Extended Jones matrix method

一般的 Jones matrix 可用的範圍僅限於 1.正射於入射面的偏極光 2.雙 折射晶體平面的尋常模態(ordinary mode)與非尋常模態(extraordinary mode) 3.忽略 Fresnel 反射與折射光 條件下作有效的計算，但對於兩正交偏正片於 離軸(off-axis)的漏光將無法計算。因此，本節將介紹於 1982 年由 Po-Che Yeh 發表的Extended Johns Matrix Method 將離軸的漏光與單一層的界面 Fresnel 反射與折射光加入討論，必須注意的是此方法忽略多重介面反射效應，此 方式將大大簡化了4X4 matrix method 的繁複計算，但卻可以得到的近似的 結果。

由電磁理論可知，在均向性介質(z<0)與單軸晶體介質(z>0)界面的電磁 場可寫成

Incident: ^{Ei =(Assˆ+Appˆ)exp}

⎡

^{i(ωt−kv•rˆ)}

⎤

(2.2-28) Reflected: ^{Er =(Bssˆ+Bppˆ')exp}

⎡

^{i(ωt−kv'•rˆ)}

⎤

(2.2-29) Refracted: E_t =(C_ooˆe^−kvo•rˆ +C_eoˆe^−kve•rˆ)exp(iωt) (2.2-30) '

, k kv v

為入射與反射波的波向量，kv_o kv_e

, 為尋常與非尋常折射波的波向量，sˆ為 垂直入射平面的單位向量，pˆ p, ˆ'為平行入射平面的單位向量。令sˆ=

[

1 0 0

]

k s p k v

v ˆ

ˆ ×

= (2.2-31)

k s p k

′

′×

= −

′ v

v ˆ

ˆ (2.2-32)

φ

o

⎟⎟⎠

2.3 斜向入射的相位差

廣泛的來說光傳遞進入異向性介質可以將其分成兩個相互獨立傳遞模 態，對單軸雙折射晶體將分成兩相互垂直的尋常模態與非尋常模態傳遞，

尋常模態的折射率與傳遞方向無關，而非尋常模態與傳遞方向有關，也因 如此，相位延遲就可能隨傳遞方向的改變而改變。

以光軸在x-y 平面的單軸雙折射物質為例，當正射時的相位延遲為：

d n n_{e o}) 2 ( −

=

Γ λ

π (2.3-1)

也可寫成

d k k_{ez oz})

( −

=

Γ (2.3-2) 在公式推到中將有兩個方式：

1. 波導傳遞方式(Wave approach)：對一入射平面波進入介質將分成尋常波 與非尋常波傳遞，因此在介質中的電場大小可寫成：

[

( )

]

exp

[

( )

]

exp i x y k z E i x y k z

E

E= _e − α +β + _ez + _o − α +β + _oz (2.3-3) 其中E ,_e E_o分別為非尋常光與尋常光的電場大小，α,β 和k ,_oz k_ez都為波向 量，當波在介質中傳遞經過厚度 d 得相位延遲為：

d k k_{ez oz})

( −

=

Γ (2.3-4) 2. 光線追跡方法(Ray approach)：由圖中知入射光進入介質中，因雙折射

(

n_e(θ_i),n_o

)

發生而在介質中出現兩折射角

(

θ_e,θ_o

)

，由單軸晶體的雙折射效 應了解n_o與入射角無關且n_e與入射角有關，相位延遲可寫成

(

^{n AB n BD n AC}

)

圖2.12 晶體座標關係圖 snell’s Law：

e 由(2.3-13)& (2.3-14)可得到：

φ

2 2

2 sin

sin sin

sin sin

cos cos

sin cos

cos

cos _{eff LC i i LC i i eff i i}

eff n n n n

n θ = α φ θ φ + α φ θ φ + α − θ

(2.3-19) 由(2.3-15)可得到：

( )

^1/2

2 2

2 2 2

cos ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

= −

o e

eff e o eff

eff n n

n n

n θ n (2.3-20)

解聯立方程式可得：n_eff &θ_eff ，進一步可得到θ_e &θ_o，因此，斜相入射的相 位延遲Γ(θ_i,φ,α,φ_LC)就可得到。

第三章 光電設計

圖 3.1 為半穿透式光學系統架構圖，圖中可了解在次畫素(sub-pixel)中 包含穿透區與反射區，為了要使穿透區與反射區的光學特性相同，其反射 區樣品厚度為穿透區一半且樣品的上片與下片結構必須對稱。

