线 性 代 数
(Linear Algebra)
陈曦
chenxi0109@bfsu.edu.cn
http://ibs.bfsu.edu.cn/chenxi
什么是“代数” ？
用字母代替数 —— 便于研究量之间的规律。
《线性代数》研究的内容
= +
= +
. ,
2 2
22 1
21
1 2
12 1
11
b x
a x
a
b x
a x
a
用字母代替数组、
11 12 1
1 2
21 22 2
a a b
a a b
β = β = β =
( )
( )
1 11 12 1
2 21 22 2
a a b
a a b
α α
=
=
研究数组的运算、关系及其应用的一门学科。
代替数组的组 ，
11 12 1
21 21 2
a a b
A a a b
=
例如
序 言
第一章 行列式
本章主要内容：
n阶行列式 定义（§1.1）、
性质（§1.2、§1.3）；
克莱姆法则：
n元线性方程组与n阶行列式的关系（§1.4）
§1.1 n阶行列式
一、二阶、三阶行列式 1．二阶行列式
= +
= +
. ,
2 2
22 1
21
1 2
12 1
11
b x
a x
a
b x
a x
分析二元线性方程组的解
a
1 1
x D
= D x
2D
2=
D
则当
D ≠ 0
，对角线法则:主对角线上 两元素乘积减去副对角线 上两元素乘积
【注】分母都为原方 程组的系数行列式.
【练习】设
2
3 1 D λ λ
=
问λ为何值时D＝0，λ为何值时D≠0？
例1 利用行列式解二元线性方程组 1 2
1 2
2 3 8
2 3
x x
x x
+ =
− = −
2．三阶行列式
希望当
D ≠ 0
也有D x D
D x D
D
x1 = D1 , 2 = 2 , 3 = 3
= +
+
= +
+
= +
+
; , ,
3 3
33 2
32 1
31
2 3
23 2
22 1
21
1 3
13 2
12 1
11
b x
a x
a x
a
b x
a x
a x
a
b x
a x
a x
a
问题 三阶行列式如何计算，使上面结论成立？
三元线性方程组
33 32
3
23 22
2
13 12
1 1
a a
b
a a
b
a a
b
令D =
33 32
31
23 22
21
13 12
11
a a
a
a a
a
a a
a D =
3 32
31
2 22
21
1 12
11 3
33 3
31
23 2
21
13 1
11 2
b a
a
b a
a
b a
a D
a b
a
a b
a
a b
a
D = =
33 32
31
23 22
21
13 12
11
a a
a
a a
a
a a
a
33 22 11
a a
=
a
32
.
23 11
a a
−
a
【注】1.红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素的 乘积冠以负号．
2.三阶行列式包括3!项,每一项都是位于不同行,不同列的 三个元素的乘积,其中三项为正,三项为负.
32 21 13
a a
+a
31 23 12
a a
+a
31 22 13
a a
−
a
−a
12a
21a
33 三阶行列式的计算1 2 3 3 2 1 2 3 1
例2 计算
= 12
【练习】a,b 满足什么条件时有
0
0 0 1 0 1
a b b a
− =
以上方法只适用于三阶行列式的计算.
解 由于方程组的系数行列式 例3 利用行列式解线性方程组
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 2
2 3 1
0
x x x
x x x
x x x
− + = −
+ − =
− + − =
n个未知数的线性方程组 令
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
n n n n
n n nn n n
a x a x a x b a x a x a x b
a x a x a x b
+ + + =
+ + + =
+ + + =
11 12 1
21 22 2
1 2
n n
n n nn
a a a
a a a
D
a a a
=
1 12 1
2 22 2
1
2
n n
n n nn
b a a
b a a
D
b a a
=
11 1 1
21 2 2
2
1
n n
n n nn
a b a
a b a
D
a b a
=
11 12 1
21 22 2
1 2
n
n n n
a a b
a a b
D
a a b
=
问题 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式．
n阶行列式如何计算使上述结论成立？
...
希望当 1 D1 , 2 D2 ,..., n Dn
x x x
D D D
= = =
0
D ≠
二、排列及其逆序数
定义2 在一个排列 中，若数
则称这两个数构成一个逆序.
( i
1i
2 i
t i
s i
n) i
t> i
s一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数，
记作
τ ( i i
1 2 i
ti
si
n) 或 N i i (
1 2 i
ti
si
n) .
