中華民國第 61 屆中小學科學展覽會 作品說明書

中華民國第 61 屆中小學科學展覽會 作品說明書

排版\030413-封面

國中組 數學科

030413-封面 連中三圓

學校名稱：桃園市立大成國民中學

作者： 指導老師：

國二 黃宥澄 國二 張宇賢

顏綱威

關鍵詞：切線圓、馬爾法蒂圓

1

摘要

本文在探討如何利用尺規作圖作出三角形內部三個(含)以上的切線圓及相切圓，以及用 三角形三邊長表示圓半徑，並嘗試討論某條件下的圓面積和大小。分析為下列三種條件。

條件一 三角形內部若有三圓，則任一圓皆需與「一個相異圓及三角形兩邊相切」。

條件二 三角形內部若有三圓，則任一圓皆需與「兩個相異圓及三角形其中一邊相切」。 條件三 三角形內部若有四圓以上(含)，且其中三圓為條件一或條件二，則其它圓必須與任 意三圓相切。

利用尺規完成上述三種條件的作圖，接著討論條件一及條件二的作圖步驟合理性及半徑 關係。並發現其中包含索迪公式第四圓退化成一直線和馬爾法蒂圓。接著利用尺規作出條件 三的圖形，最後嘗試找出在直角三角形中的圓面積和大小關係。

壹、 研究動機

在某次資優課程的過程中，老師請我們思考一個問題。題目如下：

當我們解出這個題目後，由於我們剛上完八年級的尺規作圖，就有同學就問老師，那這 個圖形怎麼用尺規來作圖呢?老師就請我們思考，如果三角形內只有一個圓呢?當我們想明白 第一個內切圓怎麼作圖之後，老師又提出如果再加一個圓呢?如果再往下加，變成三個圓以 上呢，是否還能用尺規作圖呢?並且還能利用三角形三邊長表示所有圓的半徑嗎?接著我們就 開始思考並討論三角形內部的圓怎麼用尺規來完成。

首先我們嘗試去做圖，我們發現原始題目中的第一個圓及第二個圓是容易尺規作圖，但 是第三個圓的尺規就遇到困難，然而我們發現第三圓不只有一種情況，就覺得這個題目很有 趣，就開啟了我們研究這個題目的動機。研究過程中在翻閱文獻時，發現兩種比較特別的情 況，分別為「馬爾法蒂圓」及「索迪公式」中的第四圓退化情形，於是我們就開始嘗試利用 尺規作圖來畫出三角形內的切線圓及相切圓和討論其半徑與邊長關係。

如圖，一個三角形內部有兩個外切及與三角形三邊長相切的圓，

請以三角形三邊長表示圓 A 及圓 B 的半徑分別為何?

2

貳、 研究目的

一、 名詞解釋

(一) 馬爾法蒂圓[8]

在一個已知的三角形內畫三個圓，每個圓與其他兩個圓 及三角形其中兩邊相切。若△ XYZ三邊長為x、y、z，

內部三個切線圓的半徑分別為𝑎、𝑏、𝑐，

令

s =

^{𝑥+𝑦+𝑧}

2 ，內心為I，內切圓半徑為r，則 𝑎 = 𝑟

2(𝑠 − 𝑦)(𝑠 − 𝑟 + 𝐼𝑌 − 𝐼𝑋 − 𝐼𝑍) 𝑏 = 𝑟

2(𝑠 − 𝑧)(𝑠 − 𝑟 + 𝐼𝑍 − 𝐼𝑋 − 𝐼𝑌) 𝑐 = 𝑟

2(𝑠 − 𝑥)(𝑠 − 𝑟 + 𝐼𝑋 − 𝐼𝑌 − 𝐼𝑍) 二、 研究目的

我們將題目分析，發現滿足條件有下列幾種情況，並且歸納出下列三種類型。

第一種：滿足條件一，即三圓皆與三角形兩邊相切，且至少與一圓相切的情形，一共有三 種，分別為圖 1(1)、 圖 1(2)、圖 1(3)及圖 2(1)、圖 2(2)及圖 3。

第二種：滿足條件二，即三圓皆與另外兩個圓外切且至少與三角形一個邊相切的情形也有三 種，分別為圖 4(1)、 圖 4(2)和圖 3，其中圖 3 同時滿足條件一與條件二。

3

第三種：滿足條件三，即三角形內部若有四圓以上(含)，且其中三圓為條件一或條件二，

則其它圓必須與任意三圓相切。

其中圖 3 為有名的馬爾法蒂圓，圖 4(1)、4(2)為索迪公式第四圓退化的圖形。

接著開始探討如何利用尺規作圖作出上述圖形並用三邊長表示其半徑，並訂定下列幾個 研究目的。

研究目的 1

在滿足條件一的情況下，能否尺規作圖作出?能否利用三角形三邊長表示其半徑?

研究目的 2

在滿足條件二的情況下，能否尺規作圖作出?能否利用三角形三邊長表示其半徑?

研究目的 3

在同時滿足條件一與條件二的情況下，能否尺規作圖作出?能否利用三角形三邊長表示 其半徑?

研究目的 4

在滿足條件三的情況下，能否尺規作圖作出?

研究目的 5

滿足條件一或條件二的情況下，能否比較其三圓面積和大小。

參、 研究器材與設備

硬體部分：紙、筆、圓規、直尺、筆記型電腦。

軟體部分：word、GGB 5.0 傳統版。

4

肆、 研究過程與方法

由於本文需要用到下列兩個性質，故先給予兩個引理。

引理1：兩個外切的圓，其圓心連線必過切點。

【說明】

如圖所示，已知𝐶𝐷⃡ 為兩圓公切線，可得𝐴𝐷 ⊥ 𝐶𝐷⃡ 、𝐵𝐷 ⊥ 𝐶𝐷⃡ 則∠𝐴𝐷𝐶 + ∠𝐵𝐷𝐶 = 180°，故𝐴、𝐵、𝐷在同一直線上。

引理2：作兩圓平行切線的直徑，直徑與兩圓周的交點，其對角連線，會通過兩圓切點。

【說明】

作兩條平行切線𝐶𝐷的直線且通過兩圓圓心A、B兩點 交圓A、圓B於E、F及G、H，連接𝐸𝐷與𝐻𝐷⃡

∵ 𝐴𝐸：𝐴𝐷 = 𝐵𝐷：𝐵𝐻 = 1：1且∠EAD = ∠HBD = 90°

∴△ EAD~ △ HBD(AA) ⟹ ∠EDA = ∠HDB

∵對頂角相等 ∴ E、D、H在同一直線上，故𝐸𝐻通過切點D。

研究目的 1：滿足條件一

一、 在任意已知的三角形內作三圓，其中任一圓皆與三角形兩邊相切，且至少與一圓相切。

我們從九年級數學課本中了解內切圓的圓心會在三個角的角平分線上，因此我們從這個 觀念下手，開始做條件一狀況下的三角形內三圓。我們將條件一分成兩種情況。

(一) 三圓圓心在同一角平分線上，如圖 1(1)、圖 1(2)、圖 1(3)。

1.【作圖過程】

步驟1：對三內角作角平分線並交於一點A，再作過A點 垂直𝑋𝑍垂線𝐴𝐷，以A為圓心、𝐴𝐷為半徑畫圓，

則圓A為第一個內切圓，如右圖。

5

步驟2：從引理 1 知道外切兩圓的連心線必過切點，則可知第二個圓𝐵的圓心必在𝑋𝐴⃡ 上，

則圓𝐴與圓𝐵的切點為𝑋𝐴⃡ 與圓𝐴的交點𝑃，作過𝑃點切圓𝐴的切線𝑅𝑄⃡ ，接著作∠𝑅𝑄𝑋 角平分線交𝑋𝐴⃡ 於𝐵點，則𝐵為圓𝐵圓心，𝐵𝑃為半徑畫圓，即可畫出第二個圓𝐵，同 理亦可做出另外兩種情形，如圖所示。

步驟 3：同理步驟 2 作出第三個圓𝐶，如下圖即完成作圖。

2.【利用三邊長表示半徑】

接著來探討這種情形的半徑關係，讓我們再次整理一下題目：

已知的三角形△ XYZ，其三邊長分別為x、y、z，如圖所示，

則三圓半徑與邊長的關係?

