3.1《象數一原》卷一：整分起度弦矢率論

(1)

第 3 章《象數一原》內容分析(上)

本章先項名達的著作《象數一原》的前四卷。《象數一原》是項名達的代表作，主要內容為項名達在割圓術、和三角函數冪級數展開式的研究。項名達生前並未完成《象數一原》，於項名達死後，好友戴煦為之完成，後來徐有壬(1800~

1860，字君青，又字鈞卿，烏程人)囑託張南坪(張福僖)於蘇州刊刻，未及印行，

咸豐十年(1860)即遇太平軍攻占蘇州，書板被毀，底本後為張文虎(1808~1885，

字孟彪，又字嘯山，江蘇南匯周浦人)所得，收藏近二十年，張文虎晚年將項氏遺書寄贈予華蘅芳(1833~1902，字若汀，江蘇金匱人)，終於在光緒十四年(1888) 刊刻行世。¹

項名達在《象數一原》所呈現的象、數對比的思路，是本書的一大特色。其實，中國人關於象與數對應的觀念由來已久，例如：北宋新儒象數之學的根本思想，正是｢形由象生，象由數設｣。也就是說雖然天下萬物都有形，但是數是最根本的，有數而後有象，有象而後有形，從而數可以解釋宇宙與人事各種現象。這裡的象數關係，雖然帶有一點命數論，但象與數的對應觀念，卻是深植人心。²

《象數一原》立論之初提到的｢象｣，指的是弦、矢及與之有關的一系列相似等腰三角形，｢數｣指的是遞加數(賈憲三角形)。如《象數一原》卷一｢整分起度弦矢率論｣，即是項名達先製造出一系列邊長帶有遞迴關係式的等腰三角形，再由三角形的腰率係數對應到賈憲三角形，其思路是先有象而後有數。³但在卷二｢

半分起度弦矢率論｣，項名達卻是先有數再論象。他先由｢遞加數以根求積法｣製造遞加圖，⁴再由遞加圖的數字創造出腰率係數與之對應的一系列相似的等腰三角形。而卷二所指的｢數｣，已擴充到指數冪為

2

n的二項式定理係數表。⁵在卷三

｢零分起度弦矢率論｣，項名達先由卷二的圖形類推，得到卷三的圖形，再由圖形創造出相應的遞加圖，其思路是先有象後有數。⁶由前三卷，可以了解項名達透

1參閱華蘅芳，〈象數一原跋〉，項名達，《象數一原》。

2洪萬生，〈十三世紀的中國數學中心〉，《從李約瑟出發－數學史、科學史文集》，頁 130。

3詳見本文 3.1｢《象數一原》卷一：整分起度弦矢率論｣，頁 73~92。

4由遞加數構成的圖形稱為遞加圖，即是賈憲三角形的推廣，是以｢遞加數以根求積法｣

作出。｢遞加數以根求積法｣是以賈憲三角形斜左第二行每個數稱為根，依此根求各層數的方法。詳見本文，頁 84~86。

5詳見本文 3.2｢《象數一原》卷二：半分起度弦矢率論｣，頁 93~94。

6詳見本文 3.3｢《象數一原》卷三：零分起度弦矢率論｣，頁 108~132。

(2)

過象與數的對應，才創作了《象數一原》。｢象｣與｢數｣發展到最後，已不再是立論之初的形勢。其所謂的｢象｣，相當於空間形式，｢數｣為數量關係。如他卷六所說的：｢象｣不僅僅限於弦矢和八綫，耳聞、目見、身觸、意知者皆是象；而｢數｣

也擴充到廣義的二項式定理係數表，象數兩相成，而得其原，這就是項名達冠以其著作《象數一原》的原因。《象數一原》為項名達去世前未完成之作品，卷四只有六紙，卷六校勘未半，且圖解未立，所以該書卷七和卷四的部分內容以及卷六的內容校補，係由其友人戴煦於 1857 年補寫完成。本章筆者打算說明《象數一原》前四卷，這四卷最終會得到兩個公式，分別是｢知本度通弦求他度通弦｣

和｢知本度矢求他度矢｣，項名達認為這兩個公式是杜氏九術和董氏四術的立法之原。此外，筆者也將介紹遞加圖的由來，與圖形上連比例遞歸模型的起源，其中尤其以遞加數部分與同時期的汪萊有著密切的關係。關於《象數一原》後三卷合併其它的著作，會留待第 4 章探討。

