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習題 7.1

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Academic year: 2022

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(1)

習題 7.1

習題 7.1-1

圓與圓周如何區別?

解:圓周為一封閉曲線,線上各點都與圓心等距離,如下圖 7.1-6 (a);

圓周內的部份為圓,如下圖 7.1-6 (b)。

習題 7.1-2

一個圓有多少條半徑?多少條直徑?

解:(1) 圓周上任何一點與圓心的距離就是此圓的半徑,如下圖 7.1-6 (c),因此 一個圓有無限多條半徑;

(2) 通過圓心而兩端點在圓周上的線段為此圓的直徑,如下圖 7.1-6 (c),因 此一個圓有無限多條直徑。

(a) 圓周 (b) 圓 (c) 直徑 ,半徑

圖 7.1-6

(2)

2

習題 7.1-3

若圓 O 的半徑為 8 公分,根據下列判斷 P 點、Q 點、R 點與圓 O 的位置 關係:

(1) =10 公分 (2) =8 公分 (3) =4 公分 想法:(1) 圓外一點到圓心的距離大於圓半徑

(2) 圓周上一點到圓心的距離等於圓半徑 (3) 圓內一點到圓心的距離小於圓半徑

解:

敘述 理由

(1) 圓 O 半徑為 8 公分 (2) P 點必在圓外 (3) Q 點必在圓周上 (4) R 點必在圓內

已知

已知 =10 公分>8 公分=圓 O 半徑 已知 =8 公分=圓 O 半徑

已知 =4 公分<8 公分=圓 O 半徑

(3)

若圓 O 的半徑為 6 公分,P 為圓 O 內部一點, =t,則 t 的範圍為_________。

想法:圓內一點到圓心的距離小於圓半徑

解:

敘述 理由

(1) 0 公分< <半徑

(2) 0 公分<t<6 公分

已知 P 為圓 O 內部一點 & 圓內一點到圓心的距 離小於圓半徑 & 為線段長度必大於 0

由(1) & 已知圓 O 的半徑為 6 公分 & =t

(4)

4

習題 7.1-5

已知圓 O 的半徑為 12 公分,且圓心 O 到三條直線 L1、L2、L3的距離分別 為 8 公分、12 公分、16 公分,則:

(1) 直線________和圓 O 相交於兩點。

(2) 直線_______和圓 O 相交於一點。

(3) 直線_______和圓 O 不相交。

想法:(1) 直線外一點到直線的最短距離為垂直線段(詳見例題 4.1-1) (2) 直線到圓心的距離大於圓半徑,則直線與圓不相交

(3) 直線到圓心的距離等於圓半徑,則直線與圓相交於一點 (4) 直線到圓心的距離小於圓半徑,則直線與圓相交兩點

解:

敘述 理由

(1) 直線 L1和圓 O 相交於 P、Q 兩點

(2) 直線 L2和圓 O 相交於一點 R 點 (3) 直線 L3和圓 O 不相交

圓心 O 到直線 L1的距離為 8 公分<12 公分=半徑

圓心 O 到直線 L2的距離為 12 公分=半徑 圓心 O 到直線 L3的距離為

16 公分>12 公分=半徑

(5)

若圓 O 的半徑為 6 公分,圓外一點 A 到圓心 O 的距離為 10 公分,則 A 點 到圓 O 的最短距離是______,A 點到圓 O 的最長距離是______。

想法:圓外一點與圓的距離為點到圓周的線段長 解:

敘述 理由

(1) A 到圓 O 的最短距離為 ,如右圖所示

(2) = -

=10 公分-6 公分=4 公分 (3) A 到圓 O 的最長距離為

(4) = +

=10 公分+6 公分=16 公分

B A

C O

已知 =10 公分 & 半徑 =6 公分 如圖所示

已知 =10 公分 & 半徑 =6 公分

(6)

6

習題 7.1-7

當時鐘在五點五十五分時,時針和分針的夾角為幾度?

想法:兩半徑所夾的角,叫圓心角

圖(a) 解:

敘述 理由

(1) 分針一分鐘走 6 度

(2) 分針從 5 點 25 分走到 5 點 55 分共 走了 180 度 (如上圖(a)所示) (3) 時針一分鐘走 0.5 度

(4) 時針從 5 點走到 5 點 55 分共走了 27.5 度(如上圖(a)所示)

(5) 所以五點五十五分時,時針分針夾角 =180 度-27.5 度

=152.5 度 (如上圖(a)所示)

分針 60 分鐘走 360 度一分鐘 6 度 分針 30 分鐘走 6 度×30 分=180 度

時針 60 分鐘走 30 度一分鐘 0.5 度 時針 55 分鐘走 0.5 度×55 分=27.5 度

由(2) & (4) 減法

(7)

作一圓心角為 90的扇形。

想法:兩半徑與所夾的弧圍成的圖形,叫做扇形。

作法:

(1) 在平面上取一線段 ,利用 5.2-1 (通過線上一點作一垂直線的作圖),過 O 點作 ⊥ ,則∠COD=90,如上圖所示。

(2) 以 O 點為圓心,以適當長度為半徑畫弧,此弧分別交 與 於 A、B 兩點,

則扇形 OAB 即為所求,如上圖所示。

(8)

8

習題 7.1-9

作一圓周角其角度為 90。

想法:(1) 過圓周上同一點的兩弦所夾的角,叫圓周角 (2) 三角形的外心到三頂點等距離

(3) 三角形三邊中垂線的交點為其外心

圖(a)

圖(b) 圖(c) 作法:

(1) 利用 5.2-1 (通過線上一點作一垂直線的作圖),在平面上作∠ABC=90,

如上圖(a)所示。

(2) 利用例題 5.2-4(線段的中垂線作圖),分別作 、 的中垂線 L、M,且 L、M 兩線相交於 O 點,如上圖(b)所示。

(3) 以 O 點為圓心, 為半徑畫圓,則∠ABC=90為圓 O 之一圓周角,

∠ABC 即為所求,如上圖(c)所示。

(9)

試作兩同心圓,其直徑分別為 3 公分與 5 公分。

想法:(1) 半徑不同,圓心相同的諸圓,叫同心圓 (2) 直徑為半徑的兩倍

作法:

(1) 在平面上取一點 O 點,以 O 點為圓心,分別以 1.5 公分、2.5 公分為半徑畫 兩圓,則大圓的直徑為 5 公分、小圓的直徑為 3 公分,兩圓即為所求之同心 圓,如上圖所示。

(10)

10

習題 7.1-11

試證矩形的四頂點在同一圓周上。

已知:如上圖所示,ABCD 為一矩形 求證:矩形 ABCD 的四頂點在同一圓周上

圖(a) 圖(b) 想法:(1) 矩形兩對角線等長

(2) 矩形兩對角線互相平分 證明:

敘述 理由

(1) 連接 A、C;B、D,如上圖(a)所示,

則 、 為矩形 ABCD 兩對角線且

、 相交於 O 點 (2) =

(3) = =1

2 = =1 2 (4) = =1

2 =1

2 = =

作圖,兩點可作一線段

由(1) & 矩形兩對角線等長

由(1) & 矩形兩對角線互相平分

由(2) & (3) 遞移律

(11)

(5) 以 O 點為圓心,以 為半徑畫圓,

如上圖(b)所示,此圓必通過 A、B、C、

D 四點

(6) 所以矩形的四頂點在同一圓周上

= = =

同圓半徑相等

由(5) 已證

(12)

12

習題 7.2

習題 7.2-1:

如圖 7.2-54, AB

的度數是 60°,試求其所對應的圓心角∠AOB。

圖 7.2-54 想法:圓心角等於所對弧的度數

解:

敘述 理由

(1) AB︵

=60°

(2) ∠AOB= AB︵

=60°

已知 AB︵

的度數是 60°

由(1) AB︵

=60° & 圓心角∠AOB 等於所對弧 AB︵ 的度數

(13)

如圖 7.2-55,圓 P 的半徑 為 8 公分,圓 Q 的半徑 為 4 公分,

∠APB=∠CQD,AB︵

=60°。則:

(1) ∠CQD= 度。 (2) CD︵

= 度。

圖 7.2-55 想法:圓心角等於所對弧的度數

解:

