於半徑長,則直線與圓不相交;
(2) 若直線到圓心的距離等於半徑長,則直線與圓相交於一點,且此直線 稱為此圓的切線;
(3) 若直線到圓心的距離小於半徑長,則直線與圓相交於兩個點,且此直 線稱為此圓的割線。
解:
敘述 理由
(1) 如右圖所示,圓 O 半徑為 7 公分,直線 L 到圓心 O 的距離為 10 公分,則此直線 L 與圓 O 沒有交點
(2) 如右圖所示,圓 O 半徑為 7 公分,直線 L 到圓心 O 的距離為 7 公分,則此直線 L 與圓 O 交於一點
(3) 如右圖所示,圓 O 半徑為 7 公分,直線 L 到圓心 O 的距離為 3 公分,則此直線 L 與圓 O 相交於 2 點
10 公分>7 公分
7 公分=7 公分
3 公分<7 公分 圓心 O 到直線 L 距離 10 公分 7 公分 3 公分
交點個數
0 1 2
圖 7.3-68
已知:如圖 7.3-68, 為圓 O 的直徑,L 與 M 為圓 O 的兩切線,且 L 切圓 O 於 A 點、M 切圓 O 於 B 點
求證:L∥M
想法:(1) 切線與過切點的半徑互相垂直 (2) 垂直於同一直線的兩直線互相平行 證明:
敘述 理由
(1) ⊥L ( 即 ⊥L ) (2) ⊥M
( 即 ⊥M ) (3) 所以 L∥M
已知 L 圓 O 的切線 & 切線與過切點的半徑互相垂直 ( 已知 為圓 O 的直徑 )
已知 M 圓 O 的切線 & 切線與過切點的半徑互相垂直 ( 已知 為圓 O 的直徑 )
由(1) ⊥L & (2) ⊥M 垂直於同一直線的兩直線互相平行
38
習題 7.3-3:
如圖 7.3-69,P 點在圓 O 的外部, 與 分別與圓 O 相切於 A 與 B 兩點。
若∠P=35°,則∠AOB=_______度。
圖 7.3-69 想法:利用切線與過切點的半徑互相垂直 解:
敘述 理由
(1) ⊥ ,∠OAP=90°
(2) ⊥ ,∠OBP=90°
(3) 四邊形 OAPB 中,
∠OAP+∠OBP+∠P+∠AOB=360°
(4) 90°+90°+35°+∠AOB=360°
(5) ∠AOB=360°-90°-90°-35°=145°
已知 與圓 O 相切於 A 點 & 切線與過切點的半徑互相垂直 已知 與圓 O 相切於 B 點 & 切線與過切點的半徑互相垂直 如圖 7.3-69 所示,
四邊形內角和為 360°
將(1) ∠OAP=90°、(2) ∠OBP=90°
& 已知∠P=35° 代入(3)式得 由(4)式移項得
如圖 7.3-70, 、 為圓 O 之切線,A、B 為切點。若 =10 公分,
則 =?
圖 7.3-70 想法:利用圓外一點到圓的兩切線等長 解:
敘述 理由
(1) =
(2) = =10 公分
已知 、 為圓 O 之切線,A、B 為切點。
& 圓外一點到圓的兩切線等長 由(1) & 已知 =10 公分
40
習題 7.3-5:
如圖 7.3-71,已知 、 、 分別與圓相切於 D、E、F 三點。
若 =20 公分,求 + + 之值。
圖 7.3-71 想法:利用圓外一點到圓的兩切線等長 解:
敘述 理由
(1) = =20 公分
(2) 、 、 、 皆為切線 (3) =
(4) =
(5) + +
= +( + )+
=( + )+( + )
=( + )+( + )
= +
=(20 公分)+(20 公分)
=40 公分
(6) + + =40 公分
已知 、 分別與圓相切於 D、E 兩點 & 圓外一點到圓的兩切線等長 &
已知 =20 公分
已知 、 、 皆為切線
由(2) 、 為切線 & 圓外一點到圓的兩切 線等長
由(2) 、 為切線 & 圓外一點到圓的兩切 線等長
題目所求
如圖 7.3-71, = + 加法結合律
將(3) = & (4) = 代入 如圖 7.3-71, + = & + = 將(1) = =20 公分 代入
由(5)
圖 7.3-72 中,已知△ABC 為直角三角形,A=90,且 I 點為△ABC 的內 心,若 =5 公分、 =12 公分、 =13 公分,則△ABC 內切圓半徑為 何?
圖 7.3-72
想法:若△ABC 為直角三角形,A=90,則△ABC 內切圓半徑=
2
AB
+AC
−BC
解:敘述 理由
(1) △ABC 內切圓半徑
= 2
AB
+AC
−BC
=5公分+12公分-13公分 2
=2 公分
若△ABC 為直角三角形,A=90,則△ABC 內切圓半徑=
2
AB
+AC
−BC
&
已知 =5 公分、 =12 公分、 =13 公分
42
習題 7.3-7:
已知圓 A 與圓 B 的連心線段長為 10 單位。若圓 A 與圓 B 的半徑分別如下,
試問兩圓位置關係各為何?