3.1《象數一原》卷一：整分起度弦矢率論

項名達可能在京盤桓時，即看過明安圖和董祐誠的著作，⁷對其割圓術除了佩服外，另一方面也充滿疑惑。像董氏四術的｢有通弦，求通弧加倍幾分之通弦｣：

2 2 3 2 2 2 2 5 2 2 2 2 2 2 7

2 2 4 3 6

( 1 ) ( 1 )( 3 ) ( 1 )( 3 )( 5 ) 4 3! 4 5! 4 7! ...)

n

n n c n n n c n n n n c

c nc

r r r

         

    

     

｢有通弦，求幾分通弧之一通弦｣：

2 3 2 2 5 2 2 2 2 7

1 3 2 2 5 4 3 7 6

( 1 ) ( 1)(9 1) ( 1 )(9 1)(25 1)

4 3! 4 5! 4 7! ...)

n

c n c n n c n n n c

c n n r n r n r

        

    

        

上面公式 n 皆為奇數，但 n 為偶數的情況並沒有討論，而且董祐誠的倍分通弦c (n_n 為奇數)和倍分矢rvers(n) (n 奇數、偶數皆可)冪級數展開式的係數，何以能和三角堆(賈憲三角形)的數字對應？而 ₁

n

c 和r vers( ) n

  卻無法與三角堆對應？針對上述疑問，項名達苦思多年，終於在 1837 年離開苕南書院回到杭州途中獲得靈感，而後用數個月時間著成圖說兩卷。他這些疑問得到圓滿的解決後，依此心得寫下《象數一原》。該書前四卷得到了一個重要的結果：有理數的倍分弦率或矢率，皆可由遞加圖一一對應，同時，得到兩個一般性的公式：｢知本度通弦求他度通弦｣、｢知本度矢求他度矢｣。我們先來看《象數一原》的卷一。

7何紹庚，〈象數一原提要〉，收入郭書春主編《中國科學技術典籍通彙》數學卷，頁 5-472。

(3)

首先，項名達先說明他所謂的｢象｣：

象者何？兩等邊三角形，是此形為逐分之通弦、半徑相割而成，一縱一橫，

邊角交錯，而其式常等。若析分愈細，則角越小，初分底，密切於弧，逐分 腰皆通於弦矢，此天然之象所為。⁸

乙甲

心界

圖 3-1-1 接下來，項名達介紹他所謂的｢數｣：

數者何？遞加數，是此數生於一，遞加一得諸根，而一即根差，遞加根得平 積，而根即平積差，遞加平積得立積，而平積即立積差，如是以至無盡，諸 差亦無盡。⁹

圖 3-1-2

接下來，項名達先建構一個割圓連比例圖形。如下圖 3-1-3，將半圓弧長均分為十八分，得到十八個點，自圓心至十八個點各作半徑，以界為起點，界甲^為一分弧，界坎^為三分弧，界震^為五分弧，……自界至一、三、五等奇分弧各作通弦線，諸線相交成兩等邊三角形，如心界甲，心乙丙，挨次鱗列，漸小至

心午未。界甲乙，界丙丁，挨次鱗列，漸大至界辰午。以 界甲乙為例，

乙界甲對二分弧，故 乙界甲 界心甲，所以 心界甲界甲乙。又 界甲乙和 心乙丙同是等腰三角形，界乙甲=心乙丙，所以 界甲乙心乙丙。同

8參考項名達，《象數一原》，頁 1。

9同上。

項名達所謂的象，即如右圖所示。取圓心為心，

r

心界 ，取界乙甲界 ，則 心界甲~ 界甲乙， 兩者皆為等腰三角形。若甲心界，則甲界 稱為圓心角 的通弦。又甲乙2 (1 cos )r   ^，此稱為 圓心角 的倍矢。

項名達所謂的數，即是巴斯卡三角形，如右圖所示。斜左第一行皆是 1，稱為根差。斜左第二行稱為根，斜左第三行稱為平積，斜左第四行稱為立積，依此類推。由上述所言，項名達已掌握巴斯卡三角形與垛積術的聯繫。

(4)

理，底下圖形可得十七個相似的等腰三角形，依序分別為 心界甲界甲乙

      

 心乙丙 界丙丁 心丁戊 界戊己 心己庚 界庚辛 心辛壬

      

