k 2I
( I 4 I
8I I I
4 )I k 8 k
(2 k
I 8I k
I I 4 )I k 8 (2 k I
8I I I
4 )I k 8 (2 k
8 I k 8I I I
4 2I k
8I ) I k 2I (I
I k I
2 2
1
o in 2 1
o 2 in o
2 2 1 in
o 1 2 o
2 in o
o 2 in in 1 o 2 2 1
o 2 o 2 in in 1 o 2 1 out
o 2 in in 1 o 2 1
o 2 1 o 2 in in 1 o
o 2 o 1 in o
0 2 out
− +
+ +
=
− +
+ +
=
+ +
− +
=
− +
+ +
=
∴
+ +
+
=
+ +
+
=
+ +
= +
由上式子可以得知，因為我們要實現的式子是 2 2
2 1 8 9 72 ) 73
( x x x
P ′ = + +
，所以可得1.6 k
8 ,
k
1= 9
2≅
。經由這樣的設計我們就可以去實現P′
2( x )
的電路，電路圖如圖 4.13 所示。
V
DDGND
I 0
I 0
1 0I k
0 2
I k
圖 4.13 柴比雪夫多項式的經濟化電路圖
電路圖 4.13 中，M2 和 M4 是我們外加在電流平方電路[12]的輸入端和輸出端的 電流，其中 M3、M7、M8、M9、M10、M11 為原本的電流平方電路[12]，M5、M6、
M12 為觀察 電流之用。當
I
電流從-
變化之時，I
相對於
I
in 流成指數般的變化。I
out in35uA ~ 35uA
out電流則會電
4-2.2 模擬結果
我們使用 HSPICE 模擬，再搭配 HSPICE TOOLBOX 和 MATLAB 工具去做比較。模 擬結果如圖 4.14、圖 4.15、圖 4.16、圖 4.17、圖 4.18 所示。
圖 4.14 HSPICE
I
out電流模擬圖圖 4.15 HSPICE (
I
out) dB 模擬圖-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x 10-5 0
0.5 1 1.5 2 2.5x 10-5
Imn6(A)
Iin(A)
proposed circuit
ideal exponential function
圖 4.16 HSPICE 轉 MATLAB
I
out電流比較圖-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
x 10-5 -10
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
Imn6(dB)
Iin(A)
proposed circuit
ideal exponential function
圖 4.17 HSPICE 轉 MATLAB(
I
out) dB 比較圖圖 4.18 HSPICE 轉 MATLAB(
I
out) dB 誤差圖由模擬圖 4.14 可知，我們電路上所實現的電流曲線和式子是相當的吻合，再由 圖 4.15 所呈現的 16.6dB 得知，我們電路上模擬的和數學上所模擬的差距很小。
因此我再拿其 Hspice 模擬的結果利用 Hspice Toolbox 這套工具把它呈現在 MATLAB 上，由 MATLAB 的模擬圖 4.17 和圖 4.18 可以得知，電路模擬出來的和理 想的值非常接近，在區間
- 35uA ~ 35uA
內其 dB 誤差都小於±
0.5dB，和我們 之前作的數學模擬非常吻合，高達 16.6dB，比論文[7]所提供的電流模式之指數 函數產生器所提供 12.6dB 還要高出許多。4-3 虛擬指數函數電路實現 4-3.1 電路設計
因為我們所實現之近似函數
2 2
8 1 16
9 24 25
8 1 16
9 24 25 ) (
x x
-x x x
P
r+ +
= +
′′
是有理數的形式，因此我們必須要有除法的電路。於是我們接著來介紹電流除法器[13]，如圖 4.19 即為電 流除法器的核心電路，其中 M1、M2 操作在線性區，M3、M4、M5、M6 為電流鏡的 功用，其工作原理推導如下:
因為
]
2 )V V
V L [(V
I W
2 ds ds
tn gs ox
n
− −
= μ C
[2(V V )V V ] 2
K
2ds ds tn gs
n
− −
=
所以
V )V V ]
2 [2( V 2
I
1= K
n1 dd−
tn1 ds1−
ds12
[2(V V )V V ]
2 I K
I
I
2=
in+
4=
n2 G2−
tn2 ds2−
ds22 由於電流鏡的關係I
1= I
