1. 兩邊夾一角三角形全等定理，又稱 S.A.S.三角形全等定理 2. 兩角夾一邊三角形全等定理，又稱 A.S.A.三角形全等定理 3. 三邊相等三角形全等定理，又稱 S.S.S.三角形全等定理 4. 三角形兩角一邊全等定理，又稱 A.A.S.三角形全等定理 證明：

敘述理由

(1) △ADF 與△AEF 中

∠ADF＝∠AEF＝90°

∠DAF＝∠EAF

＝

(2) △ADF △AEF

如圖 4.1-13

已知 ⊥ ＆ ⊥ 已知為∠BAC 的角平分線共同邊

由 (1) A.A.S.三角形全等定理

(19)

例題 4.1-21：

已知：如圖 4.1-14，∠B＝∠D，且 E 為中點求證：△ABE △CDE

圖 4.1-14 想法：已知判斷兩個三角形全等的方法有：

敘述理由

(1) △ABE 與△CDE 中

∠B＝∠D

∠AEB＝∠CED

＝

(2) △ABE △CDE

如圖 4.1-14 已知

對頂角相等已知 E 為中點

(20)

例題 4.1-22：

如圖 4.1-15，△ABC 與△PQR 中，∠A＝∠P＝35°，∠B＝∠Q＝50°，

＝＝9 公分，若＝12 公分。求＝？

圖 4.1-15

想法：(1) 若可證得△ACE △PQR，則由全等三角形對應邊相等可求得； (2) 已知判斷兩個三角形全等的方法有：

1. 兩邊夾一角三角形全等定理，又稱 S.A.S.三角形全等定理 2. 兩角夾一邊三角形全等定理，又稱 A.S.A.三角形全等定理 3. 三邊相等三角形全等定理，又稱 S.S.S.三角形全等定理 4. 三角形兩角一邊全等定理，又稱 A.A.S.三角形全等定理解：

敘述理由

(1) △ABC 與△PQR 中 ∠A＝∠P＝35°

∠B＝∠Q＝50°

＝

(2) △ABC △PQR (3) ＝＝12 公分

如圖 4.1-15 已知已知已知

由(2) 對應邊相等＆已知＝12 公分

(21)

例題 4.1-23：

已知：如圖 4.1-16，∠A＝∠E，∠B＝∠D，且＝。求證：＝。

圖 4.1-16

想法：(1) 若可證得△ACE △PQR，則由全等三角形對應邊相等可得＝； (2) 已知判斷兩個三角形全等的方法有：

敘述理由

(1) ＋＝＋ ( 即＝ ) (2)△ABC 與△EDF 中

∠A＝∠E ∠B＝∠D

＝

(3) △ABC △EDF (4) ＝

已知＝＆等量加法公理 (全量等於分量之和)

如圖 4.1-16 已知已知由(1) ＝

由 (2) A.A.S.三角形全等定理由(3) 對應邊相等

(22)

定理：4.1-3 角平分線與兩邊距離定理。

(角平分線上任一點到角的兩邊等距離)

G

F B

A

C

D E

圖 4.1-17 已知：如圖 4.1-17，為CAB 的角平分線。

求證：線上一點 E 與、兩邊等距離。

想法：(1) 點 E 與、兩邊的距離就是點 E 與、兩邊的垂直線長度，

即求證。

(2) 利用 A.A.S 全等三角形定理及全等三角形對應邊相等來證明兩距離相等。

證明：

敘述理由

(1) 在線上取一點 E，過 E 點作的垂直線交於 F 點，作的垂直線交於 G 點

(2) 在△AEF 與△AEG 中

AFE = AGE = 90

EAF = EAG

(3) △AEF △AEG (4)

(5) 故得點 E 與、兩邊等距離

作圖

如圖 4.1-17

∵ 垂直，垂直

已知為CAB 的角平分線同線段相等

由 (2) A.A.S 全等三角形定理由(3) 全等三角形對應邊相等由(4) ＆點與線之距離定理

Q. E. D.

(23)

我們都知道等腰三角形底角相等。如果有一個三角形，它的兩個底角相等，

這個三角形是否是等腰三角形呢？答案是對的，以下的定理就是根據定理 4.1-2(A.A.S.三角形全等定理)所得來的。

定理：4.1-4 等底角三角形亦為等腰三角形

已知：如圖 4.1-18，三角形△ABC 中，∠B＝∠C 求證：

1 2

D A

B C

圖 4.1-18

想法：(1) 若可證得△ACE △PQR，則由全等三角形對應邊相等可得

；

敘述理由

(1) 如圖 4.1-18 所示，作∠A 的平分線，

與相交於 D

(2) 在△ABD 與△ACD 中

∠1＝∠2

∠B＝∠C

(3) △ABD △ACD (4)

作圖

如圖 4.1-18 角平分線定義已知

兩三角形之共用邊

由 (2) A.A.S.三角形全等定理由(3) 全等三角形對應邊相等

Q. E. D.

(24)

有了三角形三內角和為 180°的定理，我們就可以很容易地證明以下的定理。

定理：4.1-5 等角三角形也是等邊三角形

D

E F

圖 4.1-19

已知：如圖 4.1-19 所示的△DEF，若∠D＝∠E＝∠F

求證：＝＝

想法：(1) 等腰三角形兩腰等長 (2) 兩底角相等為等腰三角形 證明：

敘述理由

(1) △DEF 為等腰三角形 (以∠E 與∠F 為兩底角) (2) ＝

(3) △DEF 為等腰三角形 (以∠E 與∠D 為兩底角) (4) ＝

(5) 所以＝＝

已知△DEF 中，∠E＝∠F ＆兩底角相等為等腰三角形

由(1) ＆等腰三角形兩腰等長

已知△DEF 中，∠E＝∠D ＆兩底角相等為等腰三角形

由(3) ＆等腰三角形兩腰等長由(2) ＆ (4) 遞移律

Q.E.D.