 界壬癸 心癸子 界子丑 心丑寅 界寅卯 心卯辰 界辰午

 心午未。如下圖 3-1-3 所示： 

震土

金

木

火

水

亥

酉

申未

午辰

卯

丑

子癸

壬辛

庚己

丁戊

乙丙黑

白

赤

青

兌

坤

離

巽

艮

坎乾界甲

心黃

寅

圖 3-1-3

圖 3-1-3 中十七個相似的等腰三角形，我們依次排序，稱 心界甲為第一形，

界甲乙為第二形，…… 心午未為第十七形。若 n 為奇數，則稱第 n 形為心 角形，若 n 為偶數，則稱第 n 形為界角形。¹⁰而項名達此番的設計乃連比例的設計，符合一個遞歸關係，同時我們在《數理精蘊》卷十六中，｢圓俓求內容十邊形之邊長｣一題，¹¹兩者建構的圖形十分近似，項名達的圖形建構的靈感很可能來自《數理精蘊》。這許多相似的等腰三角形，其邊長可以形成連比例，若｢以心

10心角形即是諸如心界甲或 心乙丙這些等腰三角形，皆以心為三角形之頂點；界角形像界甲乙或界丙丁這些等腰三角形，皆以界為三角形之頂點。

11參考《數理精蘊》下編卷十六，頁 12b-13a。

(5)

界甲為第一形，其腰即半徑，底即一分通弦，以界甲乙為第二形，其腰即一分通 弦，底即一分倍矢，此兩形相比例，為心界腰比界甲底，若界甲腰與甲乙底，是 界甲者，既為此底，復為彼腰，遂成連比例三率，故以半徑心界為一率，一分通 弦界甲為二率，一分倍矢甲乙為三率，三率既全，迺可求眾形之腰底各率｣。¹² 文中的正矢為割圓八線之一，令界心甲 ，則正矢 r vers =r(1 cos )  ，倍矢 2 正矢2 (1 cos )r   。若界甲^視為一分弧，所對的弦為界甲，稱為一分通弦，甲申 r vers，稱為一分正矢，甲乙  甲申2 ，稱為一分倍矢。文中的一率用現在代數符號₁表示，二率用₂表示，三率用₃表示，……類推之。令第一形心界甲腰心界₁，第二形界甲乙腰界甲₂= 第一形心界甲底，第二形

界甲乙底甲乙₃，由相似的等腰三角形腰與底邊比的關係得

心界 界甲界甲甲乙

1 2

2 3

 

  (意即半徑 一分通弦

一分通弦一分倍矢) ₃ ₂ ²

1

  

   。

再由₁、₂、₃，可創造出一個連比列： ¹ ² ³ ⁴

2 3 4 5

...



  

     ，則由連比例關係推得 ₁ ²

1

n n

  

 

  。這種把率用在割圓術的獨特方式，源自明安圖，而董祐誠也繼承之，這是清代中算家處理割圓術特有的技巧。接著，項名達藉由圖 3-1-3，

從眾多等腰三角形間的關係發現：

以現得界角形底，減先得心角形腰，得次後心角形腰，乘除而得底；以現得 心角形底，加先得界角形腰，得次後界角形腰，乘除而得底。¹³

項名達所說的這些關係式已經是一般化的陳述，令第 n 形腰為M_n，底為L_n，可由圖 3-1-3 發現：

3 1 2,

M M L M₅ M₃L₄,M₇ M₅L₆,類推之得關係式一：M_n M_n_₂L_n_₁，其中 n 為奇數。

2 1,

M L M₄M₂L₃, M₆M₄L₅,類推之得關係式二：M_n M_n_₂L_n_₁，其中 n 為偶數。

如此可化為一個遞迴數列，令第 n 形腰為M_n，底為 ²

1

n n

L M 

  。底下項名達會把長度用連比例的率來表達，比如一段長度化成a_{1 1} a_{2 2} a_{3 3} a_{4 4} ...表示，

12項名達，《象數一原》卷一，頁 3。

13項名達，《象數一原》卷一，頁 4~5。

(6)

像是等腰三角形腰的長度以此種方式表達，即稱為腰率，若是底的長度，在此稱為底率。而我們眾三角形腰所形成之數列，可得到關係式三：

1 1, 2 2

M  M  ,

2 1

1 2

2 1

1

,

n n

n

n n

M M n

M

M M n





  



 

  