定义1 把n个不同的数排成一列，叫做这n个数的全排 列（或排列）.
特别：由n个自然数１、２、…、n组成的有序数 组称为一个
n级（阶、元）排列
.n级排列共有
n !
种.我们规定各数之间有一个标准次序,规定由小到大 为标准次序,若n个不同的自然数按照由小到大排列,称 这样的排列为n元自然序排列.
求排列的逆序数两种思路
排列中比每一元素 pi 大的且排在 前面的元素个数
τ
i的总和τ τ τ
= +1 2 + +τ
n ，即是这个排列的逆序数。pi
[方法一]
排列中比每一元素 小的且排在 后面的元素个数
，也是这个排列的逆序数。
的总和
pi
pi
τ
iτ τ τ
= +1 2 + +τ
n[方法二]
例如：求
τ （ 32145 ）
3 2 1 4 5
0 1 2 0 0 32145 3
τ
↓ ↓ ↓ ↓ ↓
∴
【法一】
（ ）＝
3 2 1 4 5
2 1 0 0 0
32145 3
τ
↓ ↓ ↓ ↓ ↓
∴
【法二】
（ ）＝
逆序数为奇数的排列称为奇排列；
逆序数为偶数的排列称为偶排列.
排列的奇偶性
例4 计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性.
1） ２１７９８６３５４
[注] 逆序数为0称作偶排列, 例如: .
τ ( 123...n )
2）
n n ( − 1 )( n − 2 ) 321
解
( ) (
2k 1 2k − 1 2 2) (
k − 2 3 2) (
k − 3) (
k + 1)
k3）
（k为自然数）
特别：将相邻两个元素对调，叫做相邻对换.
1、定义 对 换
在一个排列中，将某两个数a,b对调，其余各 数位置不变，这样的变换称为一个对换,记为(a,b).
例如
a
1 a
la b b
1 b
m1 l
b a
1 ma a b b
1 l 1 m 1 n
a a
a
b bb
c c1 l 1 m 1 n
a a b b b a c c
1）2）
定理1 任意一个排列经过一次对换后，改变奇偶性．
证明 1°相邻两个数对换
除
a , b
外，其它元素的逆序数不改变.2．对换与排列奇偶性的关系
m
l
ab b b
a
a
1
1 a b
m
l
ba b b
a
a
1
1 ab
（ ， ）ba
结论 对换相邻两个元素，排列改变奇偶性.
次相邻对换
m a
1 a
la b b
1 b
mc
1 c
n次相邻对换
+ 1
m a
1 a
lb b
1 b
ma c
1 c
n1 l
a b
1 m 1 n,
a a b bc c
∴
次相邻对换
1
2 m + a
1 a b
lb
1 b
mac
1 c
n,
综上一个排列中的任意两个数对换，排列改变 奇偶性.
n m
l a b b b c c
a
a1
a
1b
1 2 °不相邻两个数对换证明 设这n!个n级排列中共有s个奇排列,t个偶排列，
现证s=t.
故必有 s = t.
奇排列 前两个数对换 偶排列 所以 s ≤ t
ｓ个 ｓ个
偶排列 前两个数对换 奇排列 所以 t ≤ s
ｔ个 ｔ个
定理2 n个元素(n＞１)共有n!个n级排列,其中奇、偶 排列各占一半,即各有 n!/ 2 个.
1.分析三阶行列式结果
归纳每项内容及符号的规律
三阶行列式共有
6
项，即3 !
项．（1）每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积．
三、n阶行列式
33 32
31
23 22
21
13 12
11
a a
a
a a
a
a a
a
33 22 11
a a
=
a
32
.
23 11
a a
−
a
32 21 13
a a
+a
31 23 12
a a
+a
31 22 13
a a
−
a
−a
12a
21a
33（2）符号： 当行标按1，2，3排列时，每项都可写成
每项符号决定于列标排列的逆序数，即
( 1) −
τ ( j j j1 2 3)其中
j j j
1 2 3 为列标全排列.1 2 3
1j 2j 3j
a a a
综上，三阶行列式
1 2 3
1 2 3
1 2 3
11 12 13
( )
3 21 22 23 1 2 3
( )
31 32 33
( 1)
j j j j j jj j j
a a a
D a a a a a a
a a a
= = ∑ −
τ为对列标所有全排列求和 .
