4

25

(四) 由(三)可知三圓的半徑皆為實數，故皆可以使用尺規來作圖，因此我們得知，

若三角形三邊長皆為實數，其內部滿足條件一的三圓，皆可以尺規作圖。

研究結果 2

二、 三角形內部三個圓中，每個圓皆需與另外兩個圓外切且至少與三角形一個邊相切。能 否尺規作圖作出?能否利用三角形三邊長表示其半徑?

(一) 圖形

(二) 尺規作法

1. 作三角形三內角平分線，做圓𝐴及圓𝐵。

2. 三種方法。

(1) 等面積法求𝑟₃。

以A、B為圓心，𝑟₁+ 𝑟₃、𝑟₂+ 𝑟₃為半徑 畫弧交於圓C的圓心𝐶，𝑟₃為半徑畫圓，

即可完成作圖。

(2) 角平分線求圓𝐶切點𝐿。

如圖，∠𝐸𝑃𝐺平分線會通過圓𝐶與底邊𝑋𝑍切點，

所以我們可以利用角平分線做出切點𝐿，

並且找出圓心𝐶及半徑𝑟₃。

(3)對稱點求圓𝐶切點𝐿。

如圖，兩條平行底邊的直徑與圓𝐴、圓𝐵 交點𝐼、𝐽，𝐼𝐽⃡ 會通過切點𝐿，

並且找出圓心𝐶及半徑𝑟₃

26

(三) 三圓半徑及作法合理性 1. 等面積法

圓𝐶半徑

𝑟

₃

=

^{𝑟1∙𝑟2}

(√𝑟1+√𝑟2)²

2. 角平分線作法

如圖，已知𝐿為圓𝐶與𝑋𝑍切點

∵ 𝑃𝐸̅̅̅̅ ∶ 𝑃𝐺̅̅̅̅ = √𝑟1 ∶ √𝑟₂ = 𝐸𝐿̅̅̅̅ ∶ 𝐿𝐺̅̅̅̅

根據內分比性質

∴ 𝑃𝐿為角平分線，故作法正確。

3. 對稱點作法

如圖，已知𝐿為圓𝐶與𝑋𝑍切點

∵ 𝑚_𝐼𝐽⃡ = 𝑚_𝐼𝐿⃡

斜率相同，表示為同一直線

∴ 可知 I、J、L 三點共線，故做法正確。

(四) 對稱點法是三種作法中步驟最簡單的。

(五) 圓𝐴半徑𝑟₁及圓𝐵半徑𝑟₂，可用三角形三邊長𝑥、𝑦、𝑧表示

𝑟

₁

= √(𝑥 + 𝑦 + 𝑧)(−𝑥 + 𝑦 + 𝑧)(𝑥 − 𝑦 + 𝑧)(𝑥 + 𝑦 − 𝑧)

2(𝑥 + 𝑦 + 𝑧)

𝑟

₂

= √(𝑥 + 𝑦 + 𝑧)(−𝑥 + 𝑦 + 𝑧)(𝑥 − 𝑦 + 𝑧)(𝑥 + 𝑦 − 𝑧)

2(𝑥 + 𝑦 + 𝑧) ×

1 − √ 𝑥

²

− (𝑦 − 𝑧)

²

4𝑦𝑧 1 + √ 𝑥

²

− (𝑦 − 𝑧)

²

4𝑦𝑧

且圓C半徑𝑟₃與圓A半徑𝑟₁圓B半徑𝑟₂關係式為

¹

√𝑟

1

+ ¹

√𝑟

2

= ¹

√𝑟

₃

27

研究結果 3

三、 在同時滿足條件一與條件二的情況下，能否尺規作圖作出?能否利用三角形三邊長表示 其半徑?