(1) 設三個圓的半徑分別為𝑟₁、𝑟₂、𝑟₃，且令s =^{𝑥+𝑦+𝑧}

2

由海龍公式知△ XYZ面積為√𝑠(𝑠 − 𝑥)(𝑠 − 𝑦)(𝑠 − 𝑧) 又圓A為△ XYZ內切圓，則△ XYZ面積為𝑠 × 𝑟₁

可得

𝑟

₁

=

√𝑠(𝑠−𝑥)(𝑠−𝑦)(𝑠−𝑧) 𝑠

=

√𝑥 + 𝑦 + 𝑧

2 ×−𝑥 + 𝑦 + 𝑧

2 ×𝑥 − 𝑦 + 𝑧

2 ×𝑥 + 𝑦 − 𝑧 2 𝑥 + 𝑦 + 𝑧

2

=√(𝑥 + 𝑦 + 𝑧)(−𝑥 + 𝑦 + 𝑧)(𝑥 − 𝑦 + 𝑧)(𝑥 + 𝑦 − 𝑧)

2(𝑥 + 𝑦 + 𝑧) 。

6

(2) 根據餘弦定理知cos𝑋 =^{𝑦2+𝑧2−𝑥2}

2𝑦𝑧 ，則

sin 𝑋

2 = √ 1 − 𝐶𝑂𝑆𝑋

2 = √1 −

𝑦

²

+ 𝑧

²

− 𝑥

²

2𝑦𝑧

2 = √ 𝑥

²

− (𝑦 − 𝑧)

²

4𝑦𝑧

根據△ ACX~ △ BDX，可知 ^𝑟2

𝑟₁

=

^{𝑋𝐴−(𝑟1+𝑟2)}

𝑋𝐴

𝑟

₂

= 𝑟

₁

∙

^{𝑋𝐴−𝑟1}

𝑋𝐴+𝑟₁

= 𝑟

₁

⋅

^{𝑋𝐴−𝑋𝐴𝑠𝑖𝑛}

𝑋 2 𝑋𝐴+𝑋𝐴𝑠𝑖𝑛^𝑋 2

= 𝑟

₁

⋅

^{1−𝑠𝑖𝑛}

𝑋 2 1+𝑠𝑖𝑛^𝑋 2

= 𝑟

₁

⋅

^1−√

𝑥2−(𝑦−𝑧)2 4𝑦𝑧

1+√^{𝑥2−(𝑦−𝑧)2} 4𝑦𝑧

= √(𝑥+𝑦+𝑧)(−𝑥+𝑦+𝑧)(𝑥−𝑦+𝑧)(𝑥+𝑦−𝑧)

2(𝑥+𝑦+𝑧) × ^1−√

𝑥2−(𝑦−𝑧)2 4𝑦𝑧

1+√

^{𝑥2−(𝑦−𝑧)2}

4𝑦𝑧

。

同理，我們可知圖1(2)、圖1(3)的圓𝐵半徑𝑟₂分別為

𝑟

₂

=

√(𝑥+𝑦+𝑧)(−𝑥+𝑦+𝑧)(𝑥−𝑦+𝑧)(𝑥+𝑦−𝑧)

2(𝑥+𝑦+𝑧)

×

^1−√

𝑦2−(𝑥−𝑧)2 4𝑥𝑧

1+√^{𝑦2−(𝑥−𝑧)2} 4𝑥𝑧

𝑟

₂

=

√(𝑥+𝑦+𝑧)(−𝑥+𝑦+𝑧)(𝑥−𝑦+𝑧)(𝑥+𝑦−𝑧)

2(𝑥+𝑦+𝑧)

×

^1−√

𝑧2−(𝑥−𝑦)2 4𝑥𝑦

1+√^{𝑧2−(𝑥−𝑦)2}_4𝑥𝑦

(3) ∵△ ABM~ △ BCN

∴ (𝑟₁+ 𝑟₂)：(𝑟₂+ 𝑟₃) = 2√𝑟1𝑟₂：2√𝑟2𝑟₃ = √𝑟1：√𝑟3

√𝑟1(𝑟₂+ 𝑟₃) = √𝑟₃(𝑟₁ + 𝑟₂)， 𝑟₁(𝑟₂+ 𝑟₃)² = 𝑟₃(𝑟₁+ 𝑟₂)² 𝑟₁𝑟₂²+ 2𝑟₁𝑟₂𝑟₃+ 𝑟₁𝑟₃² = 𝑟₁²𝑟₃+ 2𝑟₁𝑟₂𝑟₃− 𝑟₂²𝑟₃

𝑟₁𝑟₃²− (𝑟₁²+ 𝑟₂²)𝑟₃+ 𝑟₁𝑟₂² = 0 𝑟₃ =𝑟₁²+ 𝑟₂²± (𝑟₁²− 𝑟₂²)

2𝑟₁ ，

𝑟

₃

= 𝑟

₁(

不合

)

或 𝑟

₂²

𝑟

₁

可得𝑟₃ = ¹

𝑟1× (𝑟₁⋅^1−√

𝑥2−(𝑦−𝑧)2 4𝑦𝑧 1+√^{𝑥2−(𝑦−𝑧)2}_4𝑦𝑧

)

2

= 𝑟₁× (^1−√

𝑥2−(𝑦−𝑧)2 4𝑦𝑧 1+√^{𝑥2−(𝑦−𝑧)2}_4𝑦𝑧

)

2

=√(𝑥 + 𝑦 + 𝑧)(−𝑥 + 𝑦 + 𝑧)(𝑥 − 𝑦 + 𝑧)(𝑥 + 𝑦 − 𝑧)

2(𝑥 + 𝑦 + 𝑧) ×

(

1 − √𝑥²− (𝑦 − 𝑧)² 4𝑦𝑧 1 + √𝑥²− (𝑦 − 𝑧)²

4𝑦𝑧 )

2

。

7

同理，我們可知圖1(2)、圖1(3)的圓𝐶半徑𝑟₃分別為

𝑟₃=√(𝑥 + 𝑦 + 𝑧)(−𝑥 + 𝑦 + 𝑧)(𝑥 − 𝑦 + 𝑧)(𝑥 + 𝑦 − 𝑧)

2(𝑥 + 𝑦 + 𝑧) ×

(

1 − √𝑦²− (𝑥 − 𝑧)² 4𝑥𝑧 1 + √𝑦²− (𝑥 − 𝑧)²

4𝑥𝑧 )

2

𝑟₃=√(𝑥 + 𝑦 + 𝑧)(−𝑥 + 𝑦 + 𝑧)(𝑥 − 𝑦 + 𝑧)(𝑥 + 𝑦 − 𝑧)

2(𝑥 + 𝑦 + 𝑧) ×

(

1 − √𝑧²− (𝑥 − 𝑦)² 4𝑥𝑦 1 + √𝑧²− (𝑥 − 𝑦)²

4𝑥𝑦 )

2

由上述可知條件一中圖 1(1)、圖 1(2)、圖 1(3)的情況下，三圓的半徑可以用三角形三邊 長來表示，如下所示：

𝑟

₁

= √(𝑥 + 𝑦 + 𝑧)(−𝑥 + 𝑦 + 𝑧)(𝑥 − 𝑦 + 𝑧)(𝑥 + 𝑦 − 𝑧) 2(𝑥 + 𝑦 + 𝑧)

𝑟₂=√(𝑥 + 𝑦 + 𝑧)(−𝑥 + 𝑦 + 𝑧)(𝑥 − 𝑦 + 𝑧)(𝑥 + 𝑦 − 𝑧)

2(𝑥 + 𝑦 + 𝑧) ×

1 − √𝑥²− (𝑦 − 𝑧)² 4𝑦𝑧 1 + √𝑥²− (𝑦 − 𝑧)²

4𝑦𝑧

𝑟3=√(𝑥 + 𝑦 + 𝑧)(−𝑥 + 𝑦 + 𝑧)(𝑥 − 𝑦 + 𝑧)(𝑥 + 𝑦 − 𝑧)

2(𝑥 + 𝑦 + 𝑧) ×

(

1 − √𝑥²− (𝑦 − 𝑧)² 4𝑦𝑧 1 + √𝑥²− (𝑦 − 𝑧)²

4𝑦𝑧 )

2

。

圖1(2)、圖1(3)，亦相同。

(二) 三圓圓心在兩條角平分線上，如圖 2(1)、圖 2(2)。

1. 【作圖過程】

步驟1：對三內角作角平分線並交於一點A，再作過A點 垂直𝑋𝑍垂線𝐴𝐷，以A為圓心、𝐴𝐷為半徑畫圓，

則圓A為第一個內切圓，如右圖。

步驟2：從引理 1 知道外切兩圓的連心線必過切點，則可 知第二個圓𝐵的圓心必在𝑋𝐴⃡ 上，則圓𝐴與圓𝐵的切 點為𝑋𝐴⃡ 與圓𝐴的交點𝑃，作過𝑃點切圓𝐴的切線𝑅𝑄⃡ ， 接著作∠𝑅𝑄𝑋角平分線交𝑋𝐴⃡ 於𝐵點，則𝐵為圓𝐵圓心，

𝐵𝑃為半徑畫圓，如右圖。

8

步驟3：從引理 1 知道外切兩圓的連心線必過切點，則可知第三個圓𝐶的圓心必在 𝑌𝐴⃡ 、𝑍𝐴⃡ 上，則圓𝐴與圓C的切點為𝑌𝐴⃡ 、𝑍𝐴⃡ 與圓𝐴的交點S，做過S點切圓𝐴的 切線𝑇𝑈⃡ ，接著做∠𝑇𝑈𝑌、∠UTY 角平分線交𝑌𝐴⃡ 於C點，則C為圓C圓心，

