第3章(方程式)

第

3

章

（Leibniz）就研究過有關 n 元一次方程組之公式解的問題，這問題的答案後來 出現在瑞士數學家克拉瑪（Cramer）的著作中，從此行列式的理論應運而生， 至今仍是研究的課題。 在國中時，我們學過用加減消去法解二元一次方程組，但隨著科學的進 步，要解多個未知數的一次方程組，若用加減消去法，可能無法迅速求得其解， 此時用行列式，再輔以電腦，便可立刻求得答案。在此，我們將介紹二階、三 階行列式，並分別應用於解二元一次方程組及三元一次方程組。

小考箱

（ ）

3-1

多 項 方 程 式

在日常生活中，有些問題用算術方法就可以解決，但有些問題用算術方法 就不易處理，必須用代數方法，所謂代數方法就是引入符號來代表所欲求的 數，再依題意及已知條件列出等式關係。這時所引用的符號，稱為未知數；而 含有未知數的等式，稱為方程式。於是，我們把所要解決的問題轉化成方程 式，而方程式的解（或稱方程式的根）正是問題的答案。在此我們先針對國中 時所學過的一元二次方程式加以複習，進而討論一元高次方程式的解法。  方程式 ax ＋ b ＝ 0，當 a≠0 時，稱為一次方程式，其解為 x ＝－ b a。 3-1.1

一元二次方程式

設 a、b、c 為實數且 a ≠ 0，凡可以寫成 ax2＋bx ＋ c ＝ 0 的式子，稱為一 元二次方程式。 現在我們利用配方法，來導出一元二次方程式的公式解。 給予方程式 ax2_{＋bx ＋ c ＝ 0，其中 a、b、c 為實數，a ≠ 0。} 將方程式兩邊同除以 a 得 x2＋ b ax ＋ ca＝0 x 2_{＋ b} ax ＝－ ca。 將上式左邊配方得 x2＋2 × x ×

(

_{2 a}b

)

＋

(

_{2 a}b

)

2 ＝－ c a ＋

(

b 2 a

)

2

(

x ＋ b_{2 a}

)

2 ＝b 2 －4 ac 4 a2 。

解 當 b2－4 ac  0 時：將上式兩邊開平方得 x ＋ b_{2 a}＝ b 2 －4 ac 2 a x ＝－ b2 a b2－4 ac 2 a ， 即方程式的解為 x ＝－ b  b 2 －4 ac 2 a 。 從上面導出一元二次方程式公式解的過程中，我們發現方程式根（即方程 式的解）的性質與 b2－ 4 ac 這個數值有關。由 b2－ 4 ac 為正、零或負，可以 判定方程式根的性質如下： 當 b2－4 ac ＞ 0 時： 方程式有相異二實數根，二根為 － b ＋ b 2 －4 ac 2 a 及 － b － b2－4 ac 2 a 。 當 b2－4 ac ＝ 0 時： 方程式有相等二實數根，二根均為 － b 2 a。 當 b2－4 ac ＜ 0 時： b2－4 ac 不為實數，所以方程式無實數解（事實上，其解為二共軛虛數 根，但在此我們不討論虛數）。 因此，我們稱 b2－4 ac 為一元二次方程式根的判別式。一般來說，解一元 二次方程式常用十字交乘先因式分解，若無法分解，則直接代公式來求根。 試求下列各方程式的解： 8 x2_{－2 x － 3 ＝ 0 4 x}2_{－20 x ＋ 25 ＝ 0} 2 x2＋10 x ＋ 11 ＝ 0 利用十字交乘 原方程式可分解為 4 x － 3 2 x ＋ 1 ＝ 0 故得4 x － 3 ＝ 0 或 2 x ＋ 1 ＝ 0 所以 _{x ＝ 34 或－}1₂。

例

題

解 利用乘法公式 原方程式可寫成 2 x 2－2 × 2 x × 5 ＋ 52＝0 亦即 2 x － 5 2＝0 所以方程式二根均為 5₂。 利用公式解 因為 2 x2＋10 x ＋ 11 無法十字交乘分解，所以利用公式求解 由a ＝ 2，b ＝ 10，c ＝ 11，代入公式得 x ＝－ b  b 2 －4 ac 2 a ＝ －10  102－4 × 2 × 11 2 × 2 ＝－10  2 3 4 ＝ －5  3 2 所以方程式二根為－5 ＋ 3 2 、－5 － 32 。 試求下列各方程式的解： 5 x2－14 x － 3 ＝ 0 3 x2＋4 x ＋ 1 ＝ 0 2 x2_{－3 x － 1 ＝ 0} 試判別下列各方程式根的性質： 4 x2＋3 x － 2 ＝ 0 3 x2－4 x ＋ 5 ＝ 0 9 x2_{－12 x ＋ 4 ＝ 0} 因為 a ＝ 4，b ＝ 3，c ＝－ 2 b2－4 ac ＝ 32－4 × 4 × － 2 ＝ 41 ＞ 0 所以二根為相異實數根。

例

題

解 因為 a ＝ 3，b ＝－ 4，c ＝ 5 b2－4 ac ＝ － 4 2－4 × 3 × 5 ＝－ 44 ＜ 0 所以方程式無實數解。 因為 a ＝ 9，b ＝－ 12，c ＝ 4 b2－4 ac ＝ － 12 2－4 × 9 × 4 ＝ 0 所以二根為相等實數根。 試判別下列各方程式根的性質： 5 x2－8 x ＋ 4 ＝ 0 3 x2＋x － 2 ＝ 0 25 x2－30 x ＋ 9 ＝ 0 k 為實數，若方程式 x2_{＋2 k＋ 2 x＋ 9 k＝ 0 有相等實數根，試求 k 值。} 方程式有相等實數根 判別式＝ 0 即 2 k ＋ 2 2－4 × 1 × 9 k ＝ 0 4 k ＋ 2 2－36 k ＝ 0 k ＋ 2 2－9 k ＝ 0 k2－5 k ＋ 4 ＝ 0 k － 1 k － 4 ＝ 0 所以 k ＝ 1 或 4。 k 為實數，若方程式 k ＋ 1 x2－kx － 1 ＝ 0 有相等實數根，試求 k 值。

例

題

小考箱

（ ） 解 設二次方程式 ax2_{＋bx ＋ c ＝ 0 的兩根為 、 ，則} ax2_{＋bx ＋ c ＝ a}

(

_x2_{＋ b} ax ＋ ca

)

＝a x － x － ＝a x2－ ＋ x ＋ ＝ax2－a ＋ x ＋ a ， 所以 －a ＋ ＝b 且 a ＝ c， 即 ＋ ＝－ b a， ＝ ca。 我們稱此為一元二次方程式根與係數的關係。 利用根的公式，亦可直接導出根與係數的關係： 設 ＝－ b ＋ b 2 －4 ac 2 a ， ＝ － b － b2－4 ac 2 a ， 則 ＋ ＝－ b ＋ b 2 －4 ac 2 a ＋ － b － b2－4 ac 2 a ＝ －2 b 2 a ＝－ ba， ＝－ b ＋ b 2 －4 ac 2 a × － b － b2－4 ac 2 a ＝ － b 2－

(

b2－ 4 ac

)

2 4 a2 ＝ b2－ b2－4 ac 4 a2 ＝ ca。  設 a、b、c 為實數且 ac ＜ 0，則二次方程式 ax2_{＋bx ＋ c ＝ 0} 的兩根必同時為正根或同時為負根。 設 、 為 2 x2－7 x ＋ 1 ＝ 0 的兩根，試求下列各值： 1 _{＋ 1} 2_＋ 2 由根與係數關係知： ＋ ＝－－7 2 ＝ 72 ， ＝12

例

題

解 1 _{＋ 1 ＝} ＋ ＝ 7 2 1 2 ＝7 2_＋ 2_{＝ ＋} 2_{－ 2 ＝}

(

7 2

)