為奇數

為偶數

, n 1, 2,...,16。

接著文中再說：｢凡應減者恆異名，應加者恆同名，故皆用加法，乘除恆降 一率。｣¹⁴此揭示了由M_n與M_n_₁在求M_n_₂，當 n 為奇數時， ₁ ²

1

n n

M M 

 

  ，兩

個相減其率的係數正好是一正一負；當 n 為偶數時， ₁ ²

1

n n

M M 

 

  ，兩個相加其率的係數數正好是同正或同負，故捨棄正負符號來看，其數是不斷的遞加上去，

然後項名達依上述遞迴關係，求出眾三角形腰和底，化為現在符號統整如下：

M1=₁ L₁=₂ M2=₂ L₂=₃ M3=₁ ₃ L₃=₂₄ M4=2₂ ₄ L₄=2₃ ₅ M5=₁ 3₃₅ L₅=₂ 3₄₆ M6=3₂ 4₄₆ L₆=3₃ 4₅₇ M7=₁ 6₃5₅ ₇ L₇=₂ 6₄5₆ ₈ M8=4₂ 10₄6₆ ₈ L₈=4₃ 10₅6₇ ₉ M9=₁ 10₃15₅ 7₇₉ L₉=₂ 10₄15₆ 7₈₁₀ M10=5₂ 20₄21₆ 8₈₁₀ L₁₀=5₃ 20₅21₇ 8₉₁₁

…….

一直計算到M₁₈。緊接著，項名達列出逐分通弦率，若我們以c_n表示 n 分通弦(若 一分弧所對的圓心角 ，則 n 分通弦為圓心角n 所對的弦)，再由圖 3-1-3 觀察可得：

1 2

c M ，c₃ M₂M₄，c₅ M₄ M₆，……c₁₇M₁₆M₁₈，由此歸納得關係式四：c_n M_n_₁M_n_₁， n 為奇數，n 3。因此，所有的奇分通弦率皆可求出，統整如下：

一分通弦=₂ 三分通弦=3₂ ₄

(7)

五分通弦=5₂ 5₄₆ 七分通弦=7₂ 14₄7₆₈

九分通弦=9₂ 30₄27₆9₈₁₀

十一分通弦=11₂ 55₄77₆44₈11₁₀₁₂

十三分通弦=13₂ 9₄182₆156₈65₁₀13₁₂₁₄

十五分通弦=15₂ 140₄378₆450₈275₁₀90₁₂15₁₄₁₆

十七分通弦=17₂ 204₄714₆1122₈935₁₀442₁₂119₁₄17₁₆₁₈ 然後，項名達列出逐分倍矢率，若以b_n表示 n 分倍矢(若一分弧所對的圓心 角 ，則 n 分倍矢2(rvers n))，以X 表示第 n 形腰較，其中 n 是奇數。而所_n 謂的腰較，指的是此等腰三角形腰的長度與半徑的差。由圖 3-1-3 可以看出：

1 3

b X ，b₂ X₃X₅，b₃ X₅X₇，…，b₈  X₁₅X₁₇，歸納出關係式五：

2 1 2 1

n n n

b X _ X _ (rM₂_n_₁) ( rM₂_n_₁)。由此可計算出各 n 分倍矢，如下所示：

一分倍矢= ₃ 二分倍矢=4₃₅ 三分倍矢=9₃6₅₇

四分倍矢=16₃20₅8₇ ₉

五分倍矢=25₃50₅35₇10₉₁₁

六分倍矢=36₃105₅112₇ 54₉12₁₁₁₃

七分倍矢=49₃196₅296₇ 210₉77₁₁14₁₃₁₅

八分倍矢=64₃336₅672₇660₉352₁₁104₁₃16₁₅₁₇ 接著，項名達把其腰較及腰其率的係數形成遞加圖，他覺得：

按此弦矢諸率，雖多寡錯出，要之一皆遞加數耳。弦率由界角形兩腰相加而 得，矢率由心角形兩腰較相加而得，腰底率雖備用乘除加減，而乘除祇降一 率，原數不動，應減者皆屬異名，相加約其所用，無非加法，且腰底每遞相 生，取第一形底加第三形底，得第四形腰，又加第五形底得第六形腰，又加 第七形底得第八形腰，是界角形腰生於心角形底，取第二形底加第四形底得 第五形腰較，又加第六形底得第七形腰較，又加第八形底得第九形腰較，是 心角形腰又生於界角形底，而其加底得腰也；迺重叠相加實與遞加數等。今 就遞加數以明腰底之遞生諸率，隨之而衍，絕不待安排造作而自然羅列燦陳 腰底諸率，明弦矢率不煩言而解矣。¹⁵