∑
) ( j1 j2 j3
定义
2. n阶行列式
1°由
n
2个数构成，有n行、n列，a
ij 称为行列式的元素.2°为所有不同行不同列的n个数乘积的代数和，共 n！项 . 3°当行标按1，2，…，n排列时，每项符号决定于列标
排列的奇偶性：偶排列取正号，奇排列取负号.
4 °n阶行列式简记作
det( a
ij)
(determinant) ，或a
ij( )
( 1 2 ) 1 21 2
11 12 1
21 22 2
1 2
( )
1 2
1
nn n
n
j j j n
j j n j
j j j
n n nn
a a a
a a a
D a a a
a a a
= = ∑ −
τ
【注】
5 °一阶行列式
a = a
不要与绝对值记号相混淆.例5 有4阶行列式，分析：
（1）
是否为展开式中的一项，若是，确定其在展开式中 的符号.
22 14
43 32 21 31
14 23 12
14 43 32
21a a a (2)a a a a (3)a a a a a a
11
21 22
1 2 3
0 0 0
0 0
n n n nn
a
a a
a a a a
【注】该行列式中左上角到右下角的对角线称为 主对角线,主对角线上的各元素称为主对角元素.
称左侧的行列式为下三角形行列式，右侧的行列 式为上三角形行列式.
例6 计算n阶行列式(其中
a
ii≠ 0, i = 1, 2,... n
)11 12 1
22 2
0
0 0
0 0 ...
n n
nn
a a a
a a
a
＝
例7 计算n阶行列式 对角形行列式 1
2
0 ... 0
0 0... 0
0 ... 0
0 ... 0
nλ
λ
λ
( λ
ii≠ 0, i = 1, 2,... ) n
【练习】计算
λ
nλ
λ
2
1
【注】1.三角形行列式及对角形行列式的值均等于主 对角线元素的乘积。
2.由行列式定义知，若有一行（或一列）中的元素都 为0，则此行列式的值为 0 。
确定行列式中各项符号定理
定理3 n阶行列式
D = a
ij 的一般项可以写成n n n
n i j i j i j
j j
j i
i
i
a a a
2 2 1
1 2
1 2
1 ) ( )
)
(1
( −
τ +τ其中 为行标的n级排列；
为列标的n级排列.
i n
i
i 1 2
j
nj
j
1 2
续例5 有4阶行列式，分析 (1) 的符号.
a a a a
21 32 43 14推论 对于n阶行列式
1 2
1 2
1 2
( ... )
1 2
( ... )
( 1)
n...
n n
i i i
i i i n
i i i
D = ∑ −
τa a a
例8 用行列式的定义计算
0 0 0 1 0
0 0 2 0 0
1 0 0 0 0
0 0 0 0
Dn
n
n
=
−
例9 用行列式的定义计算
0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1
【练习】 用行列式的定义计算
1 1 1 0
0 1 0 1
0 1 1 1
0 0 1 0
小结
1、行列式是一种特定的算式，计算结果是数值，
它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次 方程组的需要而定义的;
2、
n
阶行列式是 n! 项的代数和;3、 阶行列式的每项都是位于不同行、不同 列 个元素的乘积;
n n
4、 一阶行列式
a = a
不要与绝对值记号相混淆;5、 的符号为
1 1 2 2 n n
i j i j i j
a a a ( ) − 1
τ(i i1 2... )in +τ( j j1 2... jn).
思考题
解
已知
( )
1 2
1 1
1 2
3
1 1
1
2 1
1
x x x
x x
f −
= 3
求
x
的系数性质1 行列式与它的转置行列式相等.
行列式 DT称为行列式 D 的转置行列式.
记
ann
a a
22 11
n n
a a a
2 1 12
2 1
21
n
n
a
a
= a
D
2 1 21
n n
a a a
n
n
a
a a
2 1
=
12D
Ta
nna a
22 11
说明 行列式中行与列具有同等的地位,因此行列 式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.