𝐶𝑆為半徑畫圓，如下圖。

2. 【利用三邊長表示半徑】

(1) 𝑟₁、𝑟₂與(一)相同，表示如下：

𝑟

₁

= √(𝑥 + 𝑦 + 𝑧)(−𝑥 + 𝑦 + 𝑧)(𝑥 − 𝑦 + 𝑧)(𝑥 + 𝑦 − 𝑧) 2(𝑥 + 𝑦 + 𝑧)

𝑟2=√(𝑥 + 𝑦 + 𝑧)(−𝑥 + 𝑦 + 𝑧)(𝑥 − 𝑦 + 𝑧)(𝑥 + 𝑦 − 𝑧)

2(𝑥 + 𝑦 + 𝑧) ×

1 − √𝑥²− (𝑦 − 𝑧)² 4𝑦𝑧 1 + √𝑥²− (𝑦 − 𝑧)²

4𝑦𝑧

(2) 根據餘弦定理知

cos𝑌 =

^{𝑥2+𝑧2−𝑦2}

2𝑥𝑧 ，

則sin^𝑦

2 = √^{1−cos 𝑌}

2 = √¹⁻

𝑥2+𝑧2−𝑦2 2𝑥𝑧

2 = √^{𝑦2−(𝑥−𝑧)2}

4𝑥𝑧

如圖 2(1)

，簡易可知

△ ASY~ △ CRY，

可知 ^𝑟3

𝑟₁

=

^{𝑌𝐴−(𝑟1+𝑟3)}

𝑌𝐴 ，則

𝑟

₃

= 𝑟

₁

∙ 𝑌𝐴 − 𝑟

₁

𝑌𝐴 + 𝑟

₁

= 𝑟

₁

⋅ 𝑌𝐴 − 𝑌𝐴𝑠𝑖𝑛 𝑌 2 𝑌𝐴 + 𝑌𝐴𝑠𝑖𝑛 𝑌 2

= 𝑟

₁

⋅ 1 − 𝑠𝑖𝑛 𝑌 2 1 + 𝑠𝑖𝑛 𝑌 2

= 𝑟

₁

⋅

1 − √ 𝑦

²

− (𝑥 − 𝑧)

²

4𝑥𝑧 1 + √ 𝑦

²

− (𝑥 − 𝑧)

²

4𝑥𝑧

= √(𝑥 + 𝑦 + 𝑧)(−𝑥 + 𝑦 + 𝑧)(𝑥 − 𝑦 + 𝑧)(𝑥 + 𝑦 − 𝑧)

2(𝑥 + 𝑦 + 𝑧) ×

1 − √ 𝑦

²

− (𝑥 − 𝑧)

²

4𝑥𝑧 1 + √ 𝑦

²

− (𝑥 − 𝑧)

²

4𝑥𝑧

。

9

同理，可知圖 2(2)的圓𝐶半徑

。

𝑟

₃

= 𝑟

₁

∙ 𝑍𝐴 − 𝑟

₁

𝑍𝐴 + 𝑟

₁

= 𝑟

₁

⋅ 𝑍𝐴 − 𝑍𝐴𝑠𝑖𝑛 𝑍 2 𝑍𝐴 + 𝑍𝐴𝑠𝑖𝑛 𝑍 2

= 𝑟

1

⋅ 1 − 𝑠𝑖𝑛 𝑍 2 1 + 𝑠𝑖𝑛 𝑍 2

= 𝑟

1

⋅

1 − √ 𝑧

²

− (𝑥 − 𝑦)

²

4𝑥𝑦 1 + √ 𝑧

²

− (𝑥 − 𝑦)

²

4𝑥𝑦

= √(𝑥 + 𝑦 + 𝑧)(−𝑥 + 𝑦 + 𝑧)(𝑥 − 𝑦 + 𝑧)(𝑥 + 𝑦 − 𝑧)

2(𝑥 + 𝑦 + 𝑧) ×

1 − √ 𝑧

²

− (𝑥 − 𝑦)

²

4𝑥𝑦 1 + √ 𝑧

²

− (𝑥 − 𝑦)

²

4𝑥𝑦

。

由上述可知條件一中圖 2(1)、圖 2(2)的情況下，三圓的半徑可以用三角形三邊長來表示。

圖 2(1)：

𝑟

₁

= √(𝑥 + 𝑦 + 𝑧)(−𝑥 + 𝑦 + 𝑧)(𝑥 − 𝑦 + 𝑧)(𝑥 + 𝑦 − 𝑧) 2(𝑥 + 𝑦 + 𝑧)

𝑟₂=√(𝑥 + 𝑦 + 𝑧)(−𝑥 + 𝑦 + 𝑧)(𝑥 − 𝑦 + 𝑧)(𝑥 + 𝑦 − 𝑧)

2(𝑥 + 𝑦 + 𝑧) ×

1 − √𝑥²− (𝑦 − 𝑧)² 4𝑦𝑧 1 + √𝑥²− (𝑦 − 𝑧)²

4𝑦𝑧

𝑟₃=√(𝑥 + 𝑦 + 𝑧)(−𝑥 + 𝑦 + 𝑧)(𝑥 − 𝑦 + 𝑧)(𝑥 + 𝑦 − 𝑧)

2(𝑥 + 𝑦 + 𝑧) ×

1 − √𝑦²− (𝑥 − 𝑧)² 4𝑥𝑧 1 + √𝑦²− (𝑥 − 𝑧)²

4𝑥𝑧

圖 2(2)：

𝑟

₁

= √(𝑥 + 𝑦 + 𝑧)(−𝑥 + 𝑦 + 𝑧)(𝑥 − 𝑦 + 𝑧)(𝑥 + 𝑦 − 𝑧) 2(𝑥 + 𝑦 + 𝑧)

𝑟2=√(𝑥 + 𝑦 + 𝑧)(−𝑥 + 𝑦 + 𝑧)(𝑥 − 𝑦 + 𝑧)(𝑥 + 𝑦 − 𝑧)

2(𝑥 + 𝑦 + 𝑧) ×

1 − √𝑥²− (𝑦 − 𝑧)² 4𝑦𝑧 1 + √𝑥²− (𝑦 − 𝑧)²

4𝑦𝑧

𝑟3=√(𝑥 + 𝑦 + 𝑧)(−𝑥 + 𝑦 + 𝑧)(𝑥 − 𝑦 + 𝑧)(𝑥 + 𝑦 − 𝑧)

2(𝑥 + 𝑦 + 𝑧) ×

1 − √𝑧²− (𝑥 − 𝑦)² 4𝑥𝑦 1 + √𝑧²− (𝑥 − 𝑦)²

4𝑥𝑦

由(一)、(二)可以得知三圓的半徑皆為實數，故皆可以使用尺規作圖來表示，所以只要是 三邊長皆為實數的三角形，其內部滿足條件一的三圓，皆可以使用尺規作圖。

10

研究目的 2：滿足條件二

二、 在任意已知的三角形內做三圓，每個圓皆必須與另外兩個圓外切且至少與三角形一個邊 相切。

在一次偶然的嘗試中，從GGB中找出滿足條件二的作圖，從文獻中我們可以知道這三 個切線圓為「索迪公式第四圓退化成一直線」[3]的圖形，一開始我們無法說明第三圓作圖步 驟之間的合理性，後來嘗試反向思考，從結果回推，由代數的方式去思考及推導半徑長度及 圓心的位置，再回來說明作圖方法，結果成功的說明作圖步驟的合理性，並發現其它更容易 畫出第三圓的方法。

索迪公式第四圓退化成一直線[3]

如圖，已知一直線上有三圓，且三圓兩兩外切時，

三圓的半徑為𝑟₁、𝑟₂、𝑟₃， 則 ¹

𝑟12

+

¹

𝑟22

+

¹

𝑟32

= 2 (

¹

𝑟1𝑟2

+

¹

𝑟2𝑟3

+

¹

𝑟1𝑟3

)

。 【說明】

如圖，設圓𝐴、圓𝐵、圓𝐶半徑分別為𝑟₁、𝑟₂、𝑟₃

𝐷𝐸 = √(𝑟₁+ 𝑟₂)²− (𝑟₁− 𝑟₂)² = 2√𝑟1𝑟₂、 𝐷𝐹 = √(𝑟₁+ 𝑟₃)²− (𝑟₁− 𝑟₃)² = 2√𝑟1𝑟₃

𝐸𝐹 = √(𝑟₂+ 𝑟₃)²− (𝑟₂− 𝑟₃)² = 2√𝑟2𝑟₃， ∵ 𝐷𝐸 = 𝐷𝐹 + 𝐹𝐸 ∴ 2√𝑟₁𝑟₂ = 2√𝑟₁𝑟₃+ 2√𝑟₂𝑟₃ 同 × 1

