第一章 緒論

第一章 緒論

1-1 簡介

在混合信號之積體電路中，可變增益放大器[1,2,3,4,5]和自動增益控制迴路 [6]被廣泛的使用，它的應用有相當多方面，例如通訊系統的應用、助聽器、硬 碟讀取裝置、醫療設備等[1,2,3,4,5,6]。而變增益放大器和自動增益控制迴路 最重要的部份就是指數函數產生器，其原因是為了可以獲取更高的增益控制範 圍，若增益可控制的範圍變大，則對於此系統更有好處。所以如何近似指述函數 變成判定指數函數產生器好壞的條件，在數學方面我們可以用無窮階的泰勒展開 式去近似指述函數，近似的效果非常好，但在電路上我們無法實現此無窮階的多 項式，所以必須尋找更近似指述函數的近似函數，不論是多項式或有理數。

就電路而言，在現今的互補金屬氧化物半導體製程中， MOS 在飽和區時並無 指數般的特性，只有在弱反轉區有指數的特性，但是在此區操作速度非常慢、且 頻寬也是非常的小，不適宜使用。然而雙極性接面電晶體就有指數的特性，但是 雙極性接面電晶體無法像互補金屬氧化物半導體一樣容易積體化，所以電路會比 現今的 CMOS 還要大，若使用 BiCMOS 製程則可以做到積體化，使電路變的更小，

但是 BiCMOS 製程現今還是非常的昂貴，所以不適宜普遍的使用。因此如何設計 出指數函數產生器之電路，且運用現今的互補金屬氧化物半導體製程技術，變成 一項相當重要的課題。

1-2 先前論文介紹與研究動機

ㄧ般而言，指數函數產生器可分電壓模式和電流模式，電壓模式和電流模式分 別就在於控制指數函數產生器的是電壓或電流。若針對電流模式的指數函數產生 器而言，先前的論文[7,8]有利用電流平方電路去實現泰勒二階展開式，來近似 指數函數，但由於判斷近似好與否的條件是(dB)強度誤差要小於正負 0.5(dB)，

若遵照此條件去判斷，則使用此方法只能提供約 12.6dB 的輸出範圍，並非相當 的大。所以我們想要更近似指數函數，取得更高的輸入範圍或輸出範圍。也有論 文[4]使用電流乘法電路去實現泰勒四階展開式，來近似指數函數，雖然擁有約 24.6dB 的輸出範圍，但電路過於龐大，實際應用的機會過小。不論是以何種方 法去近似指數函數，都是要能更接近指數函數，進而獲取更加高的輸出範圍。

因此本篇論文之作法是先在數學上找到近似指數函數的近似函數。依據之前論 文比較的方法，取其(dB)強度誤差，且誤差值要落在正負 0.5dB 內，稱為非常近 似指數函數。因此我們使用的方法一是最佳近似法，在(dB)強度誤差小於正負 0.5dB 的條件下，去近似指數函數。另ㄧ方法就是使用柴比雪夫多項式的近似方 法去近似指數函數。從數學方面找到近似函數，再依序的實現電路。電路模擬結 果經證實與數學的模擬結果非常吻合。本論文實現之電流模式指數函數產生器，

不論是多項式的近似函數或是有理數的近似函數，都具有高輸入範圍和高輸出範 圍，且都符合(dB)強度誤差小於正負 0.5dB 的條件。相對於其他篇論文所實現之 電流模式的指數函數產生器，我們擁有其高輸入範圍和高輸出範圍，並且電路不 會過於龐大。

1-3 論文架構

本篇論文共分五章，第二章則是介紹本篇論文最重要的近似法，柴比雪夫多項 式近似法[9]，利用柴比雪夫多項式近似法來近似指數函數。第三章介紹一種最 佳近似法，用其最佳近似法來逼近指數函數，包含二次有理數近似和四次有理數 近似。第四章則是本篇論文的電路實現和模擬，也包含先前的基本電路介紹。模 擬方面使用的工具有 HSPICE、MATLAB、HSPICE TOOLBOX 等。第五章則是電路佈 局圖、Pre-simulation 和 Post-simulation。第六章則是結論與未來研究，最後 在附上所有的參考文獻。

第二章 柴比雪夫多項式近似

2-1 柴比雪夫多項式

柴比雪夫多項式[9]，是以俄國數學家P. F. Chebyshev (1821-1994) 的名字 所命名的，係用來求物理與工程問題的正交函數，擁有在非週期性的無限次方收 斂及忽略末點的非連續性之特性，柴比雪夫多項式的函數 定義在(-1,1)

上。與權重函數 在(-1,1)內為正交。因此 定義為:

) T

_n

(x

-1/2 2

) - (1 )

( x x

W = T

_n

(x )

[ ]

] [0, ,

) cos(

) ( )

(

) arccos(

1,1 - x 0

)], arccos(

cos[

) (

π θ

θ θ

θ

∈

′ =

=

=

∈

≥

⋅

=

n T

x T

x

n x n

x T

n n

n

因此柴比雪夫多項式為一獨立變數變化的餘弦函數,所以利用三角函數關係式:

θ θ

θ θ

θ θ

θ θ

θ θ

θ θ

)sin sin(

)cos cos(

) 1) - cos((

) (

)sin sin(

- )cos cos(

) 1) cos((

) (

1 1

n n

n T

n n

n T

n- n

+

=

′ =

=

+

′

₊

=

我們可以推衍出遞代關係式:

T x xT x - T x n T

- nθ

T

n- n

n

n- n

≤

=

∴

= ′

′

+ +

1 , ) ( )