2 －_{2 × 12 ＝}45 4 設 、 為 x2＋3 x － 2 ＝ 0 的兩根，試求下列各值： 2_＋ 2 _＋ － 2 《提示》 － 2＝ ＋ 2－4 設方程式 x2－6 x ＋ k ＝ 0 的一根較另一根大 2，試求 k 值。 設方程式一根為 ，另一根為 ＋2 則由根與係數的關係得知： 兩根之和： ＋ ＋2 ＝ 6…… 兩根之積： ＋2 ＝ k ……… 由 得 2 ＝ 4 ＝2 ＝2 代入 得 2 2 ＋ 2 ＝ k 故得 k ＝ 8。 已知方程式 4 x2－8 x ＋ k ＝ 0 的一根為另一根的 3 倍，試求 k 值。 3-1.2

一元高次方程式

一元三次或三次以上的方程式，都稱為一元高次方程式。一般高次方程式 的解法較為繁雜，本節僅就可分解為一次、二次因式的方程式解法加以討論， 茲以實例闡述如下。

例

題

解 解 解方程式 x2_{＋5 x} 2_{－2 x}2_{＋5x －24 ＝ 0。} 令 y ＝ x2＋5 x，則原方程式可寫成 y2－2y－24 ＝ 0 y － 6 y ＋ 4 ＝ 0 y ＝ 6 或 y ＝－ 4 當 y ＝ 6 時： x2＋5 x ＝ 6 x2＋5 x － 6 ＝ 0 x － 1 x ＋ 6 ＝ 0 即 x ＝ 1 或－ 6 當 y ＝－ 4 時： x2＋5 x ＝－ 4 x2＋5 x ＋ 4 ＝ 0 x ＋ 1 x ＋ 4 ＝ 0 即 x ＝－ 1 或－ 4 所以方程式的解為 x ＝ 1、－ 6、－ 1、－ 4。 解方程式 x2_－1 2_{－6 x}2_{－1 ＋ 8 ＝ 0。} 解方程式 2 x3_－x2_{－8 x ＋ 4 ＝ 0。} 原式 2 x3－x2 － 8 x － 4 ＝ 0 x2 2 x － 1 －4 2 x － 1 ＝0 2 x － 1 x2_{－4 ＝0} 2 x － 1 x － 2 x ＋ 2 ＝ 0 所以方程式的解為 _{x ＝ 12 、2、－ 2。} 解方程式 x4－29 x2＋100 ＝ 0。《提示》原式 x2 2－29 x2 ＋100 ＝ 0

例

題

例

題

解 解方程式 x － 2 x － 3 x － 4 x － 5 － 120 ＝ 0。 原式 x － 2 x － 5 x － 3 x － 4 － 120 ＝ 0 x2－7 x ＋ 10 x2－7 x ＋ 12 － 120 ＝ 0 令 y ＝ x2－7 x，則方程式可寫成 y ＋ 10 y ＋ 12 － 120 ＝ 0 y2＋22 y ＋ 120 － 120 ＝ 0 y y ＋ 22 ＝ 0 y ＝ 0 或 y ＝－ 22 當 y ＝ 0 時： x2－7 x ＝ 0 x x － 7 ＝ 0 即 x ＝ 0 或 7 當 y ＝－ 22 時： x2－7 x ＝－ 22 x2－7 x ＋ 22 ＝ 0 由於此方程式之判別式 －7 2－4 × 1 × 22 ＝－ 39 ＜ 0 此方程式無實數解 所以此題方程式的實數解為 x ＝ 0 或 7。 解方程式 x x ＋ 2 x ＋ 4 x ＋ 6 ＋ 15 ＝ 0。

例

題

解 解方程式 3 x3－8 x2＋3 x ＋ 2 ＝ 0。 利用一次因式檢驗法先將多項式 3 x3－8 x2＋3 x ＋ 2 作因式分解： 設 ax － b 為 3 x3－8 x2＋3 x ＋ 2 的整係數一次因式 則 a 為 3 的因數且 b 為 2 的因數 即 a ＝ 1、3，b ＝ 1、 2 因此，ax － b 的可能組合為 x ＋ 1，x － 1，x ＋ 2，x － 2，3 x ＋ 1，3 x － 1，3 x ＋ 2，3 x － 2 3 － 8 ＋ 3 ＋ 2 ＋3 － 5 － 2 3 － 5 － 2 0 1 由綜合除法得 3 x3－8 x2＋3 x ＋ 2 ＝ x － 1 3 x2－5 x － 2 又由十字交乘分解法得 3 x2－5 x － 2 ＝ x － 2 3 x ＋ 1 所以原方程式可化成 x － 1 x － 2 3 x ＋ 1 ＝ 0 因此方程式的解為 _{x ＝ 1、2、－ 13 。} 在此題中，令 f x ＝ 3 x3－8 x2＋3 x ＋ 2，則 f 1 ＝ 3 － 8 ＋ 3 ＋ 2 ＝ 0（即各項係數的和）。 因為 f 1 ＝ 0，由因式定理知：f x 必有 x － 1 的因式。 一般而言： 如果一個一元高次多項方程式的各項係數和為 0，則此多項方 程式必有一根為1。 解方程式 2x3_＋7x2_{＋2x － 3 ＝ 0。}

例

題

習題

_3-1

 解下列各一元二次方程式： 10 x2－29 x ＋ 21 ＝ 0 3 x2_{＋x － 52 ＝ 0} 2 x2－3 x － 6 ＝ 0 2 x － 3 2－ x － 3 － 6 ＝ 0  試判別下列各方程式根的性質： 3 x2－4 x ＋ 8 ＝ 0 5 x2＋10 x ＋ 3 ＝ 0 9 x2_{－6 x ＋ 1 ＝ 0} 2 x2－5 x － 8 ＝ 0  k 為實數，若方程式 x2－ k － 3 x ＋ k ＝ 0 的二根相等，試求 k 值。  設 、 為2 x2＋6 x － 3 ＝ 0 的二根，試求下列各式的值： 1 _{＋ 1} 2_＋ 2  解方程式 x2－2 x 2－11 x2－2 x ＋ 24 ＝ 0。  解方程式 x ＋ 1 x ＋ 3 x ＋ 4 x ＋ 6 ＋ 8 ＝ 0。  解方程式 x4－13 x2＋36 ＝ 0。  解方程式 x3＋x2－10 x ＋ 8 ＝ 0。 《提示》方程式的各項係數和為0，必有 x ＝ 1 的根。

3-2

二元一次聯立方程式與二階行列式

在國中時，我們曾經學過利用加減消去法解二元一次聯立方程式。在此節 中，我們除了複習如何以加減消去法來解方程組外，還要介紹另一種方法，就 是利用行列式來解方程組。 3-2.1

