中 華 大 學

中 華 大 學 碩 士 論 文

題目：高爾夫球鐵桿 CAD/CAE 最佳化系統

系 所 別：機械與航太工程研究所 學號姓名：M09308016 吳益通 指導教授：徐永源 博士

中華民國 九十五 年 九 月

摘要

本文主要目的為建立高爾夫球鐵桿 CAD/CAE 最佳化設計。一個複雜鐵桿造 型是由 100 個以上的特徵參數所建構，其參數影響此一鐵桿的性能，且鐵桿之部 份設計參數須符合其設計規範。因此，有必要進行最佳化設計以提升設計效率。

此外，在專業分工的前提下，現今的 CAD 與 CAE 軟體常分屬不同公司所開發，

未能有效考量其間資訊的連貫性，必需以人工方式進行其資訊的整合，結果是耗 費大量時間與人力。因而，目前工業界的迫切需求是如何有效整合其間資訊以提 升效率。

所以，本文建立高爾夫球鐵桿 CAD/CAE 最佳化自動建模系統，藉由改變建 模系統中的參數快速建構鐵桿模型，接著將此模型載入 HyperWorks 最佳化分析 軟體中，並以 ABAQUS 非線性分析軟體做為求解器，其產生最佳化參數的結果 寫入一個與參數對應的檔案中。最後，高爾夫球鐵桿 CAD/CAE 最佳化自動建模 系統將讀取此最佳化參數，系統會自動再次建模，完成鐵桿頭的最佳化設計。

關鍵詞：高爾夫球鐵桿，最佳化，知識融合，變異向量。

Abstract

The aim of the present study is to establish the CAD/CAE optimum design for iron clubs. The construction of a complex iron club requires consideration of more than one hundred characteristic parameters, all of which will affect its performance. In addition, the construction requirements are further compounded by the need for the club head to comply with certain design specifications. It is therefore necessary to establish the optimum design for greatest efficiency. However, following the new trend in the professional division of work, the CAD and CAE software packages are usually developed by different companies; thus, the consistency of information between the packages is seldom taken into account. Manual work is therefore required to enhance the integration of the information provided, resulting in the loss of considerable time and manpower. Consequently, it is urgently necessary to be able to effectively integrate the information between CAD and CAE packages. In this study, the automatic molding system developed for the CAD/CAE optimum design of iron clubs first changes the parameters in order to rapidly construct the model of the iron clubs. The model is then loaded into HyperWorks, an optimum analysis software package, and the ABAQUS nonlinear analysis software package is then used as a solver to generate the optimum parameters, which are then written into a corresponding file. Finally, the optimum parameters are read by the CAD automatic molding system, which subsequently re-constructs the model to complete the optimum design of the iron club.

Keywords：Golf iron club, Optimization, Knowledge fusion, Perturbation vector

誌謝

時光飛逝，轉眼間在機航所已度過兩年多之久，學到什麼?用到什麼?

是這段期間感受最深刻的印象。承蒙指導教授徐永源博士讓學生知道如何 學以致用，兩年多來在論文的指導及邏輯思考上都給予我無限的幫助，使 學生論文能夠順利完成。次外，於學術之餘的照顧上，讓學生在生活處事 的態度有更寬闊的視野，僅此致上最誠摯的敬意與感謝。同時感謝黃國饒 博士、陳建同博士以及林文輝博士於審稿及口試期間提供寶貴的意見與指 正，使本文更臻完善。

在研究與學習過程期間感謝愛發股份有限公司蔡旭程副理、蔡燕純工 程師、楠盛股份有限公司陳志豪副課長以及工研院葉日翔先生，對學生論 文撰寫期間給予意見與指導。以及感謝本研究室的學長學弟們，嘉緯、信 舜、加慶、俊傑、柏憲、律憲、俞帆、明達、文川、信維、建誠、友誠在 生活上的相互扶持以及研究上的幫助。另外感謝成大博士班慧成、柳金，