( 2

) (

) ( )cos

2cos(

) (

1 1

1

1 θ θ θ

因此柴比雪夫前五項多項式如下所示

1 8

8 ) ( )

( 2 ) (

3 4

) ( ) ( 2 ) (

1 2

) ( )

( 2 ) (

) arccos cos(1

) (

1 ) arccos cos(0

) (

2 4

2 3

4

3 1

2 3

2 0

1 2

1 0

+

=

=

=

=

=

=

=

⋅

=

=

⋅

=

x - x x

T - x xT x

T

x - x x

T - x xT x

T

- x x

T - x xT x

T

x x

x T

x x

T

則

T

₁

( x ), T

₂

( x ), T

₃

( x ) 與 T

₄

( x )

之圖形如圖 2.1 所示。

圖 2.1 柴比雪夫多項式圖

經由上式可以得知，

T

_n

(x )

之中

x

ⁿ項的係數永遠是

2

^n-1。

柴比雪夫多項式的正交關係為：

⎪ ⎪

⎩

⎪ ⎪

⎨

⎧

≠

=

=

=

≠

=

= ∫

−

0 0

2 ,

, 0,

) ( ) ( ) ( ,

1

1

m n

m n

m n

dx x W x T x T T

T

_{n m n m}

π π

其中〈﹐〉定義為柴比雪夫內積，權重函數

W ( x ) = (1 - x

²

)

^-1/2。

2-2 柴比雪夫多項式之經濟化

柴比雪夫多項式可以用來使近似的誤差變小，其方法為降低近似多項式之次數，

但只有失去最少的精確度。以下簡介此作法的緣由[9]:

因此柴比雪夫多項式在(-1,1)內,其極值落在[-1,1]內。

當我們只要將柴比雪夫多項式 除以其首項細數 ，就可以推衍出首項系

數為＂1＂之柴比雪夫多項式 。其定義如下:

)

T

_n

(x 2

^n-1

)

~ x ( T

_n

~ ( ) 1

，

0

x =

T ^{( )}

2 ) 1

~ (

1 -

n

x

n

T x

T =

_{n ，}

n ≥ 1

這些多項式也滿足遞迴關係:

2

, )

~ ( 4 ) 1

~ ( )

~ (

)

~ ( 2 ) 1

~ ( )

~ (

1 1

0 1

2

≥

=

=

+ x x T x - T x n

T

x T - x T x x

T

n- n

n

所以

8 ) 1

~ ( 4 ) 1

~ ( )

~ (

4 ) 3

~ ( 4 ) 1

~ ( )

~ (

2 ) 1

~ ( 2 ) 1

~ ( )

~ (

)

~ (

1 )

~ (

2 4 2

3 4

3 1

2 3

2 0

1 2

1 0

+

=

=

=

=

=

=

=

=

x - x x T - x T x x T

x - x x T - x T x x T

- x x T - x T x x T

x x T

x T

則

~ ( )

1

x

T

，

~ ( )

2

x

T

，

~ ( )

3

x

T

，

~ ( )

4

x

T

之圖形如圖 2.2 所示

圖 2.2 首項係數為一之柴比雪夫多項式圖

由於

T ~ x

_n

( )

與

T

_n

(x )

之間的線性關係。

因此我們考慮在

x ∈ [-1,1]

，以

n - 1

次之多項式來逼近隨意一個

n

次多項式

0 1

1

) 1

(

P

_n

x = a

_n

x

ⁿ

+ a

_n-

x

^n-

+ ... + a x + a

由於

~ ( ) ( )

2

1 max max

[-1,1]

[-1,1]

1

T x P

_n

x

x n

n- x

∈

∈

≤

=

_[9]

我們的目標是選取

P

_n-1

( x )

，使得

^{(x) -}

-1

^(x)

1

max

1 ^{n n} ]

, [- x

P P

∈ 為最小。

首先我們注意到 為一 次多項式且首項係數為"1"，所以我 們可以得到

n n

n

P a

P (x) - (x))/

(

_-1

n

-1 1

2 (x))/ 1

- (x)

( P

_n

P

_n

a

_n

≥

_n-

也就是

~ ( ) (x))

- (x) 1 (

1

-

T x

P

a

_n

P

^{n n}

=

ⁿ

這意味著我們應取

~ ( )

- (x)

1

(x)

-

P a T x

P

_n

=

_{n n n} ，這種方式我們得到了

1 1 - 1

1 1

- 1

1

1 ( (x) - (x)) 2

(x) -

(x)

max max

^{n n n-n}

] n , [- x n n

n ] , [- x

P a a P

a P

P = =

∈

∈

的最小值。此方法又稱柴比雪夫多項式之經濟化。

因此我們使用柴比雪夫多項式的經濟化來經濟化指數函數的泰勒3階(Taylor)展 式，依據上面方法:

因為

~ ( )

a - ) ( )

(

_{3 3 3}

2

x P x T x

P =

6 a 1 4 , ) 3

~ ( 6 ,

1 2

1 1 )

(

^{2 3} ₃ ³ ₃

3

x = + x + x + x T x = x - x =

P

所以

)

4 ( 3

6 - 1 6 1 2

1 1 )

(

^{2 3 3}

2

x x x x x -

P = + + +

2 2

2 1 8

1 9

8 1 2

1 1

x x

x x

x + +

=

+ +

+

=

所以我們拿柴比雪夫多項式經濟化的多項式 ,泰勒 2 階展開式與指數函數 去做比較, 比較如下圖 2.3、 圖 2.4、 圖 2.5 所示

)

