Heston 隨機波動模型 - Heston 隨機波動模型之校準與驗證

出之 CIR (Cox-Ingersoll-Ross) 模型。因此 Heston 模型會有兩個隨機偏微分方程 (stochastic differential equation；簡稱 SDE) 分別描述

S

_t 與

v

_t 的動態過程。在本國風

4

常見之校準方法為損失函數法 (loss function approach)，Bakshi et al. (1997)、

Christoffersen and Jacobs (2004) 與 Bams et al. (2009) 皆使用損失函數法校準 Heston 模型之參數。首先建構一個目標函數為損失函數，此目標函數是由市場的真實值與模型

5

的理論值構成，且目標函數為

ˆ

之函數。計算市場實際隱含波動與模型隱含波動之誤差，即為本文損失函數法所定義之目標函數。找一組參數

ˆ

使得目標函數值極小，亦即找到一組參數值

ˆ

使市場實際隱含波動和模型隱含波動越接近，即為校準之方法，

而所得到

ˆ

即為 Heston 模型中的參數 。

常見的四種準則為，均方誤差 (mean squared errors；簡稱 MSE)、平均絕對誤差 (mean absolute errors；簡稱 MAE)、均方相對誤差 (mean squared relative errors；簡稱 MSRE)、平均絕對百分比誤差 (mean absolute percentage errors 或 mean absolute relative errors；簡稱 MAPE)，由於四種方法差異不大，本文僅採用 MAE 建構目標函數如下



^

K T

Model K T Market

IV

n

IV

, ,

1 (4)

n

代表選擇權隱含波動個數，

T

與

K

分別代表選擇權距到期日與履約價，

IV

_T^Market_,_K 為市場實際隱含波動，

IV

_T^Model_,_K 為利用模型之封閉解所反推出的隱含波動，稱為 Heston 模型下的模型隱含波動，是利用 Heston 模型計算出選擇權理論價格，並代入 (1) 式之歐式外匯選擇權評價公式所反推出的隱含波動。

5. Delta 值與履約價之轉換

為了校準出模型隱含波動，必須先計算 Heston 模型下選擇權理論價格。一般外匯選擇權市場上是用 delta 值表示價內外程度而非以履約價表示 (delta 值與價內外程度之關係後續做說明)，因此必須先做 delta 值與履約價之轉換。一般外匯選擇權市場資料例如 10 delta put、25 delta put、ATM-DNS、25 delta call 和 10 delta call，其中 ATM 代表價平 (at the money)，DNS 代表 delta 中立策略 (delta neutral strategy)，ATM-DNS 即為買權之 delta 值與賣權之 delta 值取絕對值後兩者相等所計算出的 delta 值。另外 10 delta put、25 delta put 分別代表賣權的 delta 值為 -0.1、-0.25，25 delta call、10 delta call 分別代表買權的 delta 值為 0.25、0.1。

欲使用 (2) 式計算 Heston 模型之選擇權理論價格時，必須代入履約價計算而非 delta 值，因此須先把 delta 值轉換為對應的履約價。將 (1) 式偏微分可得歐式外匯選擇權評價模型下之 delta 值公式

6

7

delta call，其中包含賣權、買權與 ATM-DNS 不同選擇權的 delta 值，又買權的  與賣權的  兩者與價內外程度之關係是呈反向關係，為方便討論 10 delta put、25 delta put、ATM-DNS、25 delta call 和 10 delta call 此 5 種 delta 值的價內外程度，本文統一以買權的角度來解釋。

以賣權而言，10 delta put、25 delta put 分別代表賣權的 delta 值為 -0.1、-0.25，

可透過轉換得到相對應之買權角度下的 delta 值，將買權賣權恆等式對

S

₀ 偏微分可得到買權賣權 delta 恆等式 (put-call delta parity)