敘述 理由

(1) 圓 P 中,∠APB=AB︵

=60°

(2) ∠CQD=∠APB=60°

(3) 圓 Q 中,CD︵

=∠CQD=60°

圓心角∠APB 等於所對弧AB︵

的度數 & 已知AB︵

=60°

已知∠APB=∠CQD & (1)∠APB=60°

圓心角∠CQD 等於所對弧CD︵

的度數

& (2) ∠CQD=60° 已證

(14)

14

習題 7.2-3:

如圖 7.2-56,將一圓平分成八等分,試求優弧 ACB

所對應的圓心角。

圖 7.2-56 想法:(1) 圓周為 360°

(2) 圓心角等於所對弧的度數 解:

敘述 理由

(1) ACB︵

=8

5×圓周

(2) ACB︵

=8

5×360°=225°

(3) ∠AOB=ACB︵

=225°

如圖,ACB︵

占了 8 等分中的 5 等分

將圓周 360°代入(1)

由(2) & 圓心角∠AOB 等於所對弧ACB︵

的度數

(15)

如圖 7.2-57,已知圓心角∠AOB=60,則AB

= 度,ACB︵

= 度。

圖 7.2-57 想法:(1) 圓周為 360°

(2) 圓心角等於所對弧的度數 解:

敘述 理由

(1) AB︵

=∠AOB=60

(2) ACB︵

=360°- AB︵ =360°-60°=300°

圓心角∠AOB 等於所對弧 AB︵

的度數 & 已知∠AOB=60

︵AB

+ACB︵

為圓周=360° & 由(1) AB︵

=60已證

(16)

16

習題 7.2-5:

如圖 7.2-58,若 AB

=60°,BC︵

=140°,則∠AOC 的度數=?

圖 7.2-58 想法:(1) 圓周為 360°

(2) 圓心角等於所對弧的度數 解:

敘述 理由

(1) AB︵

+BC︵

+CA︵

=360°

(2) 60°+140°+CA︵

=360°

(3) CA︵

=360°-60°-140°=160°

(4) ∠AOC=CA︵

=160°

AB︵

+BC︵

+CA︵

為圓周=360°

將AB︵

=60°,BC︵

=140° 代入 (1)

由(2) 移項

圓心角∠AOC 等於所對弧CA︵

的度數 & (3) CA︵

=160°

(17)

如圖 7.2-59,已知 A、B、C 是圓 O 上相異三點,若ACB

的度數比AB︵ 度數 的 3 倍少 60°,則∠AOB=_______度。

圖 7.2-59 想法:(1) 圓周為 360°

(2) 圓心角等於所對弧的度數 解:

敘述 理由

(1) AB︵

+ACB︵

=360°

(5) ACB︵

=3AB︵

-60°

(6) AB︵

+(3AB︵

-60°)=360°

(7) AB︵

=105°

︵AB

+ACB︵

為圓周=360°

已知ACB︵

的度數比 AB︵

度數的 3 倍少 60°

將(2) ACB︵

=3AB︵

-60° 代入(1)

由(3) 解一元一次方程式

(18)

18

習題 7.2-7:

如圖 7.2-60, 、 、 皆為直徑,AC︵

=3x°,CE︵

=4x°,EB︵

=5x°,則:

(1) x=_______。

(2) ∠4=______度。

(3) ∠6=______度。

圖 7.2-60 想法:(1) 半圓周為 180°

(2) 圓心角等於所對弧的度數 解:

敘述 理由

(1) AC︵

+ CE︵

+ EB︵

=180°

(2) 3x°+4x°+5x°=180°

(3) x=15

(4) ∠1=AC︵

=3x°=3×15°=45°

(5) ∠4=∠1=45°

(6) ∠3= EB︵

=5x°=5×15°=75°

(7) ∠6=∠3=75°

為直徑 & AC︵

+ CE︵

+ EB︵

為半圓 180°

將已知AC︵

=3x°,CE︵

=4x°,EB︵

=5x°代入(1) 由(2) & 解一元一次方程式

圓心角∠1 等於所對弧AC︵

的度數 & 已知AC︵

=3x°

對頂角相等 & (4) ∠1=45°

圓心角∠3 等於所對弧 EB︵

的度數 & 已知 EB︵

=5x°

對頂角相等 & (6) ∠3=75°

(19)

如圖 7.2-61,若 是圓 O 的直徑,C 在圓 O 上,且 AC︵

=4BC︵

則∠BOC=______度。

圖 7.2-61 想法:(1) 半圓周為 180°

(2) 圓心角為所對弧度數 解:

敘述 理由

(1) ACB︵

=180°

(2) AC︵

+BC︵

=ACB︵

=180°

(3) 4BC︵

+BC︵

=180°

(4) BC︵

=180°÷5=36°

(5) ∠BOC=BC︵

=36°

已知 是圓 O 的直徑 & ACB︵

為圓周的一半

如圖所示AC︵

+BC︵

=ACB︵

& 由(1) ACB︵

=180°

將已知AC︵

=4BC︵

代入(2)

由(3) 解一元一次方程式

圓心角∠BOC 為所對弧BC︵

的度數 & (4)BC︵

=36°

(20)

20

習題 7.2-9:

如圖 7.2-62,兩同心圓的圓心為 O, 、 為小圓的半徑, 、 為

大圓的半徑。已知∠AOB=60,則:

(1) ∠COD= 度。 (2) AB︵

= 度,CD︵

= 度。

圖 7.2-62 想法:(1) 同心圓圓心角相等

(2) 圓心角等於所對弧的度數 解:

敘述 理由

(1) ∠COD=∠AOB=60

(2) AB︵

=∠AOB=60

(3) CD︵

=∠COD=60

同心圓圓心角∠COD 與∠AOB 相等

圓心角∠AOB 等於所對弧AB︵

的度數 & 已知∠AOB=60°

圓心角∠COD 等於所對弧CD︵

的度數 & (1) ∠COD=60°

(21)

如圖 7.2-63, 、 為圓 O 的兩弦,且 = 。若AB︵

=60,則CD︵

= 度。

圖 7.2-63 想法:等弦對等弧定理

解:

敘述 理由

(1) CD︵

=AB︵

(2) CD︵

=AB︵

=60

已知 = & 等弦對等弧定理

由(1) & 已知AB︵

=60

(22)

22

習題 7.2-11:(試證同圓或等圓中,等圓心角必對等弦。)

圖 7.2-64

已知:如圖 7.2-64,圓 O 與圓 O'兩圓之半徑相等,∠AOB=∠A'O'B'。

求證: =

想法:(1) 等圓心角對等弧定理 (2) 等弧對等弦定理 證明:

敘述 理由

(1) AB︵

=A'B'︵ (2) =

已知∠AOB=∠A'O'B' & 等圓心角對等弧定理 由(1) & 等弧對等弦定理

(23)

如圖 7.2-65, 為圓 O 直徑, 為圓 O 之一弦,若 ⊥ ,且 =10 公分、DE︵

=120,試求:(1) =? (2) AE︵

=?

圖 7.2-65

想法:垂直於弦的直徑必平分這弦與這弦所對的弧 解:

敘述 理由

(1) = & AE︵

=AD︵

(2) = =1 2 =1

2×10 公分=5 公分 (3) AE︵

=AD︵

=1 2︵DE

=1

2×120=60

已知 為圓 O 直徑, 為圓 O 之一弦,

且 ⊥ & 垂直於弦的直徑必平分 這弦與這弦所對的弧

由(1) & 已知 =10 公分

由(1) & 已知DE︵

=120

(24)

24

習題 7.2-13:

如圖 7.2-66, 與 為圓 O 之兩弦,已知 = 、 ⊥ 、 ⊥ 且

=10 公分,則 =?