2

( x

P

圖 2.3 近似函數

P

₂

( x )

比較圖

圖 2.4 近似函數

P

₂

( x )

dB 比較圖

圖 2.5 近似函數

P

₂

( x )

dB 誤差比較圖

由圖 2.5 可知,柴比雪夫多項式經濟化的多項式 雖然比泰勒 2 階展開式更 接近指數函數,但是在範圍-1 到 1 之間仍有誤差大於

)

2

( x P

±

0.5dB.所以我們必須將多 項式

P

₂

( x )

作修正,使其在區間-1 到 1 內誤差都小於

±

0.5dB.從圖 2.5,可以發 現在範圍-0.371 到-0.838 內的誤差是大於 0.5dB,若能將圖形做向下位移,則就 可以使得在區間-1 到 1 內誤差都小於

±

0.5dB.所以我們將修正多項式 ,

使的多項式

)

2

( x P

2

2

2

1 8 ) 9 (1 )

( x x x

P ′ = + δ + +

,接下來使用 MATLAB 去模擬這誤差

δ

,MATLAB 模擬圖如圖 2.6 所示

圖 2.6 誤差補償分析圖

由上圖 2.6 得知,

δ

=0.014 附近時誤差 dB 曲線離

±

0.5dB 還有 0.015 的距離, 所以修正後的多項式

2

2 2

2 1 8 9 72 73

2 1 8 0.014) 9 (1

) (

x x

x x x

P

+ +

=

+ + +

′ =

因此我們將多項式 ,泰勒 2 階展開式, 泰勒 3 階展開式與理想指數函數去 做比較,比較如圖 2.7、圖 2.8、圖 2.9 所示

)

2

( x

P′

圖 2.7 近似函數

P′

₂

( x )

比較圖

圖 2.8 近似函數

P′

₂

( x )

dB 比較圖

圖 2.9 近似函數

P′

₂

( x )

dB 誤差比較圖

結果如圖 2.7、圖 2.8、圖 2.9 所示,在區間-1 到 1 內，近似函數 與指數 函數的誤差都小於 0.5dB，是滿足我們所想要的，並且

)

2

( x P′

± P′

₂

( x )

的 dB 範圍高達

16.6dB，比泰勒 2 階展開所提供的約 12.6dB 還要好。

2-3 近似 虛擬指數函數

我們由數學式子推出理想指數函數寫成

-2 2

x x x

e

e = e

，這種近似的指數函數稱虛擬

的指數函數，因此我們將之前所做的 ₂ ²

2 1 8 9 72 ) 73

( x x x

P ′ = + +

_{近似理想指數函數改}

成 ₂

)

²

( 2 2 1 2 8 9 72 ) 73

( x x

x

P ′′ = + +

來近似 ²

x

e

。於是近似理想指數函數的近似函數

改寫成

)

P

_r

(x

2 2

8 1 16 - 9 72 73

8 1 16

9 72 73 ) (

x x

x x x

P

_r

+ + +

=

_{，因此我們將 和理想指數函數( )}

做比較，比較圖如圖 2.10、圖 2.11、圖 2.12 所示。

)

P

_r

(x e

^x

圖 2.10 近似函數

P

_r

(x )

比較圖

圖 2.11 近似函數

P

_r

(x )

dB 圖

圖 2.12 近似函數

P

_r

(x )

dB 比較圖

由 MATLAB 模擬圖 2.10、圖 2.11、圖 2.12 可以得知，此近似函數 與理想 指數函數不是很相近，圖 2.12 的 dB 誤差更是大於

) P

_r

(x 0.5dB

±

。但是在仔細的查看

圖 2.12 的 dB 誤差，它有一種趨勢，就是 時它的 dB 誤差是負的， 時 它的 dB 誤差是正的。所以我們可以嘗試把 的分子部分和分母部份加上一

常數 與 ，於是近似函數

> 0

x x < 0

) P

_r

(x

C

n

C

_d

2 2

8 1 16

9 72

73

8 1 16

9 72

73 ) (

x x - C

x x C

x P

d n

r

+ +

+ +

= +

_{。接著我使用}

MATLAB 去模擬 與 ，當 與 等於何值時，近似函數 與理想指 數函數的 dB 誤差會小於 。模擬結果如圖 2.13 所示

C

n

C

_d

C

_n

C

_d

P

_r

(x )

0.5dB

±

圖 2.13 誤差補償分析圖

當 與 等於 1/36 時，近似函數 會非常接近理想指數函數。於是我們

得到近似函數

C

n

C

_d

P

_r

(x )

2 2

8 1 16

9 24 25

8 1 16

9 24 25 ) (

x x -

x x x

P

_r

+ +

= +

′′

_{，接著我們拿}

P

_r

′′ (x )

與理想指數函數去做

比較，比較結果如圖 2.14、圖 2.15、圖 2.16 所示。

圖 2.14 近似函數

P

_r

′′ (x )

比較圖

圖 2.15 近似函數

P

_r

′′ (x )

dB 比較圖

圖 2.16 近似函數

P

_r

′′ (x )

dB 誤差圖

由模擬圖 2.16 可以得到，輸入範圍在 以內，近似函數 與理想 指數函數的 dB 誤差都小於 。並由模擬圖 2.15 可以觀察到，其 dB 的範 圍有高達約 30.4dB。有此可知，近似函數

1.75

~ 1.75

- P

_r

′′ (x )

0.5dB

±

)

P

_r

′′ (x

非常地接近理想指數函數。

2-4 柴比雪夫有理數近似

柴比雪夫有理數近[9]似定義如下:

假定我們要用

N

階有理數

r(x)