(25)

例題 4.1-24：等腰三角形頂角平分線垂直平分底邊

2 1

D A

B C

圖 4.1-20

已知：如圖 4.1-20，△ABC 為等腰三角形，∠B＝∠C，平分∠A。

試證： ⊥ ，＝。

想法：(1) 若可證得△ACE △PQR，則由全等三角形對應邊相等可得＝

，對應角相等可得∠ADB＝∠ADC＝90°

敘述理由

(1) 在△ABD 與△ACD 中

∠1＝∠2

∠B＝∠C

＝

(2) △ABD △ACD (3) ＝

(4) ∠ADB＝∠ADC

(5) ∠ADB＋∠ADC＝180°

(6) ∠ADB＝∠ADC＝90°

(7) ⊥

(8) 所以 ⊥ ，＝

如圖 4.1-20 已知平分∠A 已知

兩三角形的共同邊

由 (1) A.A.S.三角形全等定理由(2) 全等三角形對應邊相等由(2) 全等三角形對應角相等如圖 4.1-20 所示，為一直線由(4) & (5)

由(6) ∠ADB＝∠ADC＝90°

由(7) ＆ (3)

Q. E. D.

(26)

例題 4.1-25：等腰三角形頂角平分線垂直平分底邊

如圖 4.1-21，△ABC 為等腰三角形，∠B＝∠C，平分∠A，若＝10，

則： ∠BDA＝？ (2) ＝？

2 1

D A

B C

圖 4.1-21 想法：等腰三角形頂角平分線垂直平分底邊解：

敘述理由

(1) ⊥ ，＝

(2) ∠BDA＝90°

(3) ＝＋ (4) 10＝＋ (5) ＝10÷2＝5

已知△ABC 為等腰三角形，∠B＝∠C，

平分∠A ＆等腰三角形頂角平分線垂直平分底邊

由(1) ⊥

全量等於分量之和

由(3) ＆已知＝10 ＆ (1) ＝由(4) 解一元一次方程式

(27)

定理：4.1-6 三角形的任一外角等於兩個內對角和。

A

B C D

圖 4.1-22

已知：如圖 4.1-22，△ABC 中，ACD 為ACB 的外角。

求證：ACD＝A＋B。

想法：(1) 利用三角形三內角和等於 180

(2) 三角形外角的定義。

證明：

敘述理由

(1) A＋B＋ACB＝180

(2) ACD＋ACB＝180

(3) ACD＋ACB＝A＋B＋ACB (4) ACD＝A＋B

三角形三內角和定理。

三角形外角的定義由(1) & (2)

由(3) ＆等量減法公理

Q.E.D.

(28)

例題 4.1-26：

[1.] 求圖 4.1-23(a)中，∠1＝度

圖 4.1-23(a) 想法：(1) 三角形的任一外角等於兩個內對角和 (2) 三角形外角定義

解：

敘述理由

(1) △ABC 中，115°＝∠BCA＋∠ABC (2) ∠BCA＝115°－∠ABC＝60°

(3) ∠1＋∠BCA＝180°

(4) ∠1＝180°－∠BCA＝120°

三角形的外角等於兩個內對角和由(1) ＆∠B＝55°

三角形外角定義由(3) ＆∠BCA＝60°

[2.] 求圖 4.1-23(b)中，∠2＝度

圖 4.1-23(b) 想法：三角形的任一外角等於兩個內對角和

解：

敘述理由

(1) △DEF 中，∠2＝∠E＋∠F (2) ∠2＝30°＋65°＝95°

三角形的外角等於兩個內對角和由(1) ＆∠E＝30° ＆∠F＝65°

(29)

[3.] 圖 4.1-23(c)中，∠A＝40°，∠E＝25°，∠B＝46°，求∠3＝度

圖 4.1-23(c) 想法：三角形的任一外角等於兩個內對角和

解：

敘述理由

(1) △ABC 中，∠FCE＝∠A＋∠B (2) ∠FCE＝40°＋46°＝86°

(3) △CEF 中，∠3＝∠FCE＋∠E (4) ∠3＝86°＋25°＝111°

三角形的外角等於兩個內對角和由(1) ＆∠A＝40° ＆∠B＝46°

三角形的外角等於兩個內對角和由(3) ＆∠FCE＝86° ＆∠E＝25°

[4.] 求圖 4.1-23(d)中，∠4＝度

圖 4.1-23(d) 想法：(1) 三角形的任一外角等於兩個內對角和 (2) 三角形外角定義

解：

敘述理由

(1) △CDE 中，∠CDE＋∠ECD＝∠AEC (2) ∠CDE＝∠AEC－∠ECD＝80°

(3) △ABD 中，∠CDE＝∠4＋∠B (4) ∠4＝∠CDE－∠B＝42°

三角形的外角等於兩個內對角和由(1) ＆∠AEC＝110°＆∠ECD＝30°

三角形的外角等於兩個內對角和由(3) ＆∠CDE＝80° ＆∠B＝38°

(30)

例題 4.1-27：

如圖 4.1-24，△ABC 中，D、E 分別為、上的點，若∠BDC＝110°，

∠AED＝80°，求：

(1)∠1＋∠3。 (2)∠2＋∠3。 (3)∠1－∠2。

圖 4.1-24 想法：三角形的任一外角等於兩個內對角和解：

敘述理由

(1) △ACD 中，∠1＋∠3＝∠BDC (2) ∠1＋∠3＝110°

(3) △DCE 中，∠2＋∠3＝∠AED (4) ∠2＋∠3＝80°

(5) ∠1－∠2＝30°

三角形的外角等於兩個內對角和由(1) ＆∠BDC＝110°

三角形的外角等於兩個內對角和由(3) ＆∠AED＝80°

由(2)式－(4)式

(31)

