第四章 更多三角形的性質
習題 4. 3
習題 4.3-1
如圖 4.3-18，I 點為△ABC 的內心，若 I 點到 的距離為 5，則：
(1) I 點到 的距離為何？
(2) I 點到 的距離為何？
圖 4.3-18 習題 4.3-2
如圖 4.3-19，已知 I 點為△ABC 的內心、BIC＝120，則BAC＝？
圖 4.3-19 習題 4.3-3
如圖 4.3-20，O 點為△ABC 的外心，若 ＝10，則：
(1) ＝？ (2) ＝？
圖 4.3-20
習題 4.3-4
如圖 4.3-21，△ABC 為直角三角形，∠ABC＝90°，若 O 點為 的中點且
＝20，則 ＝？
圖 4.3-21 習題 4.3-5
試證正三角形的內心與外心為同一點。
習題 4.3-6
設△ABC 的三中線相交於 G 點，若 ＝6， ＝4， ＝8，求各中線的 長。
習題 4.3-7
試證明三角形若兩中線相等，則為等腰三角形。
習題 4.3-8
如圖 4.3-22 的△ABC 中，D、E、F 三點將 四等分， ＝3 ，H 為 的中點。 圖中的哪一點為△ABC 的重心？
Y X
W G
Z H
F
D E
A
B C
圖 4.3-22
本章重點
在第二章介紹三角形的一些性質，本章介紹更多有關三角形的性質，這些性 質需要利用第三章垂直或平行的定理。
1. 三角形內角和等於 180。
2. 點到直線的最短距離為垂直線段。
3. A.A.S.三角形全等定理。
4. 角平分線定理：角平分線上任一點到角的兩邊等距離。
5. 等腰三角形的兩底角相等。
6. 等腰三角形中，頂角＝180°－2 倍底角；
等腰三角形中，底角＝(180°－頂角)÷2 7. 正三角形的三邊相等，三內角也相等。
8. 三角形的外角等兩內對角和。
9. 三角形的一組外角和為 360。
10. R.H.S.全等三角形定理。
11. 直角三角形的某一內角為 30°，則其對邊為斜邊的一半。
12. 三角形的五心：內心、外心、重心、垂心、傍心。
(1) 內心：三角形三內角平分線的交點，內心到三邊等距離，並可在三角形 內部作一內切圓。
(2) 外心：三角形三邊中垂線的交點，外心到三頂點等距離，並可在三角形 外部作一外接圓。
(3) 重心：三角形三中線的交點，重心到頂點的距離為中線長的三分之二。
(4) 垂心：三角形三高的交點。
(5) 傍心：三角形一內角平分線與其他兩外角平分線的交點，傍心到三邊等 距離。
13. 直角三角形的外心落在斜邊中點。
(即直角三角形斜邊中點為此三角形的外心。) (亦即直角三角形斜邊中點到三頂點等距離。)
進階思考題
1. 若△ABC 的三內角的角度成等差數列，其公差為 15 度，則三內角中最大角 是 度，最小角是 度。
2. 已知：如圖 4.1， ∥ ， ⊥ ， 分別與 、 交於 G、H 兩點。
證明：∠B＋∠E＝90°。
圖 4.1
3. 如圖 4.2， ∥ ， ⊥ ，∠B＝40°，則∠E＝ 度。
圖 4.2
4. 如圖 4.3， ∥ ， ⊥ ，∠B＝40°，則∠E＝ 度。
圖 4.3
5. 如圖 4.4， ⊥ ， ∥ ，∠E＝130°，則∠B＝ 度。
圖 4.4
6. 如圖 4.5，L1⊥L2，已知∠1＝∠2，∠4＝∠5，
(1)求∠1＋∠5。
(2)求∠3＋∠6。
(3) 與 是否平行？
圖 4.5
7. 如圖 4.6，L1∥L2，M 及 N 都是 L1、L2的截線，∠1＝85°，∠2＝65°，求∠3。
圖 4.6
8. 已知：如圖 4.7，△ABC 中， ＝ ， ⊥ 。
證明：∠CBD＝
2
1∠BAC。
圖 4.7
9. 已知：∠1＋∠2＋∠3＝360°。
證明：L1 ∥ L2。
圖 4.8
10. 已知：如圖 4.9，∠ABC＝∠1＋∠2。
證明： ∥ 。
圖 4.9
11. 已知：如圖 4.10，四邊形 ABCD 中，∠DAB＝∠CBA， ＝ 。
證明： ＝ 。
圖 4.10
12. 已知：如圖 4.11，∠D＝∠E＝90°，△ABC 為等腰直角三角形， ＝ 。
證明： ＝ ＋ 。
圖 4.11
13. 如圖 4.12，△ABC 和△BDE 都是正三角形，BCE=25
求ADC 之角度
25
?
