第一章真空中固定电荷的电场

(1)

第一章真空中固定电荷的电场

Thales, the earliest researcher into electricity

(2)

电磁学01-01: 电荷

 电荷(charge)的产生、类型

别问我：为何是这样的微观机理还真是个问题！

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电磁学01-01: 电荷

 静电感应(electrostatic induction)

 视频：Rubber and Glass Rods with Tinsel and Balloon

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电磁学01-01: 电荷

 静电感应与Van de Graaff Generator起电机

 问题：范德霍夫起电机的详细工作原理

 Graaff起电机应用视频：Inducing Dipoles with a Van de Graaff Generator

 You tube视频地址：https://www.youtube.com/watch?v=c62A8xf_jcA

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电磁学01-01: 电荷

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电磁学01-01: 电荷

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电磁学01-01: 电荷

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电磁学01-01: 电荷

 静电感应与Wimshurst起电机

 实验演示：The Wimshurst Machine

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电磁学01-01: 电荷

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电磁学01-01: 电荷

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电磁学01-01: 电荷

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电磁学01-01: 电荷

 问题：威敏斯特起电机的工作原理

当一个民族喜爱将科学技术的历史作为收藏时

，那是令人激动的事情。黄金、玉石、名画、

红木等也令人羡慕，但那不是硬实力。四川农

民自己造飞机那不是发疯，是一种精神。

(13)

电磁学01-01: 电荷

 Wimshurst起电机原理图

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电磁学01-01: 电荷

 静电感应的世界：亲，我们做点什么吧？

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电磁学01-01: 电荷

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电磁学01-01: 电荷

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电磁学01-01: 电荷

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电磁学01-01: 电荷

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电磁学01-01: 电荷

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电磁学01-01: 电荷

 电荷的应用：激光打印机

 问题：激光复印机或打印机工作原理

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电磁学01-01: 电荷

 电荷的性质：两种电荷

电荷量子化(charge quantization)

 1834年Michael Faraday由实验得出电解定律：为了析出 1 mol 单 价元素需要相等的电量。

 F (法拉第常数)—— 1 mol单价离子电量，e=F/N_A——基本电荷

(22)

电磁学01-01: 电荷

 Faraday非常人！

 Ether也由Faraday最新提出

 再一个发明 F-cage

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电磁学01-01: 电荷

 1891年George Johnstone Stoney (斯通尼)把 基本电荷取名为“电子(electron)”，并根据 Faraday常数估算出 e 的大小。

 Stoney mass & Stoney scales

2

0

: gravitational constant : Planck mass

S

4

P

e G

m m

G  m



    



2

10 1/2 3/2 -1 6

2

8 -1 3 -2 34

4

10 -1 45

2 6

mass

4.803 10 g cm s 1.86 10 g

length 6.674 10 g cm s 1.38 10 cm

2.998 10 cm s 4.60 10 s time

M e

G e M

L Ge G L

c c T

T Ge

c

 



  

      

  

          

        

 

 

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电磁学01-01: 电荷

 1897年Joseph John Thomson (汤姆逊)阴极 射线实验确定射线是负电粒子流，荷质比为氢离子的千余倍，发现比氢原子更小的基本 粒子——电子。

 问题：预习一下这个阴极射线管工作原理与荷质比的概念

(25)

电磁学01-01: 电荷

 Thomson的其他贡献(原子结构、质谱、库伦定律检验)：

原子的葡萄干模型

质谱仪

(26)

电磁学01-01: 电荷

 1909年Robert Andrews Millikan (密立根)通过直接测量油滴电 荷，证实了电荷的量子性。

 问题：尝试一下这个油滴实验？

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电磁学01-01: 电荷

(28)

电磁学01-01: 电荷

 回顾Millikan实验：

 Millikan modified experiments tried by others and did very careful work.

 Used nonvolatile oil rather than volatile water.

 Corrected equations for rate of fall of drop – determined this experimentally

 须知条件：

(1) Density of air, (2) Viscosity of air, (3) Density of oil, (4) Equation for rate of fall, (5) Strength of electric field, (6) Temperature, (7) Air Pressure

Q /10^-18 C

Q

/1.64 10^-19

Nearby integer

Divided by 6.02

-1.970 -12.02 -12 1.996

-0.987 -6.02 -6 1.000

-2.773 -16.93 -17 2.813

From Millikan’s 1911 paper

(29)

电磁学01-01: 电荷

 Millikan借助光电效应测量Planck常数：

(30)

电磁学01-01: 电荷

 基本电荷 e ~ 1.6021773310^-19C

 So far so true

 Basic particle physics

 Never “seen” never “touched”!