圓 O1的半徑 2 單位 5 單位 4 單位 7 單位 15 單位 圓 O2的半徑 3 單位 7 單位 6 單位 21 單位 25 單位 兩圓位置關係
想法:判斷兩圓關係的規則如下:
(1) 若連心線長>兩半徑和,則兩圓外離。
(2) 若連心線長=兩半徑和,則兩圓外切。
(3) 若兩半徑差<連心線長<兩半徑和,則兩圓相交於兩點。
(4) 若連心線長=兩半徑差,則兩圓內切。
(5) 若連心線長<兩半徑差,則兩圓內離。
(6) 若連心線長=0,則兩圓為同心圓。
解:
敘述 理由
(1) =10 單位>(2+3) 單位 所以圓 A 與圓 B 外離
(2) (7-5) 單位< =10 單位<(7+5) 單位 所以圓 A 與圓 B 交於兩點
(3) =10 單位=(4+6) 單位 所以圓 A 與圓 B 外切
(4) =10 單位<(21-7) 單位 所以圓 A 與圓 B 內離
(5) =10 單位=(25-15) 單位 所以圓 A 與圓 B 內切
已知 =10 單位 & 圓 A 及圓 B 的 半徑各為 2 單位及 3 單位 & 連心線長>兩半徑和,則兩圓外離 已知 =10 單位 & 圓 A 及圓 B 的 半徑各為 7 單位及 5 單位 & 兩半徑差<連心線長<兩半徑和,則 兩圓相交於兩點
已知 =10 單位 & 圓 A 及圓 B 的 半徑各為 4 單位及 6 單位 & 連心線長=兩半徑和,則兩圓外切 已知 =10 單位 & 圓 A 及圓 B 的 半徑各為 21 單位及 7 單位 & 連心線長<兩半徑差,則兩圓內離 已知 =10 單位 & 圓 A 及圓 B 的 半徑各為 25 單位及 15 單位 & 連心線長=兩半徑差,則兩圓內切
已知大、小兩圓的半徑分別為 5r、3r,當兩圓內切時,其連心線段長為 6 公 分,則當兩圓外切時,則連心線段長為_______cm。
想法:(1) 若兩圓外切,則連心線長=兩半徑和 (2) 若兩圓內切,則連心線長=兩半徑差。
解:
敘述 理由
(1) 5r-3r=6 cm
(2) r=3 cm
(3) 連心線長=5r+3r=8 r (4) 所以連心線長=8×(3cm)
=24 公分
已知兩圓內切時,其連心線段長為 6 cm & 若兩圓內切,則連心線長=兩半徑差
由(1) 解一元一次方程式
若兩圓外切,則連心線長=兩半徑和 將(2) r=3 cm 代入(3)式得
44
習題 7.3-9:
設有 A、B、C 三圓,圓 A 與圓 B 外切,且兩圓同時和圓 C 內切。若圓 A 的 半徑為 5 公分,圓 B 半徑為 4 公分,圓 C 半徑為 11 公分,則 + + 之 值為何?
圖(a)
想法:(1) 若兩圓外切,則連心線長=兩半徑和 (2) 若兩圓內切,則連心線長=兩半徑差。
解:
敘述 理由
(1) 依題意繪圖,如上 圖(a)所示
(2) = +
(3) =5 公分+4 公分 =9 公分
(4) = -
(5) =11 公分-4 公分 =7 公分
(6) = -
(7) =11 公分-5 公分 =6 公分
(8) 所以 + + =(9+7+6) 公分 =22 公分
由已知圓 A 與圓 B 外切,且兩圓同時和圓 C 內切作圖
已知 A、B 兩圓外切 & 連心線長=兩半徑和 將已知圓 A 半徑 =5 公分 &
圓 B 半徑 =4 公分 代入(2)
已知 B、C 兩圓內切 & 連心線長=兩半徑差 將已知圓 B 半徑 =4 公分 &
圓 C 半徑 =11 公分 代入(4)
已知 A、C 兩圓內切 & 連心線長=兩半徑差 將已知圓 A 半徑 =5 公分 &
圓 C 半徑 =11 公分 代入(6) 由(3)式+(5)式+(7)式得
已知圓 O1與圓 O2的連心線段長為 10 公分,若圓 O1與圓 O2的半徑分別如 下表,請完成下表。