(8)

由此可知，項名達了解到一個遞迴關係。若我們令第 n 形腰為M_n，底為L_n，X_n 表示第 n 形腰較，搭配圖 3-1-3 可了解其遞迴關係，化為現代符號表示：

2 1

M L ，將這式子配合關係式二：M_n M_n_₂L_n_₁，n 代 4 求M ，即可得₄

4 2 3 1 3

M M L L L ，將此式配合關係式二：M_n M_n_₂L_n_₁代入M ，得 ₆

6 4 5 1 3 5

M M L L L L ，將此式配合關係式二：M_n M_n_₂L_n_₁代入M 得₈

8 6 7 1 3 5 7

M M L L L L L，…歸納得關係式六：M₂_n L₁L₃...L₂_n_₁，故項名達才推論界角形腰生於心角形底。

上文論及腰較，以圖 3-1-3 來看，可知腰較與底的關係。化為現代符號表示：

3 2

X L

 

甲乙，

  

丁乾丙乾丁丙 X₅  X₃L₄，

 

己坎戊坎己戊 X₇ X₅L₆，……類推之，可得關係式七：X_n_₂ X_nL_n_₁，其中 n 為奇數。

將X₃L₂，配合關係式七：X_n_₂ X_nL_n_₁代入X ，可得₅

5 3 4 2 4

X X L L L ，

上面式子配合關係式七：X_n_₂ X_nL_n_₁再代入X ，可得₇

7 5 6 2 4 6

X  X L L L L ，

上面式子配合關係式七：X_n_₂ X_nL_n_₁再代入X ，可得₉

9 7 8 2 4 6 8

X X L L L L L ，……

歸納得關係式八：X₂_n_₁ L₂L₄...L₂_n，故項名達歸納出心角形腰又生於界角形底。

由這些遞迴關係，項名達發現到這與古代的｢三角堆｣有相當的聯繫，他所謂的｢三角堆｣，即是｢巴斯卡三角形｣。¹⁶古代｢巴斯卡三角形｣都緊跟著開方法，《永樂大典》本楊輝《詳解九張算法》(1261 年)有｢開方作法本源圖｣，¹⁷楊輝指明它

｢出《釋鎖》算書，賈憲用此術｣，此圖即為｢巴斯卡三角形｣，但只到五乘方。¹⁸

16｢巴斯卡三角形｣即是｢賈憲三角形｣，董祐誠《割圜連比例術圖解》卷中之｢弦矢連比例諸率成遞加數圖｣與之｢弦矢連比例諸率成三角堆圖｣，即本諸｢巴斯卡三角形｣。項名達

《象數一原》卷一之｢遞加圖｣，即｢巴斯卡三角形｣。參考李儼〈中算家的｢巴斯噶三角形｣研究〉，收入杜石然主編《李儼、錢寶琮科學史全集》第六卷，頁 228。或參考李迪，

《中國數學通史》明清卷，頁 375~378。

17｢開方作法本源圖｣可見本文附錄 7，頁 308。

18李儼，〈中算家的｢巴斯噶三角形｣研究〉，《李儼、錢寶琮科學史全集》第六卷，頁 219。

(9)

之後元朝數學家朱世傑(1303 年)將它推廣到七乘方，提出｢古法七乘方圖｣，¹⁹除了用在開方外，還可能把它應用在垛積問題(即高階等差級數求和問題)上。而明代吳敬(1450 年)，周述學(1558 年)及程大位(1593 年)也收錄五乘方圖，乃至清初梅文鼎(1692 年)的十二乘方圖，其外觀皆等同於｢巴斯卡三角形｣。²⁰項名達再把

｢三角堆｣圖形略作變化，比起朱世傑的｢古法七乘方圖｣，每一列都多了幾條橫線，項名達又補上一些特別的斜線(底下粗黑線段)，並做到十一乘方(12 次方)。

由這種三角堆擴展出來的圖形，項名達稱為遞加圖。下圖即是他所謂的遞加圖：

圖 3-1-4

項名達發覺第一形腰到第十七形腰的腰率係數與遞加圖之關係。為了更容易理解，筆者將上圖附上文字與符號形成右下圖 3-1-5，搭配圖 3-1-5，以平行於粗黑的線段觀察各個三角形的腰率係數。