√𝑟₁𝑟₂𝑟₃，可得 1

√𝑟₃= 1

√𝑟1

+ 1

√𝑟2

1 𝑟₃− 1

𝑟₁− 1

𝑟₂ = 2

√𝑟1𝑟₂ ⟹ 1 𝑟₃²+ 1

𝑟₁²+ 1 𝑟₂²− 2

𝑟₁𝑟₃− 2

𝑟₂𝑟₃+ 2

𝑟₁𝑟₂ = 4 𝑟₁𝑟₂ 1

𝑟₁²+ 1 𝑟₂²+ 1

𝑟₃² = 2 ( 1

𝑟₁𝑟₂+ 1

𝑟₂𝑟₃+ 1 𝑟₁𝑟₃)

11

(一) 索迪公式第四圓退化，圖 4(1)、4(2)。

其中圖4(1)與圖 4(2)是相同的，在此我們對圖 4(1)提供了三個方法作圖。

1. 面積法作圖

利用面積推導出第三圓半徑，再利用兩圓外切性質找出圓C圓心，並完成作圖。

【作圖過程】

步驟1：利用角平分線作出圓A與圓B，

並得知圓A與圓B的半徑為𝑟₁、𝑟₂。

步驟2：以圓A與圓B的半徑𝑟₁、𝑟₂為底跟高作 直角三角形△ PQR，作過P點平行𝑄𝑅⃡ 直線。

步驟3：以Q點為圓心，作半徑為𝑟₁+ 𝑟₂ + 2√𝑟1𝑟₂的弧，

交平行線於D點。

步驟4：作△ QRD，並作過R點垂直𝑄𝐷垂線𝑟₃。

步驟5：分別以A、B為圓心， 𝑟₁+ 𝑟₃、𝑟₂+ 𝑟₃ 為半徑畫弧交於C點

步驟6：以C為圓心，𝑟₃為半徑畫圓，即完成做圖。

12

【作圖步驟合理性及利用三邊長表示半徑】

已知△ XYZ，其三邊長為𝑥、𝑦、𝑧，若已知圓A圓B在△ XYZ內，且兩圓外切並切於底 邊𝑋𝑍，求作與兩圓皆外切且也切於𝑋𝑍的第三圓圓 C。

(1) 步驟1在之前的作圖已經說明過，已經知道步驟是合理的。

(2) 接著是步驟2到步驟4的合理性，為什麼可以這樣做呢? 將題目分析如圖，

作平行𝑋𝑍且過圓心𝐵與圓心𝐶直線𝑇𝐵⃡ 、𝑈𝑉，

可知𝐴𝑇̅̅̅̅ = 𝑟₁− 𝑟₂、𝐴𝐵̅̅̅̅ = 𝑟₁+ 𝑟₂ ⇒ 𝑇𝐵̅̅̅̅ = 2√𝑟1𝑟₂ 𝐴𝑈̅̅̅̅ = 𝑟₁− 𝑟₃，𝐴𝐶̅̅̅̅ = 𝑟₁+ 𝑟₃ ⇒ 𝑈𝐶̅̅̅̅ = 2√𝑟1𝑟₃ 𝐵𝑉̅̅̅̅ = 𝑟₂− 𝑟₃，𝐵𝑆̅̅̅̅ = 𝑟₂+ 𝑟₃ ⇒ 𝑉𝐶̅̅̅̅ = 2√𝑟2𝑟₃

⟹ 𝑇𝐵̅̅̅̅ = 𝑈𝑉̅̅̅̅ = 𝐸𝐺̅̅̅̅ = 𝐸𝐿̅̅̅̅ + 𝐿𝐺̅̅̅̅ = 𝑈𝐶̅̅̅̅ + 𝑉𝐶̅̅̅̅

2√𝑟₁𝑟₂ = 2√𝑟₁𝑟₃+ 2√𝑟₂𝑟₃

⇒ √𝑟1𝑟₂ = (√𝑟1+ √𝑟2)√𝑟3 ⟹ 𝑟₁∙ 𝑟₂ = (𝑟₁+ 𝑟₂+ 2√𝑟1𝑟₂) ∙ 𝑟₃

由上式可知作一底為𝑟₂、高為𝑟₁的三角形的面積會與底為𝑟₁+ 𝑟₂+ 2√𝑟1𝑟₂、高為 𝑟₃面積相同，所以我們在步驟2到步驟4建構了兩個三角形，並利用面積相等的 方式來作出小圓半徑𝑟₃。

(3) 得到𝑟₃後，再利用引理1可知切點必過圓心，以𝑟₁+ 𝑟₃、𝑟₂+ 𝑟₃為半徑畫圓交於S 點，

則C點即為圓S的圓心，再以S為圓心、𝑟₃為半徑畫圓，即可完成作圖。

(4) ∵ 𝑟₁∙ 𝑟₂ = (𝑟₁+ 𝑟₂+ 2√𝑟1𝑟₂) ∙ 𝑟₃ ∴ 𝑟₃ = ^{𝑟1∙𝑟2}

𝑟1+𝑟2+2√𝑟1𝑟2 = ^{𝑟1∙𝑟2}

(√𝑟1+√𝑟2)²

所以可知𝑟₃是可以用三角形三邊長表示。

13

2. 角平分線作圖

接著提供第二種作法，利用圓A與圓B的切點跟𝑋𝑍切點，三點所形成的角，作角平分 線得到圓C與𝑋𝑍切點，再使用引理2得到圓心與半徑。

【作圖過程】

步驟1：利用角平分線作出圓A與圓B，

並得知圓A與圓B的半徑為𝑟₁、𝑟₂。

步驟2：畫出過𝐴和𝐵點的兩條垂直線，

找出𝐷、𝐸、𝐹、𝐺點。

步驟3：連接𝑃𝐸̅̅̅̅和PG̅̅̅̅，形成∠𝐸𝑃𝐺。

步驟4：作∠EPG角平分線交𝑋𝑍於L，即𝑃𝐿。

步驟5：作𝑀𝐿、𝑁𝐿中垂線交於C點，C點為圓C圓心。

步驟6：以C為圓心，𝐶𝐿為半徑畫圓，即完成作圖。

14

【作圖步驟合理性及利用三邊長表示半徑】

已知△ XYZ，其三邊長為𝑥、𝑦、𝑧，若已知圓A圓B在△ XYZ內，且兩圓外切並切於底 邊𝑋𝑍，求作與兩圓皆外切且也切於𝑋𝑍的第三圓圓 C。

(1) 步驟1在之前的作圖已經說明過，已經知道步驟是合理的。

(2) 為什麼步驟 2 到步驟 4 的做法是合理的呢?為什麼∠𝐸𝑃𝐺的角平分線𝑃𝐿⃡ 會通過圓C 切點L呢?我們嘗試利用內分比性質來說明正確性。

如右圖所示，可以得知

𝑃𝐸² = 𝑃𝑇²+ 𝑇𝐸² = 𝐴𝑃²− 𝐴𝑇²+ 𝑇𝐸²

= 𝑟₁²− 𝐴𝑇²+ (𝑟₁− 𝐴𝑇)² = 2𝑟₁(𝑟₁− 𝐴𝑇̅̅̅̅)

∵ 𝐸𝑇̅̅̅̅ = 𝑊𝐺̅̅̅̅̅ ∴ 𝑟₁− 𝐴𝑇̅̅̅̅ = 𝑊𝐵̅̅̅̅̅ + 𝑟₂ ⇒ 𝑊𝐵̅̅̅̅̅ = 𝑟₁− 𝑟₂− 𝐴𝑇̅̅̅̅

𝑃𝐺̅̅̅̅² = 𝑃𝑊̅̅̅̅̅²+ 𝑊𝐺̅̅̅̅̅² = 𝑟₂²− 𝑊𝐵̅̅̅̅̅²+ (𝑊𝐵̅̅̅̅̅ + 𝑟₂)² = 2𝑟₂(𝑟₂+ 𝑊𝐵̅̅̅̅̅)

= 2𝑟₂(𝑟₂+ 𝑟₁− 𝑟₂− 𝐴𝑇̅̅̅̅) = 2𝑟₂(𝑟₁− 𝐴𝑇̅̅̅̅)

⇒ 𝑃𝐸̅̅̅̅ ∶ 𝑃𝐺̅̅̅̅ = √2𝑟₁(𝑟₁− 𝐴𝑇̅̅̅̅) ∶ √2𝑟₂(𝑟₁− 𝐴𝑇̅̅̅̅) = √𝑟1 ∶ √𝑟₂ = 𝐸𝐿̅̅̅̅ ∶ 𝐿𝐺̅̅̅̅

⇒ 可知𝑃𝐿̅̅̅̅為∠EPG 角平分線，故步驟 2 到步驟 4 是正確的。

(3) 根據引理 2 可以知道平行切線且過圓心的直線，

其對稱點連線會通過切點，如圖，即𝐷𝐿會通過 圓A和圓C的切點M，𝐹𝐿會通過圓B和圓C的切點N，

則可知𝑀𝐿、𝑁𝐿為圓C的兩條弦，做𝑀𝐿、𝑁𝐿

中垂線交點，即可得圓C圓心，故步驟 5 到步驟 6 是合理的。

(4) 以C點為圓心，𝐶𝐿為半徑畫圓，即完成作圖。

由於角平分線作法只需要在原始的三角形內即可完成，減少作圖的流程，所以我們認為 角平分線法作圖比面積法作突來的容易。

15

3. 對稱點作圖。

在嘗試作圖的過程中，第一個成功畫出第三圓的方法是接下來的對稱點作圖，

對圓A、圓B作平行及垂直圓心的線，並將交點連起來即𝐼𝐽 ，發現可以找到圓C與𝑋𝑍 切點L，在利用引理2及相似的概念找出圓𝐶圓心𝐶，即完成作圖。

【作圖過程】.