圓 O1半徑 6 公分 5 公分 4 公分 5 公分 6 公分 圓 O2半徑 16 公分 3 公分 6 公分 8 公分 20 公分 兩圓位置關係
公切線數
想法:1.在同一平面上,若兩圓外離,則此兩圓共有 4 條公切線,其中 2 條 為內公切線,2 條為外公切線。
2. 在同一平面上,若兩圓外切,則此兩圓共有 3 條公切線,其中 1 條 為內公切線,2 條為外公切線。
3. 在同一平面上,若兩圓相交於兩點,則此兩圓共有 2 條公切線,且 此 2 條皆為外公切線。
4. 在同一平面上,若兩圓內切,則此兩圓只有 1 條公切線,且此公切 線為外公切線。
5. 在同一平面上,若兩圓內離,則此兩圓沒有公切線。
解:
敘述 理由
(1) 若圓 O1與圓 O2半徑分別為 6 公分、
16 公分,則圓 O1與圓 O2內切 所以圓 O1與圓 O2只有一條公切線
(2) 若圓 O1與圓 O2半徑分別為 5 公分、
3 公分,則圓 O1與圓 O2外離 所以圓 O1與圓 O2共有 4 條公切線
已知圓 O1與圓 O2半徑分別為 6 公分、
16 公分,連心線段長為 10 公分
10 公分=(16-6) 公分 &
連心線長=兩半徑差,則兩圓內切 & 兩圓內切,則此兩圓只有 1 條公切線 已知圓 O1與圓 O2半徑分別為 5 公分、
3 公分,連心線段長為 10 公分
10 公分>(5+3)公分 &
連心線長>兩半徑和,則兩圓外離 &
46
(4) 若圓 O1與圓 O2半徑分別為 5 公分、
8 公分,則圓 O1與圓 O2交於 2 點 所以圓 O1與圓 O2共有 2 條公切線
(5) 若圓 O1與圓 O2半徑分別為 6 公分、
20 公分,則圓 O1與圓 O2內離 所以圓 O1與圓 O2沒有公切線
已知圓 O1與圓 O2半徑分別為 5 公分、
8 公分,連心線段長為 10 公分
(8-5)公分<10 公分<(8+5)公分
& 兩半徑差<連心線長<兩半徑和 則兩圓相交於 2 點 &
兩圓相交於 2 點,則此兩圓共有 2 條 公切線
已知圓 O1與圓 O2半徑分別為 6 公分、
20 公分,連心線段長為 10 公分
10 公分<(20-6) 公分 & 連心線長<兩半徑差,則兩圓內離 & 兩圓內離,則此兩圓沒有公切線
圖 7.3-73
已知:如圖 7.3-73,圓 O1與圓 O2兩圓外切於 M 點, 為兩圓的內公切線,
為圓 O1及圓 O2兩圓的外公切線,切點分別為點 P 與點 Q, 與 相交 於點 N。
求證: =
想法:利用圓外一點到圓的兩切線等長 證明:
敘述 理由
(1) =
(2) =
(3) 所以 =
已知 為圓 O1的切線、 為圓 O1的切線,切點 分別為點 M 與點 P,且 與 相交於點 N
& 圓外一點到圓的兩切線等長
已知 為圓 O2的切線、 為圓 O2的切線,切點 分別為點 M 與點 Q,且 與 相交於點 N
& 圓外一點到圓的兩切線等長
由(1) = & (2) = 遞移律
48
習題 7.3-12:
圖 7.3-74 中, 為圓的切線,A 為切點,C 為AB︵
的中點,求證 為BAD 的角平分線。
圖 7.3-74 想法:(1) 弦切角為所對弧度的一半
(2) 圓周角為所對弧度的一半 證明:
敘述 理由
(1) BC︵
=AC︵ (2) ∠CAD 為AC︵
所對的弦切角
(3) ∠CAD=1 2︵AC (4) ∠CAB=1
2︵BC (5) ∠CAD=∠CAB
(6) 所以 為BAD 的角平分線
已知 C 為AB︵
的中點
已知 為圓的切線,A 為切點,C 為AB︵ 的中點, 為一弦 & 弦切角定義 由(2) & 弦切角為所對弧度的一半
圓周角為所對弧度的一半 由(1)、(3) & (4) 遞移律 由(5) 已證
如圖 7.3-75,ABCDE 為正五邊形,且 5 個頂點皆在圓周上,若 切圓 O 於 A 點,則∠PAE=?
