由Stranski-Krastanov模式所形成的InAs/GaAs量子點，一開始先成 長 二 維 結 構 的 砷 化 銦 磊 晶 層 ， 由 於 砷 化 銦 磊 晶 層 的 晶 格 常 數 (aInAs=0.60584nm)大於砷化鎵基板的晶格常數(aGaAs=0.56533nm)，在磊晶 層與基板之間有壓縮應變(compressive strain)的產生，因此當磊晶層 厚度達到臨界厚度時，應變能(strain energy)達到最大值並經由應變 釋放(strain relaxation)形成三維島狀結構的砷化銦量子點，所以應 變對量子點的形成扮演一個相當重要的角色。在自聚式量子點的內部存 有相當大的壓縮應變，此應變會對量子點的有效能隙和載子躍遷有相當 程度的影響。例如砷化銦塊材能隙約0.4eV，但是InAs/GaAs量子點螢光 光譜的基態躍遷約1.1eV，因此了解量子點內外的應變分佈和應變所引 起的相關效應顯的相當重要。此外，由於大多數的Ⅲ-Ⅴ族複合半導體 為離子性晶體(ionic crystal)，當半導體材料受到應力作用所產生的 應變，會導致其內部產生電極化(electrical polarization)而具有壓 電的特性，所以應變所引起的壓電位能也須考慮。
ㄧ般來說，計算量子點的電子能態之前，須先決定量子點的結構，例 如形狀、尺寸和組成。接下來決定應變分佈和壓電位能，其中處理應變 分佈方法有原子論的價鍵力場和連續彈性力學。原子論的價鍵力場處理 方 法 ， 主 要 是 將 原 子 及 原 子 之 間 鍵 結 ， 簡 化 為 球 與 彈 簧 的 模 型 (ball-spring model) ， 利 用 Keating[21] 和 Martin[22] 的 價 鍵 力 場 (Valence Force Field,VFF)描述晶格和量子點的應變能量。連續彈性 力學則將量子點視為連續介質，利用應力與應變的關係，計算出量子點 的總應變能。以上這兩種理論模型都是先計算出形成最低總應變能的最 小位移值，進而得到量子點的應變分佈。連續彈性力學在處理均向性材 料的計算方法可利用解析式計算法，推導出解析形式的應變方程式 [23]。但是量子點的材料為非均向性，難以推導出解析形式的解，需透 過有限元素法(Finite Element Method, FEM)等數值計算方法來趨近其 解。
計算量子點電子能階的數值方法，大致可區分為微擾有效質量近似法 (Perturbation effective-mass approaches)[24]，單一能帶有效質量 近似法( Single Band Effective Mass Approximation)[25]、多能帶 有 效 質 量 近 似 法 (Multi-Band or 8×8 Effective Mass Approximation)[26]、及經驗虛位能法(Empirical Pseudopotential Theory)[27]等。其中以單一能帶有效質量近似法為最簡單，在對應基 態光學躍遷的光致螢光實驗(PL)上，也具有相當的參考價值。
Grundmann et al.[25]採用連續彈性理論來計算量子點的應變分 佈，其砷化銦量子點的金字塔形狀如圖(2-9)所示。在三維侷限物體周 圍的應變分佈只與量子點的形狀有關，與量子點的尺寸大小並不相關，
且應變分佈的尺度與晶格不匹配(lattice mismatch)ε0呈現線性的關 係，ε0為
InAs InAS GaAs
a a a −
0 =
ε (2.82)
其中aInAs與aGaAs分別為砷化銦與砷化鎵的晶格常數。砷化鎵內的應變量 隨著與砷化銦濕層的距離越遠呈現三次方的衰減量。雖然球形結構的各 向同性物質可以獲得其應變分布的解析解，但是量子點實際的幾何形狀 的應變分佈則須利用有限元素數值方法來趨近。量子點應變釋放量的多 寡與砷化鎵的倔強係數(stiffness)有關。量子點內部主要存在靜應變 (hydrostatic strain)，雙軸應變(biaxial strain)則主要圍繞在量子 點周圍的砷化鎵能障中。
圖(2-10)為金字塔型量子點的應變分佈，圖中實線部份為εZZ是Z方向 的形變量、虛線則為εxx是X方向的形變量以及點虛線為εyy是Y方向的形 變量。圖(2-9)內穿過金字塔形量子點頂端的線A，應變分佈如圖(2-10A) 所示，在量子點底部的應變εZZ為正值，但其應變量(3%)比濕層的應變 量小。隨著在量子點內的高度增加，應變量εZZ在頂端變成負值。此現 象的主要因素為xy平面作用在量子點頂端的伸張作用力因高度增加而 減小，加上量子點頂端受到砷化鎵的壓縮作用變大所導致。量子點的磊 晶過程是由下往上，當量子點兩側受到晶格常數較小的砷化鎵所產生的
3
0 /
,av = v−∆
v E
E
壓縮作用影響，量子點內部的應變分佈εZZ以伸張應變的方式來達到平 衡，但到頂端時受到砷化鎵的壓縮能力變強，因此εZZ轉為壓縮應變。