C D

E

F O

A

B

圖 7.2-66

想法:在同圓中,若兩弦相等,則與圓心的距離也相等 解:

敘述 理由

(1) =

(2) = =10 公分

已知 與 為圓 O 之兩弦,且 = 、 ⊥

⊥ & 在同圓中,若兩弦相等,則與圓心的距離 也相等

由(1) & 已知 =10 公分

(25)

如圖 7.2-67,A、B、C、D 四點都在圓 O 上,∠AOC=160°,則ABC

= 度,

ADC︵

= 度,∠B= 度。

圖 7.2-67 想法:1. 圓周角的性質有:

(1) 圓周角為所對弧度的一半 (2) 弧度為所對圓周角的 2 倍 (3) 同弧之圓心角為圓周角的 2 倍 (4) 同弧之圓周角為圓心角的一半 (5) 同弧之圓周角相等

(6) 直徑所對的圓周角為直角 2. 直徑將圓周分為一半

3. 圓周 360°

解:

敘述 理由

(1) ∠AOC 為ABC︵

所對的圓心角 (2) ABC︵

=∠AOC=160°

(3) ABC︵

+ADC︵

=360°

(4) 160°+ADC︵

=360°

如圖所示,∠AOC 對ABC︵

由(1)圓心角∠AOC 等於所對弧ABC︵

的度數

& 已知∠AOC=160°

如圖所示,ABC︵

+ADC︵

為圓周 360°

將(2) ABC︵

=160° 代入(3)

(26)

26

& (5) ADC︵

=200°

習題 7.2-15:

如圖 7.2-68,△ABC 三頂點皆在圓周上,且 = 。已知∠B=65°,則 BC︵ 的度數=?

圖 7.2-68 想法:1. 三角形內角和 180°

2. 圓周角的性質有:

(1) 圓周角為所對弧度的一半 (2) 弧度為所對圓周角的 2 倍 (3) 同弧之圓心角為圓周角的 2 倍 (4) 同弧之圓周角為圓心角的一半 (5) 同弧之圓周角相等

(6) 直徑所對的圓周角為直角 解:

敘述 理由

(1) △ABC 為等腰三角形 (2) ∠C=∠B=65°

(3) △ABC 中,

∠A+∠B+∠C=180°

(4) ∠A+65°+65°=180°

(5) ∠A=180°-65°-65°=50°

(6) BC︵

=2∠A=2×50°=100°

已知 =

等腰三角形兩底角相等 & 已知∠B=65°

如圖 7.2-68 所示 三角形內角和 180°

將(2) ∠C=∠B=65° 代入(3)式得 由(4) 移項

弧度( BC︵

)為所對圓周角( ∠A )的 2 倍

& 由(5) ∠A=50°

(27)

如圖 7.2-69,△ABC 三頂點皆在圓周上。若∠C=65°,則∠AOB=____度。

圖 7.2-69 想法:圓周角的性質有:

(1) 圓周角為所對弧度的一半 (2) 弧度為所對圓周角的 2 倍 (3) 同弧之圓心角為圓周角的 2 倍 (4) 同弧之圓周角為圓心角的一半 (5) 同弧之圓周角相等

(6) 直徑所對的圓周角為直角 解:

敘述 理由

(1) ∠AOB 為AB︵

所對之圓心角 (2) ∠C 為AB︵

所對之圓周角 (3) ∠AOB=2∠C=2×65°=130°

如圖 7.2-69 所示

如圖 7.2-69 所示 由(1) & (2) 同弧AB︵

之圓心角∠AOB 為 圓周角∠C 的 2 倍 & 已知∠C=65°

(28)

28

習題 7.2-17:

如圖 7.2-70,A、B、C 三點都在圓周上,∠BOC=110,則∠A= 度。

圖 7.2-70 想法: 圓周角的性質有:

(1) 圓周角為所對弧度的一半 (2) 弧度為所對圓周角的 2 倍 (3) 同弧之圓心角為圓周角的 2 倍 (4) 同弧之圓周角為圓心角的一半 (5) 同弧之圓周角相等

(6) 直徑所對的圓周角為直角 解:

敘述 理由

(1) ∠A 為BC︵

所對的圓周角

(2) ∠BOC 為BC︵

所對的圓心角

(3) ∠A=

2

1

∠BOC=

2

1

×110°=55°

如圖 7.2-70 所示,∠A 對BC︵

如圖 7.2-70 所示,∠BOC 對BC︵

由(1)(2)同弧 BC︵

之圓周角∠A 等於圓心 角∠BOC 的一半 & 已知∠BOC=110°

(29)

如圖 7.2-71, 和 是圓的兩弦,且相交於 E 點。若∠B=65°,∠A=45°,

則:(1) ∠1=_______度。(2) ∠2=_______度。

圖 7.2-71 想法:圓周角的性質有:

(1) 圓周角為所對弧度的一半 (2) 弧度為所對圓周角的 2 倍 (3) 同弧之圓心角為圓周角的 2 倍 (4) 同弧之圓周角為圓心角的一半 (5) 同弧之圓周角相等

(6) 直徑所對的圓周角為直角 解:

敘述 理由

(1) ∠B 為AD︵

所對之圓周角

(2) ∠1 為AD︵

所對之圓周角

(3) ∠1=∠B=65

如圖 7.2-71 所示,∠B 對AD︵

如圖 7.2-71 所示,∠1 對AD︵

由(1) & (2) 同弧AD︵

所對之圓周角∠1 與∠B 相等 & 已知∠B=65

(30)

30

相等& 已知∠A=45

習題 7.2-19:

如圖 7.2-72, 為直徑,求∠C、∠D、∠E 各為幾度?

圖 7.2-72 想法:圓周角的性質有:

(1) 圓周角為所對弧度的一半 (2) 弧度為所對圓周角的 2 倍 (3) 同弧之圓心角為圓周角的 2 倍 (4) 同弧之圓周角為圓心角的一半 (5) 同弧之圓周角相等

(6) 直徑所對的圓周角為直角 解:

敘述 理由

(1) ∠C 為直徑 所對的圓周角 (2) ∠C=90°

(3) ∠D 為直徑 所對的圓周角 (4) ∠D=90°

(5) ∠E 為直徑 所對的圓周角 (6) ∠E=90°

如圖 7.2-72 所示 & 已知 為圓 O 的直徑 由(1) 直徑 所對的圓周角∠C 為直角 如圖 7.2-72 所示 & 已知 為圓 O 的直徑 由(3) 直徑 所對的圓周角∠D 為直角 如圖 7.2-72 所示 & 已知 為圓 O 的直徑 由(5) 直徑 所對的圓周角∠E 為直角

(31)

如圖 7.2-73,△ABC 三頂點皆在圓周上,且 為圓 O 的直徑。已知

∠B=20°,則∠C=_____度。

圖 7.2-73 想法:1. 圓周角的性質有:

(1) 圓周角為所對弧度的一半 (2) 弧度為所對圓周角的 2 倍 (3) 同弧之圓心角為圓周角的 2 倍 (4) 同弧之圓周角為圓心角的一半 (5) 同弧之圓周角相等

(6) 直徑所對的圓周角為直角 2. 三角形內角和 180°

解:

敘述 理由

(1) ∠A 為直徑 所對的圓周角 (2) ∠A=90°

(3) 三角形 ABC 中,

∠A+∠B+∠C=180°

(4) 90°+20°+∠C=180°

如圖 7.2-73 所示 & 已知 為圓 O 的 直徑

由(1) & 直徑所對的圓周角為直角 如圖 7.2-73 所示

三角形內角和 180°

將(2) ∠A=90° & 已知 ∠B=20°

(32)

32

習題 7.2-21:

如圖 7.2-74,兩弦 、 相交於圓內一點 P。若 AC︵

=20°,BD︵

=50°,

則∠BPD=_______度。

圖 7.2-74

想法:圓內角的度數,等於這角與它的對頂角所對兩弧度數和的一半 解:

敘述 理由

(1) ∠BPD 為圓內角 (2) ∠BPD=

2 1( BD︵

+AC︵ )

(3) ∠BPD=

2

1( 50°+20° )

=35°

如圖 7.2-74,已知 P 點為兩弦 與 在圓內的 交點

由(1) 圓內角∠BPD 的度數,等於這角∠BPD 與 它的對頂角∠CPA 所對兩弧BD︵

與AC︵

度數和的 一半

將已知BD︵

=50 & AC︵

=20代入(2)式得

(33)

如圖 7.2-75,圓 A 與圓 B 相交於 C、D 兩點,若 =8 公分,則:

(1) =? (2) ∠CEB=?