圖 3.1 半穿透式光學系統架構圖

圖3.2 為歸一化後的半穿透式光學偏光圖，圖中分別描述正向入射的反 射區與穿透區偏極光的偏振狀態，3.2(a)為亮態(bright state)下的反射區與穿 透區的光學偏光圖，反射區部份經雜散光過檢偏片變成線偏光後再經過寬 頻的λ/4 波片後便成圓偏光，由於設計上將相位延遲片加液晶層的相位差為 π/2，所以圓偏光將變成線偏光，經過一個反射鏡後又在一次通過液晶層、

相位延遲片寬頻的λ/4 波片最後的偏振狀態與檢偏片平行，同樣的道理用在

Analyzer 2 Compensation film

Polarizer Glass

Glass Reflector

Retardation film

Retardation film

2

寬頻的λ/4波片 廣視角正交偏光片

λ/4-Plate

λ/4-Plate λ/2-Plate

λ/2-Plate

液晶層+相位延遲片 Case1: A-plate+C-plate Case2: Biaxial film Case3:SWV film+C-plate 3

1

1 寬頻的λ/4波片

透區暗態(dark state)下的偏極光的偏振狀態，必須注意的是此時的相位延遲 片與液晶層的相位差因電壓不同下而改變成零相位，出射偏振狀態將與檢 偏片垂直因此沒有偏極光分量射出。

圖 3.2 歸一化後的半穿透式(a)亮態(b)暗態 光學偏光圖

儉偏片 寬頻的λ/4 波片

偏光片 寬頻的λ/4波片

液晶層+

相位延遲片 鏡面反射鏡

相位差:0

相位差:0

穿透 區 反 射 區

(b)

儉偏片 寬頻的λ/4 波片

偏光片 寬頻的λ/4波片

液晶層+

相位延遲片

相位:π/2

相位差:π

鏡面反射鏡

穿透區反射區

(a)

對於一顯示器所表現出來的色彩是由光源到每一光學元件最後加總的 結果，為了清楚說明設計準則將於3.1 節一步驟一步驟說明，此外為了方便 分析光學系統，將系統元件分成三大部份獨立分析：1. 寬頻的 λ/4 波片[11-12]

2. 偏光片之漏光補償[13-15] 3. 液晶層之漏光補償[16-17]，將在 3.2-3.4

節分別說明。

3.1 光電設計準則

圖 3.3 設計流程圖

c 選擇液晶

e 液晶層厚度 d 工作區間

Case1 A-Plate+C-Plate

Case2 Biaxial Film

Case3 SWV Film+C-Plate A-plate

C-plate h 補正軸暗態

i 補離軸視角

A (nx,ny)

C (ny,nz)

SWV film

C-plate

CR>10 面積區塊 一、決定液晶層特性

四、設計相位延遲片

結束

f 寬頻λ/4波片或λ/4波片

g 加入廣視角偏光片補償膜與否 二、寬頻λ/4波片

三、廣視角偏光片

五、結果比較

開始

圖3.3 為光電設計流程圖，首先先將流程圖中的每一個步驟再分成五大 類說明—液晶層、λ/4 波片、廣視角偏光片、相位延遲片及結果分析比較，

首先為決定液晶層特性，①所用的液晶為ZLI-2293，②工作區間在 1.5V~6V 之間，由於π-cell 必須大於V_t才能穩定的工作在彎曲態與垂直態間轉化，圖 3.4 為彎曲態與扭轉態的 Gibb’s free energy 對電壓作圖，圖中發現V_t ≈1.42V 因此選定1.5V 為亮態，暗態則依 OCB LCD 產品規格選定在 6V。

圖 3.4 彎曲態與扭轉態的 Gibb’s free energy 對電壓作圖

③液晶層厚度選定的準則必須符合幾點要求:a).亮態穿透率最高 b).T(R)-V 曲線越平滑越好 c).CR>10 的面積越大越好 d).反應時間越快越好 在這幾個目標為基準下找到反射區厚度大概介於3um~3.6um 之間都可以接 受，所以穿透區厚度介於 6um~7.2um，最後的評比發現樣品厚度小一點的 整體特性比較好，所以之後的樣品厚度都以反射區厚度為 3um 穿透區厚度 為6um 作說明。

-4 -3 -2 -1 0 1 2

1.3 1.32 1.34 1.36 1.38 1.4 1.42 1.44 V

Gibbs free energy(uj/m^2) R-bend R-twist T-bend T-twist

Vt

圖 3.5 (a)尋找反射區厚度結構圖 (b)不同反射區後度下的 R-V 曲線圖

R-V curve(with A-plate)

0

cell gap=2.7um,A=12.2um cell gap=3um,A=13.6um cell gap=3.6um,A=16.3um

Analyzer λ/4 plate

R-region A-plate

Mirror

Cell gap(dR) Thickness(da)

