3-3 三階行列式與克拉瑪（Cramer）公式

解

試求行列式

│

^{32 － 11 1 － 22 － 34}

│

^的值。

│

^{32 － 11 1 － 22 － 34}

│

＝3 × (－ 1) × (－ 3) ＋ 1 × 4 × 1 ＋(－ 2) × 2 × 2

－(－ 2) × (－ 1) × 1 － 3 × 4 × 2 － 1 × 2 × (－ 3)

＝9 ＋ 4 － 8 － 2 － 24 ＋ 6

＝－15

試求行列式

│

^{2 － 135 － 20 － 243}

│

^的值。

將三階行列式 A ＝

│

^aaa112131 ^aaa¹²²²₃₂ ^aaa¹³²³₃₃

│

^中第 i 列及第 j 行的元素刪除，所 得的二階行列式，稱為 A 的二階子行列式，記作A_ij。

例如：A₃₁＝

│

^aa1222 ^aa¹³₂₃

│

^，A23＝

│

^aa1131 ^aa¹²₃₂

│

^{均為 A 的二階子行列式。}

求三階行列式 A 的值，除直接展開計算外，亦可利用 A 的二階子行列式 來計算。

例

題

A ＝ a₁₁a₂₂a₃₃＋a₁₂a₂₃a₃₁＋a₁₃a₂₁a₃₂－a₁₃a₂₂a₃₁－a₁₁a₂₃a₃₂－a₁₂a₂₁a₃₃

＝a₁₁(a₂₂a₃₃－a₂₃a₃₂) － a₁₂(a₂₁a₃₃－a₂₃a₃₁) ＋ a₁₃(a₂₁a₃₂－a₂₂a₃₁)

＝a₁₁

│

^aa2232 ^aa²³₃₃

│

^－a12

│

^aa2131 ^aa²³₃₃

│

^＋a13

│

^aa2131 ^aa²²₃₂

│

＝a₁₁A₁₁－a₁₂A₁₂＋a₁₃A₁₃

上式係利用第 1 列的元素 a₁₁、a₁₂、a₁₃ 及其相對應的二階子行列式 A₁₁、 A₁₂、A₁₃ 來表示，稱為對第 1 列展開。像這種利用二階行列式來求三階行列式 值的方法，我們稱為降階。事實上，行列式 A 可經由對任一列或任一行展開 而求得行列式的值，例如：

A ＝－a₂₁A₂₁＋a₂₂A₂₂－a₂₃A₂₃ （對第 2 列展開）

＝a₃₁A₃₁－a₃₂A₃₂＋a₃₃A₃₃ （對第 3 列展開）

＝a₁₁A₁₁－a₂₁A₂₁＋a₃₁A₃₁ （對第 1 行展開）

＝－a₁₂A₁₂＋a₂₂A₂₂－a₃₂A₃₂ （對第 2 行展開）

＝a₁₃A₁₃－a₂₃A₂₃＋a₃₃A₃₃ （對第 3 行展開）

我們可以看出在上面這些展開式中，正負號的出現有如下圖的規律：

│

^{＋－＋ －＋－ ＋－＋}

│

正號伴隨著 A₁₁、A₁₃、A₂₂、A₃₁、A₃₃ 出現，而負號伴隨著 A₁₂、A₂₁、A₂₃、A₃₂ 出現，即 (－ 1)^{i ＋ j} 伴隨著 A_ij 出現，我們稱 (－ 1)^{i ＋ j} A_ij 為 a_ij 的餘因子。