,

_call

 e

^^r^f^T



其中  為賣權站在買權角度下的 delta 值， 則為賣權實際的 delta 值如 10 delta _call put、25 delta put，透過此恆等式將 10 delta put、25 delta put 轉換為相對應之買權角度下的  為 _call

e

^^r^f^T 0.1 與 25

e

^^r^f^T 0. 。由於買權賣權恆等式隱含一個歐式買權與一個歐式賣權具有相同履約價與相同距到期日時間時，歐式買權價格與歐式賣權價格會滿足此恆等式，因此利用買權賣權恆等式所得到之買權賣權 delta 恆等式，同樣隱含買權與賣權具有相同履約價與相同距到期日時間，因此賣權之  轉換為賣權站在買權角度下的  時，其履約價相同，價內外程度也相同，故可以做此轉換並和買權之 _call  _call 比較價內外程度。

以買權而言， 25 delta call 和 10 delta call 之買權角度下的 delta 值即為買權本身的 delta 值



,

_call



因此 25 delta call 和 10 delta call 之買權角度下的  為 0.25 與 0.1。 _call

以 ATM-DNS 而言，其 delta 值定義為買權之 delta 值與賣權之 delta 值取絕對值後兩者相等，因此不論站在買權或賣權的角度，ATM-DNS 之 delta 值皆為 (7) 式所示，因此 ATM-DNS 相對應之買權角度下的  為 _call

2 . 1

r T call

e

^f





總結上述，本文資料 10 delta put、25 delta put、ATM-DNS、25 delta call 和 10 delta call 可轉換為相對應之買權角度下的  分別為 _call

e

^^r^f^T 0.1、

e

^^r^f^T 0.25、0.5

e

^^r^f^T、 0.25 與 0.1。此外，市場上實際之外國無風險利率非常趨近於 0，因此

e

^^r^f^T 為一趨

8

近於 1 的數值，因此可看出  由大而小分別為 _call

e

^^r^f^T 0.1、

e

^^r^f^T 0.25、0.5

e

^^r^f^T、 0.25 與 0.1。以買權而言，delta 值越大，代表價內程度越高，故可看出 10 delta put、

25 delta put、ATM-DNS、25 delta call 和 10 delta call 之價內外程度分別由深價內、價內、價平、價外至深價外。

6. Gaussian quadrature 積分

由 (3) 式可知，計算 Heston 模型選擇權理論價格時，過程牽涉數值積分問題。本文使用 Gaussian quadrature 積分法，相較於一般 Newton-Cotes 積分法，其優點為取少數節點 (abscissas) 即可計算準確，尤其在

P

₁、

P

₂ 的積分域為

  ⁰ ^, ^

時，使用 Gaussian quadrature 積分法可避免 Newton-Cotes 積分法選取端點的問題，其中 Newton-Cotes 積分法可參考 Burden and Faires (2011)。此外 Andricopoulos et al. (2003) 亦提到使用 quadrature 方法評價選擇權可以得到較快速且精確的結果。

本文參考 Rouah (2013) 做法，分別使用 Gauss-Laguerre quadrature、Gauss-Legendre quadrature、Gauss-Lobatto quadrature 3 種 Gaussian quadrature 積分法，藉由取不等距之節點

x ,...,

₁

x

_N ，每個節點配合不同權重 (weights)

w ,...,

₁

w

_N 後加總，以近似函數

  x

f

且積分域為

  a, b

之積分，其積分公式為

   

 

 b 

j j

f x w dx

x f

Gauss-Laguerre quadrature 的定義域為

  ⁰ ^, ^

。根據 Rouah (2013) 的做法，假設對

N

個節點做積分，其節點

x ,...,

₁

x

_N 為 Laguerre 多項式

L

  x

等於 0 的根，每個節點的權重定義為

  

  

²^, ¹^,..., ^.