(a) (b)

T(R)-V curve

0

Normalizes Luminance

T-region(6um) T(R)-V curve

0

Normalizes Luminance

T-region(6um)

④加λ/4 波片或寬頻λ/4 波片迥然不同的結果將可由反射區看出，由 於λ/4 波片與波長的改變有密切的關係，因此將原本的λ/4 波片再加入λ /2 波片組合成寬頻λ/4 波片將降低與波長變化的程度，其理論將於 3.2 節 說明，圖 3.7 為加入λ/4 波片與寬頻λ/4 波片反射區視角漏光圖，由結果 可知寬頻λ/4 波片可大幅降低漏光，因此可以提升反射區對比度由50 變成 700 以上。

圖3.7 反射區的視角漏光模擬圖(a)加λ/4 波片 (b)加寬頻λ/4 波片

⑤廣視角正交偏光片主要是改善穿透區的大角度漏光，加入一片或兩 片補償片改變斜向入射光的偏振態，近而達到出射前的偏振態與檢偏片穿 透軸垂直，達成大角度漏光降低的目的，其理論將於3.3 節說明，圖 3.8 為 穿透區有無加入廣視角膜的視角漏光比較圖。

0.0002

0.005 0.005

90°

180°

360°

20° 40° 60° 80° 0°

90°

180°

360°

20° 40° 60° 80° 0°

90°

180°

360°

20° 40° 60° 80° 0°

90°

180°

360°

20° 40° 60° 80° 0°

(a) (b)

儉偏片 寬頻λ/4

波片 反射鏡 儉偏片 λ/4波片 反射鏡

圖 3.8 穿透區的視角漏光模擬圖(a)正交偏光片 (b)廣視角正交偏光片 設計相位延遲片主要把握兩個原則:⑥正軸的暗態漏光與⑦離軸的視 角相位補償，其設計原則將於3.4 節說明。

0.0002 0.005

90°

180°

360°

20° 40° 60° 80° 0°

90°

180°

360°

20° 40° 60° 80° 0°

90°

180°

360°

20° 40° 60° 80° 0°

90°

180°

360°

20° 40° 60° 80° 0°

(a) (b)

儉偏片 儉偏片

0.0002

廣視角

偏光片 補償片 偏光片

3.2 寬頻的 λ/4 波片

反射式結構當中若只用一片偏光片與一片四分之一波片(λ/4)是無法提 供完全的暗態(因為四分之一波片的相位隨波長變動大)，為了解決暗態漏光 問題，在偏光片與反射板間加入一片半波片(λ/2)是目前為止最好的方法，

此結構也稱為寬頻的λ/4 波片。

圖 3.9 反射式光學系統示意圖，以非扭轉型的顯示器為例，假設偏光片 的吸收軸在垂直方向(y’)，二分之一波片與基準軸夾ϕ_H且四分之一波片與基 準軸夾ϕQ ，最後要出偏光片前的偏振態角度將與基準軸夾−4ϕ_H +2ϕ_Q，若 要達到暗態狀況下的條件為

o Q

H 2 90

4 + =±

− ϕ ϕ (3.3-1)

QWP(λ/4)

HWP(λ/2) Mirror

Polarizer

φH

φQ

2φH

Mirror

QWP(λ/4) φQ

2φH- φQ

2φH-(2φH- φQ)

HWP(λ/2) φH

Polarizer

-4φH+2φQ

So HWP(λ/2) QWP(λ/4) Si Mirror

Polarizer

φH

φQ

2φH

Mirror

QWP(λ/4) φQ

2φH- φQ

2φH-(2φH- φQ)

HWP(λ/2) φH

Polarizer

-4φH+2φQ

So Si

圖3.9 反射式光學系統示意圖

為了計算偏振態行為將利用到Mueller matrix，所以偏振態的 Stokes vectors 將表示成

(

Q Q

) ⁽

H H

⁾

i

380 430 480 530 580 630 680 730 780

wavelength(nm)

Reflectance

QWP

wide-band QWP

3.3 正交偏光片之漏光補償

圖 3.11 為正交偏光片漏光示意圖，當偏光片的穿透軸在φ =45^o(向量表 示成 (1 1)

2

= 1

Pv )且檢偏片的穿透軸在φ =−45^o(向量表示成 (1 1) 2

1 −

=

Av )而

觀察者方位角固定在φ =0^o而極角θ_i為變數，雜散光由紙內經過偏光片再經 過檢偏片出射，3.11(a)為入射角θ_i =0^o下可發現偏光片與檢偏片穿透軸相互 垂直(Pv• Av =0)，所以不會有任何的光線射出紙片方向，3.11(b) 為θ_i =60^o度 下發現偏光片與檢偏片穿透軸都隨入射角改變而改變，此時的兩穿透軸不 再垂直(Pv′ A• v′≠0)了因此發生漏光現象。