二階行列式

首先，我們定義二階行列式如下：

二階行列式

形如

│

a b c d

│

的式子，稱為二階行列式，其值規定為 ad － bc，即

│

a b c d

│

＝ad － bc。 A ＝

│

a b c d

│

……第1 列 ……第2 列 …… 第 行1 …… 第 行2 求下列各行列式的值：

│

1 3 2 4

│

│

7 － 2 5 1

│

例

題

解

│

1 3 2 4

│

＝1 × 4 － 3 × 2 ＝－ 2

│

7 － 2 5 1

│

＝7 × 1 － － 2 × 5 ＝ 17 求下列各行列式的值：

│

2 3 5 7

│

│

0 － 2 3 1

│

由二階行列式的定義直接驗證，我們可得下列的一些基本性質：

性

質

行列式中，行的元素與列的元素互換，行列式值不變。 例如：

│

a b c d

│

＝ad － bc ＝

│

a c b d

│

。

性

質

行列式中，兩行（列）的元素對調，行列式值變號。 例如：

│

a b c d

│

＝－

│

b a d c

│

，

│

a b c d

│

＝－

│

c d a b

│

。

性

質

行列式中，任一行（列）的元素可以提出同一數。 例如：

│

ka b kc d

│

＝k

│

a b c d

│

，

│

a b kc kd

│

＝k

│

a b c d

│

。

小考箱

（ ）

性

質

行列式中，兩行（列）的元素相同或成比例，行列式值為 0。 例如：

│

a b a b

│

＝0，

│

a kb a kb

│

＝0，

│

ka kb a b

│

＝0。

性

質

行列式中，某一行（列）的元素可分成兩行（列）元素的和， 則行列式可分解成兩個行列式的和。 例如：

│

a＋e b c＋ f d

│

＝

│

a b c d

│

＋

│

e b f d

│

，

│

a b c＋e d＋ f

│

＝

│

a b c d

│

＋

│

a b e f

│

。  設 a、b 為實數，則

│

1 a ＋ 3 2 b ＋ 4

│

＝

│

1 a 2 b

│

＋

│

1 3 2 4

│

。

性

質

行列式中，任一行（列）元素的 k 倍加到另一行（列）的對應 元素上，行列式值不變。 例如：

│

a b c d

│

＝

│

a b＋ ka c d＋ kc

│

， × k

│

a b c d

│

× k ＝

│

a＋ kc b＋ kd c d

│

。

解 解 已知

│

a 2 b 5

│

＝3，試求

│

a ＋ 1 2 b － 2 5

│

的值。 因為

│

a＋1 2 b－2 5

│

＝

│

a 2 b 5

│

＋

│

1 2 －2 5

│

＝3 ＋ 5 － － 4 ＝ 12 所以

│

a ＋ 1 2 b － 2 5

│

的值為 12。 已知

│

a ＋ 2 4 b ＋ 3 5

│

＝8，試求

│

a 4 b 5

│

的值。 試求下列各行列式的值：

│

43 － 86 20 30

│

│

999 997 998 996

│

│

43 － 86 20 30

│

＝43 × 10 ×

│

1 － 2 2 3

│

（第 1 列提出 43，第 2 列提出 10） ＝43 × 10 × 1 × 3 － － 2 × 2 ＝3010

│

999 997 998 996

│

× －1 （第 2 列乘以 － 1 ，加到第 1 列） ＝

│

1 1 998 996

│

＝1 × 996 － 1 × 998 ＝－2

例

題

例

題

解 試求下列各行列式的值：

│

154 11 28 3

│

│

193 96 94 47

│

試求下列各式中的 x 值：

│

4 3 x － 2 x ＋ 1

│

＝13

│

x ＋ 1 －5 2 x － 3

│

＝7 因為

│

4 3 x － 2 x ＋ 1

│

＝13 故得 4 x ＋ 1 －3 x － 2 ＝ 13 即 4x ＋ 4 － 3x ＋ 6 ＝ 13 所以 x ＝ 3。 因為

│

x ＋ 1 －5 2 x － 3

│

＝7 故得 x ＋ 1 x － 3 － － 5 × 2 ＝ 7 整理得 x2－2x ＝ 0，即 x x － 2 ＝ 0 所以 x ＝ 0 或 2。 試求下列各式中的 x 值：

│

3 7 － x 2 x

│

＝6

│

2 1 － x x ＋ 3 2

│

＝9

例

題

解 3-2.2

二元一次聯立方程式與克拉瑪（

Cramer）公式

設 a、b、c 為實數，且 a、b 不同時為 0（即 a2＋b2≠0），則由兩個未知 數 x、y 所成的一次方程式 ax ＋ by ＝ c 稱為 x、y 的二元一次方程式。由兩個 或多個 x、y 的二元一次方程式並列而成的方程組，稱為二元一次聯立方程式 或二元一次方程組。 例如： 2 x ＋ 3 y ＝－ 1 4 x － 5 y ＝ 1 ， x ＋ 2 y ＝ 1 －2 x ＋ 3 y ＝ 12 3 x － 2 y ＝－ 13 均為二元一次方程組。 所謂加減消去法，就是將兩個方程式分別乘以適當的數，以便在將兩式相 加或相減後，消去其中一個未知數的方法。 解方程組 2 x ＋ 3 y ＝ 7…… 5 x － 4 y ＝ 6…… 由 ×4 得 8 x ＋ 12 y ＝ 28…… 由 ×3 得 15x － 12 y ＝ 18…… 由 ＋ 得23 x ＝ 46 x ＝ 2 將 x ＝ 2 代入 得 4 ＋ 3 y ＝ 7 y ＝ 1 所以方程組的解為 x ＝ 2，y ＝ 1。 解方程組 3 x － 5 y ＝－ 3 4 x ＋ 3 y ＝ 25 。

例

題

解 解方程組 1 x ＋ 3y ＝2 2 x － 4y ＝14 。 設 1 x ＝ A， 1 y＝ B，則原方程組可寫成 A ＋ 3 B ＝ 2 ……… 2 A － 4 B ＝ 14…… 由 ×2 － 得 10 B ＝－ 10 B ＝－ 1 將 B ＝－ 1 代入 得 A － 3 ＝ 2 A ＝ 5 故得 1 x ＝5， 1y ＝－1 x ＝ 15 ，y ＝－ 1 所以方程組的解為 _{x ＝ 15 ，y ＝－ 1。} 解方程組 2 x － 1－ 1 y － 2＝7 1 x － 1＋ 4 y － 2＝－10 。 考慮二元一次方程組 a₁x ＋ b₁y ＝ c₁…… a₂x ＋ b₂y ＝ c₂…… 由 ×b₂－ ×b₁ 得 a₁b₂－a₂b₁ x ＝ c₁b₂－c₂b₁， 由 ×a₁－ ×a₂ 得 a₁b₂－a₂b₁ y ＝ a₁c₂－a₂c₁， 當 a₁b₂－a₂b₁≠0 時：方程組的公式解為 x ＝c1b2－ c2b1 a₁b₂－ a₂b₁，y ＝ a₁c₂－ a₂c₁ a₁b₂－ a₂b₁。

例

題

為了簡化公式解的表示方法，我們可以將二元一次方程組的公式解用行列 式表示為 x ＝

│

c₁ b₁ c₂ b₂

│

│

a₁ b₁ a₂ b₂

│

，y ＝

│

a₁ c₁ a₂ c₂

│

│

a₁ b₁ a₂ b₂

│

。 事實上，解二元一次方程組 a1x ＋ b1y ＝ c1 a₂x ＋ b₂y ＝ c₂ 就是求直線 a1x ＋ b1y ＝ c1 與 a₂x ＋ b₂y ＝ c₂ 的交點坐標，當方程組恰有一組解時，其幾何意義就是兩直 線相交於一點。

二元一次方程組的公式解（又稱克拉瑪公式）

設 ＝

│

a1 b1 a₂ b₂

│

， x＝

│

c₁ b₁ c₂ b₂

│

， y＝

│

a₁ c₁ a₂ c₂

│

。 當 ≠0 時，二元一次方程組 a1x ＋b1y ＝c1 a₂x ＋b₂y ＝c₂ 的解為 x ＝ x_{，y ＝} y_。 此時方程組恰有一組解，稱為相容方程組，表示兩直線相交於一點。 ＝

│

a1 b1 a₂ b₂

│

相當於方程組 a₁x ＋b₁y ＝c₁ a₂x ＋b₂y ＝c₂ 中 x、y 的係數所成的 行列式，而 _x＝

│

c1 b1 c₂ b₂

│

相當於 中第 1 行的元素 a1、a2 換成 c₁、c₂； _y＝

│

a1 c1 a₂ c₂

│

相當於 中第2 行的元素 b1、b2換成c1、c2。

解 利用克拉瑪公式解方程組 3x－4y ＝5 6x＋7y ＝8。 係數行列式 ＝

│

3 －4 6 7

│

＝3 × 7 － － 4 × 6 ＝ 45 又 _x＝

│

5 －4 8 7

│

＝5 × 7 － － 4 × 8 ＝ 67 y＝

│

3 5 6 8

│

＝3 × 8 － 5 × 6 ＝－ 6 即 x ＝ x _{＝ 67} 45，y ＝ y ＝ －6 45 ＝－ 215 故方程組的解為 x ＝ 67₄₅，y ＝－ 2₁₅。 利用克拉瑪公式解方程組 5 x － 9 y ＝ 1 4 x ＋ 7 y ＝ 2。 在二元一次方程組 a1x ＋ b1y ＝ c1 a₂x ＋ b₂y ＝ c₂ 的公式解中，我們限制 ＝