E
A
B C
D
圖 4.12
14. 如圖 4.13，已知 為∠BAC 的平分線， ，∠PCA＝120，
＝12， ＝16，求： ＝？
120
12 16
C
B
A
P
圖 4.13
歷年基測題目
1. 如圖 4.14，△ABC 中，D、E 兩點分別在 、 上，且 ＝ ， ＝ 。 若A＝40， 3DBC＝4ABD，則BDE＝？(97-1)
(A) 25 (B) 30 (C) 35 (D) 40
40
E A
B C
D
圖 4.14 解答：(B) 30
想法：(1) 等腰三角形兩底角相等 (2) 三角形內角和定理 (3) 平行線的同位角相等
30
40
30
110 70 70
40
E C
A
B
D
圖 4.14(a) 解：
敘述 理由
(1) ABC＝C
(2) DEC＝C
已知 ＝ ，△ABC 為等腰三角 形，等腰三角形兩底角相等。
已知 ＝ ，△DEC 為等腰三角 形，等腰三角形兩底角相等。
(3) A＋ABC＋C＝180
40＋ABC＋C＝180
∴ ABC＋C＝140
(4) ABC＋ABC＝140 ∴ ABC＝70
(5) ABD ＝
43 DBC (6) ABD＋DBC＝B ＝70
43 DBC＋DBC＝70
DBC＝40
(7) DEC＝C＝ABC ＝70
(8) DEB＋DEC＝180
∴ DEB＝110
(9) DBC＋DEB＋BDE＝180
40＋110＋BDE＝180
BDE＝30
△ABC，三角形內角和定理 已知A＝40
由(2) & (3)
已知 3DBC＝4ABD 由(4) & (5)
由(1)、(2) & (4) 已知 E 在 線上
△BDE，三角形內角和定理 由(6) & (8)
2. 如圖 4.15，△ABC 中，ABC＝30，ACB＝50，且 D、E 兩點分別在 、 上。若 為BAC 的平分線， ＝ ，則AED＝？(96-1)
(A) 50 (B) 60 (C) 65 (D) 80
30 50
E
B D C
A
圖 4.15
解答：(C) 65
想法： (1) 三角形內角和為 180
(2) 等腰三角形的兩底角相等
65
65
50 50
30 50
E
D A
B C
圖 4.15(a) 解：
敘述 理由
(1) BAC＝180－(50＋30) ＝100
(2) BAD＝100÷2＝50
(3) △AED 為等腰三角形。
(4) AED＝(180－50)÷2＝65
三角形內角和為 180，已知 ABC＝30，
ACB＝50
為BAC 的平分線
已知 ＝
等腰三角形底角與頂角的關係
3. 如圖 4.16， ＝ ， ＞ ，P、Q 兩點在 上，其中 ＝ ，且 Q 為
△ABC 的重心。若兩線段 、 的延長線與 分別交於 S、R 兩點，則下 列關係何者正確？(95-1)
(A) ＝ (B) ＝ (C) ＝ (D) ＝2
S P Q
M
R
B
A
C
圖 4.16 解答：(B) ＝
想法：(1) 三角形重心定義
(2) 基測為單選題，所以只要能夠從幾個選項中找到一個正確解就可以。
(3) 題目所給的條件，有些條件不一定都會要用到，例如本題只用到 Q 為 △ABC 的重心，就可以找到解答。
解：
敘述 理由
(1) R 為 的中點。
(2) ＝
因為 Q 為△ABC 的重心，過頂點與重心的直 線與邊的交點必為邊的中點。
中點的定義
4. 如圖 4.17，四邊形 ABCD 中，B＝60、DCB＝80、D＝100。若 P、Q 兩點分別為△ABC 及△ACD 的內心，則PAQ＝？(94-1)
(A) 60 (B) 70 (C) 80 (D) 90
80
100
60
P Q
D A
C B
圖 4.17 解答：(A) 60
想法： (1) 多邊形內角和定理 (2) 內心定義 解：
敘述 理由
(1) PAQ＝QAC+PAC (2) QAC＝
21 DAC (3) PAC＝
1 BAC 2
(4) BAD＝DAC＋BAC
(5) BAD＋ADC＋BCD＋ABC
＝360
BAD＋100＋80＋60＝360
BAD＝120
(6) PAQ＝QAC＋PAC
＝21 DAC＋