3= I
4∴ K
n3= K
n4, V
tn3= V
tn4所以
V , V V V V
K V 2I
V
tn3 gs3 ds1 gs4 ds2n3 d1 gs4
gs3
= = + + = +
則
V
ds1= V
ds2假定 M1、M2 互相匹配
K
n1= K
n2= K
n, V
tn1= V
tn2= V
tnV
ds2= V
ds1 所以 1 n[2( V
ssV
tn)V
ds2V
ds22] I
3I
42
I = K − − − = =
2 n
[2(V
G2V
ssV
tn)V
ds2V
ds22] I
4I
in2
I = K − − − = +
{ [2(V V V )V V ] [2( V V )V V ] } 2
I
in= K
n G2−
ss−
tn ds2−
ds22− −
ss−
tn ds2−
ds22
( 2 V V ) K V V ( 4 . 4 ) 2
= K
n ds2 G2=
n G2 ds2
M1 M3 M4
M6 M5
M2 I2 I1
I4
I
inV ss
V DD
V G2 V DS2
圖 4.19 電流除法器的核心電路圖[13]
由式(4.4)可以得到 電流和 M2 電晶體的關係。若能將其 電壓取代成電 流，則就可以轉變成電流相除的功能。電路圖如下圖 4.20 所示。其式子推導如 下:
I
inV
G2
V ss
V DD
V DS2
圖 4.20 電流除法器電路圖[13]
(1)
I
in= K
nV
ds2V
G2(2)因 Md7 Md8 互相匹配
K
p3= K
p4= K
p, V
tp3= V
tp4= V
tp所以 dd G2 tp 2 p
7
( V V V )
2
I = K − −
2 tp ss
G2 p D
7
8
( V V V )
2 I K I
I = + = − −
] ) V V
V ( ) V V V
( 2 [ I K
I
I
D=
d8−
d7=
p G2−
ss−
tp 2−
dd−
G2−
tp 2則
G2 tp dd
p G2
tp dd
p
[(2V 2 V )(2V )] 2K (V V )V
2
K − = −
=
因此
( 4 . 5 ) I
I K
) V (V
V 2K , ) V V (V
2K K I I
D in n
tp dd
p ds2
ds2 tp
dd p
D n
in
= −
= −
由上式子(4.5)可以得到電流相除的結果，但是此電路是正負電壓源，與之前介 紹之電流平方電路[12]的正電壓源不相同。因此我們將之前的電流除法器[13]
正負電壓源改成單一電壓源，稱作修改的電流除法器，如圖 4.21，其中 M1、M2 操作在線性區，M3、M4、M5、M6 為電流鏡的功用，其工作原理推導如下:
因為
[2(V V )V V ]
2 ] K 2 )V V
V L [(V
I W
n gs tn ds ds22 ds ds tn gs ox
n
d
= C μ − − = − −
所以
V )V V ]
2 [2( V 2
I
d1= K
n1 dd−
tn1 ds1−
ds12
[2(V V )V V ]
2 I K I
I
d2=
in+
4=
n2 G2−
tn2 ds2−
ds22由於電流鏡的關係
I
d1= I
d3= I
d4∴ K
n3= K
n4, V
tn3= V
tn4所以
V , V V V V
K V 2I
V
tn3 gs3 ds1 gs4 ds2n3 d1 gs4
gs3
= = + + = +
則
V
ds1= V
ds2假設 M1、M2 互相匹配 ，則
K
n1= K
n2= K
n, V
tn1= V
tn2= V
tnV
ds2= V
ds1所以 d3 d4
2 ds1 ds1
tn dd
n
d1
V )V V ] I I
2 [2( V 2
I = K − − = =
d4 in
2 ds2 ds2
tn G2 n
d2
[2(V V )V V ] I I
2
I = K − − = +
則
V )V V ] }
2 [2( V ] V )V
V [2(V
2 {
I
in= K
n G2−
tn ds2−
ds22−
dd−
tn ds1−
ds12
K ( 2 V V ) V ( 4 . 6 ) )
V V V
V 2
K
n( − =
n−
=
V DD
GND
圖 4.21 修改的電流除法器之核心電路圖
由上式子(4.6)可以得到 電流和 M2 電晶體的關係。因此在依據圖 4.22 去推導
、 和 M2 的關係。其式子推倒如下:
I
inI
inI
d(1)
V (2V V )
2
I
in= K
n ds2 G2−
dd(2)M7 M8 互相匹配,則
K