│

a₁ b₁ a₂ b₂

│

≠0 時，x 的解為 x_{，y 的解為} y 。如果 ＝0 時，方程組到底有沒有解呢？ 考慮方程組 2 x ＋ y ＝ 5……… 4 x ＋ 2 y ＝ 10…… 此時， ＝

│

2 1 4 2

│

＝0， x＝

│

5 1 10 2

│

＝0， y＝

│

2 5 4 10

│

＝0， 利用加減消去法，由 ×2 － 得 0 ＝ 0， 為一恆等式，表示 式的解與 式的解完全相同。

例

題

2 x ＋ y ＝ 5 與 4 x ＋ 2 y ＝ 10 表同一直線，其幾何意義就是兩直線重合，因此 它們所形成的方程組有無限多組解，令 x ＝ t（t 為任意實數）代入 得 y ＝ 5 －2 t，所以方程組的解為 x ＝ t y ＝ 5 － 2 t （t 為任意實數）。 再考慮方程組 3 x ＋ 4 y ＝ 8 …… 9 x ＋ 12 y ＝ 5…… 此時， ＝

│

3 4 9 12

│

＝0， x＝

│

8 4 5 12

│

＝76 ≠ 0， y＝

│

3 8 9 5

│

＝－57 ≠ 0， 利用加減消去法，由 ×3 － 得 0 ＝ 19， 此為不合理等式，表示沒有任何實數 x 與 y 能使 式與 式同時成立。 其幾何意義就是 3 x ＋ 4 y ＝ 8 與 9 x ＋ 12 y ＝ 5 所代表的兩直線平行，沒有交 點，所以方程組無解。 綜合上面的討論，得到以下的結論：

公

式

二元一次方程組 a1x ＋ b1y ＝ c1 a₂x ＋ b₂y ＝ c₂ 設 ＝

│

a1 b1 a₂ b₂

│

， x＝

│

c₁ b₁ c₂ b₂

│

， y＝

│

a₁ c₁ a₂ c₂

│

當 ＝ _x＝ _y＝0 時： 方程組有無限多組解，稱為相依方程組，表示兩直線重合。 當 ＝0，但 _x、 _y 不全為 0 時： 方程組無解，稱為矛盾方程組，表示兩直線互相平行。

小考箱

（ ） 解  利用克拉瑪公式解方程組 a1x ＋ b1y ＝ c1 a₂x ＋ b₂y ＝ c₂，當 ＝

│

a₁ b₁ a₂ b₂

│

≠0 時，方程組無解。 解方程組 x － 2 5 y＝ 45 －5 x ＋ 2 y ＝－ 4 。 係數行列式 ＝

│

1 － 25 －5 2

│

＝1 × 2 －

(

_{－ 25}

)

× －5 ＝ 0 又 _x＝

│

4 5 － 25 －4 2

│

＝ 45 ×2 －

(

－ 25

)

× －4 ＝ 0 y＝

│

1 4₅ －5 － 4

│

＝_{1 × － 4 － 45 × － 5 ＝ 0} 因為 ＝ _x＝ _y＝0，所以方程組有無限多組解 令 x ＝ t（t 為任意實數）代入－ 5 x ＋ 2 y ＝－ 4 －5 t ＋ 2 y ＝－ 4，即 y ＝5 t－₂ 4 故方程組的解為 x ＝ t y ＝5 t － 4₂ （t 為任意實數） 解方程組 3 2 x－ y ＝ 6 2 x － 43 y ＝ 8 。

例

題

解 解方程組 x － 3_{2 y}＝6 － 43 x ＋ 2 y ＝ 0 。 ＝

│

1 － 32 － 4 3 2

│

＝1 × 2 －

(

－ 3₂

)

×

(

_{－ 43}

)

＝0 x＝

│

6 － 32 0 2

│

＝6 × 2 －

(

－ 3 2

)

×0 ＝ 12 y＝

│

1 6 － 4 3 0

│

＝1 × 0 － 6 ×

(

_{－ 43}

)

＝8 因為 ＝0，但 _x、 _y 不為 0 所以方程組無解。 解方程組 3 4 x＋2 y ＝ 1 2 x ＋ 16_{3 y}＝－2 。

例

題

習題

_3-2

 試求下列各行列式的值：

│

7 9 －8 10

│

│

2 a ＋ 1 a － 2 4 2

│

 試求下列各行列式的值：

│

4 90 63 1260

│

│

299 130 99 43

│

 解下列各方程式：

│

x － 2 3 x x ＋ 1

│

＝3

│

3 －2 x x ＋ 2 x － 1

│

＝1  已知

│

a 5 b －7

│

＝10，試求

│

a － 2 5 b ＋ 3 －7

│

的值。  利用加減消去法解下列各方程組： 2 x ＋ 3 y ＝ 12 3 x － 4 y ＝ 1 3 x － 2y ＝12 5 x ＋ 1y ＝7  若方程組 x － y ＝ 1 ax ＋ y ＝ 5 與 2 x ＋ y ＝ 5 2 x － by ＝ 7 有相同的解，試求 a、b 的值。  利用克拉瑪公式解下列各方程組： 2 x － y ＝ 7 x ＋ 4 y ＝－ 10 3 x － 4 y ＝ 0 － 9 2 x＋6 y ＝ 2  已知方程組 ax ＋ y ＝－ 2 2 x － 3 y ＝ b 有無限多組解，試求 a、b 的值。

3-3

三階行列式與克拉瑪（Cramer）公式

3-3.1

三階行列式

形如 A ＝

│

a₁₁ a₁₂ a₁₃ a₂₁ a₂₂ a₂₃ a₃₁ a₃₂ a₃₃

│

的式子，稱為三階行列式，其中 a₁₁、a₁₂、

a₁₃ 為 A 的第 1 列元素，a₂₁、a₂₂、a₂₃ 為 A 的第 2 列元素，a₃₁、a₃₂、a₃₃ 為 A 的第 3 列元素，又 a₁₁、a₂₁、a₃₁ 為 A 的第 1 行元素，a₁₂、a₂₂、a₃₂ 為 A 的 第 2 行元素，a₁₃、a₂₃、a₃₃ 為 A 的第 3 行元素，而 a_ij（i ＝ 1, 2, 3；j ＝ 1, 2, 3） 為 A 的第 i 列第 j 行元素。 三階行列式 A 的值規定為

定

義

│

a₁₁ a₁₂ a₁₃ a₂₁ a₂₂ a₂₃ a₃₁ a₃₂ a₃₃

│

＝a₁₁a₂₂a₃₃＋a₁₂a₂₃a₃₁＋a₁₃a₂₁a₃₂－a₁₃a₂₂a₃₁ －a₁₁a₂₃a₃₂－a₁₂a₂₁a₃₃ 為方便記憶，我們將三階行列式的展開圖示如下： a₁₁a₂₂a₃₃＋a₁₂a₂₃a₃₁＋a₁₃a₂₁a₃₂ －a₁₃a₂₂a₃₁－a₁₁a₂₃a₃₂－a₁₂a₂₁a₃₃ a₁₂ a₁₁ a₁₃ a₁₂ a₁₁ a₂₂ a₂₁ a₂₃ a₂₂ a₂₁ a₃₂ a₃₁ a₃₃ a₃₂ a₃₁

解 試求行列式

│

3 1 － 2 2 － 1 4 1 2 － 3

│

的值。

│

3 1 － 2 2 － 1 4 1 2 － 3

│

＝3 × (－ 1) × (－ 3) ＋ 1 × 4 × 1 ＋(－ 2) × 2 × 2 －(－ 2) × (－ 1) × 1 － 3 × 4 × 2 － 1 × 2 × (－ 3) ＝9 ＋ 4 － 8 － 2 － 24 ＋ 6 ＝－15 試求行列式