(31)

电磁学01-01: 电荷

 电荷守恒 (charge conservation law)：在一个孤立系统内，

无论发生什么样变化，系统电量代数和保持不变。物质不灭定律。

 Coulomb's Force Law and Measurements of Charge

 这个录像比较啰嗦，不再专门播放！

( )

V

dq J dV

dt     

(32)

电磁学01-01: 电荷

 电荷守恒的论证基础：

(33)

电磁学01-01: 电荷

 电荷守恒的论证基础：

(34)

电磁学01-01: 电荷

 电荷与质量比较：

性质电荷量引力质量

物质属性描述物体带电相互作用强弱，由库伦定律定义

描述物体万有引力作用强弱，

由万有引力定律定义

空间属性平方反比定律，极为精确平方反比定律，并不精确，

需要相对论修正

产生与湮灭满足守恒规律：电荷代数和不变满足守恒定律：质量+能量和守恒

基元属性两种电荷：电力可以屏蔽效应一种质量：引力无法屏蔽相对性无相对论效应(如果有是何后果？) 有相对论效应

量子性电荷量子化(分数电荷？) 尚未发现量子性

物理意义很大、很恐怖一般、可控制

 问题：电荷相对论效应的后果？电荷为何没有分数？电荷平方反比关系失效的后果？

(35)

电磁学01-01: 电荷

 忆秦娥@点电荷

从古对，相斥相引与谁慰？

与谁慰，江山浩瀚，点滴相委。

与君千里相思最，相思何奈平方褪。

平方褪，库伦来了，问君不悔？

(36)

电磁学01-01: 电荷

 电荷相互作用力实验(十八世纪开始)：

 Franklin观察：两种电荷！反比定律猜想

 Coulomb扭秤实验，扭秤实验的基本思路与问题，电引力单摆实验

 反比定律的实验验证历史，示零实验！

 Coulomb对静磁学的贡献、对磁学发展的负作用

(37)

电磁学01-02: 库仑定律

 库仑定律的建立是发现科学规律的典型案例。

 Franklin 发现金属小杯内的软木小球完全不受杯上电荷的影响

 在Franklin的建议下，Priestel做了实验 ——提出问题。

(38)

电磁学01-02: 库仑定律

 Joseph Priestley的电学实验

Discovery of Oxygen

金属瓶内没有电！

(39)

电磁学01-02: 库仑定律

 与距离

r

的关系

 牛顿证明过球壳内任何位置的物体万有引力为 零，引发Priestley猜测与测量尝试。

 Robinson直接测量(1769/1801)：<= ~2.06

 Cavendish提出示零实验，未发表  < 0.02

~2.06 2

F r

F r ^{ } ^

 



 与电量

q

的关系

 Gauss首先给出，了不起！

Coulomb/Cavendish/Maxwell都未证明或者给 出测量。

F  q q 1 2

(40)

电磁学01-02: 库仑定律

 方向 (^逻辑推演)

1 2 1 2

2

1 2

3

2

F k q q r r

q q q q

F k

r

^

r

^



 



 

 

 



 

180^o axis-inversion symmetry

 自然界的规律是分层次的，包括空间旋转对称性在内的对称性原理凌驾于库伦定律、高斯定律、万有引力定律等各种物理规律之上。具体物理受之约束

，不得违背

(41)

电磁学01-02: 库仑定律

 有关方向的讨论 (^逻辑推演)

 两个点电荷之间的作用力是直线么？这里大部分都是曲线！

(42)

电磁学01-02: 库仑定律

 最终形式

John Robinson Henry Cavendish Carl F. Gauss Charles de Coulomb James C. Maxwell

(43)

电磁学01-02: 库仑定律

 题外话

 1769年Robison直接测量电力定律，结果直到1801年发表才为世人所知

 1772年Cavendish遵循Priestel思想设计实验，100年后Maxwell整理于世)

 静电力是普适力，横跨尘埃与宇宙，掌控万物之形态与运动

The NASA image of Arp 87

(44)

