第三章 以改良式基因演算法求解製造單元排程問題
3.4 四種基因演算法求解步驟
3.4.1 GA-T ( S max ) 求解步驟
GA-T 為傳統基因演算法，Smax表示 GA-T 傳統基因演算法產生新的解的最大次數，
即為演算法的結束條件，其詳細操作方法如下：
一、適應函數定義
適應函數為基因演算法評估染色體好壞之衡量基準，將每條染色體經由適應函數 之轉換，對應其相對之目標函數值，以利基因演算法在衍生過程中決定每條染色體之 優劣程度而加以演進。由於本研究是探討製造單元排程問題，目標在最小化最大完工 時間(Cmax)與總延遲時間(
∑
Ti )，使產出最大且滿足兩項指標之最佳效益。在一個給定的加工排程σ 下，由目標函數值轉換適應函數值定義如下：
P ：表示初始族群染色體的數量
v ：表示第 j 個染色體的目標函數值j
(
j∈P)
f ：表示第 j 個染色體的適應函數值j
(
j∈P)
轉換方式如公式(2)：
(
1 1)
j
j
f
= v
+ (2)
圖3.7為適應函數求取較佳染色體流程，首先將染色體解讀後決定工序，接著進入用 C++所寫的模擬程式中，算出染色體的各項目標函數值，再以此轉換成適應函數值，而 目標函數值越小，則此染色體的適應性越好。
圖 3. 7 適應函數求取較佳染色體流程
二、Crossover Operators 交配運算子
在 本 研 究 使 用 之 交 配 運 算 子 ， 是 由 Syswerda(1989) 提 出 的 PBX (Position-based crossover)交配運法則，屬於多點的染色體交配。每一次的交配，會選擇兩個染色體，稱 為母代(Parent1，Parent2)；經過交配後，會產生一個染色體，稱為子代(Offspring)。PBX 交配運算步驟如下：
Step 1：隨機產生一組長度與染色體相同之二元編碼字罩(Mask)。
Step 2：將Parent1內所有基因與字罩相互比對，若基因位置對映到字罩之值為「１」，
則將該基因內容複製到Offspring相同的位置上。
決定加工順序
模擬程式
計算目標函數值 染色體解讀
Fitness of Chromosome 目標函數值越小，適合度越佳
轉換適應函數值 決定加工順序
模擬程式
計算目標函數值 染色體解讀
Fitness of Chromosome 目標函數值越小，適合度越佳
轉換適應函數值
Step 3：將parent2內所有與被選入Offspring相同之基因刪除。
Step 4：將parent2未被刪除之基因，由左至右依序填入Offspring至尚未被指派的位置。
如圖 3.8 所示，Parent1 所有基因對映字罩之值為「１」的有 J2, J4, J5, J6, J9，因 此將 J2, J4, J5, J6, J9 依照 Parent1 的位置複製到 Offspring；接著在 Parent2 刪除與目前 Offspring 相同之基因並保留其順序，可得 J3, J7, J8, J1, J10 ，最後由左至右依序填入 Offspring 到尚未被指派的位置，如此，可得一組 PBX 交配後的子代，其排序為：
J3-J2-J7-J4-J5-J6-J8-J1-J9-J10。
J1 J2 J3 J4 J5 J6 J7 J8 J9 J10
Parent 1
Offspring J3 J2 J7 J4 J5 J6 J8 J1 J9 J10
J3 J7 J6 J2 J8 J1 J4 J9 J5 J10
Parent 2
0 1 0 1 1 1 0 0 1 0
Mask
圖 3. 8 Crossover PBX 運算
三、Mutation Operators 突變運算子
染色體的突變運算是為了避免在基因演算法的搜尋過程中，避免染色體過早收斂而 陷入局部最佳化的方法。本研究所使用的突變方式有兩種，分別為Swap (交換)及Insertion (插入) Wang & Uzsoy (2002)。
Swap Mutation：在隨機產生的母代染色體中，隨機選取兩個不同的基因，將其對調 產生新的子代染色體，如圖3.9。
圖 3. 9 Mutation 運算-Swap
Insertion Mutation：在隨機產生的母代染色體中，隨機選取兩個不同的基因，將在 染色體中排序較後的基因，向前插入排序較前的基因，以便產生新的子代染色體，如 圖 3.10。
圖 3. 10 Mutation 運算-Insertion 四、替換策略
在完成基因運算後，會先經過染色體解讀的動作將其解讀成Family-based，完成此 程序後再使用競賽法的替換策略，決定適合度較佳的下一代。首先求出交配或突變後產 生之子代(Offspring)染色體的目標函數值大小，再將其轉換成適合度函數值，在做交配 運算時若子代的適合度函數值大於母代(Parent1和Parent2)中之最小適合度函數值，則子 代染色體將取代最弱之母代染色體進入族群裡，反之，將拋棄此子代；當做突變運算時，
若子代的適合度函數值大於母代(Parent)之最小適合度函數值，則子代染色體將取代母代 染色體進入族群裡，反之，亦將拋棄此子代。
競賽替換法，確保每一個進入族群裡的染色體，適合程度一定比上一代優秀，因此 在給定之結束條件內能搜尋到的可行最佳解，能夠較有效率的逼近全域最佳解。
五、結束條件
若產生的解符合結束條件
(
Smax)
則停止尋找最佳解，而此解亦為最終之近似最佳 解。本研究使用一種結束條件：當所有的可行解達到指定的數量即停止，而可行解的定 義，不論在交配運算或突變運算後產生的子代，其最終有無進入族群裡，即是一組可行 解。六、GA-T 求解流程與步驟
本研究利用基因演算法求解製造單元排程問題。基因演算法可以在龐大的解題空間 n!個工件排序中找尋近似解，圖3.11為GA-T求解流程與步驟如下所示：
Step 1：隨機產生初始群體，以隨機的方式選擇染色體，形成一個起始的母體(Population)。
Step 2：計算初始群體內每一個染色體的目標函數值，並轉換成適合度函數。
Step 3：在初始群體中隨機抽取一對染色體，適合度函數高者入選為母代1(Parent 1)；再 以相同方法選取母代2(Parent 2)。
Step 4：隨機產生一個0到1間的亂數，若亂數小於接受交配的機率
( )
pc ，執行Step 5；反 之，執行Step 6。Step 5：使用交配運算法則(Crossover Operators)產生一個新染色體。
Step.6：隨機產生一個0到1間的亂數，若亂數小於接受突變的機率
( )
pm ，執行Step 7；反之，執行Step 9。
Step 7：使用突變運算法則(Mutation Operators)產生一個新染色體。
Step 8：將原始母代運用交配運算子所產生的子代，經由染色體解讀後再使用選擇策略 (Selection Strategy)去篩選染色體。
Step 9：若產生的解達到終止條件則停止尋找最佳解，而此解亦為最終之近似最佳解，
反之，執行Step 4。
圖 3. 11GA-T 求解流程圖