p3= K
p4= K
p, V
tp3= V
tp4= V
tp因為 d7 p
( V
ddV
G2V
tp)
22
I = K − −
d8 d7 d p
( V
G2V
tp)
22
I K I
I = + = −
] ) V V
V ( ) V V
( 2 [ I K
I
I
d=
d8−
d7=
p G2−
tp 2−
dd−
G2−
tp 2 所以
[(V 2 V )(2V V )]
2 K
dd G2
tp dd
p
− −
=
因此
) 7 . 4 ( I I K
) V 2 (V
V K
) V V 2 (V
K
2I 2
I K
d in
n
tp dd
p ds2
ds2 tp
dd p
d n
in
= −
= −
由式子(4.7)可以得到電流相除的結果，並且這電路還是單一電壓源，與電流平 方電路[12]可以組合在一起使用。
V DD
GND
圖 4.22 修改的電流除法器電路圖
經由上面敘述所介紹的修改之電流除法器，在搭配上電流平方電路[12]的使用，
於是我們就可以實現近似函數
2 2
8 1 16
9 24 25
8 1 16
9 24 25 ) (
x x
-x x x
P
r+ +
= +
′′
。於是我們參考先前論文提到的電流平方電路[12]，一樣在輸入和輸出端分別流入 和 的電 流，這樣我們即可以實現分子部分的式子。接著我們一樣再使用電流平方電路 [12]，輸入和輸出端分別流入 和 的電流，只是此時的 為流出，這 樣我們即可以實現分母部分的式子。但是我們又注意到其實分母和分子的方程式
只有在一次項係數不同，若能將其分子的電流 減去 ，則也可以實現
分母的式子，我們就不需重覆的使用到二次的電流平方電路[12]。電路圖如圖 4.23 所示。其式子推導如下:
0 n1
I
k k
n2I
00 d1
I
k k
d2I
0I
cI
nk
n1I
c/ 2
I 1.75 x I
1.75 , K e
) V 2 (V K
e I
e I K
) V 2 (V K I
I K
) V 2 (V V K
V
e I )]
8 k (2 k I
I 4 k I
I 8 [ 1 I 2 I
I k I
1.6 k
4 , k 9
, 24 x 25 16 x 9 8 1
e I )]
8 k (2 k I
I 4 k I
I 8 [ 1 I I
o x c
n tp dd
p
2I - I
o 2I
I
o n
tp dd
p
d n n
tp dd
p M22
ds, exp
2I -I
o n2
2 n1 o
c n1 2
0 2 ic o c n1 n
d
n2 n1
2I I
o n2
2 n1 o
c n1 2
0 2 c o n
o c o c o c o
c
≤
=
≤
− ⋅
≅
− ⋅
=
− ⋅
=
=
≈
− +
+
−
=
−
=
=
= +
+
≈
− +
+ +
=
′
M1 M2
M3
M4 M5
M7 M6 M8
M9 M11
M13 M12
M14 M15
Io
Io
Ic
Ic
In
In
Id
In
V
expIin M10
VDD
GND
M21 M22
M16 M17 M18
M19 M20
M23
M24
/2 VDD /2
I kn1c
0 n2I
k kn1I0
圖 4.23 虛擬的指數函數電路圖
電路圖如圖 4.23 中， ， 的範圍從 ， 和 電
流分別實現分子和分母的二次式，經由中間的修改電流除法器將其相除，最後轉 成電壓輸出。
10uA
I
0= I
c- 17.5uA ~ 17.5uA I
nI
d4-3.2 模擬結果
電路 HSPICE 模擬結果如圖 4.24、圖 4.25、圖 4.26、圖 4.27、圖 4.28，HSPICE 轉 MATLAB 模擬結果如圖 4.29、圖 4.30、圖 4.31、圖 4.32、圖 4.33、圖 4.34 所示。
圖 4.24 HSPICE
I
n和I
d電流模擬圖圖 4.25 HSPICE
I
n/I
d模擬圖圖 4.26 HSPICE(
I
n/I
d)dB 模擬圖圖 4.27 HSPICE
V
exp電壓模擬圖圖 4.28 HSPICE(
V
exp)dB 模擬圖-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
x 10-5 -3
-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5
0x 10-5
In,Id(A)
Ic(A)
Id In
圖 4.29 HSPICE 轉 MATLAB
I
n和I
d電流模擬圖-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 x 10-5 0