N x j

L x

e w n

j N j

x j

j 

 

Gauss-Legendre quadrature 的定義域為

 ^ ¹ ^, ^ ¹ 

。根據 Rouah (2013) 的做法，為了配合 Heston 模型在積分上的使用，利用變數變換將函數

f   x

之積分域轉換為

9

根據 Rouah (2013) 的做法，Gauss-Lobatto quadrature 可簡單透過 Legendre 多項式來建構，其定義域同為

 ^ ¹ ^, ^ ¹ 

，同理透過變數變換將定義域改為有限區間

  a, b

。 Gauss-Lobatto quadrature 優於 Gauss-Laguerre quadrature 與 Gauss-Legendre quadrature 的地方在於端點

a

與

b

包含在所要積分的節點中，故可設定

x

₁

 a

與

x

₂

 b

，剩

利用上述方法，可得 3 種不同 Gaussian quadrature 積分法之 Heston 選擇權理論價格，代入 (1) 式之歐式外匯選擇權評價公式後，反推出隱含波動即為模型隱含波動

10

本文分別使用 1 週、2 週、3 週、1 月、2 月、3 月、6 月、9 月和 1 年，共 9 個不同距到期日時間與 10 delta put、25 delta put、ATM-DNS、25 delta call 和 10 delta call 共 5 個不同 delta 值之下的隱含波動，其資料如表 1，共有 45 個不同選擇權之市場資料做校準，即 (4) 式中

n

45。

表 1：9 個不同距到期日與 5 個不同 delta 值下的隱含波動

10 delta put 25 delta put ATM 25 delta call 10 delta call 01/14/2015 11.51 % 11.08 % 10.78 % 10.77 % 10.97 % 01/21/2015 11.59 % 11.15 % 10.77 % 10.70 % 10.82 % 01/28/2015 11.55 % 11.00 % 10.52 % 10.38 % 10.46 % 02/07/2015 10.77 % 10.20 % 9.66 % 9.44 % 9.47 % 03/07/2015 11.14 % 10.36 % 9.62 % 9.30 % 9.29 % 04/07/2015 11.58 % 10.61 % 9.71 % 9.31 % 9.27 % 07/07/2015 11.61 % 10.45 % 9.43 % 9.01 % 9.00 % 10/07/2015 11.73 % 10.46 % 9.39 % 8.98 % 9.01 % 01/07/2016 11.83 % 10.48 % 9.36 % 8.96 % 9.05 %

表 2：9 個不同距到期日下的美元與歐元之利率

距到期日時間美元之利率歐元之利率

1 週 0.418410 % -0.113615 % 2 週 0.409428 % -0.113521 % 3 週 0.394459 % -0.114818 % 1 月 0.362686 % -0.095853 % 2 月 0.266094 % -0.079678 % 3 月 0.232343 % -0.082145 % 6 月 0.167929 % -0.105418 % 9 月 0.166390 % -0.128360 % 1 年 0.148178 % -0.140243 %

本國與外國利率分別使用美元與歐元無風險利率，其資料如表 2，利率會隨著不同距到期日而不同，因此有 9 個不同距到期日時間下的美元與歐元無風險利率，此外美元無風險利率在此又稱為 base rate，歐元無風險利率為 implied rate，base rate 為美元

11

基準利率，implied rate 則是用 basis (bps) 將 base rate 做調整而得到，因此歐元無風險利率可能出現負值的情況。

將以上市場資訊分別代入 Heston 選擇權理論價格之封閉解，而封閉解中的參數除了



給定為 5 外，其餘參數 ^ˆ 

 ^

^ˆ^,

^

^ˆ^,

v

^ˆ0^,

^

^ˆ



在校準前是未知的。因此將市場資訊代入封閉解所得到 Heston 選擇權理論價格為一個

ˆ

的函數，接著將 Heston 選擇權理論價格之

ˆ

函數代入歐式外匯選擇權評價公式，透過 Newton-Raphson 法反推出模型隱含波動

IV

_T^Model_,_K 後，再代入 MAE 之目標函數，此目標函數亦為

ˆ

的函數。利用 Matlab 內建函數 fmincon，在有限制條件下解出當目標函數達到極小時之

ˆ

，即為校準流程，Newton-Raphson 法可參考 Burden and Faires (2011)。

Heston 選擇權理論價格封閉解可分別使用 3 種 Gaussian quadrature 積分法計算，

故有 3 種不同校準方法，並給定不同參數起始值之下，找出最好之校準方法。由於



給定為 5 不做校準，因此不需要給起始值。

v

₀ 為在時間點 0 時之變異數，其起始值的取法利用前述市場資料提供之 9 個不同距到期日與 5 個不同 delta 值下的 45 個隱含波動為真實波動之參考樣本，將 45 個隱含波動各自平方後再取平均當作