圖 7.2-75

想法:相交兩圓的兩圓心連線(連心線),必垂直平分這兩圓的公弦 解:

敘述 理由

(1) 為連心線 & 為公弦 (2) ⊥ & =

(3) ∠CEB=90° & =4 公分

已知圓 A 與圓 B 相交於 C、D 兩點 由(1) 連心線必垂直平分這兩圓的公弦 由(2) ⊥ & = & 已知 =8 公分

(34)

34

習題 7.2-23: 過直徑兩端的弦,若與這直徑所成的角相等,則這兩弦相等。

圖 7.2-76

己知:如圖 7.2-76 中, 為圓 O 的直徑,∠1=∠2。

求證: = 。

想法:1. 圓周角的性質有:

(1) 圓周角為所對弧度的一半 (2) 弧度為所對圓周角的 2 倍 (3) 同弧之圓心角為圓周角的 2 倍 (4) 同弧之圓周角為圓心角的一半 (5) 同弧之圓周角相等

(6) 直徑所對的圓周角為直角 2. 直徑將圓周分為兩等份 3. 等弧對等弦

證明:

敘述 理由

(1) ACB︵

=BDA︵

(2) BC︵

=2∠1 (3) AD︵

=2∠2 (4) BC︵

=2∠1=2∠2=AD︵ (5) ACB︵

=AC︵

+BC︵

已知 為圓 O 的直徑 & 直徑將圓周分為兩 等份

如圖 7.2-76,弧度為所對圓周角的 2 倍 如圖 7.2-76,弧度為所對圓周角的 2 倍 由(2) & (3) & 已知∠1=∠2 遞移律 如圖 7.2-76 所示,全量等於分量之和

(35)

(6) AC=ACB-BC =BDA︵

-AD︵

=BD︵ (7) =

由(5) 移項 & 由(1) ACB︵

=BDA︵

& (4) BC︵

=AD︵

由(6) AC︵

=BD︵

& 等弧對等弦

(36)

36

習題 7.3

習題 7.3-1:

有一個圓 O,其半徑為 7 公分,判斷直線 L 與圓的相交情形及交點個數。

想法:直線與圓的關係

(1) 若直線到圓心的距離大於半徑長,則直線與圓不相交;

(2) 若直線到圓心的距離等於半徑長,則直線與圓相交於一點,且此直線 稱為此圓的切線;

(3) 若直線到圓心的距離小於半徑長,則直線與圓相交於兩個點,且此直 線稱為此圓的割線。

解:

敘述 理由

(1) 如右圖所示,圓 O 半徑為 7 公分,直線 L 到圓心 O 的距離為 10 公分,則此直線 L 與圓 O 沒有交點

(2) 如右圖所示,圓 O 半徑為 7 公分,直線 L 到圓心 O 的距離為 7 公分,則此直線 L 與圓 O 交於一點

(3) 如右圖所示,圓 O 半徑為 7 公分,直線 L 到圓心 O 的距離為 3 公分,則此直線 L 與圓 O 相交於 2 點

10 公分>7 公分

7 公分=7 公分

3 公分<7 公分 圓心 O 到直線 L 距離 10 公分 7 公分 3 公分

交點個數

0 1 2

(37)

圖 7.3-68

已知:如圖 7.3-68, 為圓 O 的直徑,L 與 M 為圓 O 的兩切線,且 L 切圓 O 於 A 點、M 切圓 O 於 B 點

求證:L∥M

想法:(1) 切線與過切點的半徑互相垂直 (2) 垂直於同一直線的兩直線互相平行 證明:

敘述 理由

(1) ⊥L ( 即 ⊥L ) (2) ⊥M

( 即 ⊥M ) (3) 所以 L∥M

已知 L 圓 O 的切線 & 切線與過切點的半徑互相垂直 ( 已知 為圓 O 的直徑 )

已知 M 圓 O 的切線 & 切線與過切點的半徑互相垂直 ( 已知 為圓 O 的直徑 )

由(1) ⊥L & (2) ⊥M 垂直於同一直線的兩直線互相平行

(38)

38

習題 7.3-3:

如圖 7.3-69,P 點在圓 O 的外部, 與 分別與圓 O 相切於 A 與 B 兩點。

若∠P=35°,則∠AOB=_______度。

圖 7.3-69 想法:利用切線與過切點的半徑互相垂直 解:

敘述 理由

(1) ⊥ ,∠OAP=90°

(2) ⊥ ,∠OBP=90°

(3) 四邊形 OAPB 中,

∠OAP+∠OBP+∠P+∠AOB=360°

(4) 90°+90°+35°+∠AOB=360°

(5) ∠AOB=360°-90°-90°-35°=145°

已知 與圓 O 相切於 A 點 & 切線與過切點的半徑互相垂直 已知 與圓 O 相切於 B 點 & 切線與過切點的半徑互相垂直 如圖 7.3-69 所示,

四邊形內角和為 360°

將(1) ∠OAP=90°、(2) ∠OBP=90°

& 已知∠P=35° 代入(3)式得 由(4)式移項得

(39)

如圖 7.3-70, 、 為圓 O 之切線,A、B 為切點。若 =10 公分,

則 =?

圖 7.3-70 想法:利用圓外一點到圓的兩切線等長 解:

敘述 理由

(1) =

(2) = =10 公分

已知 、 為圓 O 之切線,A、B 為切點。

& 圓外一點到圓的兩切線等長 由(1) & 已知 =10 公分

(40)

40

習題 7.3-5:

如圖 7.3-71,已知 、 、 分別與圓相切於 D、E、F 三點。

若 =20 公分,求 + + 之值。

圖 7.3-71 想法:利用圓外一點到圓的兩切線等長 解:

敘述 理由

(1) = =20 公分

(2) 、 、 、 皆為切線 (3) =

(4) =

(5) + +

= +( + )+

=( + )+( + )

=( + )+( + )

= +

=(20 公分)+(20 公分)

=40 公分

(6) + + =40 公分

已知 、 分別與圓相切於 D、E 兩點 & 圓外一點到圓的兩切線等長 &

已知 =20 公分

已知 、 、 皆為切線

由(2) 、 為切線 & 圓外一點到圓的兩切 線等長

由(2) 、 為切線 & 圓外一點到圓的兩切 線等長

題目所求

如圖 7.3-71, = + 加法結合律

將(3) = & (4) = 代入 如圖 7.3-71, + = & + = 將(1) = =20 公分 代入

由(5)

(41)

圖 7.3-72 中,已知△ABC 為直角三角形,A=90,且 I 點為△ABC 的內 心,若 =5 公分、 =12 公分、 =13 公分,則△ABC 內切圓半徑為 何?

圖 7.3-72

想法:若△ABC 為直角三角形,A=90,則△ABC 內切圓半徑=

2

AB

+

AC

BC

解:

敘述 理由

(1) △ABC 內切圓半徑

= 2

AB

+

AC

BC

=5公分+12公分-13公分 2

=2 公分

若△ABC 為直角三角形,A=90,則△ABC 內切圓半徑=

2

AB

+

AC

BC

已知 =5 公分、 =12 公分、 =13 公分

(42)

42

習題 7.3-7:

已知圓 A 與圓 B 的連心線段長為 10 單位。若圓 A 與圓 B 的半徑分別如下,

試問兩圓位置關係各為何?

圓 O1的半徑 2 單位 5 單位 4 單位 7 單位 15 單位 圓 O2的半徑 3 單位 7 單位 6 單位 21 單位 25 單位 兩圓位置關係

想法:判斷兩圓關係的規則如下:

(1) 若連心線長>兩半徑和,則兩圓外離。

(2) 若連心線長=兩半徑和,則兩圓外切。

(3) 若兩半徑差<連心線長<兩半徑和,則兩圓相交於兩點。

(4) 若連心線長=兩半徑差,則兩圓內切。

(5) 若連心線長<兩半徑差,則兩圓內離。

(6) 若連心線長=0,則兩圓為同心圓。

解:

敘述 理由

(1) =10 單位>(2+3) 單位 所以圓 A 與圓 B 外離

(2) (7-5) 單位< =10 單位<(7+5) 單位 所以圓 A 與圓 B 交於兩點

(3) =10 單位=(4+6) 單位 所以圓 A 與圓 B 外切

(4) =10 單位<(21-7) 單位 所以圓 A 與圓 B 內離

(5) =10 單位=(25-15) 單位 所以圓 A 與圓 B 內切

已知 =10 單位 & 圓 A 及圓 B 的 半徑各為 2 單位及 3 單位 & 連心線長>兩半徑和,則兩圓外離 已知 =10 單位 & 圓 A 及圓 B 的 半徑各為 7 單位及 5 單位 & 兩半徑差<連心線長<兩半徑和,則 兩圓相交於兩點