1 2 3 4 5 6
In/Id
Ic(A)
proposed circuit
ideal exponential function
圖 4.30 HSPICE 轉 MATLAB
I
n/I
d比較圖-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
x 10-5 -20
-15 -10 -5 0 5 10 15 20
In/Id(dB)
Ic(A)
proposed circuit
ideal exponential function
圖 4.31 HSPICE 轉 MATLAB(
I
n/I
d)dB 比較圖圖 4.32 HSPICE 轉 MATLAB(
I
n/I
d)dB 誤差圖-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
x 10-5 0
0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4
Vexp(V)
Ic(A)
proposed circuit
ideal exponential function
圖 4.33 HSPICE 轉 MATLAB
V
exp電壓比較圖-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 x 10-5 -40
-35 -30 -25 -20 -15 -10 -5
Vexp(dB)
Ic(A)
proposed circuit
ideal exponential function
圖 4.34 HSPICE 轉 MATLAB(
V
exp)dB 比較圖由 Hspice 模擬圖 4.24、圖 4.25、圖 4.26、可以得知，所模擬出的 2 條電流曲 線和數學式子極為吻合，接著其相除結果也和理想指數函數很接近，其 dB 圖也 呈現出 30.7dB 和數學模擬 30.4dB 極為符合。因此我接著使用 MATLAB 去模擬其 結果和理想值的差距，由圖 4.29、圖 4.30、圖 4.31、圖 4.32 可以得知，In/Id 的曲線和理想指數函數曲線極為接近，其 dB 誤差圖也極為吻合，在區間
內其 dB 誤差都小於
17.5uA
~ 17.5uA
-
±0.5dB，與之前數學模擬的結果極為吻合，呈現出 30.7dB 的輸出範圍，比論文[20]所提供的電流模式之指數函數產生 器所提供 20dB 還要高出許多，條件均是 dB 誤差都小於 0.5dB± 。圖 4.33 的電壓 曲線也和理想的電壓曲線極為接近，圖 4.34 的 dB 值也高達 29.4dB。
4-4 柴比雪夫有理數電路實現 4-4.1 電路設計
因為我們所實現之近似函數
2 2
71 6 79 39 24 23
29 2 41 19 24 23 ) (
x x
x x x
r
+
− +
= +
，所以參考先前論文提到的電流平方電路[12]，一樣在輸入和輸出端分別流入 和 的電流，這 樣我們即可以實現分子部分的式子。接著們一樣再使用電流平方電路[12]上，輸
入和輸出端分別流入 和 的電流，只是此時的 為流出，這樣我們即
可以實現分母部分的式子。接下來我們在參考先前論文所提到之修改的電流除法 器，利用其電流除與電流的功能將其輸出轉換成電壓，電路圖如圖 4.35 所示。
其式子推導如下所示:
o n1
I
k k
n2I
oo d1
I
k k
d2I
oI
inx
n tp dd
p
2 x
-o 2 x
o
n tp dd
p
d n
n tp dd
p ds exp
x'
o 2 in
o in o
o 2 in
o in o
d n
d2 d1
o 2 in
o in o
d2 2
d1
o in 2 d1
o in o
d
n2 n1
o 2 in
o in o
n2 2
n1
o in 2 n1
o in o
n
e 1.225 K
) V 2 (V K
e I
e I K
) V 2 (V K I I K
) V 2 (V K V V
(4.8) e
1.225 24 )
23 I
I 79 ) 39 I ( I 71 ( 6 48 I 71
24 ) 23 I
I 41 ) 19 I ( I 29 ( 2 16 I 29
I I
1.65 k
, 2.93 k
, 24 ) 23 I
I 79 ) 39 I ( I 71 ( 6 48 I 71
71 )) 48k 71
6k 71 ( 96 I
I 71 ) 12k I ( I 71 ( 6 48 I I 71
1.7 k
, 3.35 k
, 24 ) 23 I
I 41 ) 19 I ( I 29 ( 2 16 I 29