电磁学01-02: 库仑定律

 库伦扭秤实验

 1785年库仑进行扭秤实验，测量排斥力；随后有后人改进实验

 问题：请关注库伦扭秤实验的细节及测量稳定性

(45)

电磁学01-02: 库仑定律

 库伦扭秤实验

 1785年扭秤测量吸引力不成功，改成单摆实验  < 0.04

2 L

T r

 Gm



 问题：请关注库伦单摆实验的细节及测量误差

(46)

电磁学01-02: 库仑定律

 扭秤实验的问题

 实验小球毕竟有尺度，使得静电感应效果显著，点电荷假定有误差

 实验用材形变、扭折，很难定量评估

 测量精度很难提高，以至于无后人步尘，示零实验大行其道(第二章)

 扭秤实验的新生：万有引力

 静电感应和样品尺度问题在测量万有引力时不再存在

 Cavendish最早开始使用

 实验用材形变、扭折，依然很难定量评估

 在万有引力常数测量、遥感、天体物理、相对论测量等方面有一定优势

(47)

电磁学01-02: 库仑定律

 万有引力扭秤实验

 武汉瑜伽山人防洞、罗俊、G常数、白癫疯、空间陀螺、李淼、天琴计划

(48)

电磁学01-02: 库仑定律

天琴计划

Tianqin Science Mission

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电磁学01-02: 库仑定律

天琴计划

Tianqin Science Mission (http://arxiv.org/abs/1512.02076)

(50)

电磁学01-02: 库仑定律

 库伦定律存在的条件：

2 1 2

3 1 2

experiment

charge quantities / / symmetry

F r F k q q r F q q

r

F r



 

 



     

 



 

 

 真空、点电荷、静止；

 点电荷相对静止，且相对观察者也静止；

 可以拓宽到静源——动电荷；不能延拓到动源 ——静电荷；

 作为运动源，有推迟效；与牛顿第三定律矛盾？

(51)

电磁学01-02: 库仑定律

 对库伦定律的讨论：牛三定律

 作用电荷静止，作用场动量不变——作用力对等；

 被作用电荷运动，场动量变化，作用力不对等；

t=0 v t=t

 

  ^ ^

1 2 1 2

21 3 21 3 12

0 21 0 12

1 2

12 3 12

1 2

2 2

2 3/ 2

2 2

12 12

0 12

moving charge & s

1 1

tatic cha 4

rge

1 /

4 1 /

1 4

/

q q

v c

v c v r

q q q q

F r r

r r

F q q

r r

r c

 





    

 

  

 



 

 问题：请推导上述作用力关系

(52)

电磁学01-02: 库仑定律

 对库伦定律的讨论：牛三定律

 看上去与牛三矛盾，说明电荷间有第三者——场；

 将场包含进去，满足牛顿第三定律；

 运动电荷会产生磁场！考虑磁力将使得第三定律被满足。

(53)

电磁学01-02: 库仑定律

 对库伦定律的讨论：真空、叠加

 库伦定律只适用于真空环境；真空破坏——出现感应或极化电荷；

 力的独立作用原理，两个点电荷之间的力总是遵循库仑定律；

(54)

电磁学01-02: 库仑定律

 对库伦定律的讨论：适用尺度

 小到原子分子尺度、大到宇宙尺度；

 依然是一个问题。

(55)

电磁学01-02: 库仑定律

 对库伦定律的讨论：适用尺度 ----yet applicable?

(56)

电磁学01-02: 库仑定律

 对库伦定律的进一步讨论：存在的疑问?

 超高电荷密度时是否适用？电荷密度太高，储能就很高，广义相对论效应 变得显著----电荷黑洞；

 电子电荷是电荷量子，尚无更小电荷存在；分数电荷存在吗？

 很小尺度下处理基本粒子运动需要借助量子电动力学，此时库伦失效；

 对库伦定律的讨论：重要性

 电磁场理论的基础；是Maxwell方程组和狭义相对论的基石；

 平方反比定律是光子静止质量为零的前提；否则：规范不变性破缺  电荷不守恒  光子偏振态为 3  黑体辐射出现真空色散  光速不变失效等。

(57)