│

2 － 1 4 3 0 － 2 5 － 2 3

│

的值。 將三階行列式 A ＝

│

a₁₁ a₁₂ a₁₃ a₂₁ a₂₂ a₂₃ a₃₁ a₃₂ a₃₃

│

中第 i 列及第 j 行的元素刪除，所 得的二階行列式，稱為 A 的二階子行列式，記作A_ij。 例如：A₃₁＝

│

a12 a13 a₂₂ a₂₃

│

，A23＝

│

a₁₁ a₁₂ a₃₁ a₃₂

│

均為 A 的二階子行列式。 求三階行列式 A 的值，除直接展開計算外，亦可利用 A 的二階子行列式 來計算。

例

題

A ＝ a₁₁a₂₂a₃₃＋a₁₂a₂₃a₃₁＋a₁₃a₂₁a₃₂－a₁₃a₂₂a₃₁－a₁₁a₂₃a₃₂－a₁₂a₂₁a₃₃ ＝a₁₁(a₂₂a₃₃－a₂₃a₃₂) － a₁₂(a₂₁a₃₃－a₂₃a₃₁) ＋ a₁₃(a₂₁a₃₂－a₂₂a₃₁) ＝a₁₁

│

a22 a23 a₃₂ a₃₃

│

－a12

│

a₂₁ a₂₃ a₃₁ a₃₃

│

＋a13

│

a₂₁ a₂₂ a₃₁ a₃₂

│

＝a₁₁A₁₁－a₁₂A₁₂＋a₁₃A₁₃ 上式係利用第 1 列的元素 a₁₁、a₁₂、a₁₃ 及其相對應的二階子行列式 A₁₁、 A₁₂、A₁₃ 來表示，稱為對第 1 列展開。像這種利用二階行列式來求三階行列式 值的方法，我們稱為降階。事實上，行列式 A 可經由對任一列或任一行展開 而求得行列式的值，例如： A ＝－a₂₁A₂₁＋a₂₂A₂₂－a₂₃A₂₃ （對第 2 列展開） ＝a₃₁A₃₁－a₃₂A₃₂＋a₃₃A₃₃ （對第 3 列展開） ＝a₁₁A₁₁－a₂₁A₂₁＋a₃₁A₃₁ （對第 1 行展開） ＝－a₁₂A₁₂＋a₂₂A₂₂－a₃₂A₃₂ （對第 2 行展開） ＝a₁₃A₁₃－a₂₃A₂₃＋a₃₃A₃₃ （對第 3 行展開） 我們可以看出在上面這些展開式中，正負號的出現有如下圖的規律：

│

＋ － ＋ － ＋ － ＋ － ＋

│

正號伴隨著 A₁₁、A₁₃、A₂₂、A₃₁、A₃₃ 出現，而負號伴隨著 A₁₂、A₂₁、A₂₃、A₃₂ 出現，即 (－ 1)i ＋ j 伴隨著 A_ij 出現，我們稱 (－ 1)i ＋ j A_ij 為 a_ij 的餘因子。

行列式的降階展開，就是將某一行（列）的元素分別乘以其餘因子， 然後相加所得的和即為行列式的值。

解 將行列式

│

3 1 － 2 2 － 1 4 1 2 － 3

│

對第 2 列降階展開，並求其值。 A₂₁＝

│

3 1 － 2 2 － 1 4 1 2 － 3

│

＝

│

1 － 2 2 － 3

│

A₂₂＝

│

3 1 － 2 2 － 1 4 1 2 － 3

│

＝

│

3 － 2 1 － 3

│

A₂₃＝

│

3 1 － 2 2 － 1 4 1 2 － 3

│

＝

│

3 1 1 2

│

│

3 1 － 2 2 － 1 4 1 2 － 3

│

＝－2 ×

│

1 － 2 2 － 3

│

＋ (－ 1) ×

│

3 － 2 1 － 3

│

－4 ×

│

3 1 1 2

│

＝ (－ 2) × 1 ＋ (－ 1) × (－ 7) － 4 × 5 ＝－ 15 將行列式

│

3 5 1 4 2 － 1 0 3 2

│

對第 1 行降階展開，並求其值。

例

題

小考箱

（ ） 行列式

│

5 0 7 －4 0 3 21 8 － 19

│

＝8 ×

│

5 7 －4 3

│

。 在3-2.1 節中，我們討論過二階行列式的一些基本性質，三階行列式也具 有這些性質。

性

質

行列式中，行的元素與列的元素互換，行列式值不變。 例如：

│

a₁ b₁ c₁ a₂ b₂ c₂ a₃ b₃ c₃

│

＝

│

a₁ a₂ a₃ b₁ b₂ b₃ c₁ c₂ c₃

│

。 【說明】

│

a₁ b₁ c₁ a₂ b₂ c₂ a₃ b₃ c₃

│

＝a₁

│

b2 c2 b₃ c₃

│

－b1

│

a₂ c₂ a₃ c₃

│

＋c1

│

a₂ b₂ a₃ b₃

│

（對第 1 列降階展開） ＝a₁

│

b2 b3 c₂ c₃

│

－b1

│

a₂ a₃ c₂ c₃

│

＋c1

│

a₂ a₃ b₂ b₃

│

（二階行列式中，行的 元素與列的元素互換） ＝

│

a₁ a₂ a₃ b₁ b₂ b₃ c₁ c₂ c₃

│

。 由性質 可知，行列式中的行與列之角色可互換，行具有的性質可移 轉到列的性質上，而列具有的性質也可移轉到行的性質上。

小考箱

（ ）

性

質

行列式中，兩行（列）的元素對調，行列式值變號。 例如：

│

a₁ b₁ c₁ a₂ b₂ c₂ a₃ b₃ c₃

│

＝－

│

c₁ b₁ a₁ c₂ b₂ a₂ c₃ b₃ a₃

│

， （對調）

│

a₁ b₁ c₁ a₂ b₂ c₂ a₃ b₃ c₃

│

（對調） ＝－

│

a₁ b₁ c₁ a₃ b₃ c₃ a₂ b₂ c₂

│

。

性

質

行列式中，任一行（列）的元素可提出同一數。 例如：

│

a₁ b₁ c₁ ka₂ kb₂ kc₂ a₃ b₃ c₃

│

＝k

│

a₁ b₁ c₁ a₂ b₂ c₂ a₃ b₃ c₃

│

，

│

a₁ b₁ kc₁ a₂ b₂ kc₂ a₃ b₃ kc₃

│

＝k

│

a₁ b₁ c₁ a₂ b₂ c₂ a₃ b₃ c₃

│

。 以上的性質 、性質 可經由三階行列式直接展開而得證。  行列式

│

3a 3b 3c 3d 3e 3 f 3l 3m 3n

│

＝3 ×

│

a b c d e f l m n

│

。

解 在性質 中，當 k ＝ 0 時，我們可以推得： 行列式中，有一行（列）的元素均為0 時，行列式的值為 0。 例如：

│

a₁ b₁ c₁ 0 0 0 a₃ b₃ c₃

│

＝0 ＝

│

a₁ b₁ 0 a₂ b₂ 0 a₃ b₃ 0

│

。 設

│

a b c d e f l m n

│

＝5，試求

│

2 l 3 m 4 n 2 d 3 e 4 f 2 a 3 b 4 c

│

的值。

│

2 l 3 m 4 n 2 d 3 e 4 f 2 a 3 b 4 c

│

＝2 × 3 × 4 ×

│

l m n d e f a b c

│

（對調） ＝24 ×

(

－

│

a b c d e f l m n

│

)