圖 7.3-75
想法:(1) 利用正五邊形五個頂點將圓周五等分 & 圓周為 360°,可以得知
︵AE
=72°;
(2) 利用 AE︵
=72° & 弦切角等於所對弧度的一半,可以得知∠PAE=36°
解:
敘述 理由
(1) AE︵
=360°÷5=72°
(2) ∠PAE=
2 1︵AE
=2 1×72°
=36°
已知 ABCDE 為正五邊形,且 5 個頂點皆在圓周 上,五個頂點將圓周五等分 & 圓周為 360°
弦切角的度數等於這弦與切線間的弧度數 的一半 & (1) AE︵
=72°
50
習題 7.3-14:
如圖 7.3-76, 切圓於 C 點。若 EB︵
=150°,∠B=30°,
(1) 求∠ACE 的度數。 (2) 求∠BCD 的度數。
圖 7.3-76
想法:(1) 利用已知∠B=30° & 弧度為所對圓周角的 2 倍,可得 CE︵
=60°;
(2) 利用 CE︵
=60° & 弦切角等於所對弧度的一半,可得∠ACE=30°;
(3) 利用已知 EB︵
=150°、 CE︵
=60° & 圓周為 360°,可得BC︵
=150°;
(4) 利用 BC︵
=150° & 弦切角等於所對弧度的一半,可得∠BCD=75°
解:
敘述 理由
(1) CE︵
=2∠B=2×30°=60°
(2) ∠ACE=
2 1 ︵CE
(3) ∠ACE=
2
1×60°=30°
(4) BC︵
+ CE︵
+ EB︵
=360°
(5) BC︵
+60°+150°=360°
弧度為所對圓周角的 2 倍 & 已知∠B=30°
弦切角的度數等於這弦與切線間的弧度數 的一半
將(1) CE︵
=60°代入(2)式得
如圖 7.3-76 所示,BC︵
+ CE︵
+ EB︵
=圓周 將(1) CE︵
=60° & 已知 EB︵
=150°
代入(4)式得
(6) BC=360°-60°-150°=150°
(7) ∠BCD=
2 1︵BC
(8) ∠BCD=
2
1×150°=75°
由(5)式移項得
弦切角的度數等於這弦與切線間的弧度數 的一半
將(6) BC︵
=150° 代入(7)式得
習題 7.3-15:
如圖 7.3-77, 是圓 O 的弦, 切圓 O 於 A 點。若∠CAB=40°,則:
(1) ∠COA=_______ 度。 (2) ∠CDA=_______度。
圖 7.3-77
想法:(1) 利用已知∠CAB=40° & 弦與切線所夾的弧度等於弦切角的 2 倍,
可得知AC︵
=80°;
(2) 利用AC︵
=80° & 圓心角等於所對的弧度,可得知∠COA=80°;
(3) 利用AC︵
=80° & 圓周角等於所對弧度的一半,可得知∠CDA=40°
解:
敘述 理由
52
習題 7.3-16:
如圖 7.3-78,圓 P 與圓 Q 外切於 A 點,直線 L 為兩圓的外公切線,與圓 P、
圓 Q 的切點分別為 B 點、C 點。已知AB︵
=68,AC︵
=112,則
∠BAC= 度。
圖 7.3-78 想法:(1) 利用已知AB︵
=68 & 弦切角等於所對弧度的一半,可得知
∠ABC=34;
(2) 利用已知AC︵
=112& 弦切角等於所對弧度的一半,可得知
∠ACB=56;
(3) 利用∠ABC=34、∠ACB=56 & △ABC 內角和 180,可得知 ∠BAC=90
解:
敘述 理由
(1) ∠ABC=
2 1︵AB
=2
1×68=34
(2) ∠ACB=
2 1︵AC
=2
1×112=56
(3) △ABC 中,
∠ABC+∠ACB+∠BAC=180
(4) 34+56+∠BAC=180
(5) ∠BAC=180-34-56=90
弦切角等於所對弧度之一半 & 已知AB︵
=68
弦切角等於所對弧度之一半 & 已知AC︵
=112
如圖 7.3-78 所示,
三角形內角和 180
將(1)∠ABC=34 & (2) ∠ACB=56
代入(3)式得 由(4)式移項得
如圖 7.3-79, 與圓 O 相切於 B 點,且 與圓 O 相交於 D、E 兩點。已知 BD︵
=90, BE︵
=140,則∠A= 度。
圖 7.3-79 想法: (1) 利用已知BD︵
=90 & 圓周角等於所對弧度的一半,可得知∠E=45;
(2) 利用已知 BE︵
=140 & 弦切角等於所對弧度的一半,可得知 ∠EBC=70;
(3) 利用∠E=45、∠EBC=70 & 三角形外角定理,可得知∠A=25
解:
敘述 理由
(1) ∠E=
2 1︵BD
=2
1×90=45
(2) ∠EBC=
2 1︵BE
=2
1 ×140=70
(3) △ABE 中,∠EBC 為∠EBA 的外角
∠EBC=∠A+∠E (4) 70=∠A+45
圓周角等於所對弧度之一半 & 已知BD︵
=90
弦切角等於所對弧度之一半 & 已知 BE︵