§1.2 行列式的性质
. D D
,
) 1 (
) 1 ( D
) 1 ( D
:
n 2
1 n 2 1
n 2 1
n 2
1 n
2 1
n 2 1
n 2
1 n 2 1
n 2 1
j 2
j 1 j ) j j j ( N j
j j
nj 2j
1j ) j j j ( N j
j j 2
1
2 22
21
1 12
11
i 2
i 1 i ) i i i ( N i
i i 2
1
2 22
21
1 12
11
= ′
−
=
′
′
− ′
=
′
′
′
⋅
⋅
⋅
⋅
′
′
′
′
′
′
′ =
−
⋅ =
⋅
⋅
= ⋅
∑
∑
∑
′ =
因此
而据行列式定义 已知
证明
n a
a
nn n
n
n n
n
nn n
n
n n
a a
a
a a
a a
a a
a a
a
a a
a
a a
a a
a a
a a
a
a a
a
ji ij
例如
推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则 此行列式的值为零.
, 5 7
1 5
7 1
−
=
2 6
6
8 5
3
. 8 2 5
8 2 5
−
=
3
6 1
5 6 7
5 6 7
3 6 1 2
6 6
8 5
3
性质2 互换行列式的两行（列）,行列式的值变号.
性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都 乘以同一数
k
，等于用数k
乘此行列式.nn n
n
in i
i
n
a a
a
ka ka
ka
a a
a
2 1
2 1
1 12
11
nn n
n
in i
i
n
a a
a
a a
a
a a
a
k
2 1
2 1
1 12
11
=
推论1 行列式的某一行（列）中所有元素的公 因子可以提到行列式的外面．
推论2 行列式有一行（列）的元素全为零，行列 式值为0 .
推论3 行列式中如果有两行（列）的对应元素成 比例，则此行列式为零．
证明
nn n
n
in i
i
in i
i
n
a a
a
ka ka
ka
a a
a
a a
a
2 1
2 1
2 1
1 12
11
nn n
n
in i
i
in i
i
n
a a
a
a a
a
a a
a
a a
a
k
2 1
2 1
2 1
1 12
11
= = 0 .
【思考】若给行列式的每一个元素都乘以同一数k，
等于用 乘以此行列式.
性质4 若行列式的某一行（列）的所有元素都是两数 之和，
11 12 1 1 1
21 22 2 2 2
1 2
( )
( )
( )
j j n
j j n
n n nj nj nn
a a a a a
a a a a a
D
a a a a a
+ ′ + ′
=
+ ′
则D等于下列两个行列式之和：
11 1 1 11 1 1
21 2 2 21 2 2
1 1
j n j n
j n j n
n nj nn n nj nn
a a a a a a
a a a a a a
D
a a a a a a
′
= + ′
′
例如:
性质5 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数k, 然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式的值不变．
11 1 1 1
21 2 2 2
1
i j n
i j n
n ni nj nn
a a a a
a a a a
a a a a
11 1 1 1 1
21 2 2 2 2
1
( ) ( )
( )
i j j n
i j j n
i j
n ni nj nj nn
a a ka a a
a a ka a a
C kC
a a ka a a
+ + +
+
×
k
例如:例1 判断下列各式成立否？
（1）
0 2
0
1 0
1
3 2
1
3 2
1
0 2
0
1 0
1
−
=
（3）
3 3
3
2 2
2
1 1
1
3 3
3
2 2
2
1 1
1
3 3
3 3
3
2 2
2 2
2
1 1
1 1
1
e c
a
e c
a
e c
a
d b
a
d b
a
d b
a
e d
c b
a
e d
c b
a
e d
c b
a
D
= ++ +
+ +
+ +
=
（4）
12 34
23
2 3 12
34
34 23
12
D =
6 8 9 1 9 6 8 12 8 9 6
=
1 2 3 1 2 3
1 1 1 1 2 1 1 2 2 1 2 3
3 2 1 3 2 1
− = × + − × + × +
（2）
3 3
5 1
1 1
0 2
4 3
1 5
2 1
1 3
−
−
−
−
−
−
= D
例2 计算四阶行列式
利用行列式的性质，把行列式化为上(下)三角形 行列式或对角形行列式，从而算得行列式的值
．
计算行列式的常用方法
【注】以 ri表示行列式的第i行，以Ci表示第i列.交换 i,j两行记作ri rj , 交换i.j两列记作Ci Cj.