例題 4.1-28：

圖 4.1-25 中，已知∠B＝40°，∠ADC＝70°，若∠2＝2∠1，則∠C＝度。

圖 4.1-25 想法：(1) 三角形三內角和等於 180

(2) 三角形的任一外角等於兩個內對角和解：

敘述理由

(1) △ADB 中，∠ADC＝∠1＋∠B (2) ∠1＝∠ADC－∠B＝30°

(3) ∠2＝2∠1＝60°

(4) ∠BAC＝∠1＋∠2＝90°

(5) △ABC 中，∠B＋∠C＋∠BAC＝180°

(6) ∠C＝180°－(∠B＋∠BAC)＝50°

三角形的外角等於兩個內對角和由(1)＆∠ADC＝70°＆∠B＝40°

已知

由(1) ＆ (2) 三角形內角和定理

由(5) ＆∠B＝40° ＆∠BAC＝90°

(32)

例題 4.1-29：

圖 4.1-26 中，已知 B、C、D、E 在同一直線上，若＝，∠CAD＝50°，

∠B＝30°，則：

(1) ∠ACD＝度。

(2) ∠ADE＝度。

圖 4.1-26 想法：(1) 三角形三內角和等於 180

(2) 三角形的任一外角等於兩個內對角和解：

敘述理由

(1) △ABC 為等腰三角形 (2) ∠BAC＝∠B＝30°

(3) △ABC 中，

∠ACD＝∠B＋∠BAC＝60°

(4) △ABD 中，

∠ADE＝∠B＋∠BAD

＝∠B＋(∠BAC＋∠CAD) ＝30°＋(30°＋50°)＝110°

已知＝

由(1) 等腰三角形兩底角相等如圖 4.1-26

三角形的外角等於兩個內對角和如圖 4.1-26

三角形的外角等於兩個內對角和

如圖 4.1-26，∠BAD＝∠BAC＋∠CAD

∠B＝∠BAC＝30° ＆ ∠CAD＝50°

(33)

例題 4.1-30：

圖 4.1-27 中，若∠A＝28°，∠D＝72°，∠AED＝120°，求∠B、∠C。

敘述理由

(1) △ABE 中，∠AED＝∠A＋∠B (2) ∠B＝∠AED－∠A＝92°

(3) △CDE 中，∠AED＝∠C＋∠D (4) ∠C＝∠AED－∠D＝48°

三角形的外角等於兩個內對角和由(1) ＆∠AED＝120° ＆∠A＝28°

三角形的外角等於兩個內對角和由(3) ＆∠AED＝120° ＆∠D＝72°

(34)

例題 4.1-31：

圖 4.1-28 中，已知與相交於 E 點，若∠A＝70°，∠B＝2x°，

∠C＝（x＋10）°，∠D＝3x°，求 x。

敘述理由

(1) △ACE 中，∠AED＝∠A＋∠C (2) △BDE 中，∠AED＝∠B＋∠D (3) ∠A＋∠C＝∠B＋∠D

(4) 70°＋(x＋10) °＝2x°＋3x°

(5) x＝20

三角形的外角等於兩個內對角和三角形的外角等於兩個內對角和由(1) ＆ (2) 遞移律

由(3) ＆已知∠B＝2x°，∠C＝（x＋10）°，

∠D＝3x°，

由(4) 解一元一次方程式

(35)

例題 4.1-32：

如圖 4.1-29 所示，求證：∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°

圖 4.1-29 想法：(1) 三角形三內角和等於 180

(2) 三角形的任一外角等於兩個內對角和

圖 4.1-29(a) 證明：

敘述理由

(1) 連接 C 點與 D 點，如圖 4.1-29(a)所示 (2) △BEF 中，∠BFC＝∠B＋∠E

(3) △CDF 中，∠BFC＝∠FCD＋∠FDC (4) ∠B＋∠E＝∠FCD＋∠FDC

(5) △ACD 中，

∠A＋∠ACD＋∠ADC＝180°

(6) ∠A＋(∠ACE＋∠FCD)＋

(∠ADB＋∠FDC)＝180°

兩點可決定一直線

三角形的外角等於兩個內對角和三角形的外角等於兩個內對角和由(2)＆(3) 遞移律

如圖 4.1-29(a)所示三角形內角和定理由(5)

(36)

(7) ∠A＋∠ACE＋∠ADB＋

(∠FCD＋∠FDC)＝180°

(8) ∠A＋∠ACE＋∠ADB＋(∠B＋∠E)

＝180°

(9) ∠A＋∠B＋∠ACE＋∠ADB＋∠E

＝180°

由(6) ＆加法交換律

由(7) ＆ (4)

由(8)＆加法交換律

例題 4.1-33：

圖 4.1-30 中，已知∠B＝25°，∠C＝30°，∠D＝35°，∠E＝40°，

則∠A＝度。

圖 4.1-30 想法：(1) 三角形三內角和等於 180

(2) 三角形的任一外角等於兩個內對角和

圖 4.1-30(a)

(37)

解：

敘述理由

(1) 連接 C 點與 D 點，如圖 4.1-30(a)所示 (2) △BEF 中，∠BFC＝∠B＋∠E

(3) △CDF 中，∠BFC＝∠FCD＋∠FDC (4) ∠B＋∠E＝∠FCD＋∠FDC

(5) △ACD 中，

∠A＋∠ACD＋∠ADC＝180°

(6) ∠A＋(∠ACE＋∠FCD)＋

(∠ADB＋∠FDC)＝180°

(7) ∠A＋∠ACE＋∠ADB＋

(∠FCD＋∠FDC)＝180°

(8) ∠A＋∠ACE＋∠ADB＋(∠B＋∠E)

＝180°

(9) ∠A

＝180°－(∠ACE＋∠ADB＋∠B＋∠E)