＝24 × (－ 5)＝－ 120 設

│

a b c p q r x y z

│

＝3，試求

│

5 b 4 c 2 a 5 q 4 r 2 p 5 y 4 z 2 x

│

的值。

例

題

小考箱

（ ）

性

質

在一行列式中，若有兩行（列）的元素相同或成比例，則此行 列式值為0。 例如：

│

a₁ b₁ c₁ a₁ b₁ c₁ a₃ b₃ c₃

│

＝0，

│

a₁ b₁ ka₁ a₂ b₂ ka₂ a₃ b₃ ka₃

│

＝0。 【說明】

│

a₁ b₁ c₁ a₁ b₁ c₁ a₃ b₃ c₃

│

（對調） ＝－

│

a₁ b₁ c₁ a₁ b₁ c₁ a₃ b₃ c₃

│

， 移項得 2

│

a₁ b₁ c₁ a₁ b₁ c₁ a₃ b₃ c₃

│

＝0，所以

│

a₁ b₁ c₁ a₁ b₁ c₁ a₃ b₃ c₃

│

＝0。 又

│

a₁ b₁ ka₁ a₂ b₂ ka₂ a₃ b₃ ka₃

│

＝k

│

a₁ b₁ a₁ a₂ b₂ a₂ a₃ b₃ a₃

│

＝k × 0 ＝ 0。 （相同）  行列式

│

2a p 5a 2b q 5b 2c r 5c

│

的值為 0。

性

質

在一行列式中，若有某一行（列）的元素可分成兩行（列）元 素的和，則此行列式可分解成兩個行列式的和。

解 例如：

│

a₁ b₁＋d₁ c₁ a₂ b₂＋d₂ c₂ a₃ b₃＋d₃ c₃

│

＝

│

a₁ b₁ c₁ a₂ b₂ c₂ a₃ b₃ c₃

│

＋

│

a₁ d₁ c₁ a₂ d₂ c₂ a₃ d₃ c₃

│

。 【說明】

│

a₁ b₁＋ d₁ c₁ a₂ b₂＋ d₂ c₂ a₃ b₃＋ d₃ c₃

│

＝－(b₁＋d₁)

│

a2 c2 a₃ c₃

│

＋ (b2＋d2)

│

a₁ c₁ a₃ c₃

│

－(b₃＋d₃)

│

a1 c1 a₂ c₂

│

（對第2 行降階展開） ＝－b₁

│

a2 c2 a₃ c₃

│

＋b2

│

a₁ c₁ a₃ c₃

│

－b3

│

a₁ c₁ a₂ c₂

│

－d1

│

a₂ c₂ a₃ c₃

│

＋d₂

│

a1 c1 a₃ c₃

│

－d3

│

a₁ c₁ a₂ c₂

│

＝

│

a₁ b₁ c₁ a₂ b₂ c₂ a₃ b₃ c₃

│

＋

│

a₁ d₁ c₁ a₂ d₂ c₂ a₃ d₃ c₃

│

。 已知

│

a ＋ 1 1 3 b ＋ 2 2 0 c －1 2

│

＝10，試求

│

a 1 3 b 2 0 c －1 2

│

的值。 因為

│

a＋1 1 3 b＋2 2 0 c －1 2

│

＝

│

a 1 3 b 2 0 c －1 2

│

＋

│

1 1 3 2 2 0 0 －1 2

│

已知

│

a ＋ 1 1 3 b ＋ 2 2 0 c －1 2

│

＝10

例

題

又

│

1 1 3 2 2 0 0 －1 2

│

＝4 ＋ 0 ＋ (－ 6)－ 0 － 0 － 4 ＝－ 6 故得 10 ＝

│

a 1 3 b 2 0 c －1 2

│

＋(－ 6) 所以

│

a 1 3 b 2 0 c －1 2

│

＝16。 已知

│

6 1 a 5 2 b 4 3 c

│

＝9，試求

│

6 1 a ＋ 1 5 2 b － 1 4 3 c

│

的值。

性

質

在行列式中，將任一行（列）元素的 k 倍加到另一行（列）的 對應元素上，行列式值不變。 例如：

│

a₁ b₁ c₁ a₂ b₂ c₂ a₃ b₃ c₃

│

＝

│

a₁ b₁ c₁＋ ka₁ a₂ b₂ c₂＋ ka₂ a₃ b₃ c₃＋ ka₃

│

。 × k

解 【說明】

│

a₁ b₁ c₁＋ ka₁ a₂ b₂ c₂＋ ka₂ a₃ b₃ c₃＋ ka₃

│

＝

│

a₁ b₁ c₁ a₂ b₂ c₂ a₃ b₃ c₃

│

＋

│

a₁ b₁ ka₁ a₂ b₂ ka₂ a₃ b₃ ka₃

│

（成比例） ＝

│

a₁ b₁ c₁ a₂ b₂ c₂ a₃ b₃ c₃

│

＋0 ＝

│

a₁ b₁ c₁ a₂ b₂ c₂ a₃ b₃ c₃

│

。 試求行列式

│

41 4 －20 70 7 －34 81 8 －40

│

的值。 此行列式若直接展開求值，則計算有些繁瑣，考慮利用性質 ，將 第 2 行元素的 (－ 10) 倍加到第 1 行的對應元素上，同時將第 2 行 元素的 5 倍加到第 3 行的對應元素上，行列式值不變。

│

41 4 －20 70 7 －34 81 8 －40

│

＝

│

1 4 0 0 7 1 1 8 0

│

× －10 × 5 ＝－

│

1 4 1 8

│

（對第 3 行降階展開）＝－4。 試求行列式

│

11 23 32 23 45 65 34 70 100

│

的值。

例

題

證 試證

│

1 1 1 a b c a2 b2 c2

│

＝(a － b) (b － c) (c － a)。

│

1 1 1 a b c a2 b2 c2

│

＝

│

0 0 1 a － b b － c c a2－ b2 b2－ c2 c2

│

× －1 × － 1 ＝

│

a － b b － c a2－ b2 b2－ c2

│

（對第 1 列降階展開） ＝(a － b) (b － c)

│

1 1 a ＋ b b ＋ c

│

（第1 行提出 a － b，第 2 行提出 b － c） ＝(a － b) (b － c) [ (b ＋ c)－(a ＋ b)] ＝(a － b) (b － c) (c － a) 故本題得證。 試利用例題6，求行列式

│

1 1 1 5 6 7 25 36 49

│

的值。

例

題

解 解方程式

│

x － 1 x － 1 0 x ＋ 2 x ＋ 1 x － 1 x ＋ 1 0 x ＋ 1

│

＝0。 因為

│

x － 1 x － 1 0 x ＋ 2 x ＋ 1 x － 1 x ＋ 1 0 x ＋ 1

│

＝(x － 1) (x ＋ 1)

│

1 1 0 x ＋ 2 x ＋ 1 x － 1 1 0 1

│

（第 1 列提出 x － 1，第 3 列提出 x ＋ 1） ＝(x － 1) (x ＋ 1) [ (x ＋ 1) ＋ (x － 1)－(x ＋ 2)] ＝(x － 1) (x ＋ 1) (x － 2) 所以 x － 1) (x ＋ 1) (x － 2) ＝ 0 故方程式的解為 x ＝ 1，－ 1 或 2。 解方程式

│

0 2 x － 2 2 － x x 2 － x x － 2 2 0

│

＝0。 3-3.2

三元一次方程組與克拉瑪（

Cramer）公式

設 a、b、c、d 為實數，且 a、b、c 不同時為 0（即 a2＋ b2＋ c2≠0）， 則由三個未知數 x、y、z 所成的一次方程式 ax ＋ by ＋ cz ＝ d 稱為 x、y、z 的 三元一次方程式。由兩個或多個三元一次方程式並列而成的方程組，稱為三元 一次方程組。

