項名達在《象數一原》卷一中，闡明遞加數與眾等腰三角形腰或腰較之率的 係數關係，但對遞加數之根層有奇行卻無偶行，甚至弦率只有奇分，但偶分弦率 卻得不到解決，心中充滿疑惑，因此，他在研究遞加圖時，突發奇想：
見其奇行間偶行，而列對根層適當其半，默有會於半之理，恍然曰：半者，
零五也，弦率之得奇不得偶，由於用全不用半，知整不知零也，於是以半分 起根，遞加全分如整分法，本根求積，別衍成遞加一圖。40
他所建立的遞加圖，根起自半分遞加一分，因此，欲建構配合它的割圓連比例圖 形，項名達的想法為：
以半分起度，遞加全分，亦如整分法，按度出線，別聯成各種兩等腰三角，
三角形既得，迺用率法乘除求得逐形腰底。而偶分弦率，各帶半分之矢率，
均出其閒，考其數，則與半分起根遞加數等。然則非遞加一圖，且不知弧度 之可起半分奚，自而按其形，覈其數哉。今故先論遞加數，以發其所藏，後 詳弦矢率，以證其所合。41
這段文中，我們可以窺見項名達創作｢半分起度弦矢率論｣的心路歷程。他見遞加
39何紹庚對項名達這種多維幾何體的想法很是推崇，認為項名達這種想法超越了他所處 的時代，是很可貴的，可惜未能引起人們的重視。參考何紹庚〈《象數一原》提要〉，收 入郭書春主編《中國科學技術典籍通彙》數學卷第五冊，頁 5-471。
40項名達，《象數一原》卷二，頁 1。
41項名達，《象數一原》卷二，頁 1。
圖根層無偶行，把空格想成其數半也，居然先製造出一個全新的遞加圖。先有遞
首根
89148 -19380 6460 -3060 1980
462
-1716 -3230 -630
13566 -104006
-29716 9044 -3876 2244 148580
72930 858 -66
1326 -390
-8398 182
230945 12155 -715 -55
-7
每次遞加根差 1，可得下一個根，故第二列依序為1 2，3
2，5 2，7
2，9 2，11
2 ……(將 分母提出，記在最右邊)，而遞加圖右半是闊展到根是負數的情況，根也是先從1
2 起跳，相對於左圖根每次遞加 1，右圖根每次遞減 1，如此根那一層每數皆可得 知。42第二個步驟，項名達先求出首平積、首立積、首三乘積、乃至首多乘積，
其位置皆在由右向左斜的粗黑斜線上，其求法本著整分起度的｢論遞加數以根求 積法｣。而與首平積左邊相鄰的第一數稱為第二位平積，與首立積左邊相鄰的第 一數稱為第二位立積，與首三乘積左邊相鄰的第一數稱為第二位三乘積；而與首 平積左邊相鄰的第二數稱為第三位平積，與首立積左邊相鄰的第二數稱為第三位 立積，與首三乘積左邊相鄰的第二數稱為第三位三乘積，以此類推。我們先以an 表示第 n 位根，b 表第 n 位平積，n c 表第 n 位立積，n d 表第 n 位三乘積，以｢論n 遞加數以根求積法｣得下列式子：
首平積 1 1 2 3 1 3 2 2 3 2 2 2 a a
b
，(位置在第三行第二個數)
首立積 1 1 3 4 3 5 8 2 5 3 3 2 b a
c
，(位置在第四行第二個數)
首三乘積 1 1 4 7 5 7 16 2 35
4 4 2
c a d
，(位置在第五行第三個數)
……底下類推之。
求完首多乘積後，次求逐位積。以bn1bnan1迭代求逐位平積，得下列式子：
第二位平積 2 1 2 3 3 15 8 2 8
b b a (位置在第五行第二個數) 第三位平積 3 2 3 15 5 35
8 2 8
b b a (位置在第六行第二個數)
……底下類推之。
求首平積左方的數用加，而求首平積右方的數用減。如：
首平積右邊第一位平積 1 1 3 1 1 8 2 8 b a
(位置在第一行第二個數)
……底下類推之。
42這兩張遞加圖，遞加數記分母於右，除了根那一層分母為 2 外，奇數層分母依序為
3 7 11 15 19 23 27
2 , 2 , 2 , 2 , 2 , 2 , 2 ，次方間隔 4。偶數層2 , 2 , 2 , 2 , 2 , 2 , 24 8 12 16 20 24 28，次方間隔 4。
接下來以cn1cnbn1迭代求得逐位立積：
第二位立積 2 1 2 5 15 35 16 8 16
c c b (位置在第六行第二個數) 第三位立積 3 2 3 35 35 105
16 8 16
c c b (位置在第八行第二個數)
求首立積左方的數用加，而求首立積右方的數用減。如：
首立積右邊第一位立積 1 1 5 3 1 16 8 16 c b
(位置在第二行第二個數)