＝50°

兩點可決定一直線

三角形的外角等於兩個內對角和三角形的外角等於兩個內對角和由(2) ＆ (3) 遞移律

如圖 4.1-30(a)所示三角形內角和定理由(5)

由(6) ＆加法交換律

由(7) ＆ (4)

由(8) ＆已知

(38)

定理：4.1-7 三角形三個角的外角和等於 360°

B E

F

C A

D

圖 4.1-31

已知：如圖 4.1-31，△ABC 中BAF 為BAC 的外角，CBD 為ABC 的外角，

ACE 為ACB 的外角。

求證：BAF＋CBD＋ACE＝360。

想法：三角形的任一外角等於兩個內對角和定理及三角形內角和等於 180定理。

證明：

敘述理由

(1) BAF＝ABC＋ACB

(2) CBD＝BAC＋ACB (3) ACE＝BAC＋ABC (4) BAF＋CBD＋ACE

＝(ABC＋ACB)＋(BAC＋ACB)＋(BAC＋ABC )

＝2(BAC＋ABC＋ACB)＝2180＝360

(5) BAF＋CBD＋ACE＝360

三角形的外角等於兩個內對角和定理

同(1) 同(1)

由 (1)+(2)+(3) 三角形內角和定理

由(4)

Q.E.D.

(39)

例題 4.1-34：

如圖 4.1-32，△ABC 中，∠1、∠2、∠3 分別為∠BAC、∠ABC、∠ACB 的外角，若∠1＝65°，∠2＝135°，求∠3。

圖 4.1-32 想法：三角形三個角的外角和等於 360°

解：

敘述理由

(1) △ABC 中，∠1＋∠2＋∠3＝360°

(2) ∠3＝360°－(∠1＋∠2)＝160°

三角形的外角和定理

由(1) ＆已知∠1＝65°，∠2＝135°

例題 4.1-35：

如圖 4.1-33，△ABC 中，∠1、∠2、∠3 分別為∠BAC、∠ABC、∠ACB 的一組外角，若∠ACB＝150°，求∠1＋∠2。

圖 4.1-33 想法：三角形三個角的外角和等於 360°

解：

敘述理由

(1) △ABC 中，∠3＝180°－∠ACB＝30°

(2) △ABC 中，∠1＋∠2＋∠3＝360°

(3) ∠1＋∠2＝360°－∠3 ＝360°－30°

＝330°

三角形外角定義＆∠ACB＝150°

三角形的外角和定理由(2) 等量減法公理＆ (1) ∠3＝30°

(40)

習題 4.1

習題 4.1-1：

△ABC 中，若∠A＝30°，∠B＝60°，則△ABC 為三角形。

（填銳角、直角、鈍角）

習題 4.1-2：

△ABC 中，若∠A＝（3x－14）°，∠B＝95°，∠C＝（2x＋9）°，求∠A、

∠C。

習題 4.1-3：

△ABC 中，∠C＝80°，若∠A 的度數是∠B 的 3 倍，求∠A、∠B

習題 4.1-4：

△ABC 中，若∠A＝110°，2∠B＝3∠C，求∠B、∠C。

習題 4.1-5：

已知一等腰三角形的頂角為 110 度，則底角為度。

習題 4.1-6：

已知一等腰三角形的底角為 70 度，則頂角為度。

習題 4.1-7：

已知一等腰三角形的頂角為 50 度，底角為（3x＋5）度，則 x＝，底角為度。

(41)

習題 4.1-8：

一等腰三角形，已知其中一個內角為 50 度，則此三角形中大於 50 度的內角為度。

習題 4.1-9：

如圖 4.1-34，△ABC 中，∠ABC 與∠ACB 的角平分線交於 P 點，若 ∠ABC＝38°，∠ACB＝72°，求：

(1)∠1、∠2。 (2)∠BPC。

圖 4.1-34

習題 4.1-10：

如圖 4.1-35，△ABC △PQR，且 A 和 P、B 和 Q、C 和 R 是三組對應頂點。

若∠B＝55°，∠C＝100°，＝20 公分，求：

(1)∠A 及∠R。 (2) 。

圖 4.1-35

(42)

習題 4.1-11：

如圖 4.1-36，直線 L⊥L1於 P 點，且交 L2於 Q 點，截線 M 分別交 L、L1、 L2於 A、B、C 三點，已知同位角∠1、∠2 均為 35°，

(1) 利用「三角形的內角和為 180°」，求∠3。

(2) 直線 L1與 L2是否平行？

圖 4.1-36 習題 4.1-12：

已知：如圖 4.1-37，△ABC 中，∠B＝∠C，平分∠BAC。

試證： ⊥ 。

圖 4.1-37

習題 4.1-13：

已知：如圖 4.1-38，△ABC 中，∠ABC＝∠ACB，平分∠ABC，平分∠ACB。

試證：＝。

E D

F

B C

A

(43)

習題 4.1-14：

已知：如圖 4.1-39，△ABC △EFG，∠ABC＝∠EFG，∠C＝∠G，

平分∠ABC，平分∠EFG。

試證：＝。

H D

B C

A E

F G

圖 4.1-39

習題 4.1-15：

已知：如圖 4.1-40，＝，平分∠EAC。

試證： ∥ 。

B C

A

E

D

圖 4.1-40

習題 4.1-16：

已知：如圖 4.1-41，＝，平分∠CBE，平分∠BCF。

試證：＝。

D B C

A

E F

圖 4.1-41

(44)