例

題

解 例如： 2 x － 3 y ＋ 4 z ＝ 5 x ＋ 2 y － 3 z ＝ 3 ， x ＋ 3 y ＋ 4 z ＝ 14 x ＋ 2 y ＋ 5 z ＝ 11 2 x ＋ y ＋ 2 z ＝ 2 均為三元一次方程組。 解三元一次方程組，可以利用消去法，先消去一個未知數，使原方程組變 成一個二元一次方程組，再繼續消去另一個未知數，茲以實例說明如下。 解方程組 2 x ＋ 3 y － z ＝ 9 …… x － y － 2 z ＝ 7 ……… 3 x ＋ y ＋ z ＝－ 6 …… 由 ＋ 得5 x ＋ 4 y ＝ 3 …… 由 ×2 ＋ 得 7 x ＋ y ＝－ 5 …… 再求 、 兩式的聯立解 由 ×4 － 得 23 x ＝－ 23 x ＝－ 1 x ＝－ 1 代入 得－ 7 ＋ y ＝－ 5 y ＝ 2 x ＝－ 1，y ＝ 2 代入 得－ 1 － 2 － 2 z ＝ 7 z ＝－ 5 所以方程組的解為 x ＝－ 1，y ＝ 2，z ＝－ 5。 解方程組 x ＋ 3 y ＋ 2 z ＝ 11 2 x ＋ y ＋ 3 z ＝ 14 x ＋ y ＋ z ＝ 6 。

例

題

解 解方程組 x ＋ y ＝－ 3 …… y ＋ z ＝－ 5 …… z ＋ x ＝ 12 ……… 由 ＋ ＋ 得2 x ＋ 2 y ＋ 2 z ＝ 4 即 x ＋ y ＋ z ＝ 2 …… － 得 z ＝ 5 － 得 x ＝ 7 － 得 y ＝－ 10 所以方程組的解為 x ＝ 7，y ＝－ 10，z ＝ 5。 解方程組 1 x ＋ 1y ＝ 56 1 y ＋ 1z ＝ 712 1 z ＋ 1x ＝ 34 。 考慮三元一次方程組 a₁x ＋ b₁y ＋ c₁z ＝ d₁ a₂x ＋ b₂y ＋ c₂z ＝ d₂ a₃x ＋ b₃y ＋ c₃z ＝ d₃ 令 ＝

│

a₁ b₁ c₁ a₂ b₂ c₂ a₃ b₃ c₃

│

， x＝

│

d₁ b₁ c₁ d₂ b₂ c₂ d₃ b₃ c₃

│

， _y＝

│

a₁ d₁ c₁ a₂ d₂ c₂ a₃ d₃ c₃

│

， _z＝

│

a₁ b₁ d₁ a₂ b₂ d₂ a₃ b₃ d₃

│

。

例

題

因為 _x＝

│

d₁ b₁ c₁ d₂ b₂ c₂ d₃ b₃ c₃

│

＝

│

a₁x ＋ b₁y ＋ c₁z b₁ c₁ a₂x ＋ b₂y ＋ c₂z b₂ c₂ a₃x ＋ b₃y ＋ c₃z b₃ c₃

│

＝

│

a₁x b₁ c₁ a₂x b₂ c₂ a₃x b₃ c₃

│

＋

│

b₁y b₁ c₁ b₂y b₂ c₂ b₃y b₃ c₃

│

＋

│

c₁z b₁ c₁ c₂z b₂ c₂ c₃z b₃ c₃

│

（成比例） （成比例） ＝x × ＋ 0 ＋ 0， 當 ≠0 時，由 _x＝x × 可得 x ＝ x_{。同理可得 y ＝} y _{，z ＝} z_。 我們稱這種公式解為三元一次方程組的克拉瑪公式。

三元一次方程組的公式解（又稱克拉瑪公式）

當 ＝

│

a₁ b₁ c₁ a₂ b₂ c₂ a₃ b₃ c₃

│

≠0時： 三元一次方程組 a₁x ＋ b₁y ＋ c₁z ＝ d₁ a₂x ＋ b₂y ＋ c₂z ＝ d₂ a₃x ＋ b₃y ＋ c₃z ＝ d₃ 的解為 x ＝ x_{，y ＝} y_{，z ＝} z_。 其中 _x＝

│

d₁ b₁ c₁ d₂ b₂ c₂ d₃ b₃ c₃

│

， _y＝

│

a₁ d₁ c₁ a₂ d₂ c₂ a₃ d₃ c₃

│

， _z＝

│

a₁ b₁ d₁ a₂ b₂ d₂ a₃ b₃ d₃

│

。

解 利用克拉瑪公式解方程組 x ＋ 3 y ＋ 4 z ＝ 14 x ＋ 2 y ＋ 5 z ＝ 11 2 x ＋ y ＋ 2 z ＝ 2 。 ＝

│

1 3 4 1 2 5 2 1 2

│

＝4 ＋ 30 ＋ 4 － 16 － 5 － 6 ＝ 11 x＝

│

14 3 4 11 2 5 2 1 2

│

＝56 ＋ 30 ＋ 44 － 16 － 70 － 66 ＝－ 22 y＝

│

1 14 4 1 11 5 2 2 2

│

＝22 ＋ 140 ＋ 8 － 88 － 10 － 28 ＝ 44 z＝

│

1 3 14 1 2 11 2 1 2

│

＝4 ＋ 66 ＋ 14 － 56 － 11 － 6 ＝ 11 因為 ≠0，故得 x ＝ x _＝－22 11 ＝－2，y ＝ y ＝ 4411＝4，z ＝ z＝ 1111＝1 所以方程組的解為 x ＝－ 2，y ＝ 4，z ＝ 1。 利用克拉瑪公式解方程組 x ＋ 3 y ＋ 6 z ＝ 23 2 x ＋ 4 y － z ＝ 5 3 x ＋ y ＋ 4 z ＝ 19 。

例

題

習題

_3-3

 試求下列各行列式的值：

│

0 1 －2 －1 3 4 1 2 1

│ │

1 －3 6 7 6 4 3 1 2

│

 試求下列各行列式的值：

│

13 12 11 16 15 14 19 18 17

│

│

－6 8 2 15 －20 5 3 4 －1

│

 解下列各方程式：

│

x2 9 4 x 3 2 1 1 1

│

＝0

│

x ＋ 2 3 4 2 x ＋ 3 4 2 3 x ＋ 4

│

＝0  已知

│

1 a x 1 b y 1 c z

│

＝2，試求行列式

│

a － x 5 x b － y 5 y c － z 5 z

│

的值。

 設

│

a b c d e f l m n

│

＝4，

│

a b c p q r l m n

│

＝5， 試求

│

a b c d ＋ 3 p e ＋ 3 q f ＋ 3 r 2 l 2 m 2 n

│

的值。  利用克拉瑪公式解方程組 2 x ＋ 3 y ＋ 4 z ＝ 1 x － 2 y － 2 z ＝ 5 x － y ＋ 3 z ＝－ 4 。

3-1 重點  設 a、b、c 為實數，且 a ≠ 0，則 ax2＋bx ＋ c ＝ 0 稱為一元二次方程 式。  方程式 ax2＋bx ＋ c ＝ 0（a、b、c 為實數且 a ≠ 0）的公式解為 x ＝－ b  b 2 －4 ac 2 a 。  二次方程式根的判別： 關於方程式 ax2＋bx ＋ c ＝ 0（a、b、c 為實數且 a ≠ 0） 判別式 b2_{－ 4 ac ＞ 0 方程式有相異二實數根} 方程式無實數解 判別式 b2－ 4 ac ＜ 0 判別式 b2－ 4 ac ＝ 0 方程式有相等二實數根  二次方程式根與係數關係： 設 、 為二次方程式 ax2＋bx ＋ c ＝ 0 的二根，則 ＋ ＝－ b a， ＝ ca。  一元高次方程式的解法： 利用公式或一次因式檢驗法將方程式因式分解，再求根。  一元高次方程式的各項係數和為 0，必有一根為 1。 3-2 重點  二階行列式：

│

a b c d

│

＝ad － bc。

 二元一次方程組的解： 對二元一次方程組 a1x ＋ b1y ＝ c1 a₂x ＋ b₂y ＝ c₂ ， 設 L₁ 為直線 a₁x ＋ b₁y ＝ c₁，L₂ 為直線 a₂x ＋ b₂y ＝ c₂， 令 ＝