步驟 1：利用角平分線作出圓A與圓B，

並得知圓A與圓B的半徑為𝑟₁、𝑟₂。

步驟2：過A、B作𝐷𝐸⃡ ⊥ 𝑋𝑍、𝐹𝐺⃡ ⊥ 𝑋𝑍及𝐻𝐼⃡ //𝑋𝑍、𝐽𝐾⃡ //𝑋𝑍。

步驟3：連接𝐼𝐽⃡ 交𝑋𝑍於L點。

步驟4：連接𝐷𝐿交圓A於𝑀、連接𝐹𝐿交圓B於𝑁。

步驟5：作𝑀𝐿、𝑁𝐿中垂線交於C點，C點為圓C圓心。

步驟6：以C為圓心，𝐶𝐿為半徑畫圓，即完成作圖。

16

【作圖步驟合理性及利用三邊長表示半徑】

已知△ XYZ，其三邊長為𝑥、𝑦、𝑧，若已知圓A圓B在△ XYZ內，且兩圓外切並切於底 邊𝑋𝑍，求作與兩圓皆外切且也切於𝑋𝑍的第三圓圓 C。

(1) 步驟1在之前的作圖已經說明過，已經知道步驟是合理的。

(2) 為什麼𝐼𝐽⃡ 會通過圓C切點L呢? 將題目座標化，以𝑋𝑍⃡ 為X軸、𝐷𝐸⃡ 為Y軸，如下圖，

由面積法作圖中可知，L點若為圓C切點，則我們可之L的座標為L(2√𝑟1𝑟₃, 0)。若 可說明𝐼𝐽⃡ 的斜率與𝐼𝐿⃡ 斜率相同，則𝐼𝐽⃡ 會通過L，則得證。

因此將I點、J點、L點，座標化，令圓A半徑為𝑟₁、圓B半徑為𝑟₂、圓C半徑為𝑟₃，則 I(r₁, r₁)、K(𝑟₂+ 2√𝑟1𝑟₂, 𝑟₂)、𝐽(2√𝑟1𝑟₂− 𝑟₂，𝑟₂)、𝐿(2√𝑟1𝑟₃, 0)

𝑚

_𝐼𝐽

= 𝑟

₁

− 𝑟

₂

𝑟

₁

− (2√𝑟

1

𝑟

₂

− 𝑟

₂

) = 𝑟

₁

− 𝑟

₂

𝑟

₁

− 2√𝑟

1

𝑟

₂

+ 𝑟

₂

= 𝑟

₁

− 𝑟

₂

(√𝑟

1

− √𝑟

2

)

²

= √𝑟

1

+ √𝑟

2

√𝑟

1

− √𝑟

2

由索迪公式可知 ¹

√𝑟1+ ¹

√𝑟2= ¹

√𝑟3⇒ √𝑟₃ = ^{√𝑟1𝑟2}

√𝑟1+√𝑟2

𝑚

_𝐼𝐿

= 𝑟

₁

𝑟

₁

− 2√𝑟

1

𝑟

₃

= 𝑟

₁

𝑟

₁

− 2 × √𝑟

1

× √𝑟

1

𝑟

₂

√𝑟

1

+ √𝑟

2

= 𝑟

₁

(√𝑟

1

+ √𝑟

2

) 𝑟

₁

√𝑟

1

+ 𝑟

₁

√𝑟

2

− 2𝑟

₁

√𝑟

2

= √𝑟

1

+ √𝑟

2

√𝑟

1

− √𝑟

2

∵ 𝑚_𝐼𝐽⃡ = 𝑚_𝐼𝐿⃡ ∴ 可知 I、J、L 三點共線，故可以說明，步驟2到步驟3是正確的。

(3) 同角平分線作圖步驟，根據引理2，做𝑀𝐿、

𝑁𝐿中垂線交點，即可得圓C圓心，再以𝐶𝐿為 半徑畫圓，故步驟4到步驟5是合理的。

(4) 以C點為圓心，𝐶𝐿為半徑畫圓，即完成作圖。

對稱點作圖法中發現只需要將對稱點連接，就可以找出第三個圓，圓𝐶與三角形底邊的 切點，再作中垂線即可找出圓心，大幅的降低圓規的使用頻率，因此我們認為這是最簡易的 作圖法。

17

研究目的 3 同時滿足條件一與條件二 三、 馬爾法蒂圓

再研究這問題的前期，我們沒有思考過會有這種情形，而我們在做文獻資料查詢的時候 發現了這個作圖方法，這個作圖稱為馬爾法蒂圓，他同時滿足條件一與條件二的作圖，文獻 中有提供作圖的方法，我們在此呈現如下。