v

₀ 之起始值，其值為 0.010645。



為匯率之長期平均水準，因此起始值的取法同

v

₀，利用前述市場資料提供的 45 個隱含波動為真實波動之參考樣本，將其平方後再取平均值，其值為 0.010645。本文只對



與  設定不同狀況之起始值做比較，其中



的起始值分別給定為 0.1、0.2、0.3、0.4、0.5，為了符合 Feller condition 的假設，因此最大值給定為 0.5，避免因



的起始值過大，導致波動產生負值的情況。實證上歐式外匯選擇權校準出之  通常為負值，如 Floc'h (2014) 之校準結果，因此給定  的起始值為 -0.1、-0.3、-0.5、-0.7、-0.9，故給定不同的



與  起始值共有 25 組狀況。

在使用 fmincon 函數找尋使目標函數極小值時的參數，必須先給定參數起始值，

若只給固定一組參數起始值，可能找到目標函數的極小值為局部極小值並非整個函數的最小值，因此給定 25 組不同參數起始值的目的是，為了降低尋找極小值過程中的干擾，

測試不同情況的參數起始值，找出目標函數值極小的校準結果。

驗證是指將理論數學模型與市場實際結果做比較，確保理論數學模型之合理性與檢驗理論數學模型是否能夠解釋市場現象，在此理論數學模型指的便是 Heston 模型，亦即將 Heston 模型校準之結果與相對應之市場真實結果做比較，以證明 Heston 模型所

12

校準之結果符合市場實際現象。

研究結果顯示 3 種校準方法中，以 Gauss-Lobatto quadrature 校準之結果最好，因為其目標函數值最小，其結果如表 3。表 3 中，是以 MAE 為目標函數，3 種不同 Gaussian quadrature 積分為 3 種不同校準方法，每一種方法分別給定 25 組參數起始值，找到該方法下使目標函數值極小的校準結果。

表 3：3 種校準方法下，分別測試 25 組參數起始值，找出使目標函數極小之校準結果

目標函數校準方法 

^ˆ



ˆ v

ˆ₀ 

^ˆ

函數值

MAE Gauss-Laguerre 0.34287 -0.40411 0.00991 0.01053 4.372638E-03 MAE Gauss-Legendre 0.32740 -0.36286 0.01151 0.00916 3.812763E-03 MAE Gauss-Lobatto 0.32881 -0.36349 0.01152 0.00917 3.812466E-03

將 3 種不同 Gaussian quadrature 積分法計算出模型隱含波動並與市場實際隱含波動作比較驗證，結果如圖 2，其中 9 個圖形分別代表 9 個不同距到期日，而每一個距到期日中包含 5 個不同 delta 值的選擇權所繪製。可發現校準出的模型隱含波動與市場實際隱含波動相當接近，尤其在距到期日越長時結果更顯著，但在距到期日很短時

在文檔中 Heston 隨機波動模型之校準與驗證 (頁 10-0)

Heston 隨機波動模型

S

v

4

5

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ



IV

n

IV

n

T

K

IV

IV

5. Delta 值與履約價之轉換

6

7

S

,

 e



e

e

,



2 . 1

e



e

e

e

e

8

e

e

e

6. Gaussian quadrature 積分

P

P

  0 , 

x ,...,

x

w ,...,

w

  x

f

  a, b

   

 

f x w dx

x f

  0 , 

N

x ,...,

x

L

  x

  

  

N x j

L x

e w n

  1 ,  1 

f   x

9

  1 ,  1 

  a, b

a

b

x

 a

x

 b

10

n

11

  ⁰ ^, ^

  ⁰ ^, ^

 ^ ¹ ^, ^ ¹ 

 ^ ¹ ^, ^ ¹ 

 ^

^

^

^ˆ

^ˆ