行列式的降階展開，就是將某一行（列）的元素分別乘以其餘因子，

然後相加所得的和即為行列式的值。

解

將行列式

│

^{32 － 11 1 － 22 － 34}

│

^對第 2 列降階展開，並求其值。

A₂₁＝

│

^{32 － 11 1 － 22 － 34}

│

^＝

^│

^{1 － 22 － 3}

^│

A₂₂＝

│

^{32 － 11 1 － 22 － 34}

│

^＝

^│

^{3 － 21 － 3}

^│

A₂₃＝

│

^{32 － 11 1 － 22 － 34}

│

^＝

^│

^{3 11 2}

^│

│

^{32 － 11 1 － 22 － 34}

│

^{＝－2 ×}

^│

^{1 － 22 － 3}

^│

^{＋ (－ 1) ×}

^│

^{3 － 21 － 3}

^│

－4 ×

│

^{3 11 2}

│

＝ (－ 2) × 1 ＋ (－ 1) × (－ 7) － 4 × 5 ＝－ 15

將行列式

│

^{3 54 2 － 10 3 12}

│

^對第 1 行降階展開，並求其值。

例

題

小考箱

（ ） 行列式

│

^{－2154 008 － 1973}

│

^{＝8 ×}

^│

^{－54 37}

^│

^。

在3-2.1 節中，我們討論過二階行列式的一些基本性質，三階行列式也具 有這些性質。

性 質

行列式中，行的元素與列的元素互換，行列式值不變。

例如：

│

^aaa123 ^bbb¹²₃ ^ccc¹²₃

│

^＝

│

^abc1^{11 ab}c₂^{22 ab}c₃³³

│

^。

【說明】

│

^aaa123 ^bbb¹²₃ ^ccc¹²₃

│

＝a₁

│

^bb2₃ ^cc2₃

│

^－b1

│

^aa2₃ ^cc2₃

│

^＋c1

│

^aa2₃ ^bb2₃

│

^{（對第 1 列降階展開）}

＝a₁

│

^bc2^{2 b}c₃³

│

^－b1

│

^ac2^{2 a}c₃³

│

^＋c1

│

^ab22 ^ab³₃

│

^{（二階行列式中，行的元素與列的元素互換）}

＝

│

^abc1^{11 ab}c₂^{22 ab}c₃³³

│

^。

由性質 可知，行列式中的行與列之角色可互換，行具有的性質可移 轉到列的性質上，而列具有的性質也可移轉到行的性質上。

小考箱

（ ） 性 質

行列式中，兩行（列）的元素對調，行列式值變號。

例如：

│

^aaa123 ^bbb¹²₃ ^ccc¹²₃

│

^＝－

│

^ccc123 ^bbb¹²₃ ^aaa¹²₃

│

^，

（對調）

│

^aaa123 ^bbb¹²₃ ^ccc¹²₃

│

^{（對調）＝－}

│

^aaa132 ^bbb¹³₂ ^ccc¹³₂

│

^。

性 質

行列式中，任一行（列）的元素可提出同一數。

例如：

│

^akaa13^{2 bkb}b¹₃^{2 ckc}c¹₃²

│

^＝k

│

^aaa123 ^bbb¹²₃ ^ccc¹²₃

│

^，

│

^aaa123 ^bbb¹²₃ ^kckckc¹²₃

│

^＝k

│

^aaa123 ^bbb¹²₃ ^ccc¹²₃

│

^。

以上的性質 、性質 可經由三階行列式直接展開而得證。

 行列式

│

^{3a 3b 3c3d 3e 3 f3l 3m 3n}

│

^{＝3 ×}

│

^{adl mbe cnf}

│

^。

解

在性質 中，當 k ＝ 0 時，我們可以推得：

行列式中，有一行（列）的元素均為0 時，行列式的值為 0。

例如：

│

^{a0a13 b0b13 c0c13}

│

^{＝0 ＝}

│

^aaa123 ^bbb¹²₃ ⁰⁰0

│

^。

設

│

^{adl bem cnf}

│

^{＝5，試求}

│

^{2 l2 d2 a 3 m3 e3 b 4 n4 f4 c}

│

^的值。

│

^{2 l2 d2 a 3 m3 e3 b 4 n4 f4 c}

│

^＝2 × 3 × 4 ×

│

^{lda meb ncf}

│

^（對調）

＝24 ×

(

^－

│

^{adl bem cnf}

│ )