圖(2-10A)中，另外兩個方向的應變分佈，εxx等於εyy，在濕層下方的 砷化鎵基板受到砷化銦濕層伸張應變的影響，εxx為正值。但到了量子 點底部，由於基板迫使量子點的晶格常數近似砷化鎵晶格常數，因此xy 平面受到壓縮，εxx變為負值。最後在量子點頂端，砷化鎵主要沿量子 點側面，往負Z軸方向產生壓縮應變，εxx受到壓縮作用變小，因此εxx 變為正值。
圖(2-9)內的線B則是平行於Z軸方向並與中心軸[100]相距底部長度 的ㄧ半，沿此線B的應變分佈如圖(2-10B)所示。圖(2-10C)為砷化銦濕 層內沿Z軸方向之雙軸應變之分佈，由圖可知濕層之外的應變為零。此 外，量子點也會受到鄰近濕層的應變影響，在量子點週圍大約距離量子 點底部長度一半範圍內的濕層皆會影響到量子點的應變分佈。
應 變 分 佈 對 量 子 點 能 帶 的 影 響 可 經 由 應 變 分 量 乘 上 形 變 位 能 (deformation potential)的形式來修正能帶結構[28]。量子點內部的 應變主要是靜流體應變量εh(Hydrostatic strain)，其表示式為
εh =εxx +εyy +εzz (2.83) εh造成導帶變化量為
δEC =aC(εxx +εyy +εzz) (2.84) 其中ac為導帶的静流體應變的形變位能。導帶能量改寫成
EC =EC0 +δEC (2.85) 其中Ec0表示未受應變影響的導帶能量且其表示式如下
g av
v
c E E
E ∆ +
+
= 3
0 ,
0 (2.86) 其中Ev,av定義為重電洞帶、輕電洞帶與自旋軌道分裂帶的平均能量值。
∆0代表自旋軌道分裂能量以及Eg為能隙值。Ev,av代表式如下
(2.87) 其中Ev為不受應力作用下的價帯能量。價帶受到靜流體應變影響而其提 升量如下
δEv =av(εxx +εyy +εzz) (2.88)
其中av為價帶的等向性應變的形變位能。
利用以上侷限位能，帶入三維單質點有效質量Schrödinger方程式 Hi =−(h/2π)2/
{
2mi∗(x,y,z)}
∇2 +Vi(x,y,z) (2-97) (excitonic effect)。⎥⎥ 電子能態|100>與電洞能態|100>、|010> 和|110>的波函數重疊積分，
分別是小於0.01%、0.5%和2.5%，波函數重疊程度相對而言較小。若忽
⎥⎥ 能帶結構參數(Band Structure Parameters)為
3 ,
eij為應變張量，b和d為剪力應變形變位能，av為為價帶的等向性應變 的形變位能，ac為導帶的静流體應變的形變位能。
O. Stier et al.[26]採用八能帶k• p理論模型計算砷化銦金字塔形 量子點的電子能態，修正單能帶理論的計算結果為砷化銦量子點的電子 能階數應與其本身尺寸大小有關，即當基底長度小於10nm，最多一電子 束縛態。但當基底長度達到約20nm，則電子束縛態數目會增加到12個。
圖(2-1) 半導體中電子在能帶間垂直躍遷示意圖 光子
導帶
重電洞價帶 電子
輕電洞價帶 價帶 電洞
表(2-1) Joint density of states function Jcv at four types of critical point[2]
Critical point α1,α2,α3 Joint density of states function J(∆E) Mo (+,+,+) ∆E<Eg
∆E>Eg
C1
C1+C2(∆E - Eg)1/2 M1 (+,+,−) ∆E<Eg
∆E>Eg
C1−C2(∆E - Eg)1/2 C1
M2 (+,−,−) ∆E<Eg
∆E>Eg
C1
C1−C2(∆E - Eg)1/2 M3 (−,−,−) ∆E<Eg
∆E>Eg
C1+C2(∆E - Eg)1/2 C1
圖(2-2) 四種類型的臨界點隨能量變化的 Jcv差異[2]
圖(2-3) 三維系統中激子在能帶間的分佈情形
n=3 n=1 n=2
VB CB
Eg
Eex
VB CB
n=1 n=3 n=2
圖(2-4a) 在調制下晶格仍具週期性時，介電函數虛部呈現一階微分的變化情形 圖(2-4b) 在電場調制下晶格週期被破壞後，介電函數虛部呈現類似於三階微分的變
化情形。[1]
圖(2-5) 室溫下，砷化鎵的反射光譜與電場調制反射光譜的比較[10]
圖(2-6) ∆ε 中F 與 G 函數隨η的振盪情形[14]
圖(2-7) FKO 振盪極值位置與能隙差值(En-Eg)分別對 n 作圖[11]
圖(2-8) 螢光光譜中載子不同復合機制的示意圖
導帶底端 施體能階
受體能階 價帶頂端 內在衰減
電子激發
圖(2-9) 砷化銦/砷化鎵量子點的幾何圖示[25]。
圖(2-10) 金字塔形量子點内部和周圍在[001]方向的應變分佈，(A)圖2-9內沿Z軸 方向線A的應變分佈，其中εxx=εyy、(B)圖2-9中為方向[001]且與Z軸相距量子點
基底長度一半線B的應變分佈以及(C)遠離量子點濕層內的雙軸應變分佈。圖中εzz
為實線，εxx為虛線，εyy為點虛線[25]。
C
A B
圖(2-11) 基底長度12nm的砷化銦金字塔形量子點內的(a)電子與(b)電洞的波函數 分佈[30]。
圖(2-12) 隨量子點基底長度變化的光學躍遷能量值[25]。
(a)
(b)