29 )) 16k 29
2k 29 ( 32 I I 29 ) 4k I ( I 29 ( 2 16 I I 29
− ⋅
=
− ⋅
=
− ⋅
=
=
= +
+
=
=
= +
=
+ +
=
=
= +
=
+ + +
=
-Io
Io
In
Vexp
Iin
VDD
GND
/2 VDD Id
o n1I
o K
n2I
o K
d2I
o K
d1I K
Iin
Io
圖 4.35 柴比雪夫有理數電路圖
電路圖 4.35 中， M14、M25 為觀察 和 電流之用，M1、M2、M3、M4、M5、M6、
M7、M8 為修改的電流除法器。其中
I
nI
d5uA
I
0=
，當 電流從-
變化之時， / 電流則會相對於 電流成指數般的變化。Vexp 電壓相對於 電 流則會成指數般變化。
I
in13uA ~ 10uA
I
nI
dI
inI
in4-4.2 模擬結果
我們使用 HSPICE 模擬，再搭配 HSPICE TOOLBOX 和 MATLAB 工具去做比較。電 路模擬結果如圖 4.36、圖 4.37、圖 4.38、圖 4.39、圖 4.40、圖 4.41、圖 4.42、
圖 4.43、圖 4.44、圖 4.45、圖 4.46 所示。
圖 4.36 HSPICE
I
n和I
d電流模擬圖圖 4.37 HSPICE
I
n/I
d模擬圖圖 4.38 HSPICE(
I
n/I
d)dB 模擬圖圖 4.39 HSPICE
V
exp電壓模擬圖圖 4.40 HSPICE(
V
exp)dB 模擬圖-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1
x 10-5 0
0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8
2x 10-5
In,Id(A)
Iin(A)
In Id
圖 4.41 HSPICE 轉 MATLAB
I
n和I
d電流模擬圖-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 x 10-5 0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Iin(A)
proposed circuit
ideal exponential function
圖 4.42 HSPICE 轉 MATLAB
I
n/I
d比較圖-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1
x 10-5 -25
-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20
dB
Iin(A)
proposed circuit
ideal exponential function
圖 4.43 HSPICE 轉 MATLAB(
I
n/I
d)dB 比較圖圖 4.44 HSPICE 轉 MATLAB(
I
n/I
d)dB 誤差圖-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1
x 10-5 0
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7
vout(V)
Iin(A)
proposed circuit
ideal exponential function
圖 4.45 HSPICE 轉 MATLAB
V
exp電壓比較圖-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 x 10-5 -50
-45 -40 -35 -30 -25 -20 -15 -10 -5
vout(dB)
Iin(A)
proposed circuit
ideal exponential function
圖 4.46 HSPICE 轉 MATLAB(
V
exp)dB 比較圖由 Hspice 模擬圖 4.36、圖 4.37、圖 4.38、圖 4.39、圖 4.40 可以得知，所模 擬出的二條電流曲線和數學式子極為吻合，接著其相除結果也和式子(4.8)的 1.225 倍指數函數很接近，其 dB 圖也呈現出 39.14dB 和數學模擬 39dB 極為符合。
因此我接著使用 MATLAB 去模擬其結果和理想值的差距，由圖 4.41、圖 4.42、圖 4.43、圖 4.44 可以得知， / 的曲線和 1.225 倍指數函數曲線極為接近，其
dB 誤差圖也極為吻合，在區間 內其 dB 誤差都小於 ，與之
前數學模擬的結果極為吻合。