習題 4.1-17：

如圖 4.1-42，△ABC 與△PQR 中，∠A＝∠P＝40°，∠B＝∠Q＝45°，

＝＝8 公分，若＝9 公分。求＝？

圖 4.1-42 習題 4.1-18：

已知：如圖 4.1-43，△ABC 中，∠B＝∠C，D 為之中點，

E 為之中點， ⊥ ， ⊥ 。

試證：＝。

F G

D E

B C

A

圖 4.1-43

習題 4.1-19：

已知：如圖 4.1-44，△ABC 中，＝，∠B＝∠C， ⊥ ， ⊥ 。試證：＝。

F E

D C

B

A

圖 4.1-44

(45)

習題 4.1-20：

如圖 4.1-45，△ABC 為等腰三角形，∠B＝∠C，平分∠A，若＝18，

則：(1)∠BDA＝？ (2) ＝？

2 1

D A

B C

圖 4.1-45

習題 4.1-21：

如圖 4.1-46，△ABC 中，∠B＝50°，∠C＝60°，若為∠BAC 的角平分線，求∠1。

圖 4.1-46 習題 4.1-22：

如圖 4.1-47，已知∠B＝36°，∠ACD＝100°，∠D＝27°，則∠1＝度，

∠2＝度。

圖 4.1-47

(46)

習題 4.1-23：

如圖 4.1-48，已知∠A＝55°，∠ABD＝42°，∠DCE＝38°，則∠1＝度，

∠2＝度。

圖 4.1-48

習題 4.1-24：

如圖 4.1-49，已知、交於 E 點，∠A＝40°，∠B＝45°，∠D＝55°，

則∠C＝度。

圖 4.1-49 習題 4.1-25：

如圖 4.1-50，已知與相交於 E 點，若∠A＝70°，∠B＝4x°，

∠C＝（x＋10）°，∠D＝2x°，求 x。

圖 4.1-50

(47)

習題 4.1-26：

如圖 4.1-51，已知∠B＝24°，∠C＝32°，∠D＝36°，∠E＝38°，則∠A＝

度。

圖 4.1-51 習題 4.1-27：

如圖 4.1-52，△ABC 中，∠1、∠2、∠3 分別為∠BAC、∠ABC、∠ACB 的外角，若∠1＝68°，∠2＝134°，求∠3。

圖 4.1-52 習題 4.1-28：

如圖 4.1-53，△ABC 中，∠1、∠2、∠3 分別為∠BAC、∠ABC、∠ACB 的一組外角，若∠ACB＝160°，求∠1＋∠2。

圖 4.1-53

(48)

4.2 節有關直角三角形的定理

圖 4.2-1 中的三角形為一直角三角形，其中直角(∠B)之對邊( )稱為斜邊，

直角(∠B)之鄰邊( 及 )稱為股。

C B

A

圖 4.2-1

因為直角三角形中有一內角為直角，因此直角三角形有其特別的性質。

定理：4.2-1 R. H. S.直角三角形全等定理

如一直角三角形的斜邊及直角的一股等於另一直角三角形的斜邊及直角的一股，則此二直角三角形全等。

B

C B'

C'

A A'

圖 4.2-2

已知：△ABC 與△A'B'C'中，若∠B＝∠B'＝90°，＝，＝，如圖 4.2-2 所示。

求證：△ABC △A'B'C'。

A'

B' C'

C B

A

圖 4.2-2(a)

(49)

想法：已知判斷兩個三角形全等的方法有：

敘述理由

(1) 將△A'B'C'移至△ABC，使 A 點與 A'重合，B 點與 B'重合，令 C 和 C' 不在的同一側，如圖 4.2-3(a)。

(2) ∠CBA＝90°

(3) ∠C'BA＝90°

(4) ∠CBC'＝∠CBA＋∠C'BA＝180°

(5) 為一直線

(6) △ACC'為等腰三角形，＝

(7) ∠C＝∠C'

(8) △ABC 及△A'B'C'中，＝， ∠C＝∠C'，∠ABC＝∠A'B'C' (9) △ABC △A'B'C'

已知＝

已知已知

由(2) & (3) 由(4) 平角定義

已知＝及(1) 之證明 A 點與 A' 重合

由(6) 等腰三角形兩底角相等已知及(7) 之證明

由(8) 三角形 A. A. S.全等定理

Q. E. D.

(50)

例題 4.2-1：

如圖 4.2-3，直角△ABC 與直角△PQR 是否全等？為什麼？

圖 4.2-3 想法：判斷兩個三角形全等的方法有：

1. 兩邊夾一角三角形全等定理，又稱 S.A.S.三角形全等定理 2. 兩角夾一邊三角形全等定理，又稱 A.S.A.三角形全等定理 3. 三邊相等三角形全等定理，又稱 S.S.S.三角形全等定理 4. 三角形兩角一邊全等定理，又稱 A.A.S.三角形全等定理

5. 直角三角形斜邊及一股全等定理，又稱 R. H. S.三角形全等定理解：

敘述理由

(1) △ABC 與△PQR 中

∠B＝∠Q＝90°

＝

(2) △ABC △PQR

如圖 4.2-3 如圖 4.2-3 如圖 4.2-3 如圖 4.2-3

由(1) R. H. S.三角形全等定理

(51)

例題 4.2-2：

已知：如圖 4.2-4， ⊥ ， ⊥ ，＝求證：△BCD △CBE

5. 直角三角形斜邊及一股全等定理，又稱 R. H. S.三角形全等定理 證明：

敘述理由

(1) △BCD 與△CBE 中

∠CDB＝∠BEC＝90°

＝

(2) △BCD △CBE

如圖 4.2-4

已知 ⊥ ＆ ⊥ 已知

共同邊

(52)

例題 4.2-3：

已知：如圖 4.2-5， ⊥ ，且＝。求證：平分∠BAC。

敘述理由

(1) △ABD 與△ACD 中

∠ADB＝∠ADC＝90°

＝

(2) △ABD △ACD (3) ∠BAD＝∠CAD (4) 平分∠BAC

如圖 4.2-5

已知 ⊥

已知共同邊

由(1) R. H. S.三角形全等定理由(2) 對應角相等

由(3) ∠BAD＝∠CAD ＆角平分線定義

(53)