來近似函數

f(x)

，則

1 ,

_{m 0}

0

0

= + =

= ∑

∑

=

=

N n m , q

(x) T q

(x) T p r(x)

k

k k n

k

k k

將

f(x)

寫成柴比雪夫多項式級數，定義出

∑

∑

∑

∑

∑ ∑

∑

=

=

=

∞

=

∞

=

=

=

=

=

m

k

k k

n

k

k k m

k

k k k

k k k

m

k

k k n

k

k k k

k

(x) T q

(x) T p - (x) T q (x) T a

(x) T q

(x) T p (x)- T a f(x)-r(x)

0

0 0

0 0

0 0

則 、 、．．． 與 、 、．．． 等係數，是取成使此方程式右端

之分子， 之係數為零，當

k

= 0、1、．．． 。

q

1

q

₂

q

_m

p

₁

p

₂

p

_n

(x)

T

_k

N

因此我們使用柴比雪夫有理數近似指數函數(

e

^x)，其做法如下所示:

) (

)}

( - )]

(

) {[(

1

2 2 1

1 0

0

2 2 1

1 0

0 2

2 1

1 0

0

4 4 3

3 2

2 1

1 0

0 4

0

0 2

2 1

1 0

0

2 2 1

1 0

0

(x) T q (x) T q (x) T q

(x) T p (x) T p (x) T p (x) T q (x) T q (x) T q

(x) T a (x) T a (x) T a (x) T a (x) T a (x)

f(x)-r

(x) T a f(x)

(x) , q T q (x) T q (x) T q

(x) T p (x) T p (x) T p q(x) ,r(x) p(x)

e f(x)

k k

k x

+ +

+ +

+ +

× +

+ +

+

=

=

+ = +

+

= +

=

=

∑

=

其中

T

₀

(x) = 1

，

T

₁

(x) = x

，

T

₂

(x) = x

²

- 1

，

T

₃

(x) = 4 x

³

- 3 x

，

1 8

8

^{4 2}

4

(x) = x - x + T

則解出

f(x) T

₀

(x) T

₁

(x) T

₂

(x) T

₃

(x) T

₄

(x) 192

1 384

17 48

13 192

217 64

81 + + + +

=

_，我

們考慮分子部份,則

) (

- )]

(

192 ) 1 384

17 48

13 192

217 64

[( 81

2 2 1

1 0

0 2

2 1

1 0

0

4 3

2 1

0

(x) T p (x) T p (x) T p (x)

T q (x) T q (x) T q

(x) T (x)

T (x)

T (x)

T (x)

T

+ +

+ +

×

+ +

+ +

經過化解，則找出

T

₀

(x)

，

T

₁

(x)

，

T

₂

(x)

，

T

₃

(x)

，

T

₄

(x)

的係數。

0 2 1

0

1 2 1

1

2 2 1

2

2 1

3

2 1

4

96 13 384

217 64

81 :

768 451 192

269 192

217 :

384 487 768

451 48

13 :

384 217 384

53 384

17 :

96 13 768

17 192

: 1

-p q q

(x) T

-p q q

(x) T

-p q q

(x) T

q q

(x) T

q q

(x) T

+ +

+ +

+ +

+ +

+ +

再令其

T

₀

(x)

，

T

₁

(x)

，

T

₂

(x)

，

T

₃

(x)

，

T

₄

(x)

的係數等於零，則解出

2 2

2 2

2 1

0

2 1

0

2 2 1

1 0

0

2 2 1

1 0

0

2 1

0 2

1 0

71 6 79

39 24 23

29 2 41

19 24 23

0.084476 +

0.49369 -

0.95776

0.068972 +

0.4633 +

0.95787

) ( 0.0422 )

( 0.4937 -

) (

) ( 0.0345 )

( 0.4633 )

( 0.9924

) ( )

( )

(

) ( )

( )

) ( (

0.0345 0.4633,

0.9924, 0.0422,

-0.4937, 1,

x x

-

x x

x x

x x

x T x

T x

T

x T x

T x

T

x T q x T q x T q

x T p x T p x T x p

r

p p

p q

q q

+ +

= +

=

+ +

= +

+ +

+

= +

∴

= =

=

=

=

=

因此我們拿

r(x)

和近似函數

⁾

2 1 4

2 1 ( 4

e

g(x) e

₂

2

2 -x

2 x

+ +

= +

= x

x - x x

與理想指數函數( )去

做比較,比較結果如圖 2.17、圖 2.18、圖 2.19 所示。

e

x

圖 2.17 近似函數

r(x)

比較圖

圖 2.18 近似函數

r(x)

dB 比較圖

圖 2.19 近似函數

r(x)

dB 誤差比較圖

由圖 2.19 可得知，柴比雪夫有理數近似函數 比近似函數 還要有更大 的 dB 範圍，輸入範圍從-2.6～2 且擁有約 39dB 範圍。所以此近似有理數函數是 非常近似理想的指數函數。

r(x) g(x)

第三章最佳近似法

3-1 二次有理數近似

我們使用一近似函數

g ( x ) = ( a

₀

+ a

₁

x )/( a

₀

- a

₁

x )

去近似指數函數( )，首

先我們注意到近似指數函數( )可以改寫成

e

x

e

x

-2 2

e e

x x

，所以我們將 的分子

和分母 分別去近似

) g (x

x a

a

₀

+

₁

a

₀

- a

₁

x

²

x

e

和 ²

-x

e

。然而我們最終希望的結果是近似 函數

g ( x ) = ( a

₀

+ a

₁

x )/( a

₀

- a

₁

x )

