Dirac delta function

电磁学01-13: 高斯定理

 -function:

http://mathworld.wolfram.com/DeltaFunction.html

为数不多的由物理学家 定义的函数，也叫

电磁学01-13: 高斯定理

 再考虑边界条件并注意到：

0 U

r_



2

2 0 2

3

0 0

1 4 ( ) ( ) 1

4

1 1

4 4

1 r r

r Q

Q Q

U E U

r U

r r r



 



 

  

      

     



 

简单推导过程可见http://tieba.baidu.com/f?kz=477461653

环路定理表 现在这里

2

0

Q ( )

U  r

   

电磁学01-13: 高斯定理

 数学备注：

2

2 2

2 2 2 2

2 2

2

2

1 1 1

( ) (sin )

sin sin

1 1 1

0 if 0 1

if 0

?

A A A

A r

r r r r r

r r r r r r r

r r

     

    

   

    

     

           

 

    



2

1

4 ( ) r

r 

  

 在 r=0附近考虑特定函数：

 

2

0 2 2 1/ 2

( ) lim 1

F r

a

dV

r a







 

电磁学01-13: 高斯定理

 继续数学备注：

 

  _{ }

   

2 2 -1/ 2

2 2 2

5/ 2

2 2

2 2

2 2

4 2 2 4 2 2

5/ 2 5/ 2

2 2 2 2

0 0

1 -3

( )

, ,

( ) -3 =- 3

dV a r

f r r r a dV

r r r r r a

dS dV

dV dSdr d d dr

r r

a r a r

f r d dr d dr

r a r a

 

   

         

     

   

 

 

   

 

 

2

0 2 2 1/ 2

( ) lim 1

F r

a

dV

r a







 

2 2

2

1 ( A )

A r

r r r

 

 

 

电磁学01-13: 高斯定理

 作坐标变换：

, ( ) lim ( ),

0

[0, ] r a  F r

a

f  

  



 

   

4 2 4 3

5 / 2 3/ 2

0 2 0 2

0 0 0

0 4

0

2

( ) lim 3 lim

1 1

4

( ) 1, 1 4 ( )

a a

F r d d d

d

r dV r

r

 



  

 



 





 

      

 

    

   

  







电磁学01-13: 高斯定理

 膜拜一下Gauss

 哥廷根以Gauss茶馆闻名，

Gauss本身次之

 第一章未尽：Maxwell方程组 之1/2

 行百里者半九十，另外的1/2 会花费我们大半学期的精力 与生命

电磁学01-14: 高斯定理应用

 图解求解实例：

电磁学01-14: 高斯定理应用

 图解求解实例：

电磁学01-14: 高斯定理应用

 图解求解实例：

电磁学01-14: 高斯定理应用

 图解求解实例：

电磁学01-14: 高斯定理应用

 【例1】球体电荷面密度为



，求 P 点的电场。

 按照电场微元法很困难，但利用高斯定理很容易：(1) 将挖去的 球体视为填进去一个带 -



的小球；(2) 分别利用高斯定理和叠加 原理。

2 3

0 0

2 3

0 0

0 0

4 4

3 3

4 4

3 3

( )

3 3

big ball

ball

P

E dS r E r E r

E dS r E r E r

E E E r r a

 

  

 

  

 

 

    

 

           

 

    





   

   

     



small



电磁学01-14: 高斯定理应用

 可见，球洞里面是均匀电场，大小并不为零。

 讨论：为何不能对球洞内部直接施加高斯定理？这样应该得到

E=0，错在哪里？

(可以用高斯定理。高斯积分等于零不见得电场E等于零，需要电场分布的对称性配合！)

 类似的问题：

3 3

0 0

3 1

1 1 2

3

0 1 0 0

1 2

0 0

0 0

4 4

cos cos ,

3 3

4

1 ,

4 3 3 3

,

3

3 3

R R

d p d

E r r r E r

r

r r d E E E d

E d

 

      

   

  





 

 

 

 

   

   

       

 

    

    

  

电磁学01-14: 高斯定理应用

 【例2】(p.48)：将体电荷密度 转变为球面电荷密度，

 然后各自应用高斯定理求解。

电磁学01-14: 高斯定理应用

 这个问题我们下一章还会接触到。

 【1.3.10】试论证：两个球对称分布的电荷系统之间的相互作用 力等于它们的电荷都分别集中在各自球心成为两个电荷之间的 相互作用力。

 【1.3.16】氢原子处于基态时，核外电荷分布满足下式，求核外

总电荷量和电场强度分布特征。 ₂

( )

3

r

q

a

r e

 a



 



 【1.3.25】一无穷大平面均匀带电，面密度为



^{，离开此平面距}

离 a 处有一静止的质量 m 电荷量 q 的粒子。由于 q



<0，求粒子 的运动方程与运动周期。(可以空间穿越)

电磁学01-14: 高斯定理应用

 忆秦娥@高斯定理

极性数，源出源入纤纤路。

纤纤路，万千散度，尽归星宿。

高斯指了拓扑域，天合天启随心著。

随心著，苍茫穿越，始终无物。

电磁学01-15: 作业

 作业：1.23, 1.25, 1.26, 1.29, 1.32, 1.37, 1.39

 【练习1.21】电场中某一部分的电场线形如以某一点 O 为中心的 同心圆弧。证明该部分上各点电场强度与到 O 点距离成反比。

 【练习1.22】如图所示，AB=2l，OCD为以 B 为中心、l 为半径的半圆。A点有正电荷 +q，B点有负电荷-q。(1) 将单位正电荷从O 点沿OCD移到D点，电场力做功多少？(2) 将单位负电荷从D点沿AB延长线移到无穷 远处，电场力做功多少？

电磁学01-15: 作业

 【练习1.24】有两个异号点电荷 ne (n>1)和 -e，相距为 a。证明

： (1) 电势为零的等势面是一个球面；(2) 球心在这两点电荷的 延长线上、位于 -e 电荷的外边。

 【练习1.25】线性电四极子由位于同一条线段上的三个点电荷组 成，两端为两个正电荷 q，中间为一个负电荷 -2q，求空间任一 点的电势与电场强度。推广到平面正方形四极子？

 【补充】空间一对正负点电荷(q₁、q₂)，相距为 r ；在什么条件 下可以形成一球形等势面？其球心在哪里？球半径是多少？

在文檔中 第一章 真空中固定电荷的电场 (頁 160-177)