电磁学01-02: 库仑定律

 如果库伦定律失效(   0)：

 考虑光子作为电磁相互作用媒介，导出Proca方程组

2

Proca equations

Maxwell equations

4 4

0 0

1 1

1 4

E m c E

B B

E c t E

c t

B c E t c J B E J m c A

c t c



 



 

  

   

  

       

                  

            

                     



(58)

电磁学01-02: 库仑定律

 解与  = 0的实验检验基础：

2

16 47

William 1971 1 ~

~ exp plus

~ 3 10

2 10 r E

r E r

c

m m

g









 



 

 

    

  

  

     



 物理学史上的典型范例：

 观察现象；

 提出问题；

 猜测答案；

 设计实验测量；

 归纳寻找关系、发现规律；

 形成定理、定律(需要引进新的物理量或模型

，找出新的内容，正确表述)；

 考察成立条件、适用范围、精度、理论地位及现代含义等。

(59)

电磁学01-02: 库仑定律

 量纲问题：

 电量单位(MKSA)：米(m)、千克(Kg)、秒(s)和安培(A)

 1库仑：导线通过1安培稳恒电流，一秒内通过电量为1C=1A·s

 若 F=1N，q₁=q₂=1C，r =1m，则 k = 8.988010⁹N·m²/C²~ 9.0010⁹N·m²/C²

12 2 2

0

1 8.854187818(71) 1

4 10 /

4 C Nm

k k

 



  





 电量单位(CGSE)：

 电量作为基本单位由C-定律定义。令：

 k=1，q₁=q₂，r=1cm，F=1dyn，则电量q的单位为1CGSE电量，

 1C=310⁹CGSE电量

为什么要取4？

(60)

电磁学01-03: 库仑力的故事

 库伦力：

1 2 12 1 2 12 1 2 21

12 2 21 2 2

0 12 12 0 12 12 0 21 21

1 1 1

, =

4 4 4

q q q q q q

r r r r r r

  

 r   r r

F F

 平方反比力，与引力类似，是长程力；

 由光子传递，无线电短波与可见光以同样速度传播。

(61)

 叠加原理： ²₃ ¹ _{2 1} ³₃ ¹ _{3 1}

0 2 1 0 3 1

1 1

4 4

Q Q Q Q

r r

 

 

F r r

 力是矢量，满足矢量叠加，对库伦力也是如此。

 两个基本点电荷的作用力不因第三个电荷的存在而改变。

 实验事实推论。

(62)

 练习1：氢原子中电子-质子间万有引力与库伦力：差10³⁹倍！

 运动学举例--分析点电荷q的运动行为【例1.1.11】：

q

o Q

Q r

l

2 2 2 2

0

2 2 3/ 2 0

2 1

4 ( / 2) ( / 2) 2 ( / 2)

q

qQ r r

F l r l r r

qQ r

l r



   

     

 



2

0 d x x

dt    x  Ae

ⁱ⁽^{ }^t^ ⁾

(63)

 运动学(r<<l)：简谐振动

2

2 2 2 3/ 2 3

0 0

3 0

4 2 ( / 2)

0, one has -4 /

d r qQ r qQ

a r

dt m l r ml

if qQ qQ ml

 

 

  

  

 

 

 

 电荷振荡问题：

 非简谐问题；普遍存在；

 电偶极子振荡诱发介电响应、表面等离激元、电磁波等；

 狭义与广义相对论效应。

(64)

 电荷振荡问题：

(65)

 电荷振荡问题(^介电响应)：

(66)

 电荷振荡问题(^{表面等离激元})：

(67)

 电荷振荡问题(^{时空谱学探测})：

(68)

 电荷振荡问题(^{自己设计题目})：

 问题：弹簧模量为 k，正负电荷为 q，请设置3-5个习题

(69)

 练习2：微积分应用【例1.1.19】

 电荷量 Q 均匀分布在半径为R的金属 圆环上。现在环中心放置一固定点电 荷 q。金属圆环承受的由q导致的张 力是多少？

2 2 2 2

0 0 0

2 2

0

( / 2 )

4 4 8

8

r

r r

qQe qdQ q Qd

dF e e d

R R R

T qQ

R

  

   

 

  



   



(70)