非常近似指數函數( )，允許的條件式誤差

小於 ，所以其式子等於

e

x

0.5dB

± ) 0.5

x a - a

x a ( a

20log -

) (e 20log

1 0

1 0 10 x

10

+ ≤

。

於是我們使用MATLAB去模擬這 和 的值使其滿足條件式，假定我們允許的

和 值範圍限定在100以內，結果模擬出6組近似函數並且都滿足條件,其數值如 下表3.1:

a

0

a

₁

a

₀

a

1

a

₀

a

₁ MAX dB error

29 13 0.45633 38 17 0.45177 58 26 0.45633 76 34 0.45177 67 30 0.44628 96 43 0.44408 表3.1

a

₀和

a

₁係數表

由表3.1可知，找到的係數內

g ( x ) = (96 + 43 x )/(96 - 43 x )

這組係數離條件 最遠，誤差最小，所以我們取得之近似函數

。

0.5dB

±

) 43 - )/(96 43

(96 )

( x x x

g = +

接著我使用MATLAB去做比較，比較近似函數

g ( x ) = (96 + 43 x )/(96 - 43 x )

與指 數函數(

e

^x)。其比較圖如圖3.1、圖3.2、圖3.3。

圖3.1 近似函數

g (x )

比較圖

圖3.2 近似函數

g (x )

dB 比較圖

圖3.3 近似函數

g (x )

dB 誤差圖

由圖 3.3 可知

g ( x ) = (96 + 43 x )/(96 - 43 x )

在範圍

x ≤ 1.35

內，與其指數函數 ( )的誤差都小於 。由圖 3.1、圖 3.2 此可知近似函數 非常接

近指述函數( )，並且擁有其非常高的輸入範圍，從 高達 2.7，輸 出範圍也高達 24dB。

e

x

± 0.5dB g (x )

e

x

- 1.35 ~ 1.35

3-2 四次有理數近似

我們使用一

四次有理數

函數 去近

似指數函數( )，首先我們注意到近似指數函數( )可以改寫成

) )/(

( )

( x b

₀

b

₁

x b

₂

x

²

b

₀

-b

₁

x b

₂

x

²

b = + + +

e

x

e

^x

- 2 2

e e

x x

，所

以我們將

b (x )

的分子

b

₀

+ b

₁

x + b

₂

x

²和分母

b

₀

-b

₁

x + b

₂

x

²分別去近似 ²

x

e

和

-2x

e

。然而我們希望是近似函數 非常

近似似指數函數( )，允許的條件是誤差小於

) )/(

( )

( x b

₀

b

₁

x b

₂

x

²

b

₀

-b

₁

x b

₂

x

²

b = + + +

e

x

± 0.5dB

，所以其式子等於

0.5 x )

a - a

x a ( a

20log -

) (e 20log

1 0

1 0 10 x

10

+ ≤

。於是我們使用 MATLAB 去模擬這

、 和 的值使其滿足條件式，假設我們允許的 、 和 值範圍限定在 100 以內，結果模擬出 2 組近似函數都滿足條件並且擁有其相當大的輸入和輸出 範圍,其數值如下表 3.2:

b

0

b

₁

b

₂

b

₀

b

₁

b

₂

b

₀

b

₁

b

₂ Max dB error 49 23 3 0.477558 98 46 6 0.477558 表 3.2

b

₀、

b

₁和

b

₂ 系數表

由上表可知，找到的似函數 。於是

我們將此

四次有理數

函數和指數函數做比較，比較結果如圖 3.4、圖 3.5、圖 3.6 所示。

) 3 23 )/(49 3

23 (49 )

( x x x

²

- x x

²

b = + + +

圖 3.4 近似函數

b (x )

比較圖

圖 3.5 近似函數

b (x )

dB 比較圖

圖 3.6 近似函數

b (x )

dB 誤差比較圖

由圖 3.6 可知

b ( x ) = (49 + 23 x + 3 x

²

)/(49 - 23 x + 3 x

²

)

在範圍

x ≤ 3.5

內，

與其指數函數(

e

^x)的誤差都小於

± 0.5dB

。圖 3.4、圖 3.5 則可知近似函數

非常接近指述函數( )，並且擁有其非常高的輸入範圍，從 高

達 7，輸出範圍也高達約 60dB。

)

g (x e

^x

- 3.5 ~ 3.5

第四章 電路實現與模擬結果

4-1 最佳近似法電路實現 4-1.1 電路設計

由於最佳近似法所近似的函數是2次有理數

( )

( x )

x x

g 96 - 43 43 ) 96

( = +

_{，所以我們必}

須要有電流的倍數關係，於是我們參考以前的人論文所提供之電流乘法電路 [10]，電路如圖4.1所示。其中M1、M2、M3、M4均操作飽和區，M1、M3和M2、M4 為電流鏡，最後輸出電流 與輸入電流 會有其倍數關係，即完成電流乘法 電路。其式子推導如下:

I

out

I

_in

( I I ) k I ( 4 . 1 ) k

kI - kI I

I I

kI I

, kI I

I I I , I I I

in 1

2 1

2 3

4 out

2 4

1 3

out 3

4 in 1 2

=

−

=

=

−

=

=

=

+

= +

=

V DD

GND

圖4.1電流乘法電路[10]

由上式子(4.1)的電流倍數關係，我們即可以實現近似函數

( )

( x )

x x

g 96 - 43 43 ) 96

( = +

的ㄧ次項係數，若我們在加上一常數電流源去實現常數部份，則似函數

( )