【注】 化为上三角形行列式的基本步骤：
如果第一列第一个元素为0，先将第一行（列）与 其他行（列）交换，使得第一列第一个元素不为0；
然后把第一行分别乘以适当的数加到其它各行，使 得第一列的元素除了第一个元素外其余元素全为0；
再用同样的方法处理除去第一行第一列后余下的低 一阶行列式，依次做下去，直到化成上三角形行列 式，此时主对角线上元素乘积就是行列式的值。
例3 计算行列式
2 10
10 4
4
6 14
7 5
3
1 2
4 0
2
5 9
7 3
3
1 3
2 1
1
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
=
D
例4 计算行列式 (续例1)
12 34
23
23 12
34
34 23
12
=
D
a b
b b
b a
b b
b b
a b
b b
b a
D
= 例5 计算n阶行列式
2 3
1 3
1 2
1 2 3
.
n n n
x a a a
a x a a
a a x a
D
a a a x
=
例6 计算n阶行列式解
解
例7 计算 1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
x x
x x
− −
− + −
− −
+ − −
计算行列式常用方法：(1)利用定义;(2)利用性 质把行列式化为三角形行列式，从而算得行列式 的值．
小结
行列式的5个性质及推论.
(行列式中行与列具有同等的地位,行列式的性质 凡是对行成立的对列也同样成立)
计算行列式技巧：
1、分析，探求行列式的结构
2、化零，尽可能把行列式化为爪型 3、靠边，把行列式化为三角形行列式
思考题
计算4阶行列式
1 1 1
1 1 1
1 1 1
1 1 1
2 2
2 2
2 2
2 2
d d d d
c c c c
b b b b
a a a a
D
+ + + +
= ( 已知 abcd = 1 )
§1.3 行列式按行（列）展开
分析三阶行列式的一个规律：
33 32
31
23 22
21
13 12
11
a a
a
a a
a
a a
a
33 22 11a a
= a
32.
23 11a a
− a21 32
13a a + a
31 23 12a a + a
31 22 13a a
− a − a12a21a33
21( 12 33 13 32) 22( 11 33 13 31) 23( 11 32 12 31)
a a a a a a a a a a a a a a a
= − + + − + − +
12 13 11 13 11 12
21 22 23
32 33 31 33 31 32
( 1) a a a a ( 1) a a
a a a
a a a a a a
= − + + −
12 13 11 13 11 12
2 1 2 2 2 3
21 22 23
32 33 31 33 31 32
( 1) a a ( 1) a a ( 1) a a
a a a
a a a a a a
+ + +
= − + − + −
以第二行元素为标准， 将 各项分组
其中
来源于
总结规律
33 32
31
23 22
21
13 12
11
a a
a
a a
a
a a
a
12 13 11 13 11 12
2 1 2 2 2 3
21 22 23
32 33 31 33 31 32
( 1) a a ( 1) a a ( 1) a a
a a a
a a a a a a
+ + +
= − + − + −
12 13
32 33
a a
a a
33 32
31
23 22
21
13 12
11
a a
a
a a
a
a a
a
11 13
31 33
a a
a a
33 32
31
23 22
21
13 12
11
a a
a
a a
a
a a
a
11 12
31 32
a a
a a
33 32
31
23 22
21
13 12
11
a a
a
a a
a
a a
a
一、行列式按某一行（列）展开 定义1 余子式与代数余子式
( ) 1
ij ij
i
j
M
A = −
+，
叫做元素a
ij的代数余子式．在 阶行列式中，把元素 所在的第 行和第 列划去后，余下的元素按原来的顺序构成的 阶 行列式叫做元素 的余子式.
n a
iji j
− 1 n
a
ij .M
ij记作
【注】行列式的每个元素分别对应着一个余子式和一 个代数余子式.
例如
44 43
42 41
34 33
32 31
24 23
22 21
14 13
12 11
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
D =
44 42
41
34 32
31
14 12
11 23
a a
a
a a
a
a a
a M =
( )
2 3 2323
1 M
A = −
+= − M
23.
n阶行列式等于它的任一行（列）的各元素与 其对应的代数余子式乘积之和，即
in in
i i
i
i A a A a A
a
D = 1 1 + 2 2 + +
(
i = 1,2,,n)
(
j = 1, 2,,n)
定理
行列式按某一行（列）展开定理
1 j 1j 2 j 2 j nj nj
D = a A + a A + + a A 或
33 32
31
23 22
21
13 12
11
a a
a
a a
a
a a
a
12 13 11 13 11 12
2 1 2 2 2 3
21 22 23
32 33 31 33 31 32
( 1) a a ( 1) a a ( 1) a a
a a a
a a a a a a
+ + +
= − + − + −
21 21 22 22 23 23