中原碩士班柏至....等許多幫助過我的朋友，感謝您們的情意相挺。

最後，僅將本文獻給敬愛的父親吳有細先生與母親林秀圓女士，感謝 這段期間對我的關懷，以及姐姐翠芸、弟弟益瑋，感謝他們在父親退休後，

能夠幫忙照顧家裡，分擔我的壓力，並在此也感謝我的女友婉婷，在這段 期間不斷的給予鼓勵與支持。

目錄

摘要……… Ⅰ Abstract……… Ⅱ 誌謝……… Ⅲ 目錄……… Ⅳ 圖表目錄……… Ⅶ

第一章 緒論……… 1

1.1 研究背景與說明……… 1

1.2 研究動機與目的……… 2

1.3 文獻回顧……… 3

1.4 內容大綱……… 6

第二章 高爾夫球鐵桿……… 7

2.1 鐵桿的類型……… 8

2.2 桿頭外形參數……… 10

2.3 桿頭物理量……… 19

2.3.1 桿頭重心……… 19

2.3.2 慣性矩……… 21

第三章 理論基礎……… 23

3.1 前言……… 23

3.2 時間積分……… 23

3.3 HyperStudy 最佳化分析……… 26

3.3.1 形狀(Shape)最佳化……… 27

3.3.2 HyperStudy 最佳化演算法……… 30

3.4 恢復係數(Coefficient Of Restitution, COR )……… 31

第四章 鐵桿自動建模系統……… 33

4.1 工程知識融合……… 33

4.2 工程知識融合程式……… 36

4.3 知識融合建模……… 37

第五章 有限元素模型建構與分析結果……… 42

5.1 前言……… 42

5.2 基本假設……… 42

5.3 網格建立……… 43

5.4 材料性質設定……… 44

5.5 負荷及邊界條件的設定……… 46

5.6 不同材料性質分析結果……… 48

5.6.1 不鏽鋼材質分析結果……… 48

5.6.2 鈦合金材質分析結果……… 49

5.7 最佳化設計參數……… 51

5.7.1 設計變數……… 51

5.7.2 目標函數……… 55

5.7.3 限制條件……… 55

5.8 不同桿頭形狀(Shape)參數碰撞分析結果……… 57

5.9 不同桿頭重心(Center of gravity）碰撞分析結果……… 59

5.10 最佳化分析結果……… 62

第六章 CAD 與 CAE 系統整合……… 65

6.1 設計與分析流程……… 66

6.2 鐵桿最佳化自動建模系統……… 67

第七章 結論……… 71

7.1 本文之研究成果……… 71

7.2 未來發展方向……… 72

參考文獻……… 74

附件一：UG/KF 編寫之部份程式……… 76

附件二：HyperMesh 中 Macro 和 Tcl/TK 編寫之部份程式……… 77

圖表目錄

圖 2-1 刀背式與凹背式鐵桿重心之比較……… 9

圖 2-2 桿頭外形定義-側視圖……… 10

圖 2-3 桿頭外形定義-底視圖……… 11

圖 2-4 桿頭外型定義-前視圖……… 11

圖 2-5 桿底角區別……… 12

圖 2-6 桿頸尺寸定義……… 13

圖 2-7 反彈角……… 15

圖 2-8 桿頭尺寸定義……… 16

圖 2-9 桿面溝槽的限制……… 17

圖 2-10 甜蜜點與甜密區……… 18

圖 2-11 桿頭重心深度……… 20

圖 2-12 桿頭重心高度……… 20

圖 2-13 桿頭重心距離……… 21

圖 2-14 桿頭質量慣性矩……… 21

圖 3-1 HyperStudy 最佳化分析執行流程圖……… 26

圖 3-2 區域元素圖……… 28

圖 4-1 智能化結構圖……… 34

圖 4-2 建模流程……… 37

圖 4-3 桿頭外形輪廓曲面……… 38

圖 4-4 修剪之曲面……… 38

圖 4-5 桿頭主體之實體……… 39

圖 4-6 建構柄部之實體……… 39

圖 4-7 建構頸部之實體……… 40

圖 4-8 建構完成之桿頭-側視圖……… 40

圖 4-9 建構完成之桿頭-底視圖……… 41

圖 5-1 桿頭與球體有限元素模型……… 44

圖 5-2 桿頭與球體邊界條件示意圖……… 47

圖 5-3 不鏽鋼材質應力分析圖(3.5mm) ……… 48

圖 5-4 不鏽鋼材質應力分析圖(2mm) ……… 49

圖 5-5 鈦合金材質應力分析圖(3.5mm) ……… 50

圖 5-6 鈦合金材質應力分析圖(2mm) ……… 50

圖 5-7 二維設計問題……… 52

圖 5-8 三維設計問題……… 52

圖 5-9 HyperStudy 形狀最佳化參數值(凹槽深度) ……… 53

圖 5-10 HyperStudy 形狀最佳化參數值(打擊面厚度) ……… 54

圖 5-11 HyperStudy 形狀最佳化參數值(凹槽寬度) ……… 54

圖 5-12 凹槽深度對 COR 的影響 (Shape A) ……… 57

圖 5-13 打擊面厚度對 COR 的影響 (Shape B) ……… 58

圖 5-14 凹槽寬度對 COR 的影響 (Shape C)……… 58

圖 5-15 桿頭相對座標圖……… 60

圖 5-16 X 方向不同重心之碰撞分析趨勢圖……… 60

圖 5-17 Y 方向不同重心之碰撞分析趨勢圖……… 61

圖 5-18 Z 方向不同重心之碰撞分析趨勢圖……… 61

圖 5-19 三個形狀(Shape)參數疊代變化圖……… 62

圖 5-20 COR 疊代變化圖……… 63

圖 5-21 桿頭質量疊代變化圖……… 63

圖 5-22 桿頭最大應力疊代變化圖……… 64

圖 6-1 CAD 與 CAE 整合技術流程圖……… 65

圖 6-2 鐵桿 CAD/CAE 最佳化系統架構完整流程……… 66

圖 6-3 鐵桿最佳化自動建模系統……… 68

圖 6-4 HyperMesh 自動前處理系統……… 70

圖 6-5 HyperMesh 設定訊息提示視窗……… 70

表 2-1 鐵桿號碼與桿頭斜度……… 14

表 5-1 一致性單位系統……… 45

表 5-2 不鏽鋼(17Cr-4Ni)機械性質表……… 46

表 5-3 鈦合金(Ti-15Mo-5Zr-3Al)機械性質表……… 46

表 5-4 高爾夫球體材料性質……… 46

表 5-5 最佳化設計參數與結果……… 64

第一章 緒論

1.1 研究背景與說明

高爾夫球頭在台灣已經有 20 幾年的製造歷史，為我國運動器材出口之大 宗，而各個國家從事高爾夫球運動的人數，與其國民所得密切相關，故主要出口 國家都以美國及日本為主，其他國家的從事高爾夫球運動的人數也逐漸攀升，因 此高爾夫球產業將有更廣闊的市場。

而為了取得銷售市場的主導地位，高爾夫球器材的大廠紛紛尋找成本更低的 ( Original equipment manufacturing；OEM )市場，而這也使得台灣、墨西哥及中 國大陸等地方的代工市場蓬勃發展，而台灣是世界聞名的高爾夫球王國，所生產 的高爾夫球產值佔有全球重要地位。

雖然國人素以 OEM 的能力而獲得製造王國的美譽，但代工廠一般而言都是 以接圖、生產的方式提供服務。對於被委託製造的產品本身有無設計的問題，沒 有任何概念。在這種情況之下，產品過高的不良率極有可能導致代工廠商與委製 公司之間的衝突。

因此若要在這競爭非常激烈產業中獲得較高的利益，就必須自創品牌及自行 研發桿頭，然而在效率上必需縮短研發時間，從設計到分析此一貫的作業，如何 整合是相當重要的。

本文主要是建立高爾夫球鐵桿最佳化設計，直接利用 UG 系統以 UG/KF 二 次開發軟體建立高爾夫球桿頭參數化自動建模系統，藉由改變建模系統的參數，

自動快速建立高爾夫球桿頭模型。並利用分析軟體進行模擬高爾夫球球體撞擊高 爾夫球球桿的行為，分析其結果，定義桿頭的特性。因此不用實際開模製造真的 桿頭測試，只要以 UG/KF 二次開發軟體建構出想要的測試桿頭，再以 CAE 軟體 進行碰撞測試，這樣可以節省開發所耗費的時間與金錢。

因而，本文將 CAD 與 CAE 進行整合，因為在進行高爾夫球桿頭最佳化設

計結果中，最理想的作法就是 CAD 與 CAE 整合到一套軟體當中，考量其間資 訊的連貫性，此時可以自動建模產生 CAD 模型進行 CAE 最佳化分析，最後建 模系統自動以最佳化參數完成最後建模。

目前高爾夫球的種類相當多，本文選擇鐵桿進行設計，此鐵桿的設計主要是 以擴大打擊面、控制桿頭重心、球頭慣性矩以及改變打擊面厚度和配重等影響。

但是必須符合桿頭的設計規範，而此規範由美國高爾夫球協會(USGA)與蘇格蘭 皇家古老高爾夫協會(R&A)共同修訂，在市面上所有的桿頭都必須符合此標準，

唯有通過此規範的桿頭才能夠在正式比賽中使用。

1.2 研究動機與目的

目前高爾夫球運動漸漸受大眾注目，不再是貴族專屬的運動，消費者也開始 願意在高爾夫球等相關產品上消費，也因此帶動不少商機，其中的利潤讓許多廠 商投入大量的研發，從中謀取相當高的獲利。之前我國大多數的高爾夫球廠商都 只從事製造代工的工作，而現今因為在強大的競爭壓力下，高爾夫球廠商漸漸朝 向自創品牌方面的發展，也從逆向工程漸漸走向自我設計的正向工程。

目前也有許多的學者對高爾夫球桿頭的設計、製造到分析，進行相關的研 究，也利用各種的相關軟體及方法進行設計與分析，但是應用最佳化設計的觀念 來進行研究探討的期刊論文，屈指可數。而最佳化設計已經成為未來設計產品上 重要的發展趨勢，所以在鐵桿的設計必定要有最佳化設計的觀念。

電腦輔助工具之應用與整合需依產業形態之不同而有不同的規劃，尤其是面 臨升級與轉型壓力的產業，如何在升級與轉型的評估與計劃上有效率的規劃所需 的工具，以避免工具之功能不足或不適當，還是造成人力與時間的浪費，都會嚴 重影響產業升級與轉型成功關鍵之一。所以要有效率整合 CAD 及 CAE 連結的 管道，來提高工作效能及降低所需成本來增加利潤。

利用非線性分析軟體，分析高爾夫球的碰撞過程，可藉此瞭解高爾夫球鐵桿

碰撞過程中的特性。

因此綜合上述，本文的研究動機與目的為:

(1) 將最佳化設計觀念運用在高爾夫球鐵桿桿頭設計中，設計最佳化的高爾 夫球鐵桿桿頭。

(2) 將 CAD 與 CAE 之間做個連結的管道，來減少分析過後重新建模的時間。

(3) 將透過有限軟體分析，可得知高爾夫球鐵桿桿頭與球體碰撞的相關特 性。

1.3 文獻回顧

目前高爾夫球桿頭相關文獻，大部分皆以實驗或分析的方式進行探討，而分 析的結果與數據對於本文在桿頭上的設計有相當大的幫助，可藉以先前學者所探 討的相關數據做為本文進行桿頭的設計與最佳化的參考依據。

在桿頭相關研究設計上，於 1986 年 L. Cochran 與 J. Stobbs[1]為了探討高 爾夫球頭甜蜜區的重要性，針對高爾夫球選手在發球區的擊球狀況進行統計，統 計結果得知，桿面上的擊球點位置對於球擊出後的距離具有非常大的影響力，此 表示若要增加擊球距離則必須增加擊球點落於甜蜜區的機率。

另外在 2000 年由F. D.Werner 與R. C. Greig[2]提出在不考慮打擊者失誤的狀 況下，決定高爾夫球桿頭特性的兩項重要因素為擊球距離最遠與球擊出後的最小 離散落點。其中影響擊球距離的因素有七項，分別為揮桿速度、桿面傾角、桿頭 重心位置、打擊者的技術、球的特性、地形以及大氣狀態，以上各項影響因素中 僅桿面傾角、桿頭重心兩者與桿頭設計有關。對於桿面傾角、桿頭重心位置以及 擊球距離之間的關係，透過實驗的方式，得知重心高度越低、重心深度越深可得 到最遠的擊球距離。

在撞擊特性研究方面，山口哲男[3]在 1985 年以集中質量系統研究二個黏彈 性體撞擊之特性，以時間序列法(time series analysis)及頻率空間來研究黏彈性體

獲得最大恢復時之最佳組合。結論為當撞擊物與被撞擊物之阻尼比降低時，能量 損失會降低而恢復係數升高。撞擊物與被撞擊物質量固定時存在使恢復係數最大 之最佳彈簧常數組合，此一最佳組合亦給予最大之撞擊傳遞效率。而當撞擊物與 被撞擊物之自然頻率一致時可得最大之恢復係數。

在 1990 年由岩壺卓三[4]以時間序列法及頻率空間中機械抗阻概念來說明高 爾夫球頭與球撞擊現象之機制，並探究最大恢復係數之條件，使用集中質量系統 (Lumped mass system)模擬桿頭與球，研究桿頭與球之恢復係數之動量傳遞效 率。結果得知對於固定質量之系統，存在使恢復係數最大的之桿頭與球的組合，

此最適當之組合亦使撞擊傳遞效率最大。撞擊傳遞效率會影響兩物體恢復之時 序，即當球頭與球能同時恢復，可使能量傳遞效率最大。其次在頻率空間分析使 恢復係數及能量傳遞效率最大之最適條件，此條件要求高爾夫球桿頭之機械阻抗 最小值與球一致，即兩者之自然頻率一致時存在最大恢復係數。

在 1992 年 Smith 與 Liu[5]以有限元素軟體比較傳統兩種恢復係數與由 W.J.Strong 定義之第三種恢復係數之不同。傳統之兩種恢復係數分別由分離之相 對速度、接近之相對速度及分離之衝量(Impulse)、接近之衝量所定義。W.J.Strong 以分離作用力所做之功除以接近作用力所做之功後開根號定義為第三種恢復係 數。結果顯示三種恢復係數會因摩擦、接近速度之方向、系統之慣性而出現相當 大之不同。

於 1994 年 D. C. Winfied 與 T. E. Tan [6]利用量化分析動力學建立桿頭與球 體之碰撞行為，此方法只需定義碰撞前桿頭與球的位置、方向與運動狀態，即可 以算出包括線速度、角速度、線加速度以及角加速度等碰撞發生後的狀態結果。

在 1995 年許英森[7]利用電腦硬體的設備，再根據高爾夫球頭之設計理念與 重點，設計一個適宜的桿頭，進行桿頭與球的碰撞分析，並藉此分析數據作為改 善球桿頭設計上的依據，並由桿面的有限元素分析得知，在不超過降伏應力下，

打擊面較薄的桿頭會使得擊球有更好的效果，可能增加甜蜜區的範圍，加快飛球 的速度，在碰撞過程中加大了高爾夫球球體與擊球面的接觸面積，並可增加球的

慣性矩，進而減少擊球後球桿的扭轉，而影響了擊球的方向。

另外在 1998 年工業技術研究院的邱佑宗[8]以向量分析動力學分析高爾夫球 與球頭撞擊行為，並以空氣動力學計算高爾夫球於空氣中之飛行軌跡，最後分別 以射程與桿頭能量之角度來介定高爾夫球頭甜蜜區之所在。在 1998 年 Takuzo[9]

等人將電腦輔助設計及電腦輔助分析運用分析在高爾夫球桿頭外部尺寸、摩擦力 與碰撞物理現象之間關係，得知球擊出後產生旋轉是根據球與桿頭之間的碰撞摩 擦所造成。在 2000 年吳世平[10]分析數種高爾夫球桿頭在不同厚度結構、質心 偏移以及碰撞速度條件下桿頭與球體間碰撞的過程。分析結果得知，打擊面最佳 厚度應該在 2.2mm 以下，有較理想之擊球彈簧效應。在 2002 年 T.Iwatsubo[11]

等人對桿頭在碰撞方面提出影響球的飛行速度與旋轉速度的特性，得知桿頭慣性 矩越大，受到撞擊後所產生的齒輪效應越小，而桿頭的旋轉量則隨之減少與桿面 上的擊球點非重心位置時，桿頭與球之間會產生齒輪效應，造成桿頭與球旋轉，

而球的旋轉速度則由重心深度的大小所決定，以及慣性矩與重心深度的變化會影 響球速度與旋轉速度。

還有於 2003 年張庭彰[12]模擬分析不同厚度形狀與桿頭重心位置的撞擊過 程，並觀察球擊出後的效果，結果發現包含不同結構設計以及不同材料之加入，

經過模擬分別從三重心方向去探討，以及偏心撞擊去探討，可以發現不同結構之 桿頭有不同的擊球物理性能，而材質可改變或加強其桿頭原有之性質。

在最佳化設計方面上，在 1998 年 J. P. Leiva 與 B. C. Watson[13]提出利用 (Basis vector)基礎向量的方法來產生複雜結構最佳化的形狀，其主要是描繪一個 假象幾何實體，在有限元素網格上插入一個變異(Perturbation)，建立一個基礎向 量來達到形狀最佳化，這種方法和其他方法比較起來已經證明容易被採用，因此 高爾夫球鐵桿形狀最佳化將參考此方法建立相關參數。

另外本文將參考 2005 年丁嘉緯學長[14]發展高爾夫球桿頭最佳化自動建 模，其方法是透過最佳化設計技術，將桿頭之設計觀念、標準規格、分析結果、

最佳參數以及建模方法等技術融入最佳化桿頭模型中。而在高爾夫球桿頭進行最

佳化設計時，必須明確的定義目標函數、設計變數以及限制條件，而此研究以擊 球距離最遠與最大甜蜜區為目標函數。

1.4 內容大綱

本文主要是設計高爾夫球鐵桿之最佳化模型，其設計的重點是融合高爾夫球 桿頭的各項參數規範、參數之間的相依性來建立桿頭模型，並加入最佳化的設計 觀念，最後透過 UG 軟體二次開發的技術，設計出適宜的高爾夫球桿頭形狀。再 利用 CAE 分析軟體進行結構碰撞等分析，並將最佳化結果的參數值，重新於 UG 軟體二次開發的環境中，建立最佳化的桿頭模型。