已知 =10 單位 & 圓 A 及圓 B 的 半徑各為 4 單位及 6 單位 & 連心線長=兩半徑和,則兩圓外切 已知 =10 單位 & 圓 A 及圓 B 的 半徑各為 21 單位及 7 單位 & 連心線長<兩半徑差,則兩圓內離 已知 =10 單位 & 圓 A 及圓 B 的 半徑各為 25 單位及 15 單位 & 連心線長=兩半徑差,則兩圓內切

(43)

已知大、小兩圓的半徑分別為 5r、3r,當兩圓內切時,其連心線段長為 6 公 分,則當兩圓外切時,則連心線段長為_______cm。

想法:(1) 若兩圓外切,則連心線長=兩半徑和 (2) 若兩圓內切,則連心線長=兩半徑差。

解:

敘述 理由

(1) 5r-3r=6 cm

(2) r=3 cm

(3) 連心線長=5r+3r=8 r (4) 所以連心線長=8×(3cm)

=24 公分

已知兩圓內切時,其連心線段長為 6 cm & 若兩圓內切,則連心線長=兩半徑差

由(1) 解一元一次方程式

若兩圓外切,則連心線長=兩半徑和 將(2) r=3 cm 代入(3)式得

(44)

44

習題 7.3-9:

設有 A、B、C 三圓,圓 A 與圓 B 外切,且兩圓同時和圓 C 內切。若圓 A 的 半徑為 5 公分,圓 B 半徑為 4 公分,圓 C 半徑為 11 公分,則 + + 之 值為何?

圖(a)

想法:(1) 若兩圓外切,則連心線長=兩半徑和 (2) 若兩圓內切,則連心線長=兩半徑差。

解:

敘述 理由

(1) 依題意繪圖,如上 圖(a)所示

(2) = +

(3) =5 公分+4 公分 =9 公分

(4) = -

(5) =11 公分-4 公分 =7 公分

(6) = -

(7) =11 公分-5 公分 =6 公分

(8) 所以 + + =(9+7+6) 公分 =22 公分

由已知圓 A 與圓 B 外切,且兩圓同時和圓 C 內切作圖

已知 A、B 兩圓外切 & 連心線長=兩半徑和 將已知圓 A 半徑 =5 公分 &

圓 B 半徑 =4 公分 代入(2)

已知 B、C 兩圓內切 & 連心線長=兩半徑差 將已知圓 B 半徑 =4 公分 &

圓 C 半徑 =11 公分 代入(4)

已知 A、C 兩圓內切 & 連心線長=兩半徑差 將已知圓 A 半徑 =5 公分 &

圓 C 半徑 =11 公分 代入(6) 由(3)式+(5)式+(7)式得

(45)

已知圓 O1與圓 O2的連心線段長為 10 公分,若圓 O1與圓 O2的半徑分別如 下表,請完成下表。

圓 O1半徑 6 公分 5 公分 4 公分 5 公分 6 公分 圓 O2半徑 16 公分 3 公分 6 公分 8 公分 20 公分 兩圓位置關係

公切線數

想法:1.在同一平面上,若兩圓外離,則此兩圓共有 4 條公切線,其中 2 條 為內公切線,2 條為外公切線。

2. 在同一平面上,若兩圓外切,則此兩圓共有 3 條公切線,其中 1 條 為內公切線,2 條為外公切線。

3. 在同一平面上,若兩圓相交於兩點,則此兩圓共有 2 條公切線,且 此 2 條皆為外公切線。

4. 在同一平面上,若兩圓內切,則此兩圓只有 1 條公切線,且此公切 線為外公切線。

5. 在同一平面上,若兩圓內離,則此兩圓沒有公切線。

解:

敘述 理由

(1) 若圓 O1與圓 O2半徑分別為 6 公分、

16 公分,則圓 O1與圓 O2內切 所以圓 O1與圓 O2只有一條公切線

(2) 若圓 O1與圓 O2半徑分別為 5 公分、

3 公分,則圓 O1與圓 O2外離 所以圓 O1與圓 O2共有 4 條公切線

已知圓 O1與圓 O2半徑分別為 6 公分、

16 公分,連心線段長為 10 公分

10 公分=(16-6) 公分 &

連心線長=兩半徑差,則兩圓內切 & 兩圓內切,則此兩圓只有 1 條公切線 已知圓 O1與圓 O2半徑分別為 5 公分、

3 公分,連心線段長為 10 公分

10 公分>(5+3)公分 &

連心線長>兩半徑和,則兩圓外離 &

(46)

46

(4) 若圓 O1與圓 O2半徑分別為 5 公分、

8 公分,則圓 O1與圓 O2交於 2 點 所以圓 O1與圓 O2共有 2 條公切線

(5) 若圓 O1與圓 O2半徑分別為 6 公分、

20 公分,則圓 O1與圓 O2內離 所以圓 O1與圓 O2沒有公切線

已知圓 O1與圓 O2半徑分別為 5 公分、

8 公分,連心線段長為 10 公分

(8-5)公分<10 公分<(8+5)公分

& 兩半徑差<連心線長<兩半徑和 則兩圓相交於 2 點 &

兩圓相交於 2 點,則此兩圓共有 2 條 公切線

已知圓 O1與圓 O2半徑分別為 6 公分、

20 公分,連心線段長為 10 公分

10 公分<(20-6) 公分 & 連心線長<兩半徑差,則兩圓內離 & 兩圓內離,則此兩圓沒有公切線

(47)

圖 7.3-73

已知:如圖 7.3-73,圓 O1與圓 O2兩圓外切於 M 點, 為兩圓的內公切線,

為圓 O1及圓 O2兩圓的外公切線,切點分別為點 P 與點 Q, 與 相交 於點 N。

求證: =

想法:利用圓外一點到圓的兩切線等長 證明:

敘述 理由

(1) =

(2) =

(3) 所以 =

已知 為圓 O1的切線、 為圓 O1的切線,切點 分別為點 M 與點 P,且 與 相交於點 N

& 圓外一點到圓的兩切線等長

已知 為圓 O2的切線、 為圓 O2的切線,切點 分別為點 M 與點 Q,且 與 相交於點 N

& 圓外一點到圓的兩切線等長

由(1) = & (2) = 遞移律

(48)

48

習題 7.3-12:

圖 7.3-74 中, 為圓的切線,A 為切點,C 為AB︵

的中點,求證 為BAD 的角平分線。

圖 7.3-74 想法:(1) 弦切角為所對弧度的一半

(2) 圓周角為所對弧度的一半 證明:

敘述 理由

(1) BC︵

=AC︵ (2) ∠CAD 為AC︵

所對的弦切角

(3) ∠CAD=1 2︵AC (4) ∠CAB=1

2︵BC (5) ∠CAD=∠CAB

(6) 所以 為BAD 的角平分線

已知 C 為AB︵

的中點

已知 為圓的切線,A 為切點,C 為AB︵ 的中點, 為一弦 & 弦切角定義 由(2) & 弦切角為所對弧度的一半

圓周角為所對弧度的一半 由(1)、(3) & (4) 遞移律 由(5) 已證

(49)

如圖 7.3-75,ABCDE 為正五邊形,且 5 個頂點皆在圓周上,若 切圓 O 於 A 點,則∠PAE=?