然後以dn1dncn1迭代求得逐位三乘積，三乘積以下類推之。此圖中數有正負 之分。從上圖(半分起根遞加圖左半)來看，粗黑斜線之上的數皆為正，而斜線之 下的數皆呈現一負一正層層相間。遞加圖內的數字多為分數，將分數分成分子與 分母，皆記分母於右邊，齊其分母，把分子放入圖中。項名達此處遞加圖的建構 方式，完全是依照｢論遞加數以根求積法｣來建構，只要首根一旦決定，就可以完 成整個遞加圖。而此遞加圖是從首根(第二行第一個數)1
2起開始遞加，故稱為半 分起根遞加圖。
項名達完成遞加圖後，為了由遞加圖繪製出相應的割圓連比例圖形，他思索 著：
有是數必有是形，既得此半分遞加圖，而兩等邊三角之形即可按數而定，葢 根起半分，則弧分亦宜折半，就折半處作半徑線，剖全弧為二，一端扺圜心，
以分心角一端抵圜界，以起界角，此半徑即第一形中垂線，半徑既為中垂線，
必以半弧正割為第一形腰，正切為其半底，亦即第二形腰矣，第一二形既得，
迺求各形，按首根半分，次根一分半，三根兩分半，各自心角作半徑，界之 是為倍矢弧分，首根次根倂得二分，次根三根倂得四分，三根四根倂得六分，
各自界角作通弦，界之是為通弦弧分，於是，諸線相交成各三角形弦矢率，
遂自此出焉。43
好一句｢有是數必有是形｣，於是，項名達由遞加圖完成了相應的割圓連比例 圖形，圖形的結構與整分起度的割圓連比例圖形頗為類似，它們也具有相似的遞 歸結構。下圖中，午未是本弧，本弧所對應的弦午未稱為一分通弦。而午界、
界未各為本弧的1
2，自界點作甲子 平行午未，且甲子 交心午延長線於甲，甲子
43項名達，《象數一原》卷二，頁 8~9。
交 心未 延長線於子，取金午=木金=火木 =水火=土水皆與本弧午未相等，則 午界 =1
2 午未，稱午界為半分弧，金界 =3
2 午未，稱金界為一分半弧，木界
=5
2 午未，稱木界為二分半弧。界乾界兌=2 午未，界坎界坤=4 午未，
界艮 界離=6 午未，界震 界巽=8 午未。此處共有十一個相似的等腰三角 形，依序為 心甲子界甲乙 心乙丙 界丙丁 心丁戊界戊己
心己庚 界庚辛心辛壬 界壬癸 心癸亥 。這些等腰三角形，我們 依次命名，稱 心甲子 為第一形，界甲乙 為第二形，心乙丙 為第三形，…….
心癸亥 為第十一形。如下圖 3-2-3 所示：
白 赤
黃
青
癸 亥
卯
辰 申
酉
壬 辛
己 庚
戊
丁 丙
乙
丑
寅
兌
坤 離
巽 震
艮
坎
乾
子 甲
界
土 火
木
金
午
未 心
水
圖 3-2-3
我們令半徑心午1，一分通弦午未2，與整分起度同樣的做法，由1和
，可創造出一個連比列：2 1 2 3 4
2 3 4 5
...
。
丙
但外觀稍異。由此已可得知第一形心子甲之腰為
後 11 10 2 9
35 315 462 429 858 2210 6460
2 2 2 2 2 2 2 ...
315 462 429 6460
35 858 2210
2 2 2 2 2 2 2 ...
693 858 715 9044
7 105 1326 3230
2 2 2 2 2 2 2 2 ...
M
50項名達，《象數一原》卷二，頁 17。
3 5 7 9 11 13 15
8 4 8 12 16 20 24
7 105 693 858 715 1326 3230
2 2 2 2 2 2 2 ...
L
3 5 7 9 11 13 15
9 1 3 7 11 15 19 23 27
63 1155 6006 6435 4862 8398 19380
2 2 2 2 2 2 2 ...
1155 6006 6435 19380
63 4862 8398
2 2 2 2 2 2 2 ...
3003 12870 12155 29716
9 231 8398 13566
2 2 2 2 2 2 2 2 ...
M
3 5 7 9 11 13 15
10 4 8 12 16 20 24
9 231 3003 12870 12155 8398 13566
2 2 2 2 2 2 2 ...
L
3 5 7 9 11 13 15
11 1 3 7 11 15 19 23 27
99 3003 30030 109395 92378 58786 89148
2 2 2 2 2 2 2 ...
3003 30030 109395 89148
99 92378 58786
2 2 2 2 2 2 2 ...
9009 72930 230945 148580
11 429 176358 104006
2 2 2 2 2 2 2 2 ...
符號)，但在彼此遞求的過程中，一則遞加數遞加過程中處在遞加的狀態，另一
3003 21450 60775 29716
165 41990 22610
10 ...
類推之，則 2
積 (2 4)
我們把遞加圖第 n 行和第 n+2 行相併( n 為奇數)，即可求出倍矢率。其併根為
因為本文斷句的問題而產生誤解。本文如下所示：
1 3 2