本文採用市面上六號凹背（Cavity back）鐵桿進行設計。因此，第二章部份 說明高爾夫球鐵桿的相關設計外形及相關物理量，將提出重要的參數運用在 CAD 與 CAE 上。第三章詳細介紹本文在分析過程中所需的相關理論，包含時間 積分法與恢復係數等理論。第四章將會完整的介紹鐵桿自動建模的系統，如何透 過知識融合（Knowledge Fusion , KF）將鐵桿建模完成。第五章將介紹有限元素 模型的建構與假設條件，將一些高爾夫球桿頭與球體之間的碰撞所需的相關設定 說明，並將相關分析結果在此章節敘述。第六章將詳細介紹 CAD 與 CAE 之間 整合流程並將說明整個流程的相關設定，第七章為本文分析的結果與討論，並針 對未來此類研究給予相關建議。

第二章 高爾夫球鐵桿

自西元 1741 年起，高爾夫球桿頭不斷改良，至今經由 USGA 與 R&A 所訂 定基本的資料與規範，提供設計人員對高爾夫球桿頭進行設計的依據，因此，如 何透過基本資料與規範設計出最佳桿頭已成為各家桿頭設計廠商所追求的目 標。對於本文鐵桿而言，鐵桿大致又可分為長鐵桿(Long Iron)、中鐵桿(Middle Iron)、以及短鐵桿(Short Iron)。

長鐵桿是桿頭角小，球桿面較狹窄的球桿，而且在鐵桿中桿身最長，球桿頭 最輕的，具有距離七分、方向性三分的性能。換句話說，一方面具有如木桿的長 打力，且注重方向性，是適合打長距離時所使用的球桿。

中鐵桿是所有球桿中，桿頭長度、桿頭角大小、球桿頭的重量等，都具有最 平衡的飛行距離及方向性的一種球桿。

短鐵桿其桿身短、球桿頭重、桿頭角大，具有打出高飛球後，容易停在其目 標地點的性能。與其說是打上果嶺為主要用途，不如說是要在果嶺附近 100 公尺 左右打入球洞中，因此其方向性能最為優秀。

因此，對於鐵桿的設計分析而言，最重要的目的是球與鐵桿碰撞後球飛行的 速度和角度。

一整套球桿中常見的有九支鐵趕，從三號鐵桿到九號鐵桿一共七支，另外還 有挖起杆和沙坑鐵杆。也有一號鐵桿和二號鐵桿，但往往為職業球員所用，在一 般球員中不常見。

每支鐵桿都有其特定的用途，或者說基本上每支鐵桿都是為了打出不同的距 離而設計的，一般說來，號碼越大，桿身越短，擊球距離也越短。挖起桿的擊球 距離比較短，一般能打出 110 碼左右的距離。鐵桿的桿身越長，擊球距離越長，

但也越不好控制，尤其是長鐵桿，對一般球友來說更是難以控制。

鐵桿的桿頭有不鏽鋼與鈦合金的，現在還有一種組合式的，按照不同材質的 優缺點對其進行綜合，譬如鈦的重量太輕，於是就在鈦製桿頭中嵌入較重的金屬 片，以降低重心。

本章節中，將主要針對高爾夫球鐵桿及高爾夫球等各項類型及參數詳細 說明。

2.1 鐵桿的類型

鐵桿類型大致上可依照製作方法及形狀設計兩大部分做為區別，在製作方法 上有鑄模與鍛造，在形狀設計上有凹背與肌背。以下將針對鐵桿類型上的區別做 個簡略的介紹。

製作方法：

1.鑄模

高爾夫球桿頭屬於「精密鑄造(Precision casting)」，而以現今所謂的精密鑄造 分為脫蠟鑄造法、陶模鑄造法及石膏模法，其中又以脫蠟鑄造法的精密度最高，

也適合用於各種合金的成形，目前高爾夫球桿頭之製造即以脫蠟鑄造為主流。

通常以銅製成桿頭的母模，在將融化的蠟質注入此金屬模型內，待蠟冷乾後，

取出此蠟模，將此蠟模反覆多次地進行沾漿(釉)和淋砂，直至獲得預定的外殼厚 度，待外殼厚度乾燥之後將內部蠟質溶化排出，再將金屬溶液注入模型內，待冷 卻後，切除如澆道等不需要的部份，在經由機器加工處理，如研磨(修飾)桿頭外 型，鑽桿頸的孔(插桿身所使用)，完成後再經過電鍍，以及塗上 LOGO 的顏色，

完成桿頭製作。

2.鍛造

設計出桿頭的形狀，再將此形狀做出桿頭母模，使用整塊的軟鐵放置桿頭母 模中，以專有的機器以幾噸重的壓力將桿頭壓製成型（一般好的鍛造桿頭大概都 要做三次），然後再經過研磨，鑽孔，電鍍等機器加工處理，之後上色，或是貼

上 LOGO 的銘板。

形狀設計：

1.刀背(Blade)

傳統高爾夫的鐵桿都是刀背式的設計。顧名思義，其設計有如刀片狀的桿 頭。從上方看下去桿頭非常的薄。一般而言，桿頭擊球區也較小。其質量多位於 背部中心處，許多刀背式鐵桿多有著優美的背部平滑曲線，因此許多稱人刀背式 球桿為肌背式球桿 (Muscle Back) 。使用刀背式球桿在擊球時桿頭會回饋給球員 清晰且紮實的擊球感，因此大部分職業球員或許多球技精湛的業餘球員偏好刀背 式的鐵桿。

然而，刀背式鐵桿的擊球甜蜜點（桿面上可以擊出好球的區域）較小，而且 其較高的重心需要較快的桿頭速度才可以將球打起，大部分的業餘球友不易打出 穩定及高遠的球路。

2.凹背(Cavity back)

凹背式鐵桿又稱中空式鐵桿，凹背式的鐵桿桿頭大幅改善刀背式球桿不易操 控的缺點。凹背部的鐵桿提供設計工程師許多設計上的自由度，在同樣的桿頭質 量下，將桿頭重量重新分配，以達到重心向下移的目的，來幫助一般球友打出較 高較遠的球。此外，將重量分部於球桿頭的四周，可以增大擊球的甜蜜點，以增 加擊球失誤的容忍度。如圖 2-1 所示，凹背式鐵桿的重心較低，可比較容易將球 擊高。

圖 2-1 刀背式與凹背式鐵桿重心之比較

2.2 桿頭外形參數

任何高爾夫球球桿或球的設計在外形方面受到許多的限制及規範，因此高爾 夫球廠商及設計者必須滿足此限制與規範條件，所設計的桿頭才能受到認可及國 際標準賽使用。

下列將介紹高爾夫球鐵桿外形的基本參數；

桿頭各部位名稱如圖 2-2、圖 2-3 及圖 2-4 所示。

高爾夫球鐵桿桿頭名詞

刀背 (Top)

頸部 (Neck) 頂部 (Crown)

桿面 (Face) 桿底 (Sole)

柄部 (Hosel)

底角 (Lie)

圖 2-2 桿頭外型定義-側視圖

根部 (Heel)

趾部 (Toe)

桿底 (Sole)

前緣 (Leading edge)

背面 (Back face)

圖 2-3 桿頭外型定義-底視圖

傾角(Loft angle)