圖 7.3-75

想法:(1) 利用正五邊形五個頂點將圓周五等分 & 圓周為 360°,可以得知

︵AE

=72°;

(2) 利用 AE︵

=72° & 弦切角等於所對弧度的一半,可以得知∠PAE=36°

解:

敘述 理由

(1) AE︵

=360°÷5=72°

(2) ∠PAE=

2 1︵AE

=2 1×72°

=36°

已知 ABCDE 為正五邊形,且 5 個頂點皆在圓周 上,五個頂點將圓周五等分 & 圓周為 360°

弦切角的度數等於這弦與切線間的弧度數 的一半 & (1) AE︵

=72°

(50)

50

習題 7.3-14:

如圖 7.3-76, 切圓於 C 點。若 EB︵

=150°,∠B=30°,

(1) 求∠ACE 的度數。 (2) 求∠BCD 的度數。

圖 7.3-76

想法:(1) 利用已知∠B=30° & 弧度為所對圓周角的 2 倍,可得 CE︵

=60°;

(2) 利用 CE︵

=60° & 弦切角等於所對弧度的一半,可得∠ACE=30°;

(3) 利用已知 EB︵

=150°、 CE︵

=60° & 圓周為 360°,可得BC︵

=150°;

(4) 利用 BC︵

=150° & 弦切角等於所對弧度的一半,可得∠BCD=75°

解:

敘述 理由

(1) CE︵

=2∠B=2×30°=60°

(2) ∠ACE=

2 1 ︵CE

(3) ∠ACE=

2

1×60°=30°

(4) BC︵

+ CE︵

+ EB︵

=360°

(5) BC︵

+60°+150°=360°

弧度為所對圓周角的 2 倍 & 已知∠B=30°

弦切角的度數等於這弦與切線間的弧度數 的一半

將(1) CE︵

=60°代入(2)式得

如圖 7.3-76 所示,BC︵

+ CE︵

+ EB︵

=圓周 將(1) CE︵

=60° & 已知 EB︵

=150°

代入(4)式得

(51)

(6) BC=360°-60°-150°=150°

(7) ∠BCD=

2 1︵BC

(8) ∠BCD=

2

1×150°=75°

由(5)式移項得

弦切角的度數等於這弦與切線間的弧度數 的一半

將(6) BC︵

=150° 代入(7)式得

習題 7.3-15:

如圖 7.3-77, 是圓 O 的弦, 切圓 O 於 A 點。若∠CAB=40°,則:

(1) ∠COA=_______ 度。 (2) ∠CDA=_______度。

圖 7.3-77

想法:(1) 利用已知∠CAB=40° & 弦與切線所夾的弧度等於弦切角的 2 倍,

可得知AC︵

=80°;

(2) 利用AC︵

=80° & 圓心角等於所對的弧度,可得知∠COA=80°;

(3) 利用AC︵

=80° & 圓周角等於所對弧度的一半,可得知∠CDA=40°

解:

敘述 理由

(52)

52

習題 7.3-16:

如圖 7.3-78,圓 P 與圓 Q 外切於 A 點,直線 L 為兩圓的外公切線,與圓 P、

圓 Q 的切點分別為 B 點、C 點。已知AB︵

=68,AC︵

=112,則

∠BAC= 度。

圖 7.3-78 想法:(1) 利用已知AB︵

=68 & 弦切角等於所對弧度的一半,可得知

∠ABC=34;

(2) 利用已知AC︵

=112& 弦切角等於所對弧度的一半,可得知

∠ACB=56;

(3) 利用∠ABC=34、∠ACB=56 & △ABC 內角和 180,可得知 ∠BAC=90

解:

敘述 理由

(1) ∠ABC=

2 1︵AB

=2

1×68=34

(2) ∠ACB=

2 1︵AC

=2

1×112=56

(3) △ABC 中,

∠ABC+∠ACB+∠BAC=180

(4) 34+56+∠BAC=180

(5) ∠BAC=180-34-56=90

弦切角等於所對弧度之一半 & 已知AB︵

=68

弦切角等於所對弧度之一半 & 已知AC︵

=112

如圖 7.3-78 所示,

三角形內角和 180

將(1)∠ABC=34 & (2) ∠ACB=56

代入(3)式得 由(4)式移項得

(53)

如圖 7.3-79, 與圓 O 相切於 B 點,且 與圓 O 相交於 D、E 兩點。已知 BD︵

=90, BE︵

=140,則∠A= 度。

圖 7.3-79 想法: (1) 利用已知BD

=90 & 圓周角等於所對弧度的一半,可得知∠E=45;

(2) 利用已知 BE︵

=140 & 弦切角等於所對弧度的一半,可得知 ∠EBC=70;

(3) 利用∠E=45、∠EBC=70 & 三角形外角定理,可得知∠A=25

解:

敘述 理由

(1) ∠E=

2 1︵BD

=2

1×90=45

(2) ∠EBC=

2 1︵BE

=2

1 ×140=70

(3) △ABE 中,∠EBC 為∠EBA 的外角

∠EBC=∠A+∠E (4) 70=∠A+45

圓周角等於所對弧度之一半 & 已知BD︵

=90

弦切角等於所對弧度之一半 & 已知 BE︵

=140

如圖 7.3-79 所示,

外角等於內對角的和

將(2) ∠EBC=70、(1) ∠E=45

代入(3)式得

(54)

54

習題 7.3-18:

如圖 7.3-80,兩弦 與 的延長線相交於圓外一點 P。已知AC︵

=110°,

BD︵

=40°,則∠P= 度。

圖 7.3-80

想法:兩割線在圓外相交所成的角的度數,等於它們所截兩弧度數差的一半 解:

敘述 理由

(1) ∠P 為圓外角 (2) ∠P=

2 1( AC

-BD︵ )

(3) ∠P=

2

1( 110°-40° )=35°

已知兩弦 與 的延長線相交於圓外一點 P 由(1) &兩割線在圓外相交所成的角的度數,

等於它們所截兩弧度數差的一半 將已知AC︵

=110°、BD︵

=40° 代入(2)式得

(55)

如圖 7.3-81,兩弦 與 的延長線相交於圓外一點 P。已知AC︵

=105,

∠P=25,則BD︵

= 度。

圖 7.3-81

想法:兩割線在圓外相交所成的角的度數,等於它們所截兩弧度數差的一半 解:

敘述 理由

(1) ∠P 為圓外角 (2) ∠P=

2 1( AC

-BD︵ )

(3) 25=

2

1( 105°-BD ) (4) BD︵

=105°-2×25=55

已知兩弦 與 的延長線相交於圓外一點 P 由(1) &兩割線在圓外相交所成的角的度數,

等於它們所截兩弧度數差的一半 將已知∠P=25、AC︵

=105 代入(2)式得 由(3)式解一元一次方程式

(56)

56

習題 7.3-20:

如圖 7.3-82,兩弦 與 相交於 Q 點,兩弦 與 的延長線相交於圓外

一點 P。已知AC︵

=102,BD︵

=50,則:

(1)∠P= 度。 (2) ∠AQC= 度。

圖 7.3-82

想法:(1) 圓內角的度數,等於這角與它的對頂角所對兩弧度數和的一半 (2) 兩割線在圓外相交所成的角的度數,等於它們所截兩弧度數差的一半 解:

敘述 理由

(1) ∠P 為圓外角 (2) ∠P=

2 1( AC

-BD︵ )

(3) ∠P=

2

1( 102°-50 )=26

(4) ∠AQC 為圓內角 (5) ∠AQC=

2 1( AC

+BD︵ )

(6) ∠AQC=

2

1(102°+50) =76

已知兩弦 與 的延長線相交於圓外一點 P 由(1) &兩割線在圓外相交所成的角的度數,

等於它們所截兩弧度數差的一半 將已知AC︵

=102 、BD︵

=50代入(2)式得 已知兩弦 與 相交於 Q 點

由(4) & 圓內角的度數,等於這角與它的對頂 角所對兩弧度數和的一半

將已知AC︵

=102 、BD︵

=50代入(5)式得

(57)

如圖 7.3-83,若 AC︵

=110°,∠P=33°,則:

(1) BD︵

=______度。 (2) ∠AQC=______度。

圖 7.3-83

想法:(1) 圓內角的度數,等於這角與它的對頂角所對兩弧度數和的一半 (2) 兩割線在圓外相交所成的角的度數,等於它們所截兩弧度數差的一半 解:

敘述 理由

(1) ∠P 為圓外角 (2) ∠P=

2 1( AC

-BD︵ )

(3) 33°=

2

1( 110°-BD ) (4) BD︵

=110°-2×33°=44°

(5) ∠AQC 為圓內角 (6) ∠AQC=

2 1( AC

+BD︵ )

(7) ∠AQC=

2

1(110°+44)

如圖 7.3-83, 與 的延長線相交於圓外一 點 P

由(1) &兩割線在圓外相交所成的角的度數,

等於它們所截兩弧度數差的一半 將已知∠P=33°、AC︵

=110 代入(2)式得 由(3)式解一元一次方程式

如圖 7.3-83,兩弦 與 相交於 Q 點

由(5) & 圓內角的度數,等於這角與它的對頂 角所對兩弧度數和的一半

將已知AC︵

=110 &(4) BD︵

=44代入(5)式得

(58)