圖3.11 正交偏光片漏光示意圖 (a)θ_i =0^o下的偏光片與檢偏片穿透軸 (b)θ_i =60^o下的偏光片與檢偏片穿透軸

以廣義的漏光公式已由Pochi Yeh 在 1982 年得以證明

x

y z

x

y z

θ

A’

P’

儉偏片的穿透軸

偏光片的穿透軸 A

P

P’ ^>90 A’

x

y

A

x

y

P

(a) (b)

2

( ² + C-Plate 於 Poincaré Sphere 上的偏振態軌跡，以光路徑中將可清楚看見偏 振 光 由P′ 經 過 A-Plate 到達Q′， 再 經 過 C-Plate 到達Q， 其 漏 光 公 式 Poincare sphere

S2

S1-S2 plane

S1

圖3.13 A-Plate + C-Plate 於 Poincaré Sphere 上的偏振態軌跡圖 b). 一片雙軸晶片(Biaxial film)：

由於一片雙軸晶體可以等效成A-Plate + C-Plate 結合，因此可以找到理 想的雙軸晶的補償片來解決斜向漏光。Biaxial 的慢軸必須平行檢偏片的穿 透軸且(n_x −n_y)d =275nm (λ/2 plate)。 Poincare sphere

S2

S1-S2 plane

S1 Poincare sphere

S2

S1-S2 plane

S1

c). 兩片雙軸晶片：

此種方式主要的特色是不僅可以降低漏光現象還可以降低不同波長下 的影響，偏振光由P′經過第一片Biaxial film 到達Q′，再經過第二片Biaxial film 到達Q，與檢偏片的對面的S距離變近因而漏光變小。其中兩 Biaxial films 的慢軸都與檢偏片穿透軸平行且(n_x −n_y)d =275nm(λ/2 plate)。

圖3.15 兩片 Biaxial 片疊加於 Poincaré Sphere 上的偏振態軌跡圖 d). A-Plate：

A-Plate 的補償特性是針對於實際的偏光片作補償的，由於實際的偏光 片於上下兩面有 TAC 層(保護層)，其具有一點點的雙折射效應，所以有些 公司或論文中會以A-Plate 作為偏光片的補償，在此不作說明。

-1 -0.5

0 0.5

1

-1 -0.5 0 0.5 1 -1 -0.5 0 0.5 1

S1 Poincare sphere

S2

0.5 1

30

210

60

240 90

270 120

300 150

330

180 0

S1-S2 plane

S1

S2

Q′

Q′

P′

P′

Q

Q

A′

A′

S

S

圖 3.16 為上述的前三種方式補成正交偏光片漏光模擬結果圖，其中圖 3.16(b)的 A-Plate+C-Plate 補償與 3.16(c)Biaxial film 結果相近似，圖 3.16(d) 的兩片Biaxial films 補償結果最佳。

圖3.16 正交偏光片加各種補償膜的漏光模擬結果圖(a)未加補償前(b)加 A-Plate+C-Plate 補償 (c)加一片 Biaxial Film 補償 (d) 加兩片

Biaxial Films 補償 0.0002

90°

180°

360°

20° 40° 60° 80° 0°

(a) (b)

(c) (d)

0.0002

90°

180°

360°

20° 40° 60° 80° 0°

0.0002

90°

180°

360°

20° 40° 60° 80° 0°

0.0002

90°

180°

360°

20° 40° 60° 80° 0°

3.4 液晶之相位補償

圖3.17 再次說明相位延遲片的設計原則主要有兩步驟:stepⅠ.正軸的暗 態相位差補償與 stepⅡ.離軸的暗態相位差補償，在這兩個原則下將介紹三 種相位延遲片Case1:A-Plate+C-Plate Case2:Biaxial film

Case3:SWV film+C-Plate。

圖3.17 相位延遲片設計流程圖

在設計的過程最後看到的是光學結果，所以利用2.2.2 節的 Extended Jones matrix 計算光學，其過程中也需利用 2.2.3 節的相位差計算作為輔助設 計。

圖3.18 斜向入射相位分析示意圖

圖3.18 斜向入射相位分析的想法，相位差計算可以分析補償片與液晶 液晶層

補償片

θi

(

θ_i,φ

)

Γfilm

(

θ_i,φ

)

ΓLC

Case1 A-Plate+C-Plate

Case2 Biaxial Film

Case3

Case3

在文檔中 半穿透式OCB液晶顯示器的光電設計 (頁 33-0)