研究目的 3 的部份，我們根據文獻記載找到作圖方法還有三圓半徑與三角形三邊長。

步驟 1：作△ XYZ的三條角平分線，交於一點𝑂₁。

步驟 2：分別對△ X𝑂₁𝑍、△ X𝑂₁𝑌、△ Y𝑂₁𝑍作 內切圓，圓𝐶、圓𝐴、圓𝐵。

步驟 3：作圓 A 與圓 B、圓 B 與圓 C、圓 C 與圓 A 的其中一條切線，依序為𝐹𝑀、𝐾𝐷、𝐿𝐸。

並將其交點命名為𝑂₂。

步驟 4：在四邊形 ZM𝑂₂L、XK𝑂₂M、YK𝑂₂L 作出內切圓圓𝑇、圓𝑈、圓𝑉。

步驟 5：只留下圓𝑇、圓𝑈、圓𝑉，即完成馬爾法蒂圓。

如下圖，一個已知的三角形內畫三個圓，每個圓與其他兩個圓及三角形其中兩邊相 切。若△ XYZ三邊長為x、y、z，內部三個切線圓的半徑分別為𝑎、𝑏、𝑐，令

s =

^{𝑥+𝑦+𝑧}

2 ，內

心為I，內切圓半徑為r，則 𝑎 = ^𝑟

2(𝑠−𝑦)(𝑠 − 𝑟 + 𝐼𝑌 − 𝐼𝑋 − 𝐼𝑍)、

𝑏 = ^𝑟

2(𝑠−𝑧)(𝑠 − 𝑟 + 𝐼𝑍 − 𝐼𝑋 − 𝐼𝑌)、

𝑐 = 𝑟

2(𝑠 − 𝑥)(𝑠 − 𝑟 + 𝐼𝑋 − 𝐼𝑌 − 𝐼𝑍)

28

研究結果 4

四、 三角形內部若有四圓以上(含)，且其中三圓為條件一或條件二，則其它圓必須與任意三 圓相切。能否尺規作圖作出?

下列兩個方法，雖然我們無法運用數學理論說明，但我們在很多種情況下嘗試過，結 果都為成功，所以我們在此提出對於這兩個作圖方法的猜測。

(一) 用於三圓相切於一直線的圖形

步驟一：畫出三圓交點的切線，找出交點 K。

步驟二：作圓心 A 與圓 B、圓 C 交點的連線、和圓心 B 與圓 A、圓 C 交點的連 線，和圓心 C 與圓 A、圓 B 交點的連線，找出三條連線的交點 J。

步驟三：以𝐽𝐾̅̅̅為直徑畫圓。

(二) 用於任何三圓兩兩相切的圖形。

步驟一：作出三圓兩兩的切線並作出三圓兩兩的索迪第四圓退化的圖形。

步驟二：作垂直 B、C 圓切線並過圓心 A 的垂線，將與圓周的交點和圓心 D 連線。

步驟三：作垂直 A、C 圓切線並過圓心 B 的垂線，將與圓周的交點和圓心 E 連線。

步驟四：作垂直 A、B 圓切線並過圓心 C 的垂線，將與圓周的交點和圓心 F 連線。

步驟五：找出步驟二到步驟四三條連線的交點 O 並將點 O 和點 A、B、C 任意點連 起 找出其與圓周的交點其交點與點 O 的距離為半徑，點 O 為圓心畫圓。

研究結果 5

五、 滿足條件一或條件二的情況下，能否比較其三圓面積和大小。

29

(一) 直角三角形

圖形

邊長

三圓面積和 三圓面積和 三圓面積和 三圓面積和 3、4、5 4.2183

4.44778 3.97595

4.08613 5、12、13

20.8063

19.27338

16.52052

18.76002 20、21、29 141.8526

158.2413

142.33043

139.86398

由文獻中我們可以得知，數學家Gabai 和 Liban在 1968 年提出的論文中，表示馬爾法 蒂問題中的圓面積和不會是最大值[6]，因此我們做了十三組的資料的比較，我們發現在邊長 為 3、4、5 的直角三角形中就可以知道，馬爾法蒂圓的面積和不會是最大值，但卻是我們比 較的四個情況中最小，但在 20、21、29 中的直角三角形，馬爾法蒂圓並不會是最小，我們 發現沒特定規律可以比較出三圓面積和的大小關係，但發現若兩股長越接近時，馬爾法蒂圓 的面積和越接近四種情況中的最大值。

(二) 等腰三角形

圖形

邊長

底長 腰長 三圓面積和 三圓面積和 三圓面積和 三圓面積和

3、4、4 4.01339

4.1339 3.92814

3.96133 0.75 4、4、4

4.70592 5.11963

5.05072 4.7294 1.00 5、4、4

4.7853

5.48179

5.54524

4.82269 1.25 4、5、5 6.55646

6.83467

6.55181

6.50674

0.80 5、5、5

7.35301 7.99943

7.89176 7.38968 1.00 6、5、5

7.53798

8.54166

8.60359

7.59764 1.20 5、6、6 9.68821

10.1769

9.80923

9.64451

0.83 6、6、6

10.58833 11.51917

11.36413 10.64114 1.00 7、6、6

10.87742

12.23951

12.54308

10.9627 1.17

77、100、100

2555.83905

2645.252 2522.6554

2528.32669 0.77

30

在表中我們發現當底邊長兩腰長的比值小於 0.77 時，馬爾法蒂圓的面積和最小，比值超 過 1 的馬爾法蒂圓的面積和最大，因此我們猜測兩腰夾角當大於60°時馬爾法蒂圓面積會是四 種情況下最大的，而兩腰夾角小於cos^{−1 14071}

20000的情況下馬爾法蒂圓面積會是四種情況下最小的。

在文檔中 中華民國第 61 屆中小學科學展覽會 作品說明書 (頁 25-31)