圖 2-4 桿頭外型定義-前視圖

底角(Lie)

所謂 Lie 是桿頭插鞘部份(桿頭和桿身連接部份)延伸出的中心線和桿頭底 部 (Sole) 所形成的角度，各式不同號的桿頭皆有其標準的 Lie，因此可以調整 桿頭插鞘部份來改變這個角度以配合不同體型及揮桿習慣的需要， (一般調整範 圍為 3 度)，若標準為 60 度， 所謂陡直（upright）3 度，就是將桿頭插鞘部 份往上扳 3 度，則 Lie 變為 63 度，所謂平 （flat）3 度，就是將桿頭插鞘部 份往下扳 3 度，則 lie 變為 57 度，一般而言，較矮的打擊者偏好較平或較標 準為小的 Lie 桿底角， 以反映出其手較接近地，較高的打擊者則會偏好較陡直 的或較標準為大的 lie 桿底角，以反映出其手離地較遠，或者也可經由調整桿身 長度 (shaft length) 來得到適切的 Lie，當然較矮打擊者不見得一定要打較短的 球桿，也可藉著 Lie 的調整來打較長球桿。

±

事實上球桿長度對球桿的 Lie 有著重大的影響，桿底角對球飛行方向有著重 大的影響，球桿太短時，會造成桿頭跟部(heel)抬起，在擊球時桿頭趾部(toe)會 先著地容易擊出右推球(push)，反之球桿太長時，會造成桿頭趾部抬起，在擊球 時桿頭跟部會先著地容易擊出左拉球(pull)，如圖 2-5 所示：

桿底角太直，球會傾向

於左飛，Lie需調平些 桿底角太平，球會傾向

於右飛，Lie需調直些 桿底角適中

圖 2-5 桿底角區別

桿頸(Neck)

桿頸為連接桿頭與桿身的部分，桿頸部分越長，桿頭的重心越高、彈道越低。

但由 R&A 限制桿頸到桿頭底部的長度不可以超過 127mm (5inch)，如圖 2-6 所 示。但隨技術的進步，市面上也出現了完全沒有桿頸的低重心球桿。重心位置較 高的球桿，很難擊出高飛球、較適合打擊力強、力氣大、體力足的人。而重心位 置較低的球桿，則易打出上揚的球，較適於力道小或初學者、年長者使用。

最大為127mm(5inch) 桿頸 (Neck)

桿底 (Sole)

圖 2-6 桿頸尺寸定義

桿面角度(Degrees of Loft)

桿面角度亦稱為桿頭斜度或桿面傾角，將桿底平貼於地面上時，桿面於鉛垂 線所形成的角度，桿面斜度越大，擊出的彈道球越高距離越遠。

角度較大，球被擊出後在空中飛行距離會較遠，相對的在地面上滾動的距 離會較短，反之，角度較小，球被擊出後在空中飛行距離會較短，相對的在地面 上滾動的距離會較遠，在維護良好的球道上，草長得較佳，球落地後較不會滾，

因此要球在空中飛遠一些，可以考慮桿面角度大些的球桿，若是球道相當硬，可 以考慮桿面角度小些的球桿，讓球落地後多滾些距離出來。然而不同的桿頭斜 度，通常在市面上定義為不同號碼的球桿，如圖表 2-1 所示。在本文中，所建構 之桿頭為凹背式的六號鐵桿。

表 2-1 鐵桿號碼與桿頭斜度

種類 桿頭斜度

一號鐵桿 13-15 度 二號鐵桿 15-21 度 三號鐵桿 21-25 度 四號鐵桿 24-28 度 五號鐵桿 27-32 度 六號鐵桿 31-37 度 七號鐵桿 36-41 度 八號鐵桿 40-45 度 九號鐵桿 44-48 度 P(劈起)桿 46-54 度 S(沙坑)桿 50-58 度

桿面後移(Off Set)

桿面後移( Off set )又稱面差，桿面後移設計的球頭，在擊球的一瞬間，手會 在球前，這會降低一些程度的右曲，對於打球容易右曲的球友會有些許的幫助，

在設計上，它重心比較低，也會增加球彈射的角度，而擊出球路較高的球，若球 路已經夠高則可考慮沒有 Offset 或 Offset 較小的鐵桿。

對一般程度的球友可能會偏好較多的桿面後移，因桿面後移能在瞄球時，讓 手在球前方以產生較垂直的攻擊角度可以增加準確性及減少右曲的現象，對程度 較佳的球友，中長距離鐵桿的桿面後移較少時，在瞄準時有更多的取捨及對彈道 和球路有較多的控制。

反彈角(Bounce)

Bounce 反彈角，俗稱磅斯，是球桿底(Sole)和前緣(Leading edge)所形成的角 度或是指桿底與水平面的夾角，這是挖起桿(Wedge)特有的設計，如圖 2-7 所示，

其目的是當球桿打到沙中或長草時，桿頭能順利滑過 (或反彈出來) 而不會陷 入，增加把球救出沙坑或長草區的機會，一般 PW 的反彈角(Bounce)約在 5-7 度, 而 SW 的反彈角(Bounce)約在 10-12 度, LW 的反彈角(Bounce)約在 0-5 度，反 彈角度的設計對沙坑救球或果嶺旁長草區的救球相當好用，若您常打的球場沙坑 較高且沙較軟時可考慮反彈角較大的 Wedge，但若用在平坦的球道上打球時會較 不易打得準，因此，您若常在球道上用沙坑挖起桿打球時，最好選反彈角度小些 的。

反彈角 (Bounce)

圖 2-7 反彈角

桿底(Sole)

寬廣的桿頭底部設計，將桿頭重心(CG)遠離桿面，加強桿頭穩定度，擊出較 高的彈道，以助於增加底角反彈容忍度。

趾部(Toe)

桿面上離桿身最遠的區域，極端的將桿頭重量外移至趾部(Toe)與跟部 (Heel) ， 可 以 加 強 桿 頭 的 慣 性 ， 降 低 失 誤 擊 球 時 的 容 忍 度 ， 而 誤 差 容 忍 度 (Forgiveness)指的是桿頭在擊球時產生的誤差，能減少失誤的範圍，誤差容忍度 高的球桿可以減少失誤產生，但相對的犧牲擊球的觸感。

跟部(Heel)

指桿頭靠近桿身的部份，球桿的桿頭跟部與插銷中心線及擊球路線(水平方 向)所在平面的距離差，必須在 15.88mm (0.625 inch)以內 ，如圖 2-8 所示。而極 端的將桿頭重量外移至跟部與趾部，可以加強桿頭的慣性，降低失誤擊球時的容 忍度。

桿底 (Sole)

跟部 (Heel)

最大限制15.88mm (0.625inch) 插銷中心線

圖 2-8 桿頭尺寸定義

前緣(Leading edge)

前緣(Leading edge)為桿頭底部前端邊緣，並以多段範圍以幫助打球時的擊土 動作並幫助球桿更順勢的滑過長草。

桿面溝槽(Groove)

位於桿面上的溝槽，能增加桿面摩擦力，並方便打擊球者校正擊球位。

打擊面可以採用一些直線凹槽線，凹槽之兩邊可以向外開展，且橫切面必須是對 稱的如圖 2-9 所示，凹槽的寬度和橫切面在桿面和整條凹槽的任何一點都必須一 致，凹槽的圓邊之半徑不得超過 0.508mm (0.020inch)，凹槽寬度不可超過 0.035inch(0.9mm)，測量時應依照 R&A 規定之 30 度測量法，緊鄰之凹槽的邊緣 距離不可少於凹槽寬度的一倍，也就是不少於 1.905mm (0.075inch)，凹槽的深 度不得超過 0.508mm (0.020inch)。