例題 4.2-4：

已知：如圖 4.2-6，△ABC 為等腰三角形，＝，∠D＝∠E＝90°，

＝

求證：△ADB △AEC

敘述理由

(1) △ADB 與△AEC 中

∠D＝∠E＝90°

＝

(2) △ADB △AEC

如圖 4.2-6 已知已知已知

(54)

例題 4.2-5：

已知：如圖 4.2-7， ⊥ ， ⊥ ，若＝，求證：A 點在∠BQC 的角平分線上

敘述理由

(1) △AQB 與△AQC 中

∠ABQ＝∠ACQ＝90°

＝

(2) △AQB △AQC (3) ∠BAQ＝∠CAQ

(4) 所以 A 點在∠BQC 的角平分線上

如圖(五)

已知 ⊥ ＆ ⊥ 已知

共同邊

由(1) R. H. S.三角形全等定理由(2) 兩全等三角形對應角相等由(3) ＆角平分線定義

(55)

直角三角形有另一非常有趣的特性，如以下的定理所述。

定理：4.2-2 若直角三角形的某一內角為 30°，則其對邊為斜邊的一半。

30

A

C B C'

圖 4.2-8

已知： △ABC 為直角三角形，∠ABC＝90°，BAC＝30°。

求證： ＝ 2 1

想法：若兩個直角三角形合成一個等邊三角形，則 30°角對邊為斜邊的一半 證明：

敘述理由

(1) 延長至 C'，使＝，如圖 4.2-8 所示。

(2) ∠ABC＋∠ABC'＝180°

(3) ∠ABC＝90°

(4) ∠ABC'＝90°

(5) 在△ABC 與△ABC'中

＝

∠ABC＝∠ABC'＝90°

(6) △ABC △ABC' (7) ∠C'AB＝∠CAB＝30°

(8) ∠CAC'＝∠CAB＋∠C'AB ＝30°＋30°

＝60°

延長線作圖

為一直線及平角定義已知

由 (2) & (3) 如圖 4.2-8

為△ABC 及△ABC'的共用邊由(1) 作圖

由 (2) & (3)

由 (5) S.A.S.三角形全等定理由(6) 全等三角形對應角相等＆已知BAC＝30°

全量等於分量之和＆ (7) ∠C'AB＝∠CAB＝30°

(56)

(9) ∠C＝180°－90°－30°＝60°

(10) ∠C'＝180°－90°－30°＝60°

(11) △ACC'為一等角三角形。

(12) △ACC'為一等邊三角形 (13) ＝＝2

(14) ＝ 2 1

三角形 ABC 三內角和為 180°

三角形 ABC'三內角和為 180°

由 (8) & (9)＆(10) △ACC'三內角皆為 60°

等角三角形亦為等邊三角形

由(14)等邊三角形三邊等長＆ (1) ＝

由(13) ＝2 ＆等量除法公理

Q. E. D.

例題 4.2-6：

如圖 4.2-9，直角三角形 ABC 中，∠ABC＝90°，BAC＝30°，若＝10，

則＝？

圖 4.2-9

想法：利用定理：4.2-2 若直角三角形的某一內角為 30°，則其對邊為斜邊的一半。

解：

敘述理由

(1) ＝ 2 1 ＝

2

1×10＝5 已知直角三角形 ABC 中，∠ABC＝90°，BAC＝30°

＆定理：4.2-2 若直角三角形的某一內角為 30°，

則其對邊為斜邊的一半＆已知＝10

(57)

定理：4.2-3 若三角形兩頂點至其對邊的距離相等，則此三角形為等腰三角形。

90

D E

B C

A

圖 4.2-10

已知：圖 4.2-10 的三角形△ABC 中， ⊥ ， ⊥ ，＝， 求證： △ABC 為等腰三角形。

想法：利用全等三角形對應角相等及等腰三角形性質來證明。

證明：

敘述理由

(1) △BDC 和△CEB 中，

＝

∠BDC＝∠CEB＝90°

(2) △BDC △CEB (3) ∠ABC＝∠ACB (4) △ABC 為等腰三角形

如圖 4.2-10 所示兩三角形共用邊已知

已知 ⊥ ＆ ⊥

由(1) R.H.S.三角形全等定理由(2) 全等三角形對應角相等

由(3) ＆等底角三角形也是等腰三角形 Q. E. D.

(58)

例題 4.2-7：

如圖 4.2-11，△ABC 中，已知 ⊥ ， ⊥ 且＝，若

∠ABC＝50°，＝10，則：

(1) ∠ACB＝？ (2) ＝？

圖 4.2-11

想法：(1) 定理：4.2-3 若三角形兩頂點至其對邊的距離相等，則此三角形為等腰三角形。

(2) 等腰三角形的性質：兩腰等長且兩底角相等解：

敘述理由

(1) △ABC 為等腰三角形

(2) ∠ACB＝∠ABC＝50°

(3) ＝＝10

已知 ⊥ ， ⊥ 且＝＆

定理：4.2-3 若三角形兩頂點至其對邊的距離相等，

則此三角形為等腰三角形

由(1) 等腰三角形兩底角相等＆已知∠ABC＝50°

由(1) 等腰三角形兩腰等長＆已知＝10

(59)