( ^{x x} )

x

g 96 - 43 43 ) 96

( = +

的分子和分母部份就可以實現出來。若我們在參考先前的

論文所提供之電流轉電壓轉換器[11] ，則可以實現電流相除的功能，並將其結 果轉成電壓。所以完整電路圖如圖4.2所示。其式子推導如下:

I ) k I - (k I I k - I k I

I ) k I (k I I k I k I

o in 1 2 o in 1 o 2 d

o in 1 2 o in 1 o 2 n

=

=

+

= +

=

Vd s In

Id

in 1I k

0 2I k

V

DD

GND

I0 k₂I₀

in 1I k

M8 M7 M4 M2

M1 M3

M12 M14 M11 M13

M17 M16

M18 M15

M9 M10

M6 M5

Iin I_in

圖4.2 最佳近似法完整電路

電路圖4.2中，其中電流 和電流 分別實現分子和分母的式子。由於實現近似

函數

I

n

I

_d

( )

( ^{x x} )

x

g 96 - 43 43 ) 96

( +

=

_，所以

0 in

I I

等於近似函數的變數

x

，則

k

₁

= 1

、 、

， 的範圍從 ，最後在將結果轉成電壓輸出。

2.232 k

₂

=

10uA

I

₀

= I

_in

- 13.5uA ~ 13.5uA 4-1.2 模擬結果

我們使用HSPICE模擬，再搭配HSPICE TOOLBOX和MATLAB工具去做比較。模擬解 果如圖4.3、圖4.4、圖4.5、圖4.6、圖4.7所示。

圖4.3 HSPICE

I

_n和

I

_d電流模擬圖

圖4.4 HSPICE

I

_n/

I

_d模擬圖

圖4.5 HSPICE (

I

_n/

I

_d) dB 模擬圖

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

x 10^-5 -4

-3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5x 10^-5

In,Id(A)

Iin(A)

Id In

圖4.6 HSPICE轉MATLAB

I

_n和

I

_d電流模擬圖

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 x 10^-5 0

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

In/Id

Iin(A)

proposed circuit

ideal exponential function

圖4.7 HSPICE轉MATLAB

I

_n/

I

_d比較圖

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

x 10^-5 -15

-10 -5 0 5 10 15

In/Id(dB)

Iin(A)

proposed circuit

ideal exponential function

圖4.8 HSPICE轉MATLAB (

I

_n/

I

_d) dB 比較圖

圖 4.9 HSPICE 轉 MATLAB (

I

_n/

I

_d) dB 誤差圖

由模擬結果圖 4.8 和圖 4.9 可知， / 的曲線和理想指數函數的曲線極為接 近，其 dB 圖也是非常的貼近，在區間 內其 dB 誤差也是小於

。由此模擬結果可以得知電路模擬和數學模擬是一致的。

I

n

I

_d

13.5uA

~ 13.5uA -

0.5dB

±

4-2 柴比雪夫多項式之經濟化電路實現 4-2.1 電路設計

我們要實現二次式的電路必須要有平方的電路，因此我們接著來介紹電流平方 電路[12]。它的基本定理是由下圖 4.9 之電路衍生出來的，如圖 2.x1 中 M1、M2 都是操做在飽和區的 MOS 電晶體，其式子推導如下:

因為

M1 電流 I

₁

= K(V

_a

− V

_t

)

²

, M2 電流 I

₂

= K(V

_b

− V

_t

)

²

V

_a

+ V

_b

= V

₂

, V

_b

= V

₂

− V

_a

, V

_a

− V

_b

= V

₂

− 2V

_b

= 2V

_a

− V

₂ 所以

I

₁

− I

₂

= K(V

₂

− 2V

_t

)(V

_a

− V

_b

)

( 4 . 1 ) )

2V 2K(V

) I ) (I

2V 2 K(V

I 1

I

₂

t 2

2 2 2 1

t 2

2

1

−

+ −

−

= +

V 2

V b

V a

I

2

_I

₁

圖 4.10 電流平方電路的基本電路圖[12]

由(4.1)式子可以得知，M1、M2 二電晶體之電流相加有平方的效果。

但因(4.1)式子中還有電壓的因素，所以我們必須把它取代掉，因此我們使用下 圖 4.11 的偏壓電流源取代，M4、M5 電晶體均操作在飽和區且尺寸大小皆相同，

其式子推導如下:

因為

I

_d

= K(V

_gs

− V

_t

)

²

所以

I

₀

= K(V

_gs

− V

_t

)

²

) 2 . 4 (

) 2V 4 K(V

1

2 )

2V V

K( V

) V 2 )

V ( V

K(V

2 t 2

t 2 GND

2

2 t GND

2 2

−

=

−

= +

− −

−

=

V 2

I

0

V DD

GND

圖 4.11 電流平方電路的偏壓電路圖[12]

經由上述二電路即可以組合成電流平方電路[12]，電路圖如下圖 4.12 所示。所 有電晶體皆操作在飽和區，其式子推導如下:

因為

I

_in

= I

₁

− I

₂

, I

_out

= I

₁

+ I

₂

I

₁

= K(V

_a

− V

_t

)

²

, I

₂

= K(V

₂

− V

_a

− V

_t

)

²

所以

I

_in

= K[(V

_a

− V

_t

)

²

− (V

₂

− V

_a

− V

_t

)

²

] = K[(V

₂

− 2V

_t

)(2V

_a

− V

₂

)]

2

t 2

2 2 in

t 2

2 1

out

2K(V 2V )

) I 2V 2 K(V

I 1 I

I = + = − + −

因為 0

K(V

2

2V

t

)