30° 30°

凹槽寬度最大0.9mm (0.035inch) 兩邊相稱之軸心

凹槽深度最大0.508mm (0.02inch)

圖 2-9 桿面溝槽的限制 桿面(Face)

指打擊面，為甜蜜點產生的區域，然而鐵桿只有一個擊球面，桿面或是桿頭 之材料及結構或任意的處理方式，不可以具有彈簧效應，或是比標準鋼面更顯著 增加球的旋轉，或者影響球運動的其他效果。

背面(Back Face)

背面的設計可以分為刀背式和凹背式，刀背式球桿擊球準確性和控制性較 佳，但甜蜜點小並難以操控，通常為職業選手或程度較佳者所使用的球桿。凹背 式桿頭由於桿頭周圍配重，可增加大甜密點和誤差容忍度，因此容易上手，適合 一般人使用，而現今鐵桿桿頭的金屬嵌入物與配重轉移、桿面後移等設計，也容 易擊出好球，因此本文使用凹背式為設計重點。

甜蜜區(Sweet area)

在桿面上能夠擊出最遠距離的位置點稱為甜蜜點(Sweet point)，若以此點所 擊出的距離為 L，以相同的條件下，在桿面上能夠擊出 0.95L 的距離，並且落點 位置的左右偏差低於 0.05L 的區域範圍，此區域稱為甜蜜區，如圖 2-10 所示。

甜密區 (Sweet area)

甜密點 (Sweet point)

圖 2-10 甜蜜點與甜蜜區

2.3 桿頭物理量

以現在市面上鐵桿大概可分為兩種類，一種是程度較佳或是職業選手使用 的，以及一般球友使用的。一般球友使用的話，就是要訴求好打。怎樣的球桿稱 為好打的球桿，就是要針對一般球友的困擾去解決。譬如說，前一節所提到，讓 球桿的擊球甜蜜點擴大，可以讓一般的球友在擊球點不是很準確之下，仍然能夠 打出不錯的彈道與距離，然而擴大甜蜜點就是增加桿面，但是桿面也不能大到很 離譜，這樣整支球桿的重量與視覺會很不協調。這也是許多球友不習慣使用體積 較大的鐵桿原因，因為他們的視覺上無法接受那麼大的球頭。再來就是球桿的輕 量化，讓球友在原來的揮桿狀態下，自然能夠提升桿頭速度，這樣可以讓擊球距 離增加。此時要如何讓球桿容易將球打高，就是桿頭重心要低要深。所以在設計 上，就要注意球頭重心位置及慣性矩。

2.3.1 桿頭重心

桿頭重心(Center of gravity)是包含插銷在內的重心位置。桿頭重心位置的不 同將會影響擊球距離，也是桿頭設計上影響擊球距離的重要因素。以下將分別介 紹重心深度、重心高度、有效擊球距離以及重心距離：

重心深度(Depth of center of gravity)

桿頭重心位置垂直於桿面上的距離，如圖 2-11 所示。重心深度影響球擊出 後，所產生的旋轉量，當重心深度增加時，球擊出的旋轉量隨之增加，至於旋轉 的方向則由桿面上的擊球點位置所決定。桿頭進行設計時，主要是希望後旋轉量 或正旋轉量能夠大於側旋轉量，降低側旋轉量，可使球擊出後不會造成左右曲球 偏離目標點。

重心 重心深度

圖 2-11 桿頭重心深度

重心高度(Height of center of gravity)

重心高度是指桿頭重心位置到桿頭底面的垂直距離，如圖 2-12 所示。重心 高度影響球擊出後的旋轉量與桿面傾角，當重心高度越低，離桿面上擊球點的距 離越遠，擊球時的初始角度越大，而球擊出後的正旋量也隨之增加，使球落地後 持續滾動。

重心

重心高度

圖 2-12 桿頭重心高度

重心距離(Distance of center of gravity)

重心距離是指桿頭重心到桿身中心線的距離，如圖 2-13 所示。重心的距離 決定桿頭的操控性，重心距離越短，桿頭的操控性越佳，桿面在擊球的瞬間容易 回正。

重心

重心距離

圖 2-13 桿頭重心距離

2.3.2 慣性矩

慣性矩(Moment of inertia，MOI)

量測物體阻抗角加速度之性質。質量慣性矩定義為剛體內所有質量元素 dm 對重心點支軸之二次矩之積分。如圖 2-14 所示。對重心點支軸的慣性矩如下列 所示：

=

∫

m 2dm r

I (2.1)

重心

dm rα dm

m

圖 2-14 桿頭質量慣性矩

大部份的使用者在擊球的時後，擊球點或多或少都會輕微地偏離於球頭中 心，因此在球頭設計時，就必須考慮盡可能的減少轉動。換句話說，球頭的慣性 矩越大越好，因為當一個物體的慣性矩越大的時後越難使物體轉動。因此增加球 頭重量可以幫助具有較大的慣性矩，但這只是其中的一點。球頭的重量分佈也一 樣的重要，重量若是被放在距離轉動的軸心越遠的位置，那麼慣性矩就會越大。

而當球頭與球撞擊時，球頭的轉動中心是球頭的重心位置，因此擊球位置發生偏 離球頭中心位置時，球頭就必須越重越好而且重量的分佈是必須遠離球頭重心。

第三章 理論基礎

3.1 前言

高爾夫球的碰撞分析屬於非線性動態問題，由於行為結構極為複雜，用一般 解析的方式很難求解，故利用數值解析的方法。本文所採用的求解器(Solver)是 美商 ABAQUS 公司所自行開發的通用有限元素軟體 ABAQUS，以下將針對此有 限軟體在處理碰撞問題所採用的理論基礎與控制方程式做個簡單的介紹，若需更 詳盡資料可參考 ABAQUS 理論手冊。

其次本文在最佳化部分是利用 HyperWorks 分析軟體中的 HyperStudy 模組去 進行最佳化分析。可以利用 HyperStudy 的嚮導系統定義設計參數，從求解的模 型結果中提取數據來定義作為響應(Responses)，再把響應分別定義為約束條件和 目標函數進行最佳化分析，利用其軟體所提供的最佳化引擎，將求解器或響應方 程納入最佳化計算循環，不斷調整在求解模型中所設定的參數值，從而完成最佳 化循環，取得最佳化參數值。本章 3.3 節只針對 HyperStudy 最佳化分析簡單介紹，

其相關最佳化設計的理論部份可以參考[15]。

最後本文主要是以恢復係數(Coefficient of restitution)為最佳化的目標函數，

因此針對恢復係數與桿頭之間的關係也在此做簡單介紹。

3.2 時間積分

在動態問題的求解過程中，是以時間 時的物理量為基礎，去求得在時間 時的物理量。因此，必須將整個時間域(Time duration)分割成許多時段(Time step)，對時間做積分，來得到時間變數的解。時間積分可分成大兩類，一為內隱 法(Implicit method)，一為外顯法(Explicit method)。在本文中所採用分析軟體 ABAQUS 中 的 ABAQUS/Explicit 顯 示 法 來 做 為 時 間 積 分 。 以 下 將 針 對 ABAQUS/Explicit 顯示法做概略的介紹。

t t

t+Δ

顯式法(ABAQUS/Explicit)應用中央差分法對運動方程式進行顯式時間的積 分，利用一個增量步的動態條件下計算下一個增量步的動態條件。在增量步開始 時，程序求解動態平衡方程，表示為使用節點質量矩陣 乘以節點加速度 等 於節點的合力(在所施加的外力 P 與元素內力 I 之間的差值)：

M

..