=140
如圖 7.3-79 所示,
外角等於內對角的和
將(2) ∠EBC=70、(1) ∠E=45
代入(3)式得
54
習題 7.3-18:
如圖 7.3-80,兩弦 與 的延長線相交於圓外一點 P。已知AC︵
=110°,
BD︵
=40°,則∠P= 度。
圖 7.3-80
想法:兩割線在圓外相交所成的角的度數,等於它們所截兩弧度數差的一半 解:
敘述 理由
(1) ∠P 為圓外角 (2) ∠P=
2 1( AC︵
-BD︵ )
(3) ∠P=
2
1( 110°-40° )=35°
已知兩弦 與 的延長線相交於圓外一點 P 由(1) &兩割線在圓外相交所成的角的度數,
等於它們所截兩弧度數差的一半 將已知AC︵
=110°、BD︵
=40° 代入(2)式得
如圖 7.3-81,兩弦 與 的延長線相交於圓外一點 P。已知AC︵
=105,
∠P=25,則BD︵
= 度。
圖 7.3-81
想法:兩割線在圓外相交所成的角的度數,等於它們所截兩弧度數差的一半 解:
敘述 理由
(1) ∠P 為圓外角 (2) ∠P=
2 1( AC︵
-BD︵ )
(3) 25=
2
1( 105°-BD︵ ) (4) BD︵
=105°-2×25=55
已知兩弦 與 的延長線相交於圓外一點 P 由(1) &兩割線在圓外相交所成的角的度數,
等於它們所截兩弧度數差的一半 將已知∠P=25、AC︵
=105 代入(2)式得 由(3)式解一元一次方程式
56
習題 7.3-20:
如圖 7.3-82,兩弦 與 相交於 Q 點,兩弦 與 的延長線相交於圓外
一點 P。已知AC︵
=102,BD︵
=50,則:
(1)∠P= 度。 (2) ∠AQC= 度。
圖 7.3-82
想法:(1) 圓內角的度數,等於這角與它的對頂角所對兩弧度數和的一半 (2) 兩割線在圓外相交所成的角的度數,等於它們所截兩弧度數差的一半 解:
敘述 理由
(1) ∠P 為圓外角 (2) ∠P=
2 1( AC︵
-BD︵ )
(3) ∠P=
2
1( 102°-50 )=26
(4) ∠AQC 為圓內角 (5) ∠AQC=
2 1( AC︵
+BD︵ )
(6) ∠AQC=
2
1(102°+50) =76
已知兩弦 與 的延長線相交於圓外一點 P 由(1) &兩割線在圓外相交所成的角的度數,
等於它們所截兩弧度數差的一半 將已知AC︵
=102 、BD︵
=50代入(2)式得 已知兩弦 與 相交於 Q 點
由(4) & 圓內角的度數,等於這角與它的對頂 角所對兩弧度數和的一半
將已知AC︵
=102 、BD︵
=50代入(5)式得
如圖 7.3-83,若 AC︵
=110°,∠P=33°,則:
(1) BD︵
=______度。 (2) ∠AQC=______度。
圖 7.3-83
想法:(1) 圓內角的度數,等於這角與它的對頂角所對兩弧度數和的一半 (2) 兩割線在圓外相交所成的角的度數,等於它們所截兩弧度數差的一半 解:
敘述 理由
(1) ∠P 為圓外角 (2) ∠P=
2 1( AC︵
-BD︵ )
(3) 33°=
2
1( 110°-BD︵ ) (4) BD︵
=110°-2×33°=44°
(5) ∠AQC 為圓內角 (6) ∠AQC=
2 1( AC︵
+BD︵ )
(7) ∠AQC=
2
1(110°+44)
如圖 7.3-83, 與 的延長線相交於圓外一 點 P
由(1) &兩割線在圓外相交所成的角的度數,
等於它們所截兩弧度數差的一半 將已知∠P=33°、AC︵
=110 代入(2)式得 由(3)式解一元一次方程式
如圖 7.3-83,兩弦 與 相交於 Q 點
由(5) & 圓內角的度數,等於這角與它的對頂 角所對兩弧度數和的一半
將已知AC︵
=110 &(4) BD︵
=44代入(5)式得
58
習題 7.3-22:
如圖 7.3-84, 與 的延長線相交於 P 點, 與 相交於 M 點。
若 BD︵
=25°,∠AMC=65°,則:
(1) AC︵
=______度。 (2)∠P=______度。
圖 7.3-84
想法:(1) 圓內角的度數,等於這角與它的對頂角所對兩弧度數和的一半 (2) 兩割線在圓外相交所成的角的度數,等於它們所截兩弧度數差的一半 解:
敘述 理由
(1) ∠AMC 為圓內角 (2) ∠AMC=
2 1( AC︵
+BD︵ )
(3) 65°=
2 1( AC︵
+25° ) (4) AC︵
=2×65°-25°=105°
(5) ∠P 為圓外角 (6) ∠P=
2 1( AC︵
-BD︵ )
(7) ∠P=
2
1( 105°-25° )=40°
已知 與 相交於 M 點
由(1) & 圓內角的度數,等於這角與它的 對頂角所對兩弧度數和的一半
將已知∠AMC=65° & BD︵