²

4

I = 1 −

所以

( 4 . 3 ) 8I

2I I I

0 2 in 0

out

= +

由式子(4.3)可以得知，最後輸出電流會和輸入電流有平方的關係。

I

in ^Va

I

out

I

0

V DD

GND

I

1

I

1

I

2

圖 4.12 電流平方電路圖[12]

因此我們參考先前的論文提到的電流平方電路[12]，在輸入端提供 的電 流，在輸出端流入 的電流。其式子整理如下:

0 1

I k

0 2

I k

)) 2 4k

(8 k I

k I I

I 2 ( 1 4 I

)) 8 k

4(2 k I I

k 2I

( I 4 I

8I I I

4 )I k 8 k

(2 k

I 8I k

I I 4 )I k 8 (2 k I

8I I I

4 )I k 8 (2 k

8 I k 8I I I

4 2I k

8I ) I k 2I (I

I k I

2 2

1

o in 2 1

o 2 in o

2 2 1 in

o 1 2 o

2 in o

o 2 in in 1 o 2 2 1

o 2 o 2 in in 1 o 2 1 out

o 2 in in 1 o 2 1

o 2 1 o 2 in in 1 o

o 2 o 1 in o

0 2 out

− +

+ +

=

− +

+ +

=

+ +

− +

=

− +

+ +

=

∴

+ +

+

=

+ +

+

=

+ +

= +

由上式子可以得知，因為我們要實現的式子是 ₂ ²

2 1 8 9 72 ) 73

( x x x

P ′ = + +

，所以可得

1.6 k

8 ,

k

₁

= 9

₂

≅

。經由這樣的設計我們就可以去實現

P′

₂

( x )

的電路，電路圖如

圖 4.13 所示。

V

DD

GND

I 0

I 0

^{1 0}

I k

0 2

I k

圖 4.13 柴比雪夫多項式的經濟化電路圖

電路圖 4.13 中，M2 和 M4 是我們外加在電流平方電路[12]的輸入端和輸出端的 電流，其中 M3、M7、M8、M9、M10、M11 為原本的電流平方電路[12]，M5、M6、

M12 為觀察 電流之用。當

I

電流從

-

變化之時，

I

相對於

I

_in 流成指數般的變化。

I

out _in

35uA ~ 35uA

_out電流則會

電

4-2.2 模擬結果

我們使用 HSPICE 模擬，再搭配 HSPICE TOOLBOX 和 MATLAB 工具去做比較。模 擬結果如圖 4.14、圖 4.15、圖 4.16、圖 4.17、圖 4.18 所示。

圖 4.14 HSPICE

I

_out電流模擬圖

圖 4.15 HSPICE (

I

_out) dB 模擬圖

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x 10^-5 0

0.5 1 1.5 2 2.5x 10^-5

Imn6(A)

Iin(A)

proposed circuit

ideal exponential function

圖 4.16 HSPICE 轉 MATLAB

I

_out電流比較圖

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

x 10^-5 -10

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

Imn6(dB)

Iin(A)

proposed circuit

ideal exponential function

圖 4.17 HSPICE 轉 MATLAB(

I

_out) dB 比較圖

圖 4.18 HSPICE 轉 MATLAB(

I

_out) dB 誤差圖

由模擬圖 4.14 可知，我們電路上所實現的電流曲線和式子是相當的吻合，再由 圖 4.15 所呈現的 16.6dB 得知，我們電路上模擬的和數學上所模擬的差距很小。

因此我再拿其 Hspice 模擬的結果利用 Hspice Toolbox 這套工具把它呈現在 MATLAB 上，由 MATLAB 的模擬圖 4.17 和圖 4.18 可以得知，電路模擬出來的和理 想的值非常接近，在區間

- 35uA ~ 35uA

內其 dB 誤差都小於

±

0.5dB，和我們 之前作的數學模擬非常吻合，高達 16.6dB，比論文[7]所提供的電流模式之指數 函數產生器所提供 12.6dB 還要高出許多。

4-3 虛擬指數函數電路實現 4-3.1 電路設計

因為我們所實現之近似函數

2 2

8 1 16

9 24 25

8 1 16

9 24 25 ) (

x x -

x x x

P

_r

+ +

= +

′′

是有理數的形式，因此我們

必須要有除法的電路。於是我們接著來介紹電流除法器[13]，如圖 4.19 即為電 流除法器的核心電路，其中 M1、M2 操作在線性區，M3、M4、M5、M6 為電流鏡的 功用，其工作原理推導如下:

因為

]

2 )V V

V L [(V

I W

2 ds ds

tn gs ox

n

− −

= μ C

[2(V V )V V ] 2

K

2

ds ds tn gs

n

− −

=

所以

V )V V ]

2 [2( V 2

I

₁

= K

^{n1 dd}

−

_{tn1 ds1}

−

_ds1²

[2(V V )V V ]