│

a1 b1 a₂ b₂

│

， x＝

│

c₁ b₁ c₂ b₂

│

， y＝

│

a₁ c₁ a₂ c₂

│

。 ≠ 0 恰有一組解 x ＝ x_{，y ＝} y 相容方程組 L₁ 與 L₂ 相交於一點 無解 矛盾方程組 L₁ 與 L₂ 互相平行 ＝ 0，但 _x、 _y 不全為 0 ＝ _x＝ _y＝ 0 無限多組解 相依方程組 L₁與 L₂重合為一直線 3-3 重點  三階行列式：

│

a₁₁ a₁₂ a₁₃ a₂₁ a₂₂ a₂₃ a₃₁ a₃₂ a₃₃

│

＝a₁₁a₂₂a₃₃＋a₁₂a₂₃a₃₁＋a₁₃a₂₁a₃₂－a₁₃a₂₂a₃₁ －a₁₁a₂₃a₃₂－a₁₂a₂₁a₃₃。  子行列式： A_ij 為 A ＝

│

a₁₁ a₁₂ a₁₃ a₂₁ a₂₂ a₂₃ a₃₁ a₃₂ a₃₃

│

中，刪除第 i 列及第 j 行的元素， 所得 A 的二階子行列式。

例：A₃₁＝

│

a12 a13 a₂₂ a₂₃

│

，A23＝

│

a₁₁ a₁₂ a₃₁ a₃₂

│

。  行列式可對任一行（列）做降階展開。 例：A ＝ a₁₁ a₁₂ a₁₃ a₂₁ a₂₂ a₂₃ a₃₁ a₃₂ a₃₃ ＝－ a₂₁A₂₁＋a₂₂A₂₂－a₂₃A₂₃。 （對第 2 列降階展開） 降階展開，正、負號規律如下： ＋ － ＋ － ＋ － ＋ － ＋  行列式基本性質： 在一行列式中，將行的元素與列的元素互換，行列式值不變。 在一行列式中，將兩行（列）的元素對調，行列式值變號。 在一行列式中，任一行（列）的元素可提出同一數。 在一行列式中，若兩行（列）的元素相同或成比例，則行列式值 為 0。 在一行列式中，若某一行（列）的元素可分成兩行（列）元素的 和，則此行列式可分解成兩個行列式的和。 在一行列式中，將任一行（列）元素的 k 倍加到另一行（列）的 對應元素上，行列式值不變。 《註》在一行列式中，若有一行（列）的元素均為 0 時，此行列式值 為 0。

 三元一次方程組的解： 對三元一次方程組 a₁x ＋ b₁y ＋ c₁z ＝ d₁ a₂x ＋ b₂y ＋ c₂z ＝ d₂ a₃x ＋ b₃y ＋ c₃z ＝ d₃ 設 ＝ a₁ b₁ c₁ a₂ b₂ c₂ a₃ b₃ c₃ ， x＝ d₁ b₁ c₁ d₂ b₂ c₂ d₃ b₃ c₃ ， _y＝ a₁ d₁ c₁ a₂ d₂ c₂ a₃ d₃ c₃ ， _z＝ a₁ b₁ d₁ a₂ b₂ d₂ a₃ b₃ d₃ 。 當 ≠0 時：方程組之解為 x ＝ x_{，y ＝} y_{，z ＝} z_。

（ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ）  設 、 為 2 x2－7 x ＋ 4 ＝ 0 的二根，則 －1 －_{1 的值為  52}  13 2 － 92 －12。 【3-1】  已知二次方程式 kx2－ 4 k － 3 x ＋ 4 k － 5 ＝ 0 有相等實根，則 k ＝  94  49 － 94 － 49。 【3-1】  已知方程式 x2＋ px ＋ 27 ＝ 0 之一根為另一根的平方，則 p ＝ － 6 －9 － 12 － 15。 【3-1】  已知 3 5 為 5 x2＋17 x ＋ k ＝ 0 的一根，設另一根為 ，則 k ＋ ＝ －8 － 10 － 12 － 16。 【3-1】  方程式 2 x2_{＋3 x} 2_{＋3 2 x}2_{＋3 x ＋ 2 ＝ 0 的實數解共有多少個？} 0 1 2 4。 【3-1】  下列何者不為方程式 2 x3_{－5 x}2_{－ x ＋ 6 ＝ 0 的解？ } 2  32 －3 － 1。 【3-1】  2009 98 2010 99 的值為 1911 1931 2911 2931。 【3-2】  已知 a b c d ＝3，則 2a 10b c 5d ＝ 15 30 60 300。 【3-2】  已知 a b c d ＝3， a b e f ＝2，則 4a 4b c ＋ e d ＋ f ＝ 8 12 20 24。 【3-2】  設 x ＝ a，y ＝ b 為方程組 2 x ＋ 3 y ＝ 17 3 x － y ＝－ 2 的解，則 a , b ＝  4 , 3  2 , 8  3 , 11  1 , 5 。 【3-2】

（ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ）  利用克拉瑪公式解 2 x － 3 y ＝ 13 7 x ＋ 4 y ＝－ 9 得 x ＝  37 29  2529 － 3729 － 109 29 。 【3-2】  設 x , y 為聯立方程式 3 x ＋ 2y ＝1， 2x ＋ 3y ＝4 的解，則 x , y ＝ 

(

－_{1 , 12}

)

 1 , － 1  2 , 1 

(

1 2 ,－1

)

。 【3-2】  方程組 ax ＋ y ＝ 5 4 x ＋ ay ＝ 10 無解時，a ＝ 2 － 2 4 － 4。 【3-2】  若方程組 x ＋ y ＝ 5 ax ＋ by ＝ 1 與 2 x － y ＝ 4 ax － by ＝ 5 有相同的解，則 a , b ＝  3 , － 2  －3 , 2  －1 , 1  1 , － 1 。 【3-2】  設 x ＝ ，y ＝ 為方程組 x ＋ y xy ＝3 x － y ＝ xy 的解，則 , ＝ 

(

1 2 , 1

)



(

13 , 1) 

(1 , 12

)



(1 , 13

)

。 【3-2】  3 1 6 1 －1 1 －2 3 8 的值為 －32 － 34 － 37 － 40。 【3-3】  10 2 2 2 10 2 2 2 10 的值為 896 840 816 804。 【3-3】  21 22 23 41 42 43 61 62 63 的值為 0 100 1792 8640。 【3-3】

（ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ）  已知 1 2 a 2 1 b 0 1 2 ＝3，則 1 2 a ＋ 1 2 1 b 0 1 3 的值為 10 8 5 2。 【3-3】  設 abc ≠ 0，則 1 a b ＋ c 1 b c ＋ a 1 c a ＋ b 的值為 1 a ＋ b ＋ c ab ＋ bc ＋ ca 0。 【3-3】  方程式 9 ＋ x 2 3 9 2 ＋ x 3 9 2 3 ＋ x ＝0 之所有實數解的和為 14 7 －14 － 5。 【3-3】  行列式 1 1 1 2 ＋ 5 3 ＋ 5 4 ＋ 5 9 ＋ 4 5 14 ＋ 6 5 21 ＋ 8 5 的值為 1 ＋ 5 2 1 0。 【3-3】  解方程組 x ＋ 2 y ＋ z ＝ 12 2 x － 4 y ＋ 3 z ＝ 1 4 x ＋ 3 y － 2 z ＝ 27 得 z ＝ 1 3 5 7。【3-3】  若方程組 2 x － y ＋ z ＝ 5 x ＋ 2 y ＋ 3 z ＝ 7 kx ＋ y － z ＝ 9 恰有一組解，則 k 值不能等於  6 4  3 － 2。 【3-3】  方程組 x ＋ y ＝ 7 y ＋ z ＝ 8 z ＋ x ＝ 9 的解中，下列何者正確？ x ＝ 3 y ＝ 4 z ＝ 5 y ＞ z。 【3-3】