本篇文章的架構如下：第二章將介紹 Copula 的理論以及本文所引用的動態 Copula 模型，以及運用 Copula 的關聯結構參數來衡量兩個市場之間的相關性。第三章則是描 述建構關聯結構的流程步驟，以便更加了解兩個市場之間的結構。第四章則是說明研究 的資料數據和敘述統計量。第五章則提出實證的結果以及模型的檢定並由過去的金融市 場所遭遇的重大事件來探討股債市之間的結構為何會產生變化，第六章提出本文結論。
二、Copula 理論
在研究兩個資產或多資產間的關聯結構時，Copula 模型為近年來常被學者廣泛使用 的一種方法，可以先把資產的邊際分配估計出來，再用一個適合的 Copula 函數作連結，
來準確的描述資產間的相關程度，特別的是，Copula 不但可以用來描述線性相關的特 性，如 Pearson correlation、Kendall’s tau…等，也可用來建構具有非線性關聯結構的投
資組合。像是 upper tail dependence(用來描述當兩個資產之間的相關性為正時，在多頭 市場相較於空頭市場具有較強烈的相關性，例如：Gumbel copula)、lower tail dependence (例如：Clayton copula)、不對稱的 tail dependence(例如：SJC copula)以及對稱的 tail dependence(例如：Student t copula)，下面為各種常用 copula 函數的圖形可看出其特性，
特別注意的是以下幾個 copula 函數的線性相關係數都非常的接近，但可以看出在極端狀 況的機率分佈是不同的：
圖 1 常用 copula 函數的 contour plot
2.1 Copula 理論以及動態 Copula 方法
本文在這一節裡要來回顧 Copula 的理論基礎以及如何延伸至動態條件 Copula (Conditional Copula)。一個 copula 函數是用來連結兩個或多個隨機變數的邊際分配函數 以及這些隨機變數的聯合分配函數，更明確的說，多個隨機變數組成的聯合分配函數可 由邊際分配的隨機變數透過積分機率轉換(Probability Integral Transformation)，然後納入 一個適當的 copula 來求得此聯合分配，更明確的細節定義可參考 Nelsen(1999)以及 Cherubini et al.(2004)，雖然本文研究的是二維度的 Copula 函數，但 Copula 理論也可以
運用在更一般的多維度 Copula 來描述多資產間的關聯結構。
根據積分機率轉換(Probability Integral Transformation)，對於隨機變數X1以及X2,
1 X1
( ) ,
1 2( )
定義：copula密度函數(copula density)
因此由 Sklar’ s 定理使得以下的等式成立，稱之為 canonical representation：
f x x( ,1 2)=c F
(
X1( ),x1 FX2(x2))
fX1( )x f1 X2(x2)(7) 在二維度 copula 函數的研究方面，[14]Patton(2006)擴展了 Copula 標準的定義延伸 至動態條件 Copula (Conditional Copula)。Patton 延伸了 Copula 原本的定義，建構出可以 用來描述隨著時間改變的關聯結構，有許多情況是需要用條件聯合機率密度函數的，像 是多個標的物資產的選擇權定價(Rosemberg, 1998)，或是投資組合風險值(VaR)的計算 (Hull & White, 1998)。本文利用單一參數的 copula 函數給定歷史資訊所提供兩個市場的 報酬為基準來表示股票市場與債券市場報酬之間的關連結構，此動態 Copula 的參數就 像類似於市場報酬的邊際分配或時間序列也是根據前期的資訊來求得，在 Sohnke et al.(2007)也運用 Patton 所提出的 conditional copula 理論，以下為 Sohnkeet al.(2007)對於 動態條件 Copula 的簡單定義：設 和 為兩個隨機變數代表時點 t 兩個市場的報酬，
函數可以分成兩個類型： 以及
， 以
u 等，而以下主要介紹本文所引用的 Frank copula、Gaussian nt t copula。
cal co
2. 2 Elliptical copula and Archimedean copula
一般來說，主要常用的 copula Elliptical copula Archimedean copula Elliptical copula Gaussian copula 和 Student t copula 為主要常用來 描述資產間關聯結構的 copula 函數，而常用的 Archimedean copula 有 Gumbel copula、
Clayton cop la、Frank copula...
copula 以及 Stude
Ellipti pula
常用的 Elliptical copula 主要有 Gaussian copula 和 Student t copula，以下為 Gaussian 的定義：
Gaussian Copula
copula 和 Student t copula
1 1
Gaussian copula 的密度函數為
1 2
(1)假設邊際分配為常態分配，再加上 Gaussian copula，則表示這兩個隨機變數的聯合分 配即為二元常態分配。
(2)假設邊際分配不為常態分配，再加上 Gaussian copula，此時這兩個隨機變數的聯合分
aussian 分配。
Student t Copula 配稱作 meta-G 前，Archimedean copulas 常用在保險精算領域上。而 Archimedean copulas 為一個統稱，
裡面有很多種不同的 copula 函數，以下為 Archimedean copulas 的組成元素以及基本定
：
定義：Archimedean copula
設函數ϕ 為一 strict generator，而
ϕ
−1為定義域在[0, ]∞ 的完全單調函數，則一 n 個變 數的 Archimedean copula 可寫成下方的函數(14)
pula 函數中，有很多種類型的 Archimedean copula，以本文用到的 Frank copula 例： earson’s correlation coefficient，或是稱作線性的相關係數。
2. 3 關聯性的衡量
n coefficien t ρ
夠描述資產之間具有對稱的 tail dependence 的現象，而 tail dependence 的定義 線
而某些能 如下：
定義：Coefficient tail dependence
λ
U、λ
L令(X,Y)為一二元的連續隨機變數，邊際分配函數分別為F 和x ，則upper tail dependence 的係數 lower tail dependence 的係數如下：
λ
L = limu 0P Y{
≤ F2−1( ) |u X ≤ F1−1( )u}
=limu 0 C u u( , )u ,λ
L∈[0,1] (19)Frank copula 並沒有 tail-dependence 的特性，而 Student t copula 則具有 tail dependence 對 稱的特性，也就是
tail dependence 主要用來衡量關聯性的概念是當一個市場發生極端的報酬情況時，另一 個市場也發生同樣情況的機率。而這三種不同的 copula 函數，其中 Gaussian copula 以及