ARIMA 分析法

一、何謂ARIMA

ARIMA模型全稱為自迴歸移動平均模型 Autoregressive  Integrated Moving Average Model ，是由博克思 Box 和詹金斯

Jenkins 於70年代初提出的時間序列預測法，所以又稱為博克 思-詹金斯法或box‐jenkins模型。 

ARIMA模型的基本思想，是將預測對象隨時間推移而形 成的數據序列，視為一個隨機序列，用一定的數學模型來近似 描述這個序列。此模型一旦被識別後就可以從時間序列的過去 值及現在值來預測未來值。

其中ARIMA p，d，q 稱為差分自迴歸移動平均模型，

AR p 是自迴歸模型 autoregressive model ， 其意義簡單來說 就是現在的某一變數值，和同一變數過去p期的變數值有關，p 為自迴歸項；MA q 為移動平均 moving average ^，其意義簡單 來說就是現在的和過去幾個q期的隨機項，q為移動平均項數有 關；d則是時間序列成為平穩時所做的差分次數。

ARIMA p ,q 模式敘述如下：

Z δ Z Z Z a θ a θ a θ a  

二、模型的配適

圖2‐4.1 原始時間序列圖

首先用肉眼觀察原始資料的時間序列圖，判斷資料是否平穩，

由圖 2‐4.1 可以得知，時間序列的波動不一致，變異會隨著時間的 增加而增加，表示此變異數不為常數，即變異數不平穩。且資料呈 現逐漸上升的趨勢，代表平均數不平穩。因此，必須透過轉換和差 分加以改善，使其平穩。

圖2‐4.2 原始時間序列的 ACF 及 PACF 

原始資料的 ACF 及 PACF 圖亦可用來判別資料是否平穩。當 ACF 圖呈現下降非常緩慢 dies down slowly 的狀態時，表示此序列平均 數不平穩，需做差分加以改善。

由圖 2‐4.2 可得知 ACF 圖呈現下降緩慢 dies down slowly 的狀 態，得知資料不平穩，因此我們做一次差分加以調整。

圖2‐4.3 square root 轉換且加入一次差分的 ACF 及 PACF 

經由圖2‐4.3 的 ACF 可看出，殘差在 lag12 和 lag24 這兩處特別 凸出，超過兩倍標準差的範圍許多，表示此資料呈現季節性波動，必 須對此資料做季節差分來解決此不平穩因素。

解決所有不平穩因素後，接著配適適當的模型，ARIMA 預測方法 的配適規則如下：

當ACF 為  dies down 且 PACF  呈現 cuts off 時，配適 AR p 。  當ACF 為 cuts off 且 PACF  呈現 dies down 時，配適 MA q 。  當ACF 以及 PACF  皆為 dies down 時，則配適 ARMA p , q 。 

圖2‐4.4 轉換後且加入非季節差分及季節差分的 ACF 及 PACF 

由圖 2‐4.4 我們判斷 ACF 是 cuts off 而 PACF 為 dies down 所以 我們配適模型 MA q 。又由圖 2‐4.4 的 ACF 得知 lag1 及 lag12 凸出 兩倍標準差特別的多，因此我們加入這兩項加以配適 q 1 12 。

圖2‐4.5 我們的模型的 ACF 及 PACF 

經過開根號轉換並且配適ARIMA 0,1,1 0,1,1 s NOINT 的模型 後，由圖 2‐4.5 的 ACF 及 PACF 可看出，殘差都在兩倍標準差之內，

表示此模型的配適是合適的。

接著診斷配適的模型之殘差。若殘差具有單根，即表示此模型不 平穩，會隨著時間的改變而改變，這樣的模型並不是一個好的配適。

一個好的配適模型，其殘差值會落在兩倍標準差以內。且殘差的平均 為零，變異數為常數，彼此之間不具有相互關係，也就是符合白噪音，

並且不存在單根，這才是一個好的配式。因此我們對此模型的殘差做 白噪音及單根的檢定，診斷此模型的殘差，確定所配適的模型是否恰 當。

☉白噪音之檢定：

  H ：white noise      殘差符合白噪音       H ：no white noise    殘差不符合白噪音  

決策規則：

P‐value大於0.05，則不拒絕 H ，符合白噪音，表模型配適合適。

      P‐value小於0.05，則拒絕 H ，不符合白噪音，表模型配適不合適。

☉單根之檢定：

      H ：有單根 (時間序列不平穩)   H ：沒有單根 (時間序列平穩)