21 BAC
＝2
1(DAC＋BAC)＝
21 BAD
＝2
1(120)＝60
如圖 4.17 所示
已知 Q 為△ACD 的內心， 為DAC 的角平分線。
已知 P 為△BAC 的內心， 為BAC 的角平分線。
如圖 4.17 所示
四邊形內角和等於 360
(第六章會證明)
由(1) 由(2) & (3) 由(4) 由(5)
5. 如圖 4.18， 為圓 O 的直徑，弦 未過圓心 O，則下列哪一個敘述正確？
(A) O 是△PCD 的外心 (B) O 是△APD 的外心
(C) O 是△ACD 的外心 (D) O 是△BCP 的外心
(93-1)
P
B O
A
C
D
圖 4.18 解答：(C) O 是△ACD 的外心
想法： 外心是三角形外接圓的圓心，為三角形三邊的垂直平分線之交點 解：
敘述 理由
(1) 圓 O 是三角形的外接圓有：△ACD 及
△BCD，但△BCD 不在四個選項中。
外接圓定義
6. 如圖 4.19，△ABC、△BDE 皆為直角三角形，三內角分別為 30－60－90、
45－45－90。已知 ＝ ，求DEC＝？(93-1) (A) 90 (B) 105 (C) 135 (D) 150
90
45
45
30
90 60
E
D
B C
A
圖 4.19 解答：(B) 105
想法：兩底角相等之三角形為等腰三角形定理
60
90 60
30
45
45
90
E
D
C B
A
圖 4.19(a) 解：
敘述 理由
(1) △BDE 為等腰三角形
(2) ＝ (3) ＝ ＝
(4) △CBE 為等腰三角形
CEB＝(180－60)÷2＝60
(5) DEC＝DEB＋BEC ＝45＋60＝105
已知△BDE 有兩角相等，兩底角相等 之三角形為等腰三角形定理
等腰三角形之兩邊相等 已知 ＝ & (2) 由(3) ＝
等腰三角形底角與頂角的關係 已知DEB=45 & (4)
7. 甲、乙、丙、丁四位同學分別想依下列的條件作出一個與△ABC 全等的三角 形，如圖 4.20 所示。已知四人所用的條件如下：
甲： ＝
3
公分， ＝1 公分，B＝30乙： ＝
3
公分， ＝2 公分，B＝30丙： ＝
3
公分， ＝1 公分，BC＝2 公分 丁： ＝3
公分， ＝2 公分，A＝90若發現其中一人作出的三角形沒有與圖△ABC 全等，則此人是誰？(93-1) (A) 甲 (B) 乙 (C) 丙 (D) 丁
90
30 60
3 公分
2 公分
1 公分 A
B C
圖 4.20 解答：(A) 甲
想法：全等三角形定理 解：
敘述 理由
(1) (A) 甲 (沒有全等) (2) (B) 乙 (全等) (3) (C) 丙 (全等) (4) (D) 丁 (全等)
S.A.S.全等三角形定理 S.S.S.全等三角形定理 R.H.S.全等三角形定理
8. 圖 4.21 是 A、B 兩片木板放在地面上的情形。圖中∠1、∠2 分別為 A、B 兩 木板與地面的夾角，∠3 是兩木板間的夾角。若∠3＝110，則∠2－∠1＝？
(92-1)
(A) 55 (B) 70 (C) 90 (D) 110
A
B
4
3=110
1 2
圖 4.21 解答： (B) 70
想法： (1) 三角形外角定理 (2) 補角定義
解：
敘述 理由
(1) 3＝1＋4
4＝3－1
(2) 2＝180－4＝180－(3－1) (3) 2－1＝180－(3－1)－1
＝180－3＝180－110＝70
三角形外角定理 等量減法公理
補角定義 & (1) 4＝3－1 由(2) 等式兩邊同減 1
& 已知∠3＝110
9. 如圖 4.22(a)，有一質地均勻的三角形鐵片，其中一中線 長 24 公分。若阿 龍想用食指撐住此鐵片，如圖 4.22(b)，則支撐點應設在 上的何處最恰當？
(91-1)
(A) 距離 D 點 6 公分 (B) 距離 D 點 8 公分 (C) 距離 D 點 12 公分 (D) 距離 D 點 16 公分
24
B D C
A
圖 4.22(a) 解答：(B) 距離 D 點 8 公分