 练习3【例1.1.15】：氢原子电子围绕原子核做半静电圆周运动

，运动角动量只能是 h/2=1.05410^-34Js的整数倍。求n=1, 2时 电子轨道半径大小(n=1时称为波尔半径)。

 练习4：微积分应用【例1.1.13】：真空中一电子(-e, m_e)与一质 子(e, m_p)相距 l，因静电力作用而由静止相向运动。试求其发生 碰撞的时间 t。l=1m时，t是多少？

2

0

0.06978 2

p e

m m l

t l s

e m m

 

 

 mr

2

   n

(71)

 练习4【例1.1.13】的解答： ^ ^ ^ ^Θ ^Θ

^x

C O

x₀ l-x₀

x(t)>0 x_p(t)<0

m_p, e m, -e

,

0 ^p

p p

p

mx m x x m l

m m

 



  ^ ^

2 2

2 2 2

2 2

2 2 2

0 0

1 1

4 4

p p p

d x e d x e m

m dt ^{ }  x  x  dt    m m  m x

   

2 2 2 2 2

2

2 2

0 0

1 1

2 2 2

p p

e m e m

dx d x dx d dx d

dt dt  m m m x dt dt dt  m m m dt x

   

        

  

 

 

2 2 2 2

2

0 0 0

2 2 2

0 2 0 0

( / )0 0

1 1 2

2

p

dx dt

dx dx e m

dt dt m m m x x

e m x x

dx

dt m m m x x



 



         

   

      

   

 

  

(72)

 (e, m, x, x₀)>0, x₀>x, dx/dt<0

  Θ

 Θ

x

C O

x₀ l-x₀

x(t)>0 x_p(t)<0

m_p, e m, -e

0

0 0

0 0 0

0 0

1 1

2 2

x t

p p

p x p

em x x x x em

dx dx dt

dt  m m m x x x x  m m m

    

     

0

0 0

0 0 0 0 0

0

0 0 0 0 0

0

arcsin ( )

2 arcsin ( )

2 2 2

2 2

x x

x

p p

p x

p p p

x x x

dx x x x x x

x x x

m m x

t m x x x x x x

l m m

em x

m m

e m m

t x mx

em

 

 

 



 

         

 

      

 

 





(73)

 练习7：电量为 Q 的两个点电荷，相距2l。在其连线的中垂面上 放一点电荷 q₀。该点电荷在中垂面上受力极大值的轨迹是什么形状？

 练习5【例1.1.20】：求一电荷均匀分布的圆环与通过圆环中心 且垂直于圆环面的均匀带电直线(一端在圆环环心，一端无穷远) 之间的相互作用力。

 练习6【例1.1.17】真空有一固定点电荷Q，另一游离点电荷q其 质量为m，有qQ<0。证明点电荷q的运动轨迹是圆锥曲线。

 

   

2

2 0

2

1 4

2 1 0

r

m r r F qQ

r

m r r m d r F

r dt

^

 

  

  

   

 

   

(74)

电磁学01-04: 关于物质电结构的一些讨论

(75)

(76)

(77)

质点符号静止质量 (m_e)

电荷(e) 自旋(h/2)

电子

e

^- 1

-1

1/2

质子

P

1836.2

+1

1/2

中子

N

1838.7

0

1/2

子 ^- 206.8

-1

1/2

介子 ^ 273.2 1 0

中微子  0

0

1/2

(78)

这些带正电荷的粒子相互那么靠近，为何没有因库仑排斥而飞出

来？

(79)

电磁学01-05: 电场强度

 电荷之间交互作用：电场

 笛卡尔(以太)、超距作用、法拉第、麦克斯韦理论。

 数风流人物，还看今朝  电荷是通过电场相互作用。

电场

电荷电荷

(80)

 定义电场强度：实验电荷(点、无限小、虚拟！)

 以实验电荷感受到的力大小来定义源电荷的电场。

0

0 0

2

0 0

0

2

l 4

im 4

q

q Q r

F r r

F Q r

E q r r







 

 



电磁学01-05: 电场强度

(81)

 叠加原理：

 在经典物理学范围内，电场强度服从线性叠加原理。空间任意点的场强等于各个源电荷单独激发场强的矢量和。

0 1 0 2 0

1 2

3 3 3

0 1 0 2 0

1 2

3 3 3

0 0 1 0 2 0

1 2

...

4 4 4

...