58

習題 7.3-22:

如圖 7.3-84, 與 的延長線相交於 P 點, 與 相交於 M 點。

若 BD︵

=25°,∠AMC=65°,則:

(1) AC︵

=______度。 (2)∠P=______度。

圖 7.3-84

想法:(1) 圓內角的度數,等於這角與它的對頂角所對兩弧度數和的一半 (2) 兩割線在圓外相交所成的角的度數,等於它們所截兩弧度數差的一半 解:

敘述 理由

(1) ∠AMC 為圓內角 (2) ∠AMC=

2 1( AC

+BD︵ )

(3) 65°=

2 1( AC

+25° ) (4) AC︵

=2×65°-25°=105°

(5) ∠P 為圓外角 (6) ∠P=

2 1( AC

-BD︵ )

(7) ∠P=

2

1( 105°-25° )=40°

已知 與 相交於 M 點

由(1) & 圓內角的度數,等於這角與它的 對頂角所對兩弧度數和的一半

將已知∠AMC=65° & BD︵

=25° 代入(2) 由(3)式解一元一次方程式

已知 與 的延長線相交於圓外一點 P 由(5) &兩割線在圓外相交所成的角的度 數,等於它們所截兩弧度數差的一半 將(4) AC︵

=105° & 已知BD︵

=25° 代入(6)

(59)

如圖 7.3-85,若∠AFB=65°,∠E=25°,求 AB︵

、CD︵

的度數。

圖 7.3-85

想法:(1) 圓內角的度數,等於這角與它的對頂角所對兩弧度數和的一半 (2) 兩割線在圓外相交所成的角的度數,等於它們所截兩弧度數差的一半 解:

敘述 理由

(1) ∠AFB 為圓內角 (2) ∠AFB=

2 1( AB

+CD︵ )

(3) 65°=

2 1( AB

+CD︵ ) (4) ∠E 為圓外角

(5) ∠E=

2 1( AB

-CD︵ )

(6) 25°=

2 1( AB

-CD︵ )

(7) 所以AB︵

=90° & CD︵

=40°

如圖 7.3-85, 與 相交於 F 點

由(1) & 圓內角的度數,等於這角與它的 對頂角所對兩弧度數和的一半

將已知∠AFB=65° 代入(2)式得

如圖 7.3-85, 與 的延長線相交於圓外 一點 E

由(4) &兩割線在圓外相交所成的角的度 數,等於它們所截兩弧度數差的一半 將已知∠E=25° 代入(5)式得

由(3) & (6) 解二元一次聯立方程式得

(60)

60

習題 7.3-24:

如圖 7.3-68,P 為圓外一點, 、 與圓 O 相切於 A、B 兩點。若ACB︵

= 150°,求∠P 的度數。

圖 7.3-68 想法:(1) 圓周為 360°

(2) 兩切線在圓外相交所成的角的度數,等於它們所截兩弧度數差的一半 解:

敘述 理由

(1) ADB︵

+ACB︵

=360°

(2) ADB︵

=360°-ACB︵

=360°-150°=210°

(3) P 為圓外角

(4) P=

2

1( ADB

-ACB︵ )

(5) P=

2

1( 210°-150°) =30°

如圖 7.3-68 所示,ADB︵

+ACB︵

為圓周

由(1)式移項 & 已知ACB︵

=150°

已知 P 為圓外一點, 、 與圓 O 相切 於 A、B 兩點

由(3) & 兩切線在圓外相交所成的角的 度數,等於它們所截兩弧度數差的一半 將(2) ADB︵

=210° & 已知ACB︵

=150°

代入(4)式得

(61)

如圖 7.3-87,P 為圓外一點, 、 與圓 O 相切於 A、B 兩點,

且∠PAB=65°,則∠P=____度。

圖 7.3-87 想法:(1) 弧的度數為所對弦切角的 2 倍 (2) 圓周為 360°

(3) 兩切線在圓外相交所成的角的度數,等於它們所截兩弧度數差的一半 解:

敘述 理由

(1) ACB︵

=2∠PAB=2×65°=130°

(2) ADB︵

+ACB︵

=360°

(3) ADB︵

=360°-ACB︵

=360°-130°=230°

(4) P 為圓外角

(5) P=

2

1( ADB

-ACB︵ )

弧的度數為所對弦切角的 2 倍 & 已知∠PAB=65°

如圖 7.3-87 所示,ADB︵

+ACB︵

為圓周

由(2)式移項 & (1) ACB︵

=130°

已知 P 為圓外一點, 、 與圓 O 相切 於 A、B 兩點

由(4) & 兩切線在圓外相交所成的角的

(62)

62

習題 7.3-26:

如圖 7.3-88,P 為圓外一點, 、 與圓 O 相切於 A、B 兩點。若∠P=35°,

則∠PAB=______度。

圖 7.3-88 想法:(1) 圓周為 360°

(2) 兩切線在圓外相交所成的角的度數,等於它們所截兩弧度數差的一半 (3) 弦切角等於所對弧度的一半

解:

敘述 理由

(1) ADB︵

+ACB︵

=360°

(2) ADB︵

=360°-ACB︵ (3) P 為圓外角

(4) P=

2

1( ADB

-ACB︵ )

(5) 35°=

2

1( 360°-ACB

-ACB︵ )

(6) ACB︵

=( 360°-2×35°)÷2=145°

(7) ∠PAB=

2 1ACB︵

=2

1×145°

=72.5°

如圖 7.3-88 所示,ADB︵

+ACB︵

為圓周 由(1)式移項

已知 P 為圓外一點, 、 與圓 O 相切 於 A、B 兩點

由(3) & 兩切線在圓外相交所成的角的 度數,等於它們所截兩弧度數差的一半 將已知∠P=35° &

(2) ADB︵

=360°-ACB︵

代入(4)式得 由(5)式解一元一次方程式

弦切角等於所對弧度的一半 & (6) ACB︵

=145°

(63)

如圖 7.3-89, 切圓 O 於 A, 交圓 O 於 B、C 兩點。已知AB︵

=175°,

︵AC

=65°,則∠P= 度。

圖 7.3-89

想法:一割線與一切線在圓外相交所成的角的度數,等於它們所截兩弧度數差的 一半

解:

敘述 理由

(1) P 為圓外角 (2) P=

2 1( AB︵

-AC︵ ) =

2

1( 175°-65° ) =55°

已知 切圓 O 於 A, 交圓 O 於 B、C 兩點 由(1) & 一割線與一切線在圓外相交所成的角 的度數,等於它們所截兩弧度數差的一半 & 已知AB︵

=175°、AC︵

=65°

(64)

64

習題 7.3-28:

如圖 7.3-90, 切圓 O 於 A, 交圓 O 於 B、C 兩點。已知∠P=50°,

︵AC

=75°,則AB︵

= 度。

圖 7.3-90

想法:一割線與一切線在圓外相交所成的角的度數,等於它們所截兩弧度數差的 一半

解:

敘述 理由

(1) P 為圓外角 (2) P=

2 1( AB︵

-AC︵ )

(3) 50°=

2 1( AB︵

-75° ) (4) AB︵

=2×50°+75°=175°

已知 切圓 O 於 A, 交圓 O 於 B、C 兩點 由(1) & 一割線與一切線在圓外相交所成的角 的度數,等於它們所截兩弧度數差的一半 將已知∠P=50° & AC︵

=75° 代入(2)式得 由(3)式解一元一次方程式

(65)

如圖 7.3-91,已知 切圓 O 於 P 點, 為直徑,且 的延長線交 於 A 點。若∠A=45°,則∠APB=______度。

圖 7.3-91 想法:(1) 圓周為 360°

(2) 直徑將圓周平分

(3) 一割線與一切線在圓外相交所成的角的度數,等於它們所截兩弧度數 差的一半

解:

敘述 理由

(1) A 為圓外角

(2) A=

2 1( PC︵

- PB︵ )

(3) PC︵

+ PB︵

=CPB︵

=180°

(4) PC︵

=180°- PB︵ (5) 45°=1

( 180°- PB︵

- PB︵ )

已知 切圓 O 於 P 點, 的延長線交 於 A 點

由(1) & 一割線與一切線在圓外相交所成 的角的度數,等於它們所截兩弧度數差的一半 已知 為直徑 & 直徑將圓周平分

由(3)式移項得

將已知∠A=45° & (4) PC︵

=180°- PB︵

(66)

66

習題 7.3-30:

如圖 7.3-92,已知 L∥M,且AC︵

=80°,則BD︵

=?