＝24 × (－ 5)＝－ 120

設

│

^{apx bqy crz}

│

^{＝3，試求}

│

^{5 b5 q5 y 4 c4 r4 z 2 a2 p2 x}

│

^的值。

例

題

小考箱

（ ） 性 質

在一行列式中，若有兩行（列）的元素相同或成比例，則此行 列式值為0。

例如：

│

^aaa113 ^bbb¹¹₃ ^ccc¹¹₃

│

^＝0，

│

^aaa123 ^bbb¹²₃ ^kakaka¹²₃

│

^＝0。

【說明】

│

^aaa113 ^bbb¹¹₃ ^ccc¹¹₃

│

^{（對調）＝－}

│

^aaa113 ^bbb¹¹₃ ^ccc¹¹₃

│

^，

移項得 2

│

^aaa113 ^bbb¹¹₃ ^ccc¹¹₃

│

^{＝0，所以}

│

^aaa113 ^bbb¹¹₃ ^ccc¹¹₃

│

^＝0。

又

│

^aaa123 ^bbb¹²₃ ^kakaka¹²₃

│

^＝k

│

^aaa123 ^bbb¹²₃ ^aaa¹²₃

│

^{＝k × 0 ＝ 0。}

（相同）

 行列式

│

^{2a p 5a2b q 5b2c r 5c}

│

^{的值為 0。}

性 質

在一行列式中，若有某一行（列）的元素可分成兩行（列）元 素的和，則此行列式可分解成兩個行列式的和。

解

例如：

│

^aaa123 ^bbb¹²₃^＋＋＋^ddd¹²₃ ^ccc¹²₃

│

^＝

│

^aaa123 ^bbb¹²₃ ^ccc¹²₃

│

^＋

│

^aaa123 ^ddd¹²₃ ^ccc¹²₃

│

^。

【說明】

│

^aaa123 ^bbb¹²₃^{＋ d＋ d}＋ d¹²₃ ^ccc¹²₃

│

＝－(b₁＋d₁)

│

^aa2₃ ^cc2₃

│

^{＋ (b2＋d2)}

│

^aa1₃ ^cc1₃

│

－(b₃＋d₃)