4 4 4

...

n

n n

n

n n

n

q Q q Q q Q

F r r r

r r r

Q

Q Q

E F r r r

q r r r

E E E E

  

   

    

  

   

    

   

 两个具体特例：电偶极子与连续电荷体。

电磁学01-05: 电场强度

(82)

电磁学01-05: 电场强度

 电场线：

(83)

 矢量：大小、方向，因此可以表示为电场线：

 电场线与电场的相互关系

 方向：每一点的切线方向都代表了该点的场强的曲线

 强度：通过与电场正交的小面元每单位面积的电场线根数

E dN

 dS

电磁学01-05: 电场强度

(84)

 电场线的性质：

 不闭合，不中断，起于正电荷、止于负电荷

 任何两条电场线都不会相交

 电场线是虚构的，用来帮助我们想象电场分布，建立物理图象。可作定性分析，不要用作定量计算。

电磁学01-05: 电场强度

(85)

电磁学01-06: 电偶极子

 一对正负电荷构成的荷对

 为何大多数物质均可溶于水？

(86)

电磁学01-06: 电偶极子

 电偶极子

=

p   qd     p E  

 电偶极子 p 和力矩  ^{均为矢量；}

 对偶极矩 p = Ql，其周围电场计算有普适性。

 分子、电介质、电子(轨道)。

(87)

电磁学01-06: 电偶极子

 电偶极矩物理：

 每一个框框都是一个问题，您可以去一一了解。

(88)

电磁学01-06: 电偶极子

 两个cases：“电场” 与 “被电场”

 对电偶极矩问题，本课程的两个立足点。

(89)

电磁学01-06: 电偶极子

 Case 1：“电场”

2 2

0 0

2 2

0

4 2 2

0

3 0

1 1

, ,

4 ( / 2) 4 ( / 2)

1 [ ]

4 ( / 2) ( / 2)

1 2

4 (1 / 2 ) (1 / 2 )

1 2 ,

4 1 2 4

A

Q Q

E E

r l r l

Q Q

E E E

r l r l

Qrl

r l r l r

i Ql p

f r l

E r

r

 





 



 

 

 

   

 

  

  

³

E p

 r

3

2

(1 ) 1 1)

x 2 x

     

(90)

电磁学01-06: 电偶极子

 Case 1：“电场”

3

E p

 r

2 2

0

2 2 3/ 2

0

3 0

1 ,

4 / 4

cos cos

1 ;

4 ( / 4)

, 4

1 4

B

E E Q

r l

E E E

Ql r l

if r l E Ql

r

p r



 



 

 

 

 



 

  

3

2

(1 ) 1 1)

x 2 x

     

(91)

电磁学01-06: 电偶极子

 Case 1：“电场”

 问题：在准静态条件下计算与绘制这个图。

(92)

电磁学01-06: 电偶极子

 四极子问题：求任一点电场并讨论极端情况的物理。

 问题：请计算与绘制这个图。

(93)

电磁学01-06: 电偶极子

 四极子问题：与万有引力比较。

 上图针对本征值为负，右图本征值为正。

(94)

电磁学01-06: 电偶极子

 其它电偶极子问题：

 问题：能不能尝试一下这些poles的电场？

(95)

电磁学01-06: 电偶极子

 Case 2：“被电场”

 问题：目前阶段这个不好玩，或者说太难！

(96)

电磁学01-06: 电偶极子

 Case 2：“被电场”

 非极性和极性分子电偶极矩，包括轨道电极矩

(97)

电磁学01-06: 电偶极子

 对称性破缺：

 对称性决定“一切”。

CP对称(上)

宇称对称(下)

(98)

电磁学01-06: 电偶极子

 对称性破缺的唯像图景：

 Higgs和很多其它对称性都是一样的：对称性破缺！

(99)

电磁学01-06: 电偶极子

(100)

电磁学01-06: 电偶极子

 电偶极子对称性破缺：

 电子：时间反演、空间反转、宇称、磁电效应、多铁性。

(101)

电磁学01-07: 电荷密度

 根据需要定义维度相关的荷密度；

 物理上单位尺度所包含电荷数量，极大近似下表为连续函数；

 按叠加原理，电荷按体积连续分布激发电场连续 (r^-2, r^-3)，没有奇点!!!