=25° 代入(2) 由(3)式解一元一次方程式
已知 與 的延長線相交於圓外一點 P 由(5) &兩割線在圓外相交所成的角的度 數,等於它們所截兩弧度數差的一半 將(4) AC︵
=105° & 已知BD︵
=25° 代入(6)
如圖 7.3-85,若∠AFB=65°,∠E=25°,求 AB︵
、CD︵
的度數。
圖 7.3-85
想法:(1) 圓內角的度數,等於這角與它的對頂角所對兩弧度數和的一半 (2) 兩割線在圓外相交所成的角的度數,等於它們所截兩弧度數差的一半 解:
敘述 理由
(1) ∠AFB 為圓內角 (2) ∠AFB=
2 1( AB︵
+CD︵ )
(3) 65°=
2 1( AB︵
+CD︵ ) (4) ∠E 為圓外角
(5) ∠E=
2 1( AB︵
-CD︵ )
(6) 25°=
2 1( AB︵
-CD︵ )
(7) 所以AB︵
=90° & CD︵
=40°
如圖 7.3-85, 與 相交於 F 點
由(1) & 圓內角的度數,等於這角與它的 對頂角所對兩弧度數和的一半
將已知∠AFB=65° 代入(2)式得
如圖 7.3-85, 與 的延長線相交於圓外 一點 E
由(4) &兩割線在圓外相交所成的角的度 數,等於它們所截兩弧度數差的一半 將已知∠E=25° 代入(5)式得
由(3) & (6) 解二元一次聯立方程式得
60
習題 7.3-24:
如圖 7.3-68,P 為圓外一點, 、 與圓 O 相切於 A、B 兩點。若ACB︵
= 150°,求∠P 的度數。
圖 7.3-68 想法:(1) 圓周為 360°
(2) 兩切線在圓外相交所成的角的度數,等於它們所截兩弧度數差的一半 解:
敘述 理由
(1) ADB︵
+ACB︵
=360°
(2) ADB︵
=360°-ACB︵
=360°-150°=210°
(3) P 為圓外角
(4) P=
2
1( ADB︵
-ACB︵ )
(5) P=
2
1( 210°-150°) =30°
如圖 7.3-68 所示,ADB︵
+ACB︵
為圓周
由(1)式移項 & 已知ACB︵
=150°
已知 P 為圓外一點, 、 與圓 O 相切 於 A、B 兩點
由(3) & 兩切線在圓外相交所成的角的 度數,等於它們所截兩弧度數差的一半 將(2) ADB︵
=210° & 已知ACB︵
=150°
代入(4)式得
如圖 7.3-87,P 為圓外一點, 、 與圓 O 相切於 A、B 兩點,
且∠PAB=65°,則∠P=____度。
圖 7.3-87 想法:(1) 弧的度數為所對弦切角的 2 倍 (2) 圓周為 360°
(3) 兩切線在圓外相交所成的角的度數,等於它們所截兩弧度數差的一半 解:
敘述 理由
(1) ACB︵
=2∠PAB=2×65°=130°
(2) ADB︵
+ACB︵
=360°
(3) ADB︵
=360°-ACB︵
=360°-130°=230°
(4) P 為圓外角
(5) P=
2
1( ADB︵
-ACB︵ )
弧的度數為所對弦切角的 2 倍 & 已知∠PAB=65°
如圖 7.3-87 所示,ADB︵
+ACB︵
為圓周
由(2)式移項 & (1) ACB︵
=130°
已知 P 為圓外一點, 、 與圓 O 相切 於 A、B 兩點
由(4) & 兩切線在圓外相交所成的角的
62
習題 7.3-26:
如圖 7.3-88,P 為圓外一點, 、 與圓 O 相切於 A、B 兩點。若∠P=35°,
則∠PAB=______度。
圖 7.3-88 想法:(1) 圓周為 360°
(2) 兩切線在圓外相交所成的角的度數,等於它們所截兩弧度數差的一半 (3) 弦切角等於所對弧度的一半
解:
敘述 理由
(1) ADB︵
+ACB︵
=360°
(2) ADB︵
=360°-ACB︵ (3) P 為圓外角
(4) P=
2
1( ADB︵
-ACB︵ )
(5) 35°=
2
1( 360°-ACB︵
-ACB︵ )
(6) ACB︵
=( 360°-2×35°)÷2=145°
(7) ∠PAB=
2 1ACB︵
=2
1×145°
=72.5°
如圖 7.3-88 所示,ADB︵
+ACB︵
為圓周 由(1)式移項
已知 P 為圓外一點, 、 與圓 O 相切 於 A、B 兩點
由(3) & 兩切線在圓外相交所成的角的 度數,等於它們所截兩弧度數差的一半 將已知∠P=35° &
(2) ADB︵
=360°-ACB︵
代入(4)式得 由(5)式解一元一次方程式
弦切角等於所對弧度的一半 & (6) ACB︵
=145°
如圖 7.3-89, 切圓 O 於 A, 交圓 O 於 B、C 兩點。已知AB︵
=175°,
︵AC
=65°,則∠P= 度。
圖 7.3-89
想法:一割線與一切線在圓外相交所成的角的度數,等於它們所截兩弧度數差的 一半
解:
敘述 理由