│

^aa12 ^cc¹₂

│

^{（對第2 行降階展開）}

＝－b₁

│

^aa23 ^cc²₃

│

^＋b2

│

^aa13 ^cc¹₃

│

^－b3

│

^aa12 ^cc¹₂

│

^－d1

│

^aa23 ^cc²₃

│

＋d₂

│

^aa13 ^cc¹₃

│

^－d3

│

^aa12 ^cc¹₂

│

＝

│

^aaa123 ^bbb¹²₃ ^ccc¹²₃

│

^＋

│

^aaa123 ^ddd¹²₃ ^ccc¹²₃

│

^。

已知

│

^{a ＋ 1b ＋ 2c －121 302}

│

^{＝10，試求}

│

^{abc －121 302}

│

^的值。

因為

│

^{ab＋＋c 12 －121 302}

│

^＝

│

^{abc －121 302}

│

^＋

│

^{120 －121 302}

│

已知

│

^{a ＋ 1b ＋ 2c －121 302}

│

^＝10

例

題

又

│

^{120 －121 302}

│

^＝4 ＋ 0 ＋ (－ 6)－ 0 － 0 － 4 ＝－ 6 故得 10 ＝

│

^{abc －121 302}

│

^{＋(－ 6)}

所以

│

^{abc －121 302}

│

^＝16。

已知

│

^{654 123 abc}

│

^{＝9，試求}

│

^{654 123 a ＋ 1b － 1c}

│

^的值。

性 質

在行列式中，將任一行（列）元素的 k 倍加到另一行（列）的 對應元素上，行列式值不變。

例如：

│

^aaa123 ^bbb¹²₃ ^ccc¹²₃

│

^＝

│

^aaa123 ^bbb¹²₃ ^ccc¹²₃^{＋ ka＋ ka}＋ ka¹²₃

│

^。

× k

解

【說明】

│

^aaa123 ^bbb¹²₃ ^ccc¹²₃^{＋ ka＋ ka}＋ ka¹²₃

│

^＝

│

^aaa123 ^bbb¹²₃ ^ccc¹²₃

│

^＋

│

^aaa123 ^bbb¹²₃ ^kakaka¹²₃

│

（成比例）

＝

│

^aaa123 ^bbb¹²₃ ^ccc¹²₃

│

^{＋0 ＝}

│

^aaa123 ^bbb¹²₃ ^ccc¹²₃

│

^。

試求行列式

│

^{417081 478 －－－203440}

│

^的值。

此行列式若直接展開求值，則計算有些繁瑣，考慮利用性質 ，將 第 2 行元素的 (－ 10) 倍加到第 1 行的對應元素上，同時將第 2 行 元素的 5 倍加到第 3 行的對應元素上，行列式值不變。

│

^{417081 478 －－－203440}

│

^＝

│

^{101 478 001}

│

× －10 × 5

＝－

│

^{1 41 8}

│

^{（對第 3 行降階展開）＝－4。}

試求行列式

│

^{112334 234570 1003265}

│

^的值。

例

題

證

試證

│

^{1aa2 1bb2 1cc2}

│

^＝(a － b) (b － c) (c － a)。

│

^{1aa2 1bb2 1cc2}

│

^＝

│

^{aa － b2－ b0 2 bb － c2－ c0 2 1cc2}

│

× －1 × － 1

＝

│

a^{a － b2}－ b² b^{b － c2}－ c²

│

^{（對第 1 列降階展開）}

＝(a － b) (b － c)

│

^{a ＋ b1 b ＋ c1}

│

（第1 行提出 a － b，第 2 行提出 b － c）

＝(a － b) (b － c) [ (b ＋ c)－(a ＋ b)]

＝(a － b) (b － c) (c － a) 故本題得證。

試利用例題6，求行列式

│

^{2515 3616 4917}

│

^的值。

例

題

解

解方程式

│

^{x － 1x ＋ 2x ＋ 1 x － 1x ＋ 10 x － 1x ＋ 10}

│

^＝0。

因為

│

^{x － 1x ＋ 2x ＋ 1 x － 1x ＋ 10 x － 1x ＋ 10}

│

＝(x － 1) (x ＋ 1)

│

^{x ＋ 211 x ＋ 110 x － 101}

│

（第 1 列提出 x － 1，第 3 列提出 x ＋ 1）

＝(x － 1) (x ＋ 1) [ (x ＋ 1) ＋ (x － 1)－(x ＋ 2)]

＝(x － 1) (x ＋ 1) (x － 2) 所以 x － 1) (x ＋ 1) (x － 2) ＝ 0 故方程式的解為 x ＝ 1，－ 1 或 2。

解方程式

│

^{2 － xx － 20 2x2 x － 22 － x0}

│

^＝0。

3-3.2

三元一次方程組與克拉瑪（ Cramer）公式

設 a、b、c、d 為實數，且 a、b、c 不同時為 0（即 a²＋ b²＋ c²≠0），

則由三個未知數 x、y、z 所成的一次方程式 ax ＋ by ＋ cz ＝ d 稱為 x、y、z 的 三元一次方程式。由兩個或多個三元一次方程式並列而成的方程組，稱為三元 一次方程組。