定理：4.2-4 等腰三角形兩腰上的高與底邊所造成的三角形亦為等腰三角形。

2 1

90 F 90

D E

B C

A

圖 4.2-12

已知：圖 4.2-12 中，△ABC 為等腰三角形，＝， ⊥ ， ⊥ 求證： △BFC 為等腰三角形。

證明：

敘述理由

(1) △ABC 中，＝ (2) ∠ABC＝∠ACB (3) △BDC 及△CEB 中

＝

∠BDC＝∠CEB＝90°

∠ABC＝∠ACB (4) △BDC △CEB (5) △CEB 中，

∠1＝180°－∠CEB－∠ECB ＝180°－90°－∠ECB ＝90°－∠ACB (6) △CDB 中，

∠2＝180°－∠CDB－∠DBC ＝180°－90°－∠DBC ＝90°－∠ABC

＝90°－∠ACB (7) ∠1＝∠2

(8) △BFC 為等腰三角形

已知

由(1) ＆等腰三角形兩底角相等如圖 4.2-12 所示

兩三角形共用邊

已知 ⊥ ＆ ⊥ 由(2) 已證

由(3) A.A.S.三角形全等定理如圖 4.2-12 所示

將∠CEB＝90°代入

如圖 4.2-12，∠ECB＝∠ACB 如圖 4.2-12 所示

將∠CDB＝90°代入

如圖 4.2-12，∠ABC＝∠DBC 由(2) ∠ACB＝∠ABC 已證由(5)＆(6) 遞移律

三角形兩底角相等為等腰三角形

Q. E. D.

(60)

例題 4.2-8：

如圖 4.2-13，已知△ABC 為等腰三角形，＝，若 ⊥ ，

⊥ ，且∠FBC＝40°，＝10，則：

(1) ∠FCB＝？ (2) ＝？

圖 4.2-13

想法：(1) 定理：4.2-4 等腰三角形兩腰上的高與底邊所造成的三角形亦為等腰三角形。

(2) 等腰三角形的性質：兩腰等長且兩底角相等解：

敘述理由

(1) △FBC 為等腰三角形

(2) ∠FCB＝∠FBC＝40°

(3) ＝＝10

已知△ABC 為等腰三角形，＝，若 ⊥ ，

⊥ ＆定理：4.2-4 等腰三角形兩腰上的高與底邊所造成的三角形亦為等腰三角形

由(1) 等腰三角形兩底角相等＆已知∠FBC＝40°

由(1) 等腰三角形兩腰等長＆已知＝10

(61)

習題 4.2

習題 4.2-1

已知：如圖 4.2-14，△ABC 中，＝， ⊥ ， ⊥ ，試證：∠1＝

2

1∠BAC。

1

90

E

D C

B

A

圖 4.2-14

習題 4.2-2

已知：如圖 4.2-15，△ABC 中，＝， ⊥ ， ⊥ ，＝，試證：＝。

90

E 90 F

D C

B

A

圖 4.2-15

(62)

習題 4.2-3

已知：如圖 4.2-16， ⊥ ，＝ 2

1 ，試證：∠CAB＝30°。

30

A

C B

圖 4.2-16

習題 4.2-4

如圖 4.2-17，直角三角形 ABC 中，∠ABC＝90°，BAC＝30°，若＝20，

則＝？

圖 4.2-17 習題 4.2-5

已知：如圖 4.2-18，△ABC 中，＝，＝，＝，試證：＝。

F

D E

B C

A

圖 4.2-18

(63)

習題 4.2-6

如圖 4.2-19，△ABC 中，已知 ⊥ ， ⊥ 且＝，若∠ABC＝55°，＝15，則：

(1) ∠ACB＝？ (2) ＝？

圖 4.2-19

習題 4.2-7

如圖 4.2-20，已知△ABC 為等腰三角形，＝，若 ⊥ ， ⊥ ，且∠FBC＝35°，＝12，則：

(1) ∠FCB＝？ (2) ＝？

圖 4.2-20

(64)

4.3 節三角形的心

本節介紹三角形的內心、外心、重心、垂心及傍心等五心與其性質。

定理：4.3-1 三角形的內角平分線相交定理

三角形三內角的平分線相交於一點，此點與三邊的距離相等。

(三角形三內角平分線的交點到三角形的三邊等距離)

圖 4.3-1

已知：圖 4.3-1 中，△ABC 中， 為BAC 的角平分線，為ABC 的角平分線，為ACB 的角平分線。

求證：(1) 、、三線相交於一點 I。

(2) I 點與三角形的三邊等距離。

想法：先證明兩個角的平分線會相交，再證明此交點會在第三個角平分線上，

故三個角的平分線交於一點。

證明：

敘述理由

(1) BAD ＝

21 BAC < BAC (2) ABE ＝

21 ABC < ABC

(3) BAD＋ABE < BAC＋ABC

(4) BAD＋ABE < BAC＋ABC＋BCA (5) BAC＋ABC＋BCA＝180

為BAC 的平分線，

BAD 為BAC 的一半。

為ABC 的平分線，

ABE 為ABC 的一半。

由(1)＆(2) 由(3)

三角形的內角和為 180

(65)

(6) BAD＋ABE < 180

(7) 與不平行必相交於一點，設此點為 I。

(8) 作 ⊥ 於 P， ⊥ 於 Q， ⊥ 於 R。

(9) ＝＝

(10) 點 I 在BCA 的分角線上。

(11) 故三個內角平分線、、相交於點 I。

(12) 點 I 與、、三邊等距離

由(4) & (5)

同側內角和不等於 180的兩線不平行，不平行的兩線必有交點。

過一點必有一垂直線

角平分線上的任一點與兩邊距離相等。

與二邊相等的點必在角平分線上

由(7) & (10) 由(9) 已證

Q. E. D.

定義：4.3-1 三角形的內心

三角形三內角的平分線交點為三角形的內心。

因內心與三邊的距離相等，＝＝，故以 I 點為圓心，為半徑作一圓，此圓必在△ABC 內部，且分別與三邊相交於 D、E、F 三點。

所以我們說內心( I )即是三角形的內切圓的圓心，如圖 4.3-2。

圖 4.3-2 三角形的內心

(66)