【作圖流程】

步驟 1：作△ XYZ的三條角平分線，交於一點𝑂₁。

步驟 2：分別對△ X𝑂₁𝑍、△ X𝑂₁𝑌、△ Y𝑂₁𝑍作 內切圓，圓𝐶、圓𝐴、圓𝐵。

步驟 3：作圓 A 與圓 B、圓 B 與圓 C、圓 C 與圓 A 的其中一條切線，依序為𝐹𝑀、𝐾𝐷、𝐿𝐸。

並將其交點命名為𝑂₂。

步驟 4：在四邊形 ZM𝑂₂L 內畫出兩條角平分線以找出 圓心 U，再以𝑍𝑋做一過 U 點的垂直線。

步驟 5：以 U 點作為圓心 垂直線作為半徑做出 四邊形 ZM𝑂₂L 的內切圓。

步驟 6：重複步驟 4~5 做出四邊形 XK𝑂₂M 和 YK𝑂₂L 的內切圓 T、V。

步驟7：只留下圓𝑇、圓𝑈、圓𝑉，即完成馬爾法蒂圓。

18

【三邊長表示圓半徑】

在一個已知的三角形內畫三個圓，每個圓與其他兩個圓及三角形其中兩邊相切。若△ XYZ三 邊長為x、y、z，內部三個切線圓的半徑分別為𝑎、𝑏、𝑐，

令

s =

^{𝑥+𝑦+𝑧}

2 ，內心為I，內切圓半徑為r，則 𝑎 = 𝑟

2(𝑠 − 𝑦)(𝑠 − 𝑟 + 𝐼𝑌 − 𝐼𝑋 − 𝐼𝑍) 𝑏 = 𝑟

2(𝑠 − 𝑧)(𝑠 − 𝑟 + 𝐼𝑍 − 𝐼𝑋 − 𝐼𝑌) 𝑐 = 𝑟

2(𝑠 − 𝑥)(𝑠 − 𝑟 + 𝐼𝑋 − 𝐼𝑌 − 𝐼𝑍) 研究目的 4 滿足條件三

四、 三角形內部若有四圓以上(含)，且其中三圓為條件一或條件二，則其它圓必須與任 意三圓相切。

接著探討三角形的第四、五圓的作圖方法，我們在經過反覆嘗試後得到可以作出滿足條 件三的作圖方法，作出第四圓的方法，共有兩種尺規作法。

(一) 符合索迪公式第四圓退化情形的第四圓

【作圖流程】

步驟 1：畫出三圓交點的切線，找出交點 K。

步驟 2：作圓心 A 與圓 B、圓 C 交點的連線、和圓心 B 與圓 A、圓 C 交點的連線、和 圓心 C 與圓 A、圓 B 交點的連線 找出三條連線的交點 J

步驟 3：以𝐽𝐾̅̅̅為直徑畫圓，即完成第四圓。

19

我們之後反覆測試好幾組三角形，發現都能成功畫出第四圓，接著嘗試用一樣的方法 畫第五圓，發現無法作出，我們發現在不是索迪公式的的四圓退化的情形下，就無法成功。

因此我們猜測這方法只適用於三圓切於一直線的情況，由於我們尚未證實這個想法，

所以我們只能在此提出第四圓的作圖方法。

(二) 三角形內三圓相切的內切圓

我們反覆測試都是成功，我們猜測這是能適用於所有三圓相切的第四圓尺規作法。

步驟 1：作出三圓兩兩的切線並作出

三圓兩兩的索迪第四圓退化的圖形。

步驟 2：作垂直 B、C 圓切線並過圓心 A 的垂直線，

將其與圓周的交點和圓心 D 連線。

步驟 3：作垂直 A、C 圓切線並過圓心 B 的垂直線，

將其與圓周的交點和圓心 E 連線。

步驟 4：作垂直 A、B 圓切線並過圓心 C 的垂直線，

將其與圓周的交點和圓心 F 連線。

步驟 5：找出步驟二到步驟四三條連線的交點 O 並將點 O 和點 A、B、C 任意點連起 找 出其與圓周的交點其交點與點 O 的距離 為半徑點 O 為圓心畫圓。

上述兩個方法，我們都經過反覆測試，但都並未證實步驟間的合理性，如果我們猜測為 真，我們就能在三角形內不斷畫出符合我們條件的第 N 圓，所以我們把證明這兩個方法，

訂為日後目標。

20

研究目的 5

五、 滿足條件一或條件二的情況下，能否比較其三圓面積和大小。

推測給定三角形內的任何三個不相交的圓是馬爾法蒂圓總面積和最大。使用𝐺𝐺𝐵作 圖，嘗試驗證這個結論的正確性，但發現三角形的種類眾多，所以先將三角形邊長固定 為整數的直角三角形與等腰三角形，並計算圖1、圖2、圖3、圖4的圓面積和，其中圖 3 為馬爾法蒂圓，並比較它與其他情況下的圓面積和大小。

(一) 直角三角形

1. 當三邊長為3、4、5的直角三角形，在圖1、圖2、圖3、圖4的圓面積總和分別為：

圖1：圓𝐴面積約為：3.14159、圓𝐵面積約為：0.45835 圓𝐶面積約為：0.06687、面積和約為：4.21823 圖2：圓𝐴面積約為：3.14159、圓𝐵面積約為：0.84783 圓𝐶面積約為：0.09670、面積和約為：4.44778 圖3：圓𝐴面積約為：1.77658、圓𝐵面積約為：1.3888 圓𝐶面積約為：0.81052、面積和約為：3.97595 圖4：圓𝐴面積約為：3.14159、圓𝐵面積約為：0.84783 圓𝐶面積約為：0.09670、面積和約為：4.08613

我們發現圖2的面積最大，馬爾法蒂圓的圖3面積反而最小。

2. 當三邊長為5、12、13的直角三角形時：

圖1：圓𝐴面積約為：12.56637、圓𝐵面積約為：5.67610 圓𝐶面積約為：2.56383、面積和約為：20.80630 圖2：圓𝐴面積約為：12.56637、圓𝐵面積約為：5.67610 圓𝐶面積約為：1.03091、面積和約為：19.27338 圖3：圓𝐴面積約為：8.82893、圓𝐵面積約為：4.14748 圓𝐶面積約為：3.22010、面積和約為：16.52052 圖4：圓𝐴面積約為：12.56637、圓𝐵面積約為：5.67610 圓𝐶面積約為：0.51755、面積和約為：18.76002 我們發現圖1的面積最大，馬爾法蒂圓的圖3的面積最小。

21

3. 當三邊長為20、21、29的直角三角形時：

圖1：圓𝐴面積約為：113.09734、圓𝐵面積約為：23.76247 圓𝐶面積約為：4.99265、面積和約為：141.85246 圖2：圓𝐴面積約為：113.09734、圓𝐵面積約為：23.76247 圓𝐶面積約為：21.38149、面積和約為：158.24130 圖3：圓𝐴面積約為：57.75710、圓𝐵面積約為：55.36551 圓𝐶面積約為：29.20781、面積和約為：142.33043 圖4：圓𝐴面積約為：113.09734、圓𝐵面積約為：23.76247 圓𝐶面積約為：3.00418、面積和約為：139.86398

我們發現圖2的面積最大，圖4的面積最小，但是圖3的馬爾法蒂圓並不是最小。

我們發現在邊長為 3、4、5 的直角三角形中，馬爾法蒂圓並不是面積和最大值，反而還 是這四種作法中最小的，我們猜測馬爾法蒂圓的面積可能為最小值，接著再試幾組畢氏數，

發現在邊長為20、21、29的直角三角形中，馬爾法蒂圓不是最小值，接著整理幾個邊長為 整數的直角三角形，利用GGB作圖，並計算三角形內部三圓的面積和，如表(一)。

圖形

邊長

三圓面積和 三圓面積和 三圓面積和 三圓面積和 3、4、5 4.2183

4.44778 3.97595

4.08613 5、12、13

20.8063

19.27338

16.52052

18.76002 8、15、17

42.6869

41.68147

36.48148

39.8267 7、24、25 53.3232

46.03929 38.23875

45.588 11、60、61

171.15385

136.94331

109.70201

137.24041 12、35、37

139.8161

124.49507

104.87754

122.46115 13、84、85

257.42358

201.32206

159.51875

202.30873 15、112、113

362.20958

278.39332

218.74317

280.26912 16、63、65

304.20426

256.23502

210.3628

254.86676 20、21、29 141.8526

158.2413

142.33043

139.86398

22

28、45、53 448.78503

453.51869 401.29926

426.59902 33、56、65

658.7541

657.66276

579.80312

622.26284 36、77、85

976.28484

926.6284

802.24523

894.88471

表(一)

從表(一)中我們可以找出反例說明馬爾法蒂圓的面積和沒有任何一次是最大的，但也不 全都是最小的，我們就猜測馬爾法蒂圓在三角形內的三個切線圓面積和不會是最大值，查閱 文獻發現，在 1930 年，數學家Lob 和 Richmond已經發現馬爾法蒂圓不會是最大值，並且在 1968 年，數學家 Gabai 和 Liban 對這一事實進行了嚴格的數學證明[9]，因此我們得知在已 知的三角形中作三個切線圓，馬爾法蒂圓面積總和不會是最大的。

(二) 等腰三角形

我們一樣做出多組等腰三角形，並比較四種不同作圖方法下的圓面積和大小關係，嘗試 將底邊長與腰長求比值，並嘗試找出比值與面積和大小是否有關，如表(二)。

圖形

邊長

底長 腰長 三圓面積和 三圓面積和 三圓面積和 三圓面積和

1、4、4

1.20395

1.00577

0.83247

1.00986 0.25 2、4、4

2.80783

2.67248

2.40045

2.63196 0.50 3、4、4 4.01339

4.1339 3.92814

3.96133 0.75 4、4、4

4.70592 5.11963

5.05072 4.7294 1.00 5、4、4

4.7853

5.48179

5.54524

4.82269 1.25 6、4、4

4.12331

5.04294

5.1923

4.14449 1.50 7、4、4

2.57709

3.50067

3.65089

2.58159 1.75 1、5、5

1.36037

1.09771

0.89062

1.10546 0.20 2、5、5

3.43895

3.13141

2.73147

3.11073 0.40 3、5、5

5.22969

5.16031

4.75335

5.03185 0.60 4、5、5 6.55646

6.83467

6.55181

6.50674

0.80 5、5、5

7.35301 7.99943

7.89176 7.38968 1.00 6、5、5

7.53798

8.54166

8.60359

7.59764 1.20 7、5、5

7.00947

8.32758

8.51929

7.05489 1.40

23

8、5、5

5.65486

7.16126

7.41565

5.67582 1.60 9、5、5

3.35758

4.70559

4.9163

3.36161 1.80 1、6、6

1.48105

1.16504

0.93208

1.17541 0.17 2、6、6

3.97302

3.49304

2.98064

3.48766 0.33 3、6、6

6.31762

6.01309

5.401

5.92192 0.50 4、6、6 8.24668

8.30509 7.76376

8.03894 0.67 5、6、6 9.68821

10.1769

9.80923

9.64451

0.83 6、6、6

10.58833 11.51917

11.36413 10.64114 1.00 7、6、6

10.87742

12.23951

12.54308

10.9627 1.17 8、6、6

10.47131

12.23031

12.95768

10.54689 1.33 9、6、6

9.27744

11.34661

12.37206

9.3251 1.50 10、6、6

7.19948

9.37443

10.47103

7.21956 1.67 11、6、6

4.1397

5.94476

6.7601

4.14335 1.83 3、2、2

1.03083

1.26073

1.29808

1.03612 1.50 3、7、7

7.29054

6.7295

5.92197

6.66944 0.43 6、7、7 13.40882

14.15994

13.69931

13.3741

0.86 8、7、7

14.80427

16.57624

16.60824

14.92056 1.14 4、10、10

13.75578

12.52562

10.9259

12.44293 0.40 4、8、8

11.23132

10.68993

9.600178

10.52785 0.50 9、10、10

28.10203 29.95131

29.16149 28.11175 0.90 10、11、11

34.17661 36.49547

35.57893 34.29698 0.91

79、100、100

2600.86062

2704.83396

2588.4851

2578.49599

0.79

78、100、100

2578.61056

2675.29341

2555.7927

2553.70465

0.78

77、100、100

2555.83905

2645.252 2522.6554

2528.32669 0.77

表(二)

在表(二)中我們發現當底邊長兩腰長的比值小於 0.77 時，馬爾法蒂圓得面積和是最小，比 值超過 1 的馬爾法蒂圓的面積和最大，因此我們猜測兩腰夾角大於60°的情況下馬爾法蒂圓面 積會是四種情況下最大的，而兩腰夾角小於cos^{−1 14071}

20000的情況下馬爾法蒂圓面積會是四種情況

下最小的。

24

伍、 研究結果

研究結果 1

一、 三角形內部三個圓中，每個圓皆需與三角形其中兩個邊相切且至少與另一相異圓外 切。能否尺規作圖作出?能否利用三角形三邊長表示其半徑?

