第四章 左下靠緊板面規劃表示法 :
4.2 DBL 的定義
z 上左方區塊之定義：
即區塊 j 為區塊 i 的上方真實鄰近且為最左方的區塊，也就是當
( x
i <x
j +w
j)
、( x
i +w
i >x
j)
、( y
j =y
i +h
i)
且區塊 j 是區塊 i 的最左邊 之區塊，此四個條件同時成立則稱為區塊 j 在區塊 i 的上左方，在 DBL 中會有編號 1 的連接邊由節點 i 指向節點 j。如圖 4.3 中區塊 1 與區塊 0、區塊 5 與區塊 1、區塊 6 與區塊 3、區塊 8 與區塊 7、區塊 9 與區塊 8、及區塊 10 與區塊 9 皆符合此四個條件，所以在 DBL 中都有編號 1 的連接邊。z 上右方區塊之定義：
即區塊 j 為區塊 i 的上方真實鄰近且為最右方的區塊，也就是當
( x
i <x
j +w
j)
、( x
i +w
i >x
j)
、( y
j =y
i +h
i)
且區塊 j 是區塊 i 的最右邊 之區塊，此四個條件同時成立則稱為區塊 j 在區塊 i 的上右方，在 DBL 中會有編號 2 的連接邊由節點 i 指向節點 j。如圖 4.3 中區塊 4 與區塊 0、區塊 5 與區塊 1、區塊 6 與區塊 3、區塊 11 與區塊 7、區塊 9 與區 塊 8、及區塊 10 與區塊 9 皆符合此四個條件，所以在 DBL 中都有編號 2 的連接邊。z 右下方區塊之定義：
即區塊 j 為區塊 i 的右方真實鄰近且為最下方的區塊，也就是當
( y
i <y
j +h
j)
、( y
i +h
i >y
j)
、( x
j =x
i +w
i)
且區塊 j 是區塊 i 的最下面 之區塊，此四個條件同時成立則稱為區塊 j 在區塊 i 的右下方，在 DBL 中會有編號 3 的連接邊由節點 i 指向節點 j。如圖 4.3 中區塊 7 與區塊 0、區塊 2 與區塊 1、區塊 3 與區塊 2、區塊 4 與區塊 3、區塊 6 與區塊 5 及區塊 11 與區塊 8 皆符合此四個條件，所以在 DBL 中都有編號 3 的 連接邊。z 右上方區塊之定義：
即區塊 j 為區塊 i 的右方真實鄰近且為最上方的區塊，也就是當
( y
i <y
j +h
j)
、( y
i +h
i >y
j)
、( x
j =x
i +w
i)
且區塊 j 是區塊 i 的最上面 之區塊，此四個條件同時成立則稱為區塊 j 在區塊 i 的右上方，在 DBL 中會有編號 4 的連接邊由節點 i 指向節點 j。如圖 4.3 中區塊 10 與區 塊 0、區塊 2 與區塊 1、區塊 3 與區塊 2、區塊 4 與區塊 3、區塊 6 與區 塊 5 及區塊 11 與區塊 8 皆符合此四個條件，所以在 DBL 中都有編號 4 的連接邊。在圖 4.3(a)中區塊 2 與區塊 3 為區塊 0 的上方真實鄰近，也就是區塊 2 與區 塊 3 區塊符合上左方區塊定義和上右方區塊定義的三個條件
( x
f <x
d +w
d)
、( x
f +w
f >x
d)
和( y
f =y
d +h
d)
，但是它既不是最左邊也不是最右邊之區塊，因 此區塊 f 就不符合上左方區塊或上右方區塊之定義，所以在 DBL 中區塊 0 就不會 和區塊 2 與區塊 3 有任何連接邊。以上是在[3]中原本對 DBL 的定義，在本論文中將沿用這個定義，不過在以 上的定義下，有一些邊會沒連結到任何節點，DBL 會出現有斷裂的情況，因此將 多加以下兩個額外定義: 虛擬上區塊連結和虛擬下區塊連結，其詳細定義如下:
z 虛擬上方區塊連結:
當節點 i 的編號 1 和 2 的連接邊沒連到其他任何區塊，則找出和區 塊 i 虛擬鄰近且在區塊 i 上方最近的區塊，也就是當
( x
f <x
d +w
d)
、( x
f +w
f >x
d)
和( y
f >y
d +h
d)
且區塊 j 離區塊 i 上方最近，則節點 i板面規劃的上方邊緣，因此可將其編號 1 和 2 的連接邊連向一沒用的數 值表示在區塊的最上方。如圖 4.3(b)中的節點 5、6、10 的編號 1 和 2 的連接邊皆沒與其他節點有所連接。
z 虛擬右方區塊連結
當節點 i 的編號 3 和 4 的連接邊沒連到其他任何區塊，則找出和區 塊 i 虛擬鄰近且在離區塊 i 右方最近的區塊 j，就是當
( y
i <y
j +h
j)
、( y
i +h
i >y
j)
、( x
j >x
i +w
i)
且區塊 j 離區塊 i 右方最近，則節點 i 的 編號 3 和 4 的連接邊將由節點 i 連到節點 j。如圖 4.3(b)中的節點 4 連到節點 10。若區塊 i 連右方虛擬鄰近都沒有，則表示這個區塊在整 個板面規劃的右方邊緣，因此可將其編號 3 和 4 的連接邊連向一沒用的 數值表示在區塊的最右方。如圖 4.3 圖(b)中的節點 7、9、10、11 的編 號 3 和 4 的連接邊皆沒與其他節點有所連接。由以上幾個定義即可將一個左下緊密板面規劃對應到一個 DBL 表示法，定義 的 DBL 會有以下幾個特性:
(一) 每個節點的往外連接邊最多只有四條：
因為在 DBL 中的節點水平方向最多二條往外之連接邊(右上及右 下)，而垂直方向最多也只有二條往外之連接邊(上右及上左)，所以每 個節點的往外連接邊最多只有四條。
(二) 是一個有無迴圈的有向圖形：
由於 DBL 對應的是左下緊密的板面規劃，所規定的方向皆為向上 (指向上右、上左或虛擬上)與向右(指向右上、右下或虛擬右)，板面規 劃中的區塊間又規定不會互相重疊，每種編號邊不會有類似走回頭的現 象。因此整個圖形自然為一方向且無迴圈的圖形。
(三) 可以維持板面規劃中區塊的鄰近關係：
在上一節有提到 DBL 表示法的精神即是利用鄰近關係途中節點間 的遞移性質來維持鄰近關係，當板面規劃轉成 DBL 時，以區塊的水平(垂 直)鄰近關係來說，DBL 會有編號 3(1)的連接邊來連接跟區塊右下方(上 左方)相鄰的區塊，且有編號 4(2)的連接邊來連接跟區塊右上方(上右 方)相鄰的區塊，所以透過編號 3(1)連接邊所連接之節點，以遞迴方式 尋找編號 1(3)連接邊所連接之節點，直到編號 1(3)連接邊所連接之節 點跟開始節點的編號 4(2)連接邊所連接之節點相同為止，而這些經過 的節點即為在板面規劃時會跟此區塊有水平(垂直)鄰近關係之區塊，所 以 DBL 可以完全維持板面規劃中區塊的鄰近關係。再下一節中 4.2.1 鄰近操作中將會有詳盡的步驟說明。
(四) 任二個區塊在 DBL 表示法中至少存在一條路徑：
DBL 表示法中，任二個節點只要透過其他節點的編號 1、2、3 及 4 之連接邊，至少都可以找到一條路徑來連接此二節點，所以板面規劃中 任意二個區塊在 DBL 上至少會存有一條路徑。如圖 4.3(a)中區塊 0 及 區塊 6 其路徑即為 0→1→5→6、0→1→2→3→6 或 0→1→2→5→6。
由上述的特性可看出 DBL 用 4 倍區塊數的連接邊，即空間複雜度為 O(n)，
就可以維持各個區塊間的鄰近關係，和實際板面規劃的聯繫性很強，而且經過加 強後成為無迴圈無斷裂的圖形，利於搜尋且容易實行各種操作。下面一節將說明 DBL 的一些操作，透過這些操作可以展現出 DBL 隱含著許多實際板面規劃的資 訊，而這些資訊可以透過簡單的演算法取得的。