想法： (1) 一指撐住此鐵片的位置為重心 (2) 重心位置定理
8 16
G D
A
B C
圖 4.22(b) 解：
敘述 理由
(1) 重心的位置為中線距頂點三分之二 ＝
3 24 2
＝16(2) ＝24－16＝8
重心位置定理
10. 如圖 4.23，△ABC 中，D、E、F 三點將 四等分， ＝3 ，H 為 的中 點。 圖中的哪一點為△ABC 的重心？
(90-1)
Y X
W G
Z H
F
D E
A
B C
圖 4.23 解答：Z 點為△ABC 的重心
想法：△ABC 的重心為三邊中線的交點，而二線可以決定一交點，所以三角形 兩中線的交點就是其重心。
解答說明：
敘述 理由
(1) 為 邊的中線 (2) 為 邊的中線。
(3) Z 為△ABC 的重心
H 為 的中點。
D、E、F 三點將 四等分，
∴ E 為 的中點。
Z 點為 與 兩中線的交點
11. 如圖 4.24，直線 L1平行直線 L2，若1＝80，2＝60，且 平分DBC，
則3＝? (90-1)
3 2
1
L2 L
L1 A
E
C B
D
Z
圖 4.24 解答：3＝10
想法：利用三角形內角和為 180解題 解：
敘述 理由
(1) BAZ＝180－(1＋2)
＝180－(80＋60)＝40
(2) BAE＝BAZ＋2＝40＋60＝100。
(3) ABD＋BAE＝180
(4) ABD＝180－BAE＝180－100＝80
(5) DBC＝BAE (6) ZBD＝
2
1
DBC＝2
1
BAE＝
2
1
100＝50(7) 3＝180－(BAZ＋ABD＋ZBD) ＝180－(40＋80＋50)
＝180－170＝10
BAZ＋1＋2 為平角
二角和
二平行線的同側內角和為 180
等量同減一數仍相等 同位角相等
已知 平分DBC
＆ (5)
三角形內角和為 180
12. 如圖 4.25，已知在△ABC 中，∠ACB＝90°且 ＞ 。求作：一圓與 、 相切，且圓心 O 在 上。下列四個取得圓心 O 的作圖方法，何者正確？
(90-1)
(A) 取 中點為 O (B) 作 中垂線交 於 O (C) 作 中垂線交 於 O (D) 作 ACB 平分線交 於 O
90
B C
A
圖 4.25 解答：(D) 作 ACB 平分線交 於 O 想法： 角平分線上的點與角的兩邊等距離 解：
敘述 理由
(1) (A) 錯誤
90
O
C B
A
圖 4.25(a) (2) (B) 錯誤
90
O
M
C B
A
圖 4.25(b)
圓並沒有與 、 相切
圓並沒有與 、 相切
(3) (C) 錯誤
90
O
M C
B
A
圖 4.25(c) (4) (D) 正確
90
O
C B
A
圖 4.25(d)
圓並沒有與 、 相切
圓與 、 相切，角(ACB)平分線 上的點(O)與角的兩邊( 與 )等距 離，O 點在 ACB 之角平分線上。
13. 如圖 4.26，已知 ABCD 是正方形，A 在 L 上， ⊥ L， ⊥ L，垂足 分別為 E、F ( ≠ )。
求證：△ADE △BAF
證明：1.∵ABCD 是正方形，∴ ＝ ，∠7＝90°
2.又∵ ⊥ L， ⊥ L，∴∠5＝∠6＝90°
3. (甲) 4. ∴△ADE △BAF
從下列選項中，選出可填入(甲)中的正確證明過程。
(90-1)
(A) ∵ ⊥ L、 ⊥ L，7=90，∴ ＝(B) ∵ ⊥ L、 ⊥ L，7=90，∴1＝4 (C) 7＝90，5＝6＝90，∴2＝3
(D) 7＝5＝90，1＋2＝2＋3，∴1＝3
L 7
5 6
4
2 3 1
E A F
D
C
B
圖 4.26 解答：(D)
解：
敘述 理由
(1) ∵ABCD 是正方形，∴ ＝ ，
∠7＝90°
(2) ∵ ⊥ L、 ⊥ L，7=90，
∴∠5＝∠6＝90°
(3) 7＝5＝90，1＋2＝2＋3，
∴1＝3
(4) ∴△ADE △BAF
(5) 所以答案選(D) 7＝5＝90，
1＋2＝2＋3，∴1＝3
已知 ABCD 是正方形
已知 ⊥ L、 ⊥ L
如圖 4.26 所示
由(1)(2)(3) A.A.S.三角形全等定理 由(3)