(1 ≤ ≤k n), 在 阶行列式中,任意取定 k 行
式的乘积之和等于行列式
由这
k
行元素组成的所有k
阶子式与它们的代数余子1 1 2 2 t t
D = M A + M A + + M A
即 其中 k
C
nt =
例7 计算行列式 11 12
21 22
11 12 13
21 22 23
31 32 33
0 0 0
0 0 0
0 0
0 0
0 0
a a
a a
b b b
b b b
b b b
解 选取第 1,2行展开,得到
小结
计算行列式的常用方法
利用定义计算;
利用行列式性质化三角形行列式进行计算;
利用行列式性质和展开定理(降阶法)计算;
利用递推公式法与数学归纳法计算;
利用范德蒙行列式计算;
计算行列式的方法比较灵活，同一行列式可以 有多种计算方法；有的行列式计算需要几种方法综 合应用．在计算时，首先要仔细考察行列式在构造 上的特点，利用行列式的性质对它进行变换后，再 考察它是否能用常用的几种方法．
2
0
*
k
k k
A B
例8 计算
解
思考题
解 第一行各元素的代数余子式之和为
n
n
D
n
0 0
1
0 3
0 1
0 0
2 1
3 2
1
=
求第一行各元素的代数余子式之和1
.
12
11
A A
nA + + +
, ,
, , 2
1 不全为零
若常数项b b bn
则称此方程组为非齐次线性方程组. ,
, ,
, 2
1 全为零
若常数项 b b bn
称方程组为齐次线性方程组; 术语 非齐次与齐次线性方程组
有线性方程组
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
0 0
0
n n
n n
n n nn n n
a x a x a x b a x a x a x b
a x a x a x b
+ + + =
+ + + =
+ + + =
证明思路：是解，解唯一.
例1 用克莱姆法则解方程组
重要定理
定理1 如果线性方程组 的系数行列式 则 一定有解,且解是唯一的 .
( ) 1
( ) 1 D ≠ 0 ,
定理2 如果线性方程组 无解或解不唯一, 则它的系数行列式必为零.
( ) 1
【注】
一般来说, 用克莱姆法则求解线性方程组,计算量 是比较大的.对具体的数字线性方程组,当未知量较多 时可用计算机实现求解;
克莱姆法则在一定条件下给出了线性方程组解的存 在性和唯一性,与其在计算方面的作用相比,克莱姆法 则更具有重大的理论价值.
齐次线性方程组的相关定理
例2 问 取何值时，齐次线性方程组
1. 用克莱姆法则解线性方程组的两个条件 (1)方程个数等于未知量个数;
(2)系数行列式不等于零.
2.克莱姆法则建立了线性方程组的解和已知的系 数与常数项之间的关系.它主要适用于理论推导.
【小结】
附 数域
例 整数集、有理数集、实数集、复数集 是否构成数域？
定义 F是由一些数组成的集合，其中 ，
若F中任意两个数（可相同）的和、差、积、商（除数 不为0）仍然是F中的数，(也称F对加、减、乘、除运 算封闭),则F称为一个数域.
0 ∈ F , 1 ∈ F
【注】
在此交待这一概念是因为数的加、减、乘、除运算 与性质，通常称为代数运算与性质.
《代数》研究的主要是代数运算与性质，以数域为 对象，保证了代数运算后仍属于该集合.
《线性代数》在不同的数域上讨论问题会有不同的 结论,我们主要在实数域上讨论问题，个别地方扩大到 复数域.