圖 7.3-92 想法:平行線在圓周上截取兩相等的弧 解:

敘述 理由

(1) BD︵

=AC︵

=80° 已知 L∥M & 平行線在圓周上截取兩相等的弧

& 已知AC︵

=80°

(67)

習題 7.4

習題 7.4-1:

如圖 7.4-13,ABCD 為圓 O 的內接四邊形。若∠C=70°,∠D=100°,則

∠A 與∠B 的度數各為何?

圖 7.4-13 想法:圓的內接四邊形的對角互為補角 解:

敘述 理由

(1) ∠A+∠C=180

(2) ∠A=180-∠C=180-70°=110°

(3) ∠B+∠D=180

(4) ∠B=180-∠D=180-100°=80°

已知 ABCD 為圓 O 的內接四邊形 & 圓的內接四邊形的對角互為補角 由(1)式移項 & 已知∠C=70°

已知 ABCD 為圓 O 的內接四邊形 & 圓的內接四邊形的對角互為補角 由(3)式移項 & 已知∠D=100°

(68)

68

習題 7.4-2:

如圖 7.4-14,若∠B=75°、∠D=105°,是否可以找到一個圓通過四邊形 ABCD 的四個頂點?為什麼?

圖 7.4-14

想法:若四邊形的對角互為補角,則此四邊形必為圓內接四邊形 解:

敘述 理由

(1) ∠B+∠D=180

(2) ∠B 與∠D 互補

(3) 四邊形 ABCD 為圓內接四邊形

(4) 尺規作圖,以 、 中垂線的交點 O 為圓心, 為半徑畫圓,圓 O 即為四 邊形 ABCD 的外接圓,如下圖所示

已知∠B=75°、∠D=105°

由(1) & 補角定義

由(2) & 四邊形的對角互為補角,

則此四邊形必為圓內接四邊形 利用中垂線上任一點到線段兩端等 距離 & 同圓半徑相等的性質,可 得知 O 點為圓心

(69)

證明圓的內接梯形必為等腰梯形。

A

O

C D

B

已知:四邊形 ABCD 為梯形, ∥ ,且 ABCD 為圓 O 的內接四邊形 求證:ABCD 為等腰梯形

想法:(1) 兩平行線間同側內角互補

(2) 圓的內接四邊形的對角互為補角 證明:

敘述 理由

(1) A+D=180

(2) A+C=180

(3) A+D=A+C (4) D=C

(5) 所以 ABCD 為等腰梯形

已知四邊形 ABCD 為梯形, ∥ 兩平行線間同側內角互補

已知 ABCD 為圓 O 的內接四邊形 & 圓的內接四邊形的對角互為補角 由(1) & (2) 遞移律

由(3) 等式兩邊同減A

已知 ABCD 為梯形, ∥ & 由(4) D=C 已證

(70)

70

習題 7.4-4:

證明圓的內接平行四邊形必為矩形或正方形。

圖(a) 圖(b) 已知:四邊形 ABCD 為平行四邊形,且 ABCD 為圓的內接四邊形 求證:ABCD 為矩形或正方形

想法:本題分為兩種情況討論:

情況一:若平行四邊形兩鄰邊不相等 情況二:若平行四邊形兩鄰邊相等 再利用 (1) 平行四邊形兩組對邊平行 (2) 兩平行線間同側內角互補 (3) 平行四邊形兩組對邊相等

(4) 圓的內接四邊形的對角互為補角 來證明 情況一:若平行四邊形兩鄰邊不相等, ≠ ,如上圖(a)所示 證明:

敘述 理由

(1) ∥

(2) A+D=180

(3) A+B=180

(4) A+D=A+B (5) D=B

(6) D+B=180

已知四邊形 ABCD 為平行四邊形 & 平行四邊形兩組對邊平行

由(1) ∥ & 兩平行線間同側內角互補 由(1) ∥ & 兩平行線間同側內角互補 由(2) & (3) 遞移律

由(4) 等式兩邊同減A

已知 ABCD 為圓的內接四邊形 & 圓的內接四邊形的對角互為補角

(71)

(8) B=180÷2=90

(9) D=B=90

(10) A=180-D=90

(11) C+B=180

(12) C=180-B=90

(13) A=B=C=D=90

(14) 所以 ABCD 為矩形

由(7) 解一元一次方程式 由(5) & (8) 遞移律

由(2) 移項 & (9) D=90 已證

由(1) ∥ & 兩平行線間同側內角互補 由(11) 移項 & (8) B=90 已證

由(8)、(9)、(10) & (12) 已證 已知 ABCD 為平行四邊形 &

(13) A=B=C=D=90 已證 四個角都為直角的平行四邊行為矩形

情況二:若平行四邊形兩鄰邊相等 = ,如上圖(b)所示 證明:

敘述 理由

(1) =

(2) = = = (3) ABCD 為矩形

(4) 所以 ABCD 為正方形

已知四邊形 ABCD 為平行四邊形 & 平行四邊形兩組對邊相等

已知 = & (1) 遞移律 由情況一證得

由(3) & (2) 四邊等長的矩形為正方形

因此,由情況一與情況二可證得 ABCD 為矩形或正方形。

(72)

72

習題 7.4-5:

如圖 7.4-15,已知四邊形 ABCD 的四邊分別與圓相切。若 =22 公分,

=20 公分,則 + + + 之值。

圖 7.4-15

想法:圓外切四邊形的相對一組對邊和等於另一組對邊和 解:

敘述 理由

(1) 四邊形 ABCD 為圓的外切四邊形 (2) + = +

(3) + + +

=( + )+( + )

=( + )+( + )

=2( + )

=2×(22 公分+20 公分)=84 公分

(4) 所以 + + + =84 公分

已知四邊形 ABCD 的四邊分別與圓相切 由(1) & 圓外切四邊形的相對一組對 邊和等於另一組對邊和

題目所求

加法交換律 & 結合律

將(2) + = + 代入 加法

將已知 =22 公分, =20 公分 代入得

由(3)

(73)

如圖 7.4-16,已知四邊形 ABCD 的四邊分別與圓相切。

若 + + + =60 公分,則 + =______公分。

圖 7.4-16

想法:圓外切四邊形的相對一組對邊和等於另一組對邊和 解:

敘述 理由

(1) 四邊形 ABCD 為圓的外切四邊形 (2) + = +

(3) + + + =60 公分

(4) ( + )+( + )=60 公分 (5) ( + )+( + )=60 公分 (6) 2( + )=60 公分

(7) + =(60 公分)÷2=30 公分

已知四邊形 ABCD 的四邊分別與圓相切 由(1) & 圓外切四邊形的相對一組對 邊和等於另一組對邊和

已知

由(3) & 加法交換律 & 結合律 將(2) + = + 代入(4)式得 由(5) 加法

由(6)等式兩邊同除以 2 得

(74)

74

習題 7.4-7:

圖 7.4-17 中的圓為四邊形 ABCD 的內切圓。若 =x, =y, =x+6,

=y-2,2y=3 x,求 + + + 之值。

圖 7.4-17

想法:圓外切四邊形的相對一組對邊和等於另一組對邊和 解:

敘述 理由

(1) 四邊形 ABDC 為圓的外切四邊形 (2) + = +

(3) y+y-2=x+x+6

(4) 2 y-2=2x+6 (5) 3 x-2=2x+6 (6) x=8

(7) y=12

(8) + + +

=x+y+x+6+y-2

=2x+2y+4

=2×8+2×12+4=44

(9) 所以 + + + =44

已知圖中的圓為四邊形 ABCD 的內切圓 由(1) & 圓外切四邊形的相對一組對 邊和等於另一組對邊和

將已知 =y、 =y-2、 =x、

=x+6 代入(2)式得 由(3)式化簡得

將已知 2y=3 x 代入(4)式得 由(5)式解一元一次方程式

將(6)式 x=8 代入已知 2y=3 x 求 y 題目所求

將已知 =x、 =y、 =x+6、

=y-2 代入

將(6) x=8 & (7) y=12 代入 由(8)

參考文獻

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