圖 3-1-5

19｢古法七乘方圖｣可見本文附錄 8，頁 309。

20參考洪萬生，〈中西｢巴斯卡三角｣的比較研究：1000~1700〉。斜右第一行代表第一形腰

M1=₁。斜右第二行代表第二形腰

M2=₂。

斜右第三行代表第三形腰 M3=₁ ₃。

斜右第四行代表第四形腰 M4=2₂ ₄。

(10)

斜右第五行代表第五形腰M₅=₁ 3₃₅。斜右第六行代表第六形腰M₆=3₂ 4₄₆。斜右第七行代表第七形腰M₇=₁ 6₃5₅ ₇。斜右第八行代表第八形腰M₈=4₂ 10₄6₆ ₈。斜右第九行代表第九形腰M₉=₁ 10₃15₅ 7₇₉。斜右第十行代表第十形腰M₁₀=5₂ 20₄21₆ 8₈₁₀。第十一形腰以下繼續將遞加圖延伸下去，依相同方法類推。

項名達發現，若第 n 形的腰率係數姑且不討論正負，其係數正好和上圖數字 相符。接著，項名達論述第 n 形的腰率係數與遞加圖的對應關係：

腰率應遞加數，何也?曰：如一率即第一形腰，以下眾心角形腰，其一率亦 皆一，乘除得底，降為二率，即其底內二率亦皆一，如根差之數，皆為一也。

21

意即：從圖 3-1-5 可以看出根差一層數皆為 1，正好對應心角形腰率M₂_n_₁之 係₁ 數皆為 1。由 ²

1

n n

L M 

  可知心角形底率L₂_n_₁之 係數也皆為 1。接著論道： ₂ 二率起於第一形底，如上，論心角形各底內二率，既皆為一，若取第一形以 下各底，遞加成界角形腰，則二率必隨之遞加，一加一得二，二加一得三，

三加一得四，是為界角第二形下各腰內二率，乘除得底，降為三率，即其底 內三率，亦為一、二、三、四等，如根之一、二、三、四等數，由遞加根差 而得也。²²

意即：因為每個心角形底率L₂_n_₁之 係數皆為 1，所以，可由關係式六₂

2_n 1 3 ... 2_n 1

M L L  L _ 得底下式子之 係數： ₂

2 1

M L ，所以腰率M₂之 係數為 1，由₂ ²

1

n n

L M 

  可知L 之₂  係數為 1。 ₃

4 1 3

M L L ，所以腰率M₄之 係數為 1+1=2，由₂ ²

1

n n

L M 

  可知L 之₄  係 ₃ 數為 2。

6 1 3 5

M L L L，所以腰率M₆之 係數為 2+1=3，由₂ ²

1

n n

L M 

  可知L 之₆  ₃ 係數為 3。

(11)

8 1 3 5 7

M L L L L，所以腰率M₈之 係數為 3+1=4，由₂ ²

1

n n

L M 

  可知L ₈ 之 係數為 4。……類推之。 ₃

可由關係式六：M₂_n L₁L₃...L₂_n_₁得M_2n之 係數為₂

1

n

k

n



  ^，和^{L 之}²ⁿ ^{ 係}³ 數為

1

n

k

n



  ^。

接著又論：

三率起於第二形底，如上，論界角形各底內三率，既為一、二、三、四等數，

若取各底遞加成心角形各腰，則三率必轉而相加，一加二得三，三加三得六，

六加四得十，是為心角第三形下各腰內三率，乘除得底，降為四率，即其底 內四率亦為一、三、六、十，如平積之一、三、六、十等數，由遞加根而得 也。²³

意即：由關係式八：X₂_n_₁ L₂L₄...L₂_n，得rM₂_n_₁L₂L₄...L₂_n

1 M2_n1 L2 L4 ... L2_n

 _

      ，所以若不論係數的正負而言，M₂_n_₁之 係數為₃

2 4 ... 2_n

L L  L 之 係數。如： ₃

M 之3  係數為₃ L 之₂  係數，故₃ M 之₃  係數為 1，₃ L 之₃  係數為 1。 ₄ M 之5  係數為₃ L₂L₄之 係數，故₃ M 之₅  係數為 1+2=3，₃ L 之₅  係數為 3。 ₄ M 之7  係數為₃ L₂L₄L₆之 係數，故₃ M 之₇  係數為 3+3=6，₃ L 之₇  係₄ 數為 6。