(1) P 為圓外角 (2) P=
2 1( AB︵
-AC︵ ) =
2
1( 175°-65° ) =55°
已知 切圓 O 於 A, 交圓 O 於 B、C 兩點 由(1) & 一割線與一切線在圓外相交所成的角 的度數,等於它們所截兩弧度數差的一半 & 已知AB︵
=175°、AC︵
=65°
64
習題 7.3-28:
如圖 7.3-90, 切圓 O 於 A, 交圓 O 於 B、C 兩點。已知∠P=50°,
︵AC
=75°,則AB︵
= 度。
圖 7.3-90
想法:一割線與一切線在圓外相交所成的角的度數,等於它們所截兩弧度數差的 一半
解:
敘述 理由
(1) P 為圓外角 (2) P=
2 1( AB︵
-AC︵ )
(3) 50°=
2 1( AB︵
-75° ) (4) AB︵
=2×50°+75°=175°
已知 切圓 O 於 A, 交圓 O 於 B、C 兩點 由(1) & 一割線與一切線在圓外相交所成的角 的度數,等於它們所截兩弧度數差的一半 將已知∠P=50° & AC︵
=75° 代入(2)式得 由(3)式解一元一次方程式
如圖 7.3-91,已知 切圓 O 於 P 點, 為直徑,且 的延長線交 於 A 點。若∠A=45°,則∠APB=______度。
圖 7.3-91 想法:(1) 圓周為 360°
(2) 直徑將圓周平分
(3) 一割線與一切線在圓外相交所成的角的度數,等於它們所截兩弧度數 差的一半
解:
敘述 理由
(1) A 為圓外角
(2) A=
2 1( PC︵
- PB︵ )
(3) PC︵
+ PB︵
=CPB︵
=180°
(4) PC︵
=180°- PB︵ (5) 45°=1
( 180°- PB︵
- PB︵ )
已知 切圓 O 於 P 點, 的延長線交 於 A 點
由(1) & 一割線與一切線在圓外相交所成 的角的度數,等於它們所截兩弧度數差的一半 已知 為直徑 & 直徑將圓周平分
由(3)式移項得
將已知∠A=45° & (4) PC︵
=180°- PB︵
66
習題 7.3-30:
如圖 7.3-92,已知 L∥M,且AC︵
=80°,則BD︵
=?
圖 7.3-92 想法:平行線在圓周上截取兩相等的弧 解:
敘述 理由
(1) BD︵
=AC︵
=80° 已知 L∥M & 平行線在圓周上截取兩相等的弧
& 已知AC︵
=80°
習題 7.4
習題 7.4-1:
如圖 7.4-13,ABCD 為圓 O 的內接四邊形。若∠C=70°,∠D=100°,則
∠A 與∠B 的度數各為何?
圖 7.4-13 想法:圓的內接四邊形的對角互為補角 解:
敘述 理由
(1) ∠A+∠C=180
(2) ∠A=180-∠C=180-70°=110°
(3) ∠B+∠D=180
(4) ∠B=180-∠D=180-100°=80°
已知 ABCD 為圓 O 的內接四邊形 & 圓的內接四邊形的對角互為補角 由(1)式移項 & 已知∠C=70°
已知 ABCD 為圓 O 的內接四邊形 & 圓的內接四邊形的對角互為補角 由(3)式移項 & 已知∠D=100°
68
習題 7.4-2:
如圖 7.4-14,若∠B=75°、∠D=105°,是否可以找到一個圓通過四邊形 ABCD 的四個頂點?為什麼?
圖 7.4-14
想法:若四邊形的對角互為補角,則此四邊形必為圓內接四邊形 解:
敘述 理由
(1) ∠B+∠D=180
(2) ∠B 與∠D 互補
(3) 四邊形 ABCD 為圓內接四邊形
(4) 尺規作圖,以 、 中垂線的交點 O 為圓心, 為半徑畫圓,圓 O 即為四 邊形 ABCD 的外接圓,如下圖所示
已知∠B=75°、∠D=105°
由(1) & 補角定義
由(2) & 四邊形的對角互為補角,
則此四邊形必為圓內接四邊形 利用中垂線上任一點到線段兩端等 距離 & 同圓半徑相等的性質,可 得知 O 點為圓心
證明圓的內接梯形必為等腰梯形。
A
O
C D
B
已知:四邊形 ABCD 為梯形, ∥ ,且 ABCD 為圓 O 的內接四邊形 求證:ABCD 為等腰梯形
想法:(1) 兩平行線間同側內角互補
(2) 圓的內接四邊形的對角互為補角 證明:
敘述 理由
(1) A+D=180
(2) A+C=180
(3) A+D=A+C (4) D=C
(5) 所以 ABCD 為等腰梯形
已知四邊形 ABCD 為梯形, ∥ & 兩平行線間同側內角互補
已知 ABCD 為圓 O 的內接四邊形 & 圓的內接四邊形的對角互為補角 由(1) & (2) 遞移律
由(3) 等式兩邊同減A
已知 ABCD 為梯形, ∥ & 由(4) D=C 已證
70
習題 7.4-4:
證明圓的內接平行四邊形必為矩形或正方形。
圖(a) 圖(b) 已知:四邊形 ABCD 為平行四邊形,且 ABCD 為圓的內接四邊形 求證:ABCD 為矩形或正方形