(一) 圖形

(二) 尺規作法

1. 作三角形三內角平分線，做圓𝐴。

2. 圓𝐴與角平分線交點為圓𝐵和圓𝐶的切點。

3. 再作角平分線交𝐵、𝐶，作圓𝐵、圓𝐶，即完成作圖。

(三) 三圓半徑

1. 圓𝐴半徑𝑟₁及圓𝐵半徑𝑟₂，可用三角形三邊長𝑥、𝑦、𝑧表示

𝑟

₁

= √(𝑥 + 𝑦 + 𝑧)(−𝑥 + 𝑦 + 𝑧)(𝑥 − 𝑦 + 𝑧)(𝑥 + 𝑦 − 𝑧)

2(𝑥 + 𝑦 + 𝑧)

𝑟

₂

= √(𝑥 + 𝑦 + 𝑧)(−𝑥 + 𝑦 + 𝑧)(𝑥 − 𝑦 + 𝑧)(𝑥 + 𝑦 − 𝑧)

2(𝑥 + 𝑦 + 𝑧) ×

1 − √ 𝑥

²

− (𝑦 − 𝑧)

²

4𝑦𝑧 1 + √ 𝑥

²

− (𝑦 − 𝑧)

²

4𝑦𝑧

2. 圓𝐶半徑

(1) 圖一，

𝑟

₃

=

√(𝑥+𝑦+𝑧)(−𝑥+𝑦+𝑧)(𝑥−𝑦+𝑧)(𝑥+𝑦−𝑧)

2(𝑥+𝑦+𝑧)

× (

^1−√

𝑥2−(𝑦−𝑧)2 4𝑦𝑧

1+√^{𝑥2−(𝑦−𝑧)2} 4𝑦𝑧

)

2

。

(2) 圖二，

𝑟

₃

=

√(𝑥+𝑦+𝑧)(−𝑥+𝑦+𝑧)(𝑥−𝑦+𝑧)(𝑥+𝑦−𝑧)

2(𝑥+𝑦+𝑧)

×

^1−√

𝑦2−(𝑥−𝑧)2 4𝑥𝑧

1+√^{𝑦2−(𝑥−𝑧)2} 4𝑥𝑧

(3) 圖三，

𝑟

₃

=

√(𝑥+𝑦+𝑧)(−𝑥+𝑦+𝑧)(𝑥−𝑦+𝑧)(𝑥+𝑦−𝑧)

2(𝑥+𝑦+𝑧)

×

^1−√

𝑧2−(𝑥−𝑦)2 4𝑥𝑦

1+√^{𝑧2−(𝑥−𝑦)2} 4𝑥𝑦

25

(四) 由(三)可知三圓的半徑皆為實數，故皆可以使用尺規來作圖，因此我們得知，

若三角形三邊長皆為實數，其內部滿足條件一的三圓，皆可以尺規作圖。

研究結果 2

二、 三角形內部三個圓中，每個圓皆需與另外兩個圓外切且至少與三角形一個邊相切。能 否尺規作圖作出?能否利用三角形三邊長表示其半徑?

(一) 圖形

(二) 尺規作法

1. 作三角形三內角平分線，做圓𝐴及圓𝐵。

2. 三種方法。

(1) 等面積法求𝑟₃。

以A、B為圓心，𝑟₁+ 𝑟₃、𝑟₂+ 𝑟₃為半徑 畫弧交於圓C的圓心𝐶，𝑟₃為半徑畫圓，

即可完成作圖。

(2) 角平分線求圓𝐶切點𝐿。

如圖，∠𝐸𝑃𝐺平分線會通過圓𝐶與底邊𝑋𝑍切點，

所以我們可以利用角平分線做出切點𝐿，

並且找出圓心𝐶及半徑𝑟₃。

(3)對稱點求圓𝐶切點𝐿。

如圖，兩條平行底邊的直徑與圓𝐴、圓𝐵 交點𝐼、𝐽，𝐼𝐽⃡ 會通過切點𝐿，

並且找出圓心𝐶及半徑𝑟₃

26

(三) 三圓半徑及作法合理性 1. 等面積法

圓𝐶半徑

𝑟

₃

=

^{𝑟1∙𝑟2}

(√𝑟1+√𝑟2)²

2. 角平分線作法

如圖，已知𝐿為圓𝐶與𝑋𝑍切點

∵ 𝑃𝐸̅̅̅̅ ∶ 𝑃𝐺̅̅̅̅ = √𝑟1 ∶ √𝑟₂ = 𝐸𝐿̅̅̅̅ ∶ 𝐿𝐺̅̅̅̅

根據內分比性質

∴ 𝑃𝐿為角平分線，故作法正確。

3. 對稱點作法

如圖，已知𝐿為圓𝐶與𝑋𝑍切點

∵ 𝑚_𝐼𝐽⃡ = 𝑚_𝐼𝐿⃡

斜率相同，表示為同一直線

∴ 可知 I、J、L 三點共線，故做法正確。

(四) 對稱點法是三種作法中步驟最簡單的。

(五) 圓𝐴半徑𝑟₁及圓𝐵半徑𝑟₂，可用三角形三邊長𝑥、𝑦、𝑧表示

𝑟

₁

= √(𝑥 + 𝑦 + 𝑧)(−𝑥 + 𝑦 + 𝑧)(𝑥 − 𝑦 + 𝑧)(𝑥 + 𝑦 − 𝑧)

2(𝑥 + 𝑦 + 𝑧)

𝑟

₂

= √(𝑥 + 𝑦 + 𝑧)(−𝑥 + 𝑦 + 𝑧)(𝑥 − 𝑦 + 𝑧)(𝑥 + 𝑦 − 𝑧)

2(𝑥 + 𝑦 + 𝑧) ×

1 − √ 𝑥

²

− (𝑦 − 𝑧)

²

4𝑦𝑧 1 + √ 𝑥

²

− (𝑦 − 𝑧)

²

4𝑦𝑧

且圓C半徑𝑟₃與圓A半徑𝑟₁圓B半徑𝑟₂關係式為

¹

√𝑟

1

+ ¹

√𝑟

2

= ¹

√𝑟

₃

27

研究結果 3

三、 在同時滿足條件一與條件二的情況下，能否尺規作圖作出?能否利用三角形三邊長表示 其半徑?

研究目的 3 的部份，我們根據文獻記載找到作圖方法還有三圓半徑與三角形三邊長。

步驟 1：作△ XYZ的三條角平分線，交於一點𝑂₁。

步驟 2：分別對△ X𝑂₁𝑍、△ X𝑂₁𝑌、△ Y𝑂₁𝑍作 內切圓，圓𝐶、圓𝐴、圓𝐵。

步驟 3：作圓 A 與圓 B、圓 B 與圓 C、圓 C 與圓 A 的其中一條切線，依序為𝐹𝑀、𝐾𝐷、𝐿𝐸。

並將其交點命名為𝑂₂。

步驟 4：在四邊形 ZM𝑂₂L、XK𝑂₂M、YK𝑂₂L 作出內切圓圓𝑇、圓𝑈、圓𝑉。

步驟 5：只留下圓𝑇、圓𝑈、圓𝑉，即完成馬爾法蒂圓。

如下圖，一個已知的三角形內畫三個圓，每個圓與其他兩個圓及三角形其中兩邊相 切。若△ XYZ三邊長為x、y、z，內部三個切線圓的半徑分別為𝑎、𝑏、𝑐，令

s =

^{𝑥+𝑦+𝑧}

2 ，內

心為I，內切圓半徑為r，則 𝑎 = ^𝑟

2(𝑠−𝑦)(𝑠 − 𝑟 + 𝐼𝑌 − 𝐼𝑋 − 𝐼𝑍)、

𝑏 = ^𝑟

2(𝑠−𝑧)(𝑠 − 𝑟 + 𝐼𝑍 − 𝐼𝑋 − 𝐼𝑌)、

𝑐 = 𝑟

2(𝑠 − 𝑥)(𝑠 − 𝑟 + 𝐼𝑋 − 𝐼𝑌 − 𝐼𝑍)

28

研究結果 4

四、 三角形內部若有四圓以上(含)，且其中三圓為條件一或條件二，則其它圓必須與任意三 圓相切。能否尺規作圖作出?