例

題

解

解

因為 _x＝

│

^ddd123 ^bbb¹²₃ ^ccc¹²₃

│

^＝

│

^aaa123^{x ＋ bx ＋ b}x ＋ b¹²₃^{y ＋ cy ＋ c}y ＋ c¹²₃^zzz ^bbb¹²₃ ^ccc¹²₃

│

＝

│

^aaa123^xxx ^bbb¹²₃ ^ccc¹²₃

│

^＋

│

^bbb123^yyy ^bbb¹²₃ ^ccc¹²₃

│

^＋

│

^ccc123^zzz ^bbb¹²₃ ^ccc¹²₃

│

（成比例） （成比例）

＝x × ＋ 0 ＋ 0，

當 ≠0 時，由 _x＝x × 可得 x ＝ ^x。同理可得 y ＝ ^y ，z ＝ ^z。 我們稱這種公式解為三元一次方程組的克拉瑪公式。

三元一次方程組的公式解（又稱克拉瑪公式）

當 ＝

│

^aaa123 ^bbb¹²₃ ^ccc¹²₃

│

^≠0時：

三元一次方程組

a₁x ＋ b₁y ＋ c₁z ＝ d₁ a₂x ＋ b₂y ＋ c₂z ＝ d₂ a₃x ＋ b₃y ＋ c₃z ＝ d₃

的解為

x ＝ ^x，y ＝ ^y，z ＝ ^z。

其中 _x＝

│

^ddd123 ^bbb¹²₃ ^ccc¹²₃

│

^{， y＝}

│

^aaa123 ^ddd¹²₃ ^ccc¹²₃

│

^{， z＝}

│

^aaa123 ^bbb¹²₃ ^ddd¹²₃

│

^。

解

利用克拉瑪公式解方程組

x ＋ 3 y ＋ 4 z ＝ 14 x ＋ 2 y ＋ 5 z ＝ 11 2 x ＋ y ＋ 2 z ＝ 2

。

＝

│

^{112 321 452}

│

^＝4 ＋ 30 ＋ 4 － 16 － 5 － 6 ＝ 11

x＝

│

^{14112 321 452}

│

^＝56 ＋ 30 ＋ 44 － 16 － 70 － 66 ＝－ 22

y＝

│

^{112 14112 452}

│

^＝22 ＋ 140 ＋ 8 － 88 － 10 － 28 ＝ 44

z＝

│

^{112 321 14112}

│

^＝4 ＋ 66 ＋ 14 － 56 － 11 － 6 ＝ 11 因為 ≠0，故得

x ＝ ^x ＝－22

11 ＝－2，y ＝ ^y ＝ 44

11＝4，z ＝ ^z＝ 11 11＝1 所以方程組的解為 x ＝－ 2，y ＝ 4，z ＝ 1。

利用克拉瑪公式解方程組

x ＋ 3 y ＋ 6 z ＝ 23 2 x ＋ 4 y － z ＝ 5 3 x ＋ y ＋ 4 z ＝ 19

。

例

題

習題 3-3

 試求下列各行列式的值：

│

^{－101 132 －412}

│ │

^{173 －613 642}

│

 試求下列各行列式的值：

│

^{131619 121518 111417}

│ │

^{－1536 －8420 －251}

│

 解下列各方程式：

│

^{x1x2 931 421}

│

^＝0

│

^{x ＋ 222 x ＋ 333 x ＋ 444}

│

^＝0

 已知

│

^{111 abc xyz}

│

^{＝2，試求行列式}

│

^{a － xb － yc － z 555 xyz}

│

^的值。

 設

│

^{adl bem cnf}

│

^＝4，

│

^{apl bqm crn}

│

^＝5，

試求

│

^{d ＋ 3 p2 la e ＋ 3 q2 mb f ＋ 3 r2 nc}

│

^的值。

 利用克拉瑪公式解方程組

2 x ＋ 3 y ＋ 4 z ＝ 1 x － 2 y － 2 z ＝ 5 x － y ＋ 3 z ＝－ 4

。

3-1 重點

 設 a、b、c 為實數，且 a ≠ 0，則 ax²＋bx ＋ c ＝ 0 稱為一元二次方程 式。

 方程式 ax²＋bx ＋ c ＝ 0（a、b、c 為實數且 a ≠ 0）的公式解為 x ＝－ b  b²－4 ac