想法:本題分為兩種情況討論:
情況一:若平行四邊形兩鄰邊不相等 情況二:若平行四邊形兩鄰邊相等 再利用 (1) 平行四邊形兩組對邊平行 (2) 兩平行線間同側內角互補 (3) 平行四邊形兩組對邊相等
(4) 圓的內接四邊形的對角互為補角 來證明 情況一:若平行四邊形兩鄰邊不相等, ≠ ,如上圖(a)所示 證明:
敘述 理由
(1) ∥ & ∥
(2) A+D=180
(3) A+B=180
(4) A+D=A+B (5) D=B
(6) D+B=180
已知四邊形 ABCD 為平行四邊形 & 平行四邊形兩組對邊平行
由(1) ∥ & 兩平行線間同側內角互補 由(1) ∥ & 兩平行線間同側內角互補 由(2) & (3) 遞移律
由(4) 等式兩邊同減A
已知 ABCD 為圓的內接四邊形 & 圓的內接四邊形的對角互為補角
(8) B=180÷2=90
(9) D=B=90
(10) A=180-D=90
(11) C+B=180
(12) C=180-B=90
(13) A=B=C=D=90
(14) 所以 ABCD 為矩形
由(7) 解一元一次方程式 由(5) & (8) 遞移律
由(2) 移項 & (9) D=90 已證
由(1) ∥ & 兩平行線間同側內角互補 由(11) 移項 & (8) B=90 已證
由(8)、(9)、(10) & (12) 已證 已知 ABCD 為平行四邊形 &
(13) A=B=C=D=90 已證 四個角都為直角的平行四邊行為矩形
情況二:若平行四邊形兩鄰邊相等 = ,如上圖(b)所示 證明:
敘述 理由
(1) = & =
(2) = = = (3) ABCD 為矩形
(4) 所以 ABCD 為正方形
已知四邊形 ABCD 為平行四邊形 & 平行四邊形兩組對邊相等
已知 = & (1) 遞移律 由情況一證得
由(3) & (2) 四邊等長的矩形為正方形
因此,由情況一與情況二可證得 ABCD 為矩形或正方形。
72
習題 7.4-5:
如圖 7.4-15,已知四邊形 ABCD 的四邊分別與圓相切。若 =22 公分,
=20 公分,則 + + + 之值。
圖 7.4-15
想法:圓外切四邊形的相對一組對邊和等於另一組對邊和 解:
敘述 理由
(1) 四邊形 ABCD 為圓的外切四邊形 (2) + = +
(3) + + +
=( + )+( + )
=( + )+( + )
=2( + )
=2×(22 公分+20 公分)=84 公分
(4) 所以 + + + =84 公分
已知四邊形 ABCD 的四邊分別與圓相切 由(1) & 圓外切四邊形的相對一組對 邊和等於另一組對邊和
題目所求
加法交換律 & 結合律
將(2) + = + 代入 加法
將已知 =22 公分, =20 公分 代入得
由(3)
如圖 7.4-16,已知四邊形 ABCD 的四邊分別與圓相切。
若 + + + =60 公分,則 + =______公分。
圖 7.4-16
想法:圓外切四邊形的相對一組對邊和等於另一組對邊和 解:
敘述 理由
(1) 四邊形 ABCD 為圓的外切四邊形 (2) + = +
(3) + + + =60 公分
(4) ( + )+( + )=60 公分 (5) ( + )+( + )=60 公分 (6) 2( + )=60 公分
(7) + =(60 公分)÷2=30 公分
已知四邊形 ABCD 的四邊分別與圓相切 由(1) & 圓外切四邊形的相對一組對 邊和等於另一組對邊和
已知
由(3) & 加法交換律 & 結合律 將(2) + = + 代入(4)式得 由(5) 加法
由(6)等式兩邊同除以 2 得
74
習題 7.4-7:
圖 7.4-17 中的圓為四邊形 ABCD 的內切圓。若 =x, =y, =x+6,
=y-2,2y=3 x,求 + + + 之值。
圖 7.4-17
想法:圓外切四邊形的相對一組對邊和等於另一組對邊和 解:
敘述 理由
(1) 四邊形 ABDC 為圓的外切四邊形 (2) + = +
(3) y+y-2=x+x+6
(4) 2 y-2=2x+6 (5) 3 x-2=2x+6 (6) x=8
(7) y=12
(8) + + +
=x+y+x+6+y-2
=2x+2y+4
=2×8+2×12+4=44
(9) 所以 + + + =44
已知圖中的圓為四邊形 ABCD 的內切圓 由(1) & 圓外切四邊形的相對一組對 邊和等於另一組對邊和
將已知 =y、 =y-2、 =x、
=x+6 代入(2)式得 由(3)式化簡得
將已知 2y=3 x 代入(4)式得 由(5)式解一元一次方程式
將(6)式 x=8 代入已知 2y=3 x 求 y 題目所求
將已知 =x、 =y、 =x+6、
=y-2 代入
將(6) x=8 & (7) y=12 代入 由(8)