下列兩個方法，雖然我們無法運用數學理論說明，但我們在很多種情況下嘗試過，結 果都為成功，所以我們在此提出對於這兩個作圖方法的猜測。

(一) 用於三圓相切於一直線的圖形

步驟一：畫出三圓交點的切線，找出交點 K。

步驟二：作圓心 A 與圓 B、圓 C 交點的連線、和圓心 B 與圓 A、圓 C 交點的連 線，和圓心 C 與圓 A、圓 B 交點的連線，找出三條連線的交點 J。

步驟三：以𝐽𝐾̅̅̅為直徑畫圓。

(二) 用於任何三圓兩兩相切的圖形。

步驟一：作出三圓兩兩的切線並作出三圓兩兩的索迪第四圓退化的圖形。

步驟二：作垂直 B、C 圓切線並過圓心 A 的垂線，將與圓周的交點和圓心 D 連線。

步驟三：作垂直 A、C 圓切線並過圓心 B 的垂線，將與圓周的交點和圓心 E 連線。

步驟四：作垂直 A、B 圓切線並過圓心 C 的垂線，將與圓周的交點和圓心 F 連線。

步驟五：找出步驟二到步驟四三條連線的交點 O 並將點 O 和點 A、B、C 任意點連 起 找出其與圓周的交點其交點與點 O 的距離為半徑，點 O 為圓心畫圓。

研究結果 5

五、 滿足條件一或條件二的情況下，能否比較其三圓面積和大小。

29

(一) 直角三角形

圖形

邊長

三圓面積和 三圓面積和 三圓面積和 三圓面積和 3、4、5 4.2183

4.44778 3.97595

4.08613 5、12、13

20.8063

19.27338

16.52052

18.76002 20、21、29 141.8526

158.2413

142.33043

139.86398

由文獻中我們可以得知，數學家Gabai 和 Liban在 1968 年提出的論文中，表示馬爾法 蒂問題中的圓面積和不會是最大值[6]，因此我們做了十三組的資料的比較，我們發現在邊長 為 3、4、5 的直角三角形中就可以知道，馬爾法蒂圓的面積和不會是最大值，但卻是我們比 較的四個情況中最小，但在 20、21、29 中的直角三角形，馬爾法蒂圓並不會是最小，我們 發現沒特定規律可以比較出三圓面積和的大小關係，但發現若兩股長越接近時，馬爾法蒂圓 的面積和越接近四種情況中的最大值。

(二) 等腰三角形

圖形

邊長

底長 腰長 三圓面積和 三圓面積和 三圓面積和 三圓面積和

3、4、4 4.01339

4.1339 3.92814

3.96133 0.75 4、4、4

4.70592 5.11963

5.05072 4.7294 1.00 5、4、4

4.7853

5.48179

5.54524

4.82269 1.25 4、5、5 6.55646

6.83467

6.55181

6.50674

0.80 5、5、5

7.35301 7.99943

7.89176 7.38968 1.00 6、5、5

7.53798

8.54166

8.60359

7.59764 1.20 5、6、6 9.68821

10.1769

9.80923

9.64451

0.83 6、6、6

10.58833 11.51917

11.36413 10.64114 1.00 7、6、6

10.87742

12.23951

12.54308

10.9627 1.17

77、100、100

2555.83905

2645.252 2522.6554

2528.32669 0.77

30

在表中我們發現當底邊長兩腰長的比值小於 0.77 時，馬爾法蒂圓的面積和最小，比值超 過 1 的馬爾法蒂圓的面積和最大，因此我們猜測兩腰夾角當大於60°時馬爾法蒂圓面積會是四 種情況下最大的，而兩腰夾角小於cos^{−1 14071}

20000的情況下馬爾法蒂圓面積會是四種情況下最小的。

陸、未來展望

一、雖然在馬爾法蒂圓部分，我們從文獻中可以知道馬爾法蒂圓永遠不會是三角形內三個切 線圓面積和最大值，但根據我們的數據推測，在等腰三角形中，兩腰夾角大於60°的情況 下馬爾法蒂圓面積會是四種情況下最大的，而兩腰夾角小於cos^{−1 14071}

20000的情況下馬爾法蒂

圓面積會是四種情況下最小的，我們將運用算式證明我們的推測列為以後的目標之一。

二、在尺規作圖的部分，目前無法使用數學理論說明我們對於第四、五圓的猜測，但我們 在好幾種不同的三圓內測試過了，皆能畫出第四、第五圓，因此更加讓我們確信這個猜 測，所以我們打算將證明第四、五圓作法訂為日後研究目標。

柒、參考資料

[1]李承軒、翁如宣。2016。圓圓不絕的涉及三個內切圓的一個有趣結論三角問題。

臺灣國際科學展覽會。

[2]鄒黎明。涉及三個內切圓的一個有趣結論。數學傳播 40 卷 1 期，p.p. 87-90。

[3]黃俊瑋、朱舢樺、程紘琪。從一道算額問題到數學科展。台北市立和平高中。

HPM 通訊第二十二卷第二期第一版。

[4]海因里希·德里。100 個著名初等數學問題歷史與解答，凡異，p.p. 174-178。

[5] Baker, H. F. (1925), "II.Ex.8: Solution of Malfatti's Problem", Principles of Geometry, Vol. IV:

Higher Geometry, Cambridge University Press, pp. 68–69.

[6] Gabai, Hyman; Liban, Eric (1968)。 "On Goldberg's inequality associated with the Malfatti problem"

[7] According to Stevanović (2003)。these formulae were discovered by Malfatti and published posthumously by him in 1811.

[8] Milorad R. Stevanovic。Triangle Centers Associated with the Malfatti Circles。

Forum Geometricorum Volume 3 (2003) 83–93.

【評語】 030413

在三角形已給定的情況下，如何以尺規作圖的方式畫出這三 個圓？作者們對於所有可能的情況作了討論，給出了解答。惟有 些論述的過程稍嫌冗長了些，感覺上是在討論同樣的內容，但卻 被當成是兩個不同的情況重複討論。如果能以引理的方式呈現，

應該可以讓論述看起來更為清楚而且精簡。後半部關於三個圓在 不同狀況下面積和的大小比較和原本要討論的主題似乎沒有太大 的關連性，而除了說明由計算所觀察到的現象，好像也無法給出 太多理論上的論述。對於直角三角形、等腰三角形及正三角形可 嘗試找出面積及周長等的一些特性或規律性。

C:\Users\cutes\Downloads\030413-評語

作品簡報

連中三圓

摘要

本文在探討如何利用尺規作圖作出三角形內部三個(含)以上的切線圓及相切圓，並且 用三角形三邊長表示三圓半徑，討論在某條件下的圓面積和。分析為下列三種條件。

條件一、三角形內部若有三圓，則任一圓皆需與「一個相異圓及三角形兩邊相切」。

條件二、三角形內部若有三圓，則任一圓皆需與「兩個相異圓及三角形其中一邊相切」。

條件三、三角形內部若有四圓以上(含)，且其中三圓為條件一或條件二，則其它圓必須 與任意三圓相切。

利用尺規完成上述三種條件的作圖，接著找出條件一及條件二半徑和三角形三邊長的 關係。並發現其中包含索迪公式第四圓退化成一直線和馬爾法蒂圓。然後嘗試利用尺規 作出條件三的圖形，嘗試找出在直角、等腰三角形中的圓面積和大小關係。

依照上述三個條件，

我們整理出六種圖

形，如圖所示

【條件一】

步驟1：作三內角角平分線找出交點A，以A點為圓心A點到任意邊的垂直距離為 半徑畫圓，則圓A為第一個內切圓，如右圖。

步驟2：由於外切兩圓的連心線必過切點，則可知第二個圓𝐵的圓心必在𝑋𝐴上，

則圓 𝐴與圓𝐵的切點為𝑋𝐴與圓𝐴的交點𝑃，作過𝑃點切圓𝐴的切線𝑅𝑄，接著 作∠𝑅𝑄𝑋角平分線交𝑋𝐴於𝐵點，則𝐵為圓𝐵圓心，𝐵𝑃為半徑畫圓，即可畫 出第二個圓𝐵，如圖所示。

步驟3：同理步驟2作出第三個圓𝐶，如下圖即完成作圖。

1 ：滿足條件一的情況下，能否尺規作圖作出?能否利用三角形三邊長表示其半徑?

2 ：滿足條件二的情況下，能否尺規作圖作出?能否利用三角形三邊長表示其半徑?

3 ：滿足條件一與條件二的情況下(馬爾法蒂圓)，能否尺規作圖作出?能否利用三角形三邊長表示其半徑?

4 ：滿足條件三的情況下，能否尺規作圖作出?

5 ：滿足條件一或條件二的情況下，能否比較其三圓面積和大小。

研究目的

研究過程