 体电荷密度：

0

3 3

0 0

lim ,

1 1

,

4 4

Q dQ

dQ d d

r r

dE d E d

r r





 

 

   

 

 

   



 ^   ^

 

(102)

电磁学01-07: 电荷密度

 线电荷密度：

3 0

, 1

4 dQ r

E dl

dl r

 

 ^    ^

3 0

, 1

4 dQ r

E dS

dS r

 

 ^    ^

 面电荷密度：

面电荷密度定义有适 用范围么？(p.25)

(103)

电磁学01-08: 电场强度计算

 (1) 求均匀带电棒中垂面上场强。棒长为2l，带电总量为q。

 微积分求解步骤：

 取微元

2 2 2 2

0

set , 1 with cos

2 4

q dz r

l dE r z r z

  

   

 



 对称性分析 ₃

2 2 2 0

0 , 2 cos 2 1

4 ( )

z r

E dE dE r dz

r z

 

   



(104)

 积分

0 2 2 32

0

2 2 2 2

0 0

, 2 1

4 ( )

1 1

2 4

l

r r r r

E dE E dE E dE r dz

r z

l q

E

r r l r r l







 

    



  

 

   

 

 讨论：l  (为什么不能考虑 r0的情况？)

2 2

0 2 0 0

2 2

1 1

2 2 2

( 1) 1

l

E r r r r

r l l l

  

  

  





 

 具有轴对称性，相同的 r 处，E 大小相同；

 思考：若求的不是中垂面上的场强 E_z=0? 在任意位置如何？

(105)

 (2) 求均匀带电圆环轴线场强分布，圆环半径为a，带电总量为Q

 取微元

2 2 2

0 0

, 2

1 1

4 4

dQ ds Q

a

dQ ds

dE r x a

 

 

 

  

 





 对称性：在轴线上，y方向投影相互抵消，E_y=0；x方向同向叠加

 积分

2 2

2

3 0 3

2 2 2 2 2 2

0 0

cos cos , cos

1 1

4 ( ) 4 ( )

x

s a

x x

E dE E dE dE x

x a

x Qx

E dE ds

x a x a



  



 



    



  

 

  

 

 

(106)

 讨论：x时，圆环等效为点电荷

3 2

2 2 2

0 0

1 1

4 ( ) 4

x

Qx Q

E ^  x _ a ^  x

 讨论：在圆环所在平面内，任意一点的电场是多少？

(107)

 (3) 均匀带电圆面又如何？

这里能不能在 x时 将电荷板当成点电荷

？注意看级数展开！

2 2

1 1

~ 1 ***

1 2

x x

 



2 2 32

0

1 4 ( )

x

E dQx

x a

 



(108)

 (4) 无限大平行板电场计算(R)

(109)

 【例1.2.14】半无限长直线带电，线密度



，端垂面上任一点 P 处的电场与直线成45度(原点除外)。

O x

y

 P

x y 2 2 

0

2 2 3/ 2 2 2

0 0 0 0

0

2 2 3/ 2 2 2 2

0 0 0 0

0

, at point P on - plane ( ) sin 1

( ) cos 4

1 4 ( ) 4 4

4 ( ) 4 4

x y

x

y

dq dx dE x y

dE dE

dE dx e

dE dE x y

E xdx

x y x y y

y dx y x

E x y y x y y



 

 

  

  

  

  

 



  

    

   

      

      

  

    

     



 



 



(110)

 【例1.2.19】半环非均匀电荷分布



=



₀sin



，证明直径 AC 上任一点电场与AC垂直。

 证明 E(r) 沿 AC 方向分量为零：

   

2 2

0

2 2

0 0 0

0

// 2

0 0

// 2 2 3/ 2

0 0

sin , 2 cos

point D, / 4 / 4 sin /

sin cos

( ) cos

4 sin cos sin

4 ( 2 cos ) 0

dq Rd x R r Rr

at dE dq x R d x

R d R r

dE dE

x x

R R r

E d

R r Rr



   

    

   

 

    

 

     

 

  

  

  

2 2

2(2 )

2( 2 )

4 ,

dx cx b

X X q X

xdx bx a

X X q X

q ac b X a bx cx

 

  

    



(111)

P 

P

Why are the fields at P & P equal to

each other?

 电荷分布



=



₀sin



E

As a semicircle with negative (positive) charges

is approaching, what will occur?

第一章 真空中固定电荷的电场