ARIMA 模型

一、 分析原始資料的時間序列圖

由於從原始時間序列圖(圖一)中，得知資料的平均數與變異數皆為不平穩 的。而因為變異數不平穩，因此對資料做開根號轉換，如圖二，可以看出變異數 不平穩的情況有稍微變好點，所以決定以開根號後的資料來進行分析。

圖二 開根號轉換後之時間序列圖

又因為平均數不平穩，因此再對其做一次差分，如圖三，可見資料大致呈現 平穩的狀態。

圖三 開根號轉換及一次差分後之時間序列圖

而因為該資料有季節性，需要做季節差分，因此又再對其做季節差分，如圖 四，表示資料呈現有更平穩的狀態。

圖四 開根號轉換及一次、季節差分後之時間序列圖

二、 分析原始資料的 ACF 與 PACF 圖

從圖五可以看出，ACF dies down slowly 且 PACF cuts off after lag 2，表示平 均數不平穩，而當平均數不平穩時須對資料做差分。

圖五 原始資料之 ACF 與 PACF 圖

原始資料之 ACF 與 PACF 圖(圖五)與開根號轉換後之 ACF 與 PACF 圖(圖 六)，可以明顯看出兩者其實沒什麼差異。但進行開根號轉換的時間序列圖(圖 二)比無開根號轉換的時間序列圖(圖一)有較集中的現象，因此對此還是有對資 料做開根號轉換。

從圖六可以看出，經過開根號轉換後的 ACF 圖仍然呈現的是 dies down slowly 的狀態，更確定了此份資料在經過轉換後，平均數依舊是不平穩的，所 以再對資料做一次差分。

圖六 開根號轉換後之 ACF 與 PACF 圖

從圖七可以看出，在對其做一次差分後，ACF 圖的 lag12 以及 lag24 突出 且超出兩倍標準差，表示資料有明顯的季節循環，需要做季節差分。

圖七 開根號轉換及一次差分後之 ACF 與 PACF 圖

從圖八可以看出，在對其做季節差分後， ACF 有明顯的 cuts off 且 PACF 有明顯的 dies down quickly，表示此時間序列已經達到平穩的狀態。

圖八 開根號轉換及一次、季節差分後之 ACF 與 PACF 圖

三、 分析原始資料的白噪音與單根檢定

從 圖 九 可 以 看 出 ， 配 適 模 型 前 之 白 噪 音 檢 定 ， p-value 皆 小 於 顯 著 水

，因此拒絕虛無假設，原始時間序列不為白噪音，表示，原始時間序列 有自我相關。也可以從圖九看出，配適模型前之單根檢定，p-value 大部分大於

顯著水準 ，因此不拒絕虛無假設，表示時間序列未達到平穩的狀態。綜

合以上的白噪音及單根檢定，我們需要進行模型的配適使其殘差項無自我相關以 及時間序列要達到平穩的狀態。

圖九 原始資料之白噪音與單根檢定

四、 配適模型

從圖十可以看出，經過開根號轉換並且配適 ARIMA(0,1,1)(0,1,1)sNOINT 的 模型後，所有 lag 都在兩倍標準差之內，表示模型配適應屬合適。

圖十 ARIMA 模型-配模後之 ACF 與 PACF 圖

五、 診斷分析

為了檢驗模型是否合適，因此進行白噪音檢定，此為檢定殘差項是否為白噪 音，也就是說資料是否有自我相關。診斷結果如圖十一，得知 p-value 皆大於顯

著水準 ，因此不拒絕虛無假設，殘差項是白噪音，表示殘差項無自我相

關。而檢驗模型是否合適，也可以進行單根檢定，此為檢定時間序列是否平穩。

診斷結果如圖十一，得知 p-value 皆小於顯著水準 ，因此拒絕虛無假設，

表示時間序列已達到平穩的狀態。綜合以上的白噪音及單根檢定，可以說這個模 型的配適是合適的。

圖十一 ARIMA 模型-白噪音及單根檢定

六、 預測方程式

從以上的白噪音以及單根檢定可以得知，此模型應屬配適合適。並由表 四，可以寫出此模型的預測方程式為：

,

= ,

而配適模型後，要檢查模型中各參數是否需要保留在模型中。其檢查方法 為若 p-value < ，則拒絕虛無假設，參數必須保留在模型內。檢查結 果如表四，參數項之 p-value 皆小於 ，因此參數需保留在模型中。

表四 ARIMA 模型-模型參數估計值及參數顯著檢定

Model Parameter Estimate Std.Error T Pr >∣T∣

0.64592 0.0513 12.5913 <.0001 0.81727 0.0513 15.9237 <.0001 21.57112

七、 預測

以樣本內的資料建立模型後，便可使用此模型來預測未來值，進行樣本外 的十二筆資料的預測，其值以及 95%信賴區間上下界，如表五。我們透過此表 將 2019 年 12 筆月資料的實際值與預測值做比較，從圖十二可以看出，預測值 與實際值幾乎要有重疊的情況發生，且所有預測值皆落在預測之 95%信賴區間 的範圍之內，表示所建立出來的模型其預測能力良好。

表五 ARIMA 模型-樣本外 12 筆實際值、預測值 DATE ACTUAL PREDICT L95 U95 JAN19 13594 13845 11785 16070 FEB19 10057 10577 8684 12657 MAR19 12317 11796 9689 14111 APR19 13130 12116 9879 14581 MAY19 14601 12662 10276 15297 JUN19 13596 12795 10303 15556 JUL19 13544 13510 10854 16456 AUG19 13710 13736 10968 16816 SEP19 11701 11596 8987 14537 OCT19 13208 12201 9444 15311 NOV19 12417 12113 9292 15308 DEC19 14336 12215 9309 15516

圖十二 ARIMA 模型-95%信賴水準之預測圖