2 a 。

 二次方程式根的判別：

關於方程式 ax²＋bx ＋ c ＝ 0（a、b、c 為實數且 a ≠ 0）

判別式 b²－ 4 ac ＞ 0 方程式有相異二實數根

方程式無實數解 判別式 b²－ 4 ac ＜ 0

判別式 b²－ 4 ac ＝ 0 方程式有相等二實數根

 二次方程式根與係數關係：

設 、 為二次方程式 ax²＋bx ＋ c ＝ 0 的二根，則

＋ ＝－ b

a， ＝ c a。

 一元高次方程式的解法：

利用公式或一次因式檢驗法將方程式因式分解，再求根。

 一元高次方程式的各項係數和為 0，必有一根為 1。

3-2 重點

 二階行列式：

│

^{ac bd}

│

^{＝ad － bc。}

 二元一次方程組的解：

對二元一次方程組 a₁x ＋ b₁y ＝ c₁ a₂x ＋ b₂y ＝ c₂

，

設 L₁ 為直線 a₁x ＋ b₁y ＝ c₁，L₂ 為直線 a₂x ＋ b₂y ＝ c₂， 令 ＝

│

^aa12 ^bb¹₂

│

^{， x＝}

│

^cc12 ^bb¹₂

│

^{， y＝}

│

^aa12 ^cc¹₂

│

^。

≠ 0

恰有一組解 x ＝ ^x，y ＝ ^y

相容方程組

L₁ 與 L₂ 相交於一點

無解 矛盾方程組

L₁ 與 L₂ 互相平行

＝ 0，但 _x、 _y 不全為 0

＝ _x＝ _y＝ 0 無限多組解 相依方程組

L₁與 L₂重合為一直線

3-3 重點

 三階行列式：

│

^aaa112131 ^aaa¹²²²₃₂ ^aaa¹³²³₃₃

│

^{＝a11a22a33＋a12a23a31＋a13a21a32－a13a22a31}

－a₁₁a₂₃a₃₂－a₁₂a₂₁a₃₃。

 子行列式：

A_ij 為 A ＝

│

^aaa112131 ^aaa¹²²²₃₂ ^aaa¹³²³₃₃

│

^{中，刪除第} i 列及第 j 行的元素，

所得 A 的二階子行列式。

例：A₃₁＝

│

^aa1222 ^aa¹³₂₃

│

^，A23＝

│

^aa1131 ^aa¹²₃₂

│

^。

 行列式可對任一行（列）做降階展開。

例：A ＝

a₁₁ a₁₂ a₁₃ a₂₁ a₂₂ a₂₃ a₃₁ a₃₂ a₃₃

＝－ a₂₁A₂₁＋a₂₂A₂₂－a₂₃A₂₃。

（對第 2 列降階展開）

降階展開，正、負號規律如下：

＋ － ＋

－ ＋ －

＋ － ＋

 行列式基本性質：

在一行列式中，將行的元素與列的元素互換，行列式值不變。

在一行列式中，將兩行（列）的元素對調，行列式值變號。

在一行列式中，任一行（列）的元素可提出同一數。

在一行列式中，若兩行（列）的元素相同或成比例，則行列式值 為 0。

在一行列式中，若某一行（列）的元素可分成兩行（列）元素的 和，則此行列式可分解成兩個行列式的和。

在一行列式中，將任一行（列）元素的 k 倍加到另一行（列）的 對應元素上，行列式值不變。

《註》在一行列式中，若有一行（列）的元素均為 0 時，此行列式值 為 0。

 三元一次方程組的解：

對三元一次方程組

a₁x ＋ b₁y ＋ c₁z ＝ d₁ a₂x ＋ b₂y ＋ c₂z ＝ d₂ a₃x ＋ b₃y ＋ c₃z ＝ d₃

設 ＝

a₁ b₁ c₁ a₂ b₂ c₂ a₃ b₃ c₃

，

x＝

d₁ b₁ c₁ d₂ b₂ c₂ d₃ b₃ c₃

， _y＝

a₁ d₁ c₁ a₂ d₂ c₂ a₃ d₃ c₃

， _z＝

a₁ b₁ d₁ a₂ b₂ d₂ a₃ b₃ d₃

。

當 ≠0 時：方程組之解為 x ＝ ^x，y ＝ ^y，z ＝ ^z。

（ ）

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在文檔中 第3章(方程式) (頁 26-51)