HyperStudy 最佳化分析

3.3.1 形狀(Shape)最佳化

形狀最佳化不但可以處理尺寸問題，還可以對結構的幾何形狀加以修正。其 處理的設計變數包含了影響決定結構尺寸的尺寸設計變數及決定結構形狀的形 狀設計變數。因此，一個形狀最佳化系統除了結構分析的工具及最佳化演算法兩 個部分外，還包含了結構幾何的建構，以便利用數學模式定義結構形狀，進行結 構目標函數的最佳化。

在形狀最佳化過程中，其描述形狀變化的定義包含基準向量法(Basis vector approach)與變異向量法(Perturbation vector approach)，此兩者結構形狀的定義的 是參考一個線性向量的組合。

基準向量節點位置定義如下：

i i BV DV

X⁼

∑

^⋅ (3.9) 其中

X ：是節點座標向量(Vector of nodal coordinates) DVi：表示為一個設計變數

BVi：是一個與設計變數DV_i 有關聯的基準向量 i ：表示為變異向量的數目。

變異向量節點位置定義如下：

i i

0 DV PV

X

X= +

∑

⋅ (3.10) 其中

X ：表示為節點座標向量

X ：表示為最初設計的節點座標向量 0

DVi：表示為一個設計變數

PVi：表示為一個與設計變數DV_i有關聯的變異向量 i ：表示為變異向量的數目

而變異向量是基礎向量的延伸，變異向量必須有一個最初設計的節點座標向 量，因此本節將針對變異向量做個簡易的探討。變異向量產生的方法有以下三種：

(一) 手動操作變異向量(Manual perturbation vectors)：

利用 Hypermesh AutoDV 界面來手動操作變異向量，AutoDV 為形狀最佳化 變 異 向 量 建 構 形 成 出 來 的 一 套 獨 立 軟 體 ， AutoDV 可 以 支 援 包 含 Altar HyperStudy、Temples 及 Genesis 等許多形式，HyperMesh 利用內部的設計函數，

輸入相關值來形成變異向量，在 HyperMesh 所提供的操控面板中可以設定區域 元素(Domain elements)、節點設置(Node sets)、控制變異(Control perturbation)以 及形狀設計變量到 AutoDV 檔案中，當然 HyperMesh 也提供 AutoDV 檔案進入 到 HyperMesh 的編譯器。

(二) 多項式變異向量(Polynomial perturbation vectors)：

多項式的變異向量需定義最初區域模型化的元素與區域節點的設定，並定義 形狀與控制各項變異。

變異向量的產生是由插補(interpolating)控制變異定義在所選擇的控制點 上，在區域元素角落的節點與中間邊界相對應的節點上所構成控制點，如圖 3-2 所示的區域元素(Domain elements)，所以控制變異是由控制點所建構的向量所決 定。

TETRA PENTA HEXA

圖 3-2 區域元素圖

在二維(2D)方面的插捕函數如下所示：

) y ( y ) x ( x ) y , x

( P P

P = ⋅ (3.11) 在三維(3D)方面的插補函數如下所示：

) z ( z ) y ( y ) x ( x ) y , x

( P P P

P = ⋅ ⋅ (3.12) 其中 、 、 是二階多項式插補函數(Polynomial interpolation function)，插補 的執行方式如下:

Px P_y P_z

插補的階次是基於在中間邊線上是否存在變異控制，如果在給定邊線上的中 間邊線上定義變異控制，則此插補函數及為二次式，否則即為線性。所以線性插 補函數只是區域元素角落上使用變異控制。而二次插補則於中間邊線與角落上使 用變異控制。

若要產生二次變異，則可不須建立一個二階的區域元素，反而，在區域元素 邊線上之中間節點建立一個變異控制即可，中間節點也並非一定要位於區域元素 邊線上，因為 AutoDV 將可自動辨認中間節點的變異位置，找出此中間節點所對 應的區域元素，並將此邊線由線性改變成二次曲線，對於角落控制節點來說，定 義一個零大小的向量與沒有定義向量是一樣的，無論發生何種情況，AutoDV 會 指定一個大小為零的變異控制的角落點上。

對於中間節點來說，定義一個大小為零的向量並不表示沒有向量，而是存在 一個二次插補，若缺少中間節點的變異控制向量，此時邊緣線反而則為線性插 補。在此情況下，中間邊線上的變異向量大小為零時，此邊線插補為二次式的。

所以在有限元素法中，插補函數幾乎全部採用不同階次的多項式。這是因為 它具有易於滿足收斂性要求的優點，如果採用多項式作為元素插補函數，元素內 的未知場函數的線性變化能夠僅用角(端)節點參數來表示。對於它的二次變化，

則必須在角(端)節點之間的邊界上，適當的配置一個邊內的節點，它的三次變 化，則必須在每個邊界上配置兩個邊內節點，配置邊內節點的另一個原因是常常 要求元素邊線是曲線的，沿邊界配置適當的邊內節點，因而可構成二次或是更高

階次的多項式來描述。

(三) 諧和變異向量(Harmonic perturbation vectors)：

諧和形狀變量的定義和多項式形狀變量的定義過程是很相似的，但是，產生 諧和形狀的變量的模型化要求是非常嚴謹的。諧和形狀的變量由以下兩個函數所 定義：

) y , x ( ) y , x ( ) y , x

( P T

V = ⋅ (3.13)

) y ( ) x ( )

y , x

( Xm Ym

T = ⋅ (3.14) 其中，

若 m 為奇數值，則 )

2

*x m cos(

Xm_(x) = (3.15)

若 m 為偶數值，則 )

2

*x m sin(

Xm_(x) = (3.16) 1

Ym_(x) = (3.17) 以及，

若 n 為奇數值，則 )

2

*y n cos(

Yn_(x) = (3.18)

若 n 為偶數值，則 )

2

*y n sin(

Yn_(x)= (3.19) 1

Yn_(x) = (3.20) 若 m 與 n 的值為 0，諧和函數構成的形狀變量值就為 1，而這個形狀變量就 會等於多項式形狀變量，因此在諧和函數中的 m 與 n 為使用者所控制。

目前本文是根據多項式變異向量進行形狀最佳化，主要採用一次式線性變化 的方式做區域元素的改變，爾後，也可針對二次式或是更高階次的變化方式，進 行結構形狀的最佳化。

3.3.2 HyperStudy 最佳化演算法

在 HyperStudy 中，最佳化演算方法包含反應曲面法(Sequential response

surface method)、可能方向法(Method of feasible directions)以及自行定義做佳化引 擎(User-defined optimization engine)，而本文所使用的方法為反應曲面法，因此僅 對此方法做簡單介紹，若需其它更詳盡資料可參考 HyperWorks 線上手冊[16]。

在這方法中，就設計變數( )而論，它近似於目標與限制函數，使用一個二 階多項式表示，如下所示：

xi

∑ ∑

∑

= = =

+ +

= Ψ

≈

Ψ

^m

1 j

m 1 k

k j ijk m

1 j

j ij 0

i i

i

( x ) ^ ( x ) A A x A x x

(3.21)

1

NCON ,...,

2 , 1

i = +

(3.22)

NDV

,..., 2 , 1 k ,

j =

(3.23) 其中，

X：表示為設計變數

NCON：表示為限制條件的數量 NDV：表示為設計變數的數量

ijk ij io,A ,A

A ：表示為多項式係數。

在文檔中 中 華 大 學 (頁 36-41)