M 之9  係數為₃ L₂L₄L₆L₈之 係數，故₃ M 之₉  係數為 6+4=10，₃ L 之₉  ₄ 係數為 10。

歸納得底下兩個關係式：

2n 1

M _ 之 係數₃    1 2 3 ... n 。又 ₂ ₁ ₂ ₁ ²

1

n n

L M 

    ，所以L₂_n_₁之 係數₄    1 2 3 ... n 。接著又論：

(12)

四率起於第三形底，如上，論心角形各底內四率，既為一、三、六、十等數，

若取各底遞加成界角形各腰，則四率必隨之遞加，一加三得四，四加六得十，

十加十得二十，是為界角第四形下各腰內四率，乘除得底，降為五率，即其 底內五率，亦為一、四、十、二十，如立積之一、四、十、二十等數，由遞 加平積而得也；五率以下可推，此腰底率，所以即遞加數也。²⁴

意即：由關係式六：M₂_n L₁L₃...L₂_n_₁得底下式子之 係數： ₄

4 1 3

M L L ，所以腰率M₄之 係數為 1，由₄ ²

1

n n

L M 

  可知L 之₄  係數為₅ 1。

6 1 3 5

M L L L，所以腰率M₆之 係數為 1+3=4，由₄ ²

1

n n

L M 

  可知L 之₆  ₅ 係數為 4。

8 1 3 5 7

M L L L L，所以腰率M₈之 係數為 4+6=10，由₄ ²

1

n n

L M 

  可知L ₈ 之 係數為 10。 ₅

10 1 3 5 7 9

M  L L L L L ，所以腰率M₁₀之 係數為 10+10=20，由₄

2 1

n n

L M 

  可知L 之₁₀  係數為 20。……₅  以下的係數類推之。 ₅

項名達解釋第 n 形的腰率係數與遞加圖的對應關係，其遞加圖斜右第 n 行之 數字，正好代表第 n 形之腰率係數。綜觀項名達的論述，無異是以關係式三對照 遞加圖。

關係式三：M₁₁,M₂ ₂,

2 1

1 2

2 1

1

,

n n

n

n n

M M n

M

M M n





  



 

  



為奇數

為偶數

由此看出，項名達卷一所討論的遞加圖，稍稍與董祐誠不同，²⁵項名達更進 一步將遞加圖轉變成第 n 形之腰率係數的遞迴關係。不妨從圖 3-1-5 觀之，三 角堆粗黑色斜線畫過的數字，正好是腰率旁邊的係數(捨棄正負號)，所以，項名達由他所設計的遞歸圖形，完成了象與數的對應。接下來他在把遞加圖左線第一

25董祐誠遞加圖顯示兩個遞迴關係：

(1) c_n 2M_n_₁ f_n，也就是c_n 2M_n_₁(₂L_n)，n 3，且n為奇數。

(2) 2d_n 2M_n_₁L_n，n 4，且n為偶數。

(13)

行去除掉，再旋轉90，變形底下另一種遞加圖，圖如下：

圖 3-1-6

圖 3-1-6 的第二行、第四行、第六行等，不再表示第三形、第五形、第七形等心角形之腰率係數，反而代表的是各心角形之腰較率係數。這是因為第 n 形( n 為奇數)之腰較X_n (rM_n)₁M_n，所以去除遞加圖(圖 3-1-4)斜左第一行，

就類似取M 與_n  相減，所以圖 3-1-6 才會表示出各心角形之腰較率係數₁ 。

完成了象與數的對應之後，項名達就可以利用三角堆的公式，由數來論象。

他的｢論遞加數以根求積法｣，即是汪萊的三角堆公式：²⁶

｢論遞加數以根求積法｣

遞加數各積由諸根遞加而得，故求積之乘除皆用根一層數，遞以根層相連兩 數相乘，二除之，得平積一層數，遞以相連三數相乘，二除、三除之得立積 一層數，遞以相連四數相乘，二除、三除、四除之，得三乘積一層數，如是 依次遞乘遞除得多乘各積數。²⁷

26三角堆公式，即是指汪萊《衡齋算學》三角堆求積通法，參考本文，頁 54。

3.1《象數一原》卷一：整分起度弦矢率論

第 3 章 《象數一原》內容分析(上)

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