2 I K

I

I

₂

=

_in

+

₄

=

ⁿ² _G2

−

_{tn2 ds2}

−

_ds2² 由於電流鏡的關係

I

₁

= I

₃

= I

₄

∴ K

_n3

= K

_n4

, V

_tn3

= V

_tn4

所以

V , V V V V

K V 2I

V

_{tn3 gs3 ds1 gs4 ds2}

n3 d1 gs4

gs3

= = + + = +

則

V

_ds1

= V

_ds2

假定 M1、M2 互相匹配

K

_n1

= K

_n2

= K

_n

, V

_tn1

= V

_tn2

= V

_tn

V

_ds2

= V

_ds1 所以 ₁ ⁿ

[2( V

_ss

V

_tn

)V

_ds2

V

_ds2²

] I

₃

I

₄

2

I = K − − − = =

₂ ⁿ

[2(V

_G2

V

_ss

V

_tn

)V

_ds2

V

_ds2²

] I

₄

I

_in

2

I = K − − − = +

{ [2(V V V )V V ] [2( V V )V V ] } 2

I

_in

= K

ⁿ _G2

−

_ss

−

_{tn ds2}

−

_ds2²

− −

_ss

−

_{tn ds2}

−

_ds2²

( 2 V V ) K V V ( 4 . 4 ) 2

= K

ⁿ _{ds2 G2}

=

_{n G2 ds2}

M1 M3 M4

M6 M5

M2 I2 I1

I4

I

ⁱⁿ

V ss

V DD

V G2 V DS2

圖 4.19 電流除法器的核心電路圖[13]

由式(4.4)可以得到 電流和 M2 電晶體的關係。若能將其 電壓取代成電 流，則就可以轉變成電流相除的功能。電路圖如下圖 4.20 所示。其式子推導如 下:

I

in

V

_G2

V ss

V DD

V DS2

圖 4.20 電流除法器電路圖[13]

(1)

I

_in

= K

_n

V

_ds2

V

_G2

(2)因 Md7 Md8 互相匹配

K

_p3

= K

_p4

= K

_p

, V

_tp3

= V

_tp4

= V

_tp

所以 dd G2 tp ² p

7

( V V V )

2

I = K − −

2 tp ss

G2 p D

7

8

( V V V )

2 I K I

I = + = − −

] ) V V

V ( ) V V V

( 2 [ I K

I

I

_D

=

_d8

−

_d7

=

^p _G2

−

_ss

−

_tp ²

−

_dd

−

_G2

−

_tp ²

則

G2 tp dd

p G2

tp dd

p

[(2V 2 V )(2V )] 2K (V V )V

2

K − = −

=

因此

( 4 . 5 ) I

I K

) V (V

V 2K , ) V V (V

2K K I I

D in n

tp dd

p ds2

ds2 tp

dd p

D n

in

= −

= −

由上式子(4.5)可以得到電流相除的結果，但是此電路是正負電壓源，與之前介 紹之電流平方電路[12]的正電壓源不相同。因此我們將之前的電流除法器[13]

正負電壓源改成單一電壓源，稱作修改的電流除法器，如圖 4.21，其中 M1、M2 操作在線性區，M3、M4、M5、M6 為電流鏡的功用，其工作原理推導如下:

因為

[2(V V )V V ]

2 ] K 2 )V V

V L [(V

I W

ⁿ _{gs tn ds ds}²

2 ds ds tn gs ox

n

d

= C μ − − = − −

所以

V )V V ]

2 [2( V 2

I

_d1

= K

^{n1 dd}

−

_{tn1 ds1}

−

_ds1²

[2(V V )V V ]

2 I K I

I

_d2

=

_in

+

₄

=

ⁿ² _G2

−

_{tn2 ds2}

−

_ds2²

由於電流鏡的關係

I

d1

= I

d3

= I

d4

∴ K

n3

= K

n4

, V

tn3

= V

tn4

所以

V , V V V V

K V 2I

V

_{tn3 gs3 ds1 gs4 ds2}

n3 d1 gs4

gs3

= = + + = +

則

V

_ds1

= V

_ds2

假設 M1、M2 互相匹配 ，則

K

_n1

= K

_n2

= K

_n

, V

_tn1

= V

_tn2

= V

_tn

V

_ds2

= V

_ds1

所以 d3 d4

2 ds1 ds1

tn dd

n

d1

V )V V ] I I

2 [2( V 2

I = K − − = =

d4 in

2 ds2 ds2

tn G2 n

d2

[2(V V )V V ] I I

2

I = K − − = +

則

V )V V ] }

2 [2( V ] V )V

V [2(V

2 {

I

_in

= K

ⁿ _G2

−

_{tn ds2}

−

_ds2²

−

^dd

−

_{tn ds1}

−

_ds1²

K ( 2 V V ) V ( 4 . 6 ) )

V V V

V 2

K

_n

( − =

_n

−

=

V DD

GND

圖 4.21 修改的電流除法器之核心電路圖

由上式子(4.6)可以得到 電流和 M2 電晶體的關係。因此在依據圖 4.22 去推導

、 和 M2 的關係。其式子推倒如下:

I

in

I

in

I

_d

(1)

V (2V V )

2

I

_in

= K

ⁿ _{ds2 G2}

−

_dd

(2)M7 M8 互相匹配,則

K

_p3

= K

_p4

= K

_p

, V

_tp3

= V

_tp4

= V

_tp

因為 _d7 ^p

( V

_dd

V

_G2

V

_tp

)

²

2

I = K − −

_{d8 d7 d} ^p

( V

_G2

V

_tp

)

²

2

I K I

I = + = −

] ) V V

V ( ) V V

( 2 [ I K

I

I

_d

=

_d8

−

_d7

=

^p _G2

−

_tp ²

−

_dd

−

_G2

−

_tp ² 所以

[(V 2 V )(2V V )]

2 K

dd G2

tp dd

p

− −

=

因此

) 7 . 4 ( I I K

) V 2 (V

V K

) V V 2 (V

K

2I 2

I K

d in

n

tp dd

p ds2

ds2 tp

dd p

d n

in

= −

= −

由式子(4.7)可以得到電流相除的結果，並且這電路還是單一電壓源，與電流平 方電路[12]可以組合在一起使用。

V DD

GND

圖 4.22 修改的電流除法器電路圖