例題 4.3-1

如圖 4.3-3，I 點為△ABC 的內心，若 I 點到的距離為 8，則：

(1) I 點到的距離為何？

(2) I 點到的距離為何？

圖 4.3-3 想法：三角形的內心到此三角形的三邊等距離解：

敘述理由

(1) I 點到的距離＝I 點到的距離

＝I 點到的距離＝8

已知 I 點為△ABC 的內心＆三角形的內心到此三角形的三邊等距離＆已知 I 點到的距離為 8

(67)

例題 4.3-2

已知：如圖 4.3-4，I 點為△ABC 的內心求證：BIC＝90＋1

2BAC

圖 4.3-4

想法：(1) 三角形的內心為三角形三內角的平分線交點 (2) 三角形三內角和為 180

(3) 三角形任一外角等於其兩內對角的和

圖 4.3-4(a) 證明：

敘述理由

(1) 作交於 D 點，如圖 4.3-4(a)所示 (2) 為BAC 的角平分線，

5＝6＝1

2BAC (3) 為ABC 的角平分線，

1＝2＝1

2ABC

作圖

已知 I 點為△ABC 的內心＆三角形的內心為三角形三內角的平分線交點

(68)

(4) 為BCA 的角平分線，

3＝4＝1

2BCA (5) △ABC 中，

BAC＋ABC＋BCA＝180

(6) 1

2(ABC＋BCA＋BAC)＝1

2×180

(7) 1

2ABC＋1

2BCA＋1

2BAC＝90

(8) 1＋3＋5＝90

(9) △ABI 中，7＝1＋5 (10) △ACI 中，8＝3＋6 (11) BIC＝7＋8

＝(1＋5)＋(3＋6) ＝(1＋3＋5)＋6 ＝90＋1

2BAC

(12) 所以BIC＝90＋1

2BAC

已知 I 點為△ABC 的內心＆三角形的內心為三角形三內角的平分線交點

如圖 4.3-4(a)所示三角形三內角和為 180

由(5) 等量乘法公理(等式兩邊同×1 2) 由(6) 分配律展開

由(7) ＆ (3) 1＝1

2ABC、

(4) 3＝1

2BCA、(2) 5＝1

2BAC 三角形任一外角等於其兩內對角的和三角形任一外角等於其兩內對角的和如圖 4.3-4(a) ＆全量等於分量之和

＆(9) 7＝1＋5、(10) 8＝3＋6 加法交換律＆結合律

由(8) 1＋3＋5＝90 已證＆ (2) 6＝1

2BAC 由(11)

Q. E. D.

(69)

例題 4.3-3

如圖 4.3-5，已知 I 點為△ABC 的內心、A＝60，則BIC＝？

圖 4.3-5

想法：利用例題 4.3-2 結論：若 I 點為△ABC 的內心，則BIC＝90＋1

2BAC 解：

敘述理由

(1) BIC＝90＋1

2BAC ＝90＋1

2×60

＝90＋30

＝120

已知 I 點為△ABC 的內心、A＝60 ＆例題 4.3-2 結論：若 I 點為△ABC 的內心，

則BIC＝90＋1

2BAC

(70)

圖 4.3-6 定理：4.3-2 三角形三邊的垂直平分線相交定理

三角形三邊的垂直平分線相交於一點，此點與三頂點的距離相等。

K H

G D

O

F

E C

B

A

已知：圖 4.3-6 中，△ABC 中，為的垂直平分線，為的垂直平分線，

為的垂直平分線。

求證：(1) 、、三線相交於一點 O。

(2) O 點與三角形的三頂點等距離。

想法：先證明兩個垂直平分線會相交，再證明此交點會在第三個邊的垂直平分 線上，故三個邊的垂直平分線交於一點。

證明：

敘述理由

(1) 連接

(2) GDE < BDG＝90

HED < BEH＝90

(3) GDE＋HED < 180

(4) 的垂直平分線與的垂直

平分線不平行，、二線

必相交於一點，設此點為 O 點 (5) 連接、、

(6) ＝＝

(7) 點 O 在的垂直平分線上。

(8) 故三角形三邊的垂直平分線、

、三線相交於 O 點 (9) 點 O 與三頂點距離相等

兩點可作一直線

全量大於其部分量，且已知 ⊥ ，

⊥

由(2)及不等量相加公理

同側內角和不等於 180的兩線不平行，不平行的兩線必有交點。

兩點可作一直線

一線段的垂直平分線上的任一點與兩端點等距離。

由(6)及與線段兩端等距離的點必在垂直平分線上。

由(4) & (7)

由(6)

(71)

定義：4.3-2 三角形的外心

三角形三邊的垂直平分線交點為三角形的外心。

因外心到三頂點的距離相等，＝＝，故以 O 點為圓心，為半

徑作一圓，此圓必通過△ABC 的三個頂點。

所以我們說外心( O )即是三角形的外接圓的圓心，如圖 4.3-7。

圖 4.3-7 三角形的外心 例題 4.3-4

如圖 4.3-8，O 點為△ABC 的外心，若＝12，則：

(1) ＝？ (2) ＝？

圖 4.3-8 想法：三角形的外心到此三角形的三頂點等距離解：

敘述理由

(1) ＝＝＝12 已知 O 點為△ABC 的外心＆

三角形的外心到此三角形的三頂點等距離

＆已知＝12

目錄

第四章更多三角形的性質

4.1 節三角形三內角之和

習題 4.1

4.2 節有關直角三角形的定理

習題 4.2

4.3 節三角形的心

目錄

第四章 更多三角形的性質

4.1 節 三角形三內角之和

習題 4.1

4.2 節 有關直角三角形的定理

習題 4.2

4.3 節 三角形的心

第四章更多三角形的性質

4.1 節三角形三內角之和

4.2 節有關直角三角形的定理

4.3 節三角形的心