決策規則：

      P‐value大於0.05，則不拒絕 H ，表示有單根，模型配適不合適。

      P‐value小於0.05，則拒絕 H ，表示沒有單根，模型配適合適。

假設檢定：

假設檢定：

圖2‐4.6 我們的模型的殘差檢定

由圖2‐4.6 的 White Noise Test 知，所有的 lag 都大於顯著水準  α 0.05，不拒絕H ，表示殘差項具有 White Noise 現象。又由圖 2‐4.6 的Unit Root Test 得知，所有的 lag 皆小於顯著水準 α 0.05，拒絕 H ， 表示時間序列已為平穩狀態。由上之檢定得知，我們所配適的模型 Sqrt    ARIMA 0,1,1 0,1,1 s NOINT 是合適的。

由於我們利用時間序列迴歸法及分解法進行預測時，預測結果總 是高估，大部分的實際值都不在預測區間內。因此我們對2008 年 5 月進行介入分析，加入介入分析後使兩種預測方法的預測表現都變得 更好。而我們對此筆資料利用ARIMA 預測方法預測的結果，實際值 大部分就都落在預測區間內，進一步進行介入分析的預測結果並沒有 特別好，表現不佳，因此我們不對ARIMA 做介入分析。 

表2‐4.1 我們的模型的參數估計

Model parameter Estimate   Std. Error T  Prob | T | MA factor 1 lag 1  0.4074 0.0657 6.2018  .0001 MA factor 2 lag 12 0.792 0.0711 11.1346  .0001

Model Variance  sigma squared 1764 . .  .

由表2‐4.1 可得到各個參數估計值，且知兩個參數估計值的

P‐value 皆小於顯著水準 α 0.05，表示參數顯著，都應被留在模型中。

總括上述結果可得知，我們所配適的Sqrt    ARIMA 0,1,1 0,1,1 s  NOINT 模型是合適的。將表 2‐4.1 的參數估計值帶入模型中得到我們 的 ARIMA 預測方程式如下：

1‐B 1‐B   y 1 0.40740B 1 0.79200B a   σ    1764 

圖2‐4.7 我們的模型的好壞判斷

由圖2‐4.7 得到 R‐square 等於 0.981，可知此模型對此筆資料具 有 98.1%的解釋能力。 

為了瞭解我們所做的模型之估計是否適當，我們保留了最後的 12筆真實數據，做為和未來一年預測的比較用。我們將這12筆數據 的實際值、估計值和95%的上、下界預測區間做成表格 表2‐4.2 ，再 將這四種值畫成預測曲線圖。

表2‐4.2 ARIMA 的實際值及預測值 

日期 實際值 預測值 95%預測信賴上界 95%預測信賴下界

2009/1/1  7715603  8429039 8911983 7956118  2009/2/1  7930365  7535787 8067818 7017300  2009/3/1  8501703  8433194 9065411 7818042  2009/4/1  8808304  8324023 9014840 7653792  2009/5/1  9135677  8828554 9598996 8082218  2009/6/1  9541611  8860019 9687129 8060536  2009/7/1  9936410  9003797 9889884 8148856  2009/8/1  9697328  9208308 10154380 8296903  2009/9/1  9771000  8997576 9980164 8053174  2009/10/1  9779946  8713556 9725269 7743550  2009/11/1  9026592  8539571 9583615 7540754  2009/12/1  9698809  8398532 9474503 7371309 

圖2‐4.8 ARIMA 的估計值、實際值和 95%的上下界預測區間的預測圖