U

I P U M

.. = − (3.1)

由目前的增量步開始時( t 時刻)，計算加速度為：

) t 1 (

) t ( ..

| ) I P ( ) M (

|

U = ⁻ ⋅ − (3.2) 由於顯式解法是採用一個對角或是集中的質量矩陣，所以求解加速度並不複 雜，不必同時求解聯立方程式。任何節點的加速度完全取決於節點質量和作用在 節點上的合力，使得節點計算的成本相當低。

對加速度在時間上進行積分採用中央差分的方法，在計算速度的變化時假設 加速度為常數。利用這個速度的變化值加上前一個增量步中點的速度來確定當前 增量步中點的速度：

) t ( ) ..

t ( ) t t ( 2)

t t ( . 2 ) t t ( .

| 2 U

) t t

(

| U

| U

Δ + + Δ

= _Δ ^+Δ

Δ −

+ (3.3) 速度對時間的積分加上在增量步開始時的位移，來決定增量步結束時的位移：

2 ) t t ( . ) t t ( ) t ( ) t t

( U t U|

U _Δ

Δ + + Δ

+ = +Δ (3.4)

現在，在增量步開始提供了滿足的動力平衡條件的加速度，得到加速度，在 時間上顯式的將前推速度和位移。所謂顯式就是指在增量步結束時的狀態僅依賴 於該增量步開始的位移、速度以及加速度。現在這種方法可以精確的積分常值的 加速度。為了達到精確的結果，時間的增量必須相當小，如此一來，在增量步的 加速度幾乎為常數。由於時間的增量比須相當小，一個典型的分析需要成千上萬 個增量步，而顯式法(ABAQUS/Explicit)不必同時求解聯立方程組，所以每一個 增量步的計算成本相當低，大多數的計算成本都消耗在元素的計算上，因此決定 作用在節點上的元素應力，從而進一步整理如下：

1. 節點計算：

a. 動態平衡方程式 ) I P ( ) M (

U(t) ¹ _{(t) (t)}

.. = ⁻ ⋅ − (3.5)

b. 對時間顯式積分

t ) ..

t ( ) t t ) (

2 t t ( . 2) t t ( .

2 U

) t t

U (

U Δ +Δ

+

= ₋^{Δ +Δ}

+Δ (3.6)

2) t t ( . ) t t ( ) t ( ) t t

( U t U

U _+Δ = +Δ _{+Δ +}^Δ (3.7) 2. 元素計算

a. 根據應變速率 ，計算元素應變增量

ε. dε

b. 根據結構關係計算應力σ ( )^{,d )}

( f _t

) t t

( = σ ε

σ _+Δ (3.8)

c. 集成節點內力^I(^t+Δt)

3. 設置時間 t 為t+Δt，返回節點計算。

3.3 HyperStudy 最佳化分析

HyperStudy 最佳化是在限制條件下，尋找滿足目標函數最大或最小值的設計 參數。此外，也可以求出系統在假設目標函數下的反應特性，即任意的目標值導 致設計參數的變化。這種情況下，目標函數注重反應與目標值的變異數最小化。

因為本文桿頭是利用 HyperWorks 分析軟體中的 HyperMesh 作前處理的動 作 ， 因 此 HyperStudy 可 完 全 與 HyperMesh 結 合 ， 利 用 HyperStudy 對 HyperMesh 的有限元素模型作研究，不必對輸入的模型指定設計參數直接編輯 (參數化)，也不必完全瞭解模型輸入的格式。

此外本文也是 HyperMesh 的 Morphing 功能也可以用來做形狀(Shape)最 佳 化 ， 可 以 大 量 地 減 少 改 變 形 狀 以 完 成 形 狀 最 佳 化 所 需 要 的 工 作 量 。 其 HyperStudy 相關流程如下圖 3-1 所示。進行最佳化分析時，首先必須將設計問題 的物理模型轉成數學模型，而數學模型在建構時必須選取設計變數，列出目標函 數以及給定的約束條件。其中，目標函數是設計問題時所要求的最佳化指標與設 計變數之間的函數關係式，最後使用適當的最佳化方法，求解數學模型。

Load the input file and study directory

Select design variables for optimization study

Perform nominal run

Create responses for optimization study

Select responses to define objective function

Post-process the optimization results

圖 3-1 HyperStudy 最佳化分析執行流程圖

3.3.1 形狀(Shape)最佳化

形狀最佳化不但可以處理尺寸問題，還可以對結構的幾何形狀加以修正。其 處理的設計變數包含了影響決定結構尺寸的尺寸設計變數及決定結構形狀的形 狀設計變數。因此，一個形狀最佳化系統除了結構分析的工具及最佳化演算法兩 個部分外，還包含了結構幾何的建構，以便利用數學模式定義結構形狀，進行結 構目標函數的最佳化。

在形狀最佳化過程中，其描述形狀變化的定義包含基準向量法(Basis vector approach)與變異向量法(Perturbation vector approach)，此兩者結構形狀的定義的 是參考一個線性向量的組合。

基準向量節點位置定義如下：

i i BV DV

X⁼

∑

X ：是節點座標向量(Vector of nodal coordinates) DVi：表示為一個設計變數

BVi：是一個與設計變數DV_i 有關聯的基準向量 i ：表示為變異向量的數目。

變異向量節點位置定義如下：

i i

0 DV PV

X

X= +

∑

X ：表示為節點座標向量

X ：表示為最初設計的節點座標向量 0

DVi：表示為一個設計變數

PVi：表示為一個與設計變數DV_i有關聯的變異向量 i ：表示為變異向量的數目

而變異向量是基礎向量的延伸，變異向量必須有一個最初設計的節點座標向 量，因此本節將針對變異向量做個簡易的探討。變異向量產生的方法有以下三種：

(一) 手動操作變異向量(Manual perturbation vectors)：

利用 Hypermesh AutoDV 界面來手動操作變異向量，AutoDV 為形狀最佳化 變 異 向 量 建 構 形 成 出 來 的 一 套 獨 立 軟 體 ， AutoDV 可 以 支 援 包 含 Altar HyperStudy、Temples 及 Genesis 等許多形式，HyperMesh 利用內部的設計函數，

輸入相關值來形成變異向量，在 HyperMesh 所提供的操控面板中可以設定區域 元素(Domain elements)、節點設置(Node sets)、控制變異(Control perturbation)以 及形狀設計變量到 AutoDV 檔案中，當然 HyperMesh 也提供 AutoDV 檔案進入 到 HyperMesh 的編譯器。

(二) 多項式變異向量(Polynomial perturbation vectors)：

多項式的變異向量需定義最初區域模型化的元素與區域節點的設定，並定義 形狀與控制各項變異。

變異向量的產生是由插補(interpolating)控制變異定義在所選擇的控制點 上，在區域元素角落的節點與中間邊界相對應的節點上所構成控制點，如圖 3-2 所示的區域元素(Domain elements)，所以控制變異是由控制點所建構的向量所決 定。

TETRA PENTA HEXA

圖 3-2 區域元素圖

在二維(2D)方面的插捕函數如下所示：

) y ( y ) x ( x ) y , x

( P P

P = ⋅ (3.11) 在三維(3D)方面的插補函數如下所示：

) z ( z ) y ( y ) x ( x ) y , x

( P P P

P = ⋅ ⋅ (3.12) 其中 、 、 是二階多項式插補函數(Polynomial interpolation function)，插補 的執行方式如下:

Px P_y P_z

插補的階次是基於在中間邊線上是否存在變異控制，如果在給定邊線上的中 間邊線上定義變異控制，則此插補函數及為二次式，否則即為線性。所以線性插 補函數只是區域元素角落上使用變異控制。而二次插補則於中間邊線與角落上使 用變異控制。

若要產生二次變異，則可不須建立一個二階的區域元素，反而，在區域元素 邊線上之中間節點建立一個變異控制即可，中間節點也並非一定要位於區域元素 邊線上，因為 AutoDV 將可自動辨認中間節點的變異位置，找出此中間節點所對 應的區域元素，並將此邊線由線性改變成二次曲線，對於角落控制節點來說，定 義一個零大小的向量與沒有定義向量是一樣的，無論發生何種情況，AutoDV 會 指定一個大小為零的變異控制的角落點上。

對於中間節點來說，定義一個大小為零的向量並不表示沒有向量，而是存在 一個二次插補，若缺少中間節點的變異控制向量，此時邊緣線反而則為線性插 補。在此情況下，中間邊線上的變異向量大小為零時，此邊線插補為二次式的。

所以在有限元素法中，插補函數幾乎全部採用不同階次的多項式。這是因為 它具有易於滿足收斂性要求的優點，如果採用多項式作為元素插補函數，元素內 的未知場函數的線性變化能夠僅用角(端)節點參數來表示。對於它的二次變化，

則必須在角(端)節點之間的邊界上，適當的配置一個邊內的節點，它的三次變 化，則必須在每個邊界上配置兩個邊內節點，配置邊內節點的另一個原因是常常 要求元素邊線是曲線的，沿邊界配置適當的邊內節點，因而可構成二次或是更高

階次的多項式來描述。

(三) 諧和變異向量(Harmonic perturbation vectors)：

諧和形狀變量的定義和多項式形狀變量的定義過程是很相似的，但是，產生 諧和形狀的變量的模型化要求是非常嚴謹的。諧和形狀的變量由以下兩個函數所 定義：

) y , x ( ) y , x ( ) y , x

( P T

V = ⋅ (3.13)

) y ( ) x ( )

y , x

( Xm Ym

T = ⋅ (3.14) 其中，

若 m 為奇數值，則 )

2

*x m cos(

Xm_(x) = (3.15)

若 m 為偶數值，則 )

2

*x m sin(

Xm_(x) = (3.16) 1

Ym_(x) = (3.17) 以及，

若 n 為奇數值，則 )

2

*y n cos(

Yn_(x) = (3.18)

若 n 為偶數值，則 )

2

*y n sin(

Yn_(x)= (3.19) 1

Yn_(x) = (3.20) 若 m 與 n 的值為 0，諧和函數構成的形狀變量值就為 1，而這個形狀變量就 會等於多項式形狀變量，因此在諧和函數中的 m 與 n 為使用者所控制。

目前本文是根據多項式變異向量進行形狀最佳化，主要採用一次式線性變化 的方式做區域元素的改變，爾後，也可針對二次式或是更高階次的變化方式，進 行結構形狀的最佳化。

3.3.2 HyperStudy 最佳化演算法

在 HyperStudy 中，最佳化演算方法包含反應曲面法(Sequential response

surface method)、可能方向法(Method of feasible directions)以及自行定義做佳化引 擎(User-defined optimization engine)，而本文所使用的方法為反應曲面法，因此僅 對此方法做簡單介紹，若需其它更詳盡資料可參考 HyperWorks 線上手冊[16]。

在這方法中，就設計變數( )而論，它近似於目標與限制函數，使用一個二 階多項式表示，如下所示：

xi

∑ ∑

∑

+ +

= Ψ

≈

Ψ

1 j

m 1 k

k j ijk m

1 j

j ij 0

i i

i

( x ) ^ ( x ) A A x A x x

1

NCON ,...,

2 , 1

i = +

NDV

,..., 2 , 1 k ,

j =

X：表示為設計變數

NCON：表示為限制條件的數量 NDV：表示為設計變數的數量

ijk ij io,A ,A

A ：表示為多項式係數。

3.4 恢復係數(Coefficient of restitution, COR)

大部份的碰撞都是非完全彈性的，也就是會有能量的消耗。因此在敘述碰撞 的動量守恆時，就有『恢復係數』的名詞出現，以說明非彈性碰撞的能量損失。

恢復係數是碰撞後的速度除以碰撞前的速度，復係數最大值為 1，表示物體沒有 因碰撞而降低能量；恢復係數最小值為 0，表示物體在碰撞後即靜止不動。

而本文根據美國高爾夫球協會(USGA)與蘇格蘭皇家古老高爾夫協會(R&A) 規定在西元 2003 年 1 月 1 日年到西元 2007 年 12 月 31 日，全球的高爾夫一號木 桿規則中，COR 限制不得超過 0.86，鐵桿則無此限制。

但在西元 2008 年開始木桿的 COR 限制將重新限制不得超過 0.83，並將鐵桿 的 COR 列入限制考慮的規範，因此本文將 COR 列為鐵桿設計考慮的重點。

除此之外，目前根據 USGA，在西元 2003 年 2 月 23 日的官方聲明稿中，提 及重點就是 USGA 及 R&A 規則裡測試高爾夫球桿彈簧效益(Spring-like effect)，

也就是 COR，將由一個新的方法 Pendulum test 取代[17]，並在西元 2004 年 1 月 1 日起生效，在此不加以論述 。

任何球的恢復係數並不是固定不變的，還會受到碰撞速度大小、溫度、反彈 表面等的影響。

由動力學之討論得知恢復係數越大，則碰撞損失之能量越小，能量傳遞效率 越高，可由下式表示之:

) V V m ( m

m m 2

e

T 1 _{a b}

b a

b 2 a

+ −

= −

Δ (3.24)

其中，

Δ 為損失動能 T

e：表示為恢復係數，m_a：表示為桿頭質量，m_b：表示為球體質量 V ：表示為桿頭初速，a V_b：表示為球體初速。

在上式中恢復係數為傳統上定義即為

b a

a b

V V

v e v

−

= − (3.25)

其中，

V ：表示為a m_a撞擊前速度，V_b：表示為m_b撞擊前速度 v ：表示為a m_a撞擊後之速度，v_b：表示為m_b撞擊後之速度

根據上述相關式子得知，動量的損失，造成碰撞過後速度的改變，因此以相 對速度變化來定義恢復係數。

第四章 鐵桿自動建模系統

本文選擇利用 UG 軟體的知識融合(Knowledge Fusion)模組作為建構高爾夫 球桿頭的 CAD 自動建模系統。因此利用知識融合的技術可以管理單一產品模型 的設計參數與知識的訊息，其要點是藉由工程設計與分析法則得到產品設計的規 則與條件，接著在 UG 內建立實體創建，進而將設計規則及條件傳遞到產品的設 計中。

知識融合對於本文的主要功用是將桿頭知識直接建構於桿頭模型中，可提高 創新與多變化設計以及增加生產效率。因此，本文的目的是利用知識融合模組建 構高爾夫球桿頭最佳化自動建模系統，並將桿頭各參數之間的相依性、設計規 範、建模程序、最佳化技術以程式語言的方式開發最佳化自動建模系統。除此之 外，UG 提供使用者界面編輯器 User interface styler 供程式開發者對桿頭各項參 數建構對話框，此對話框的參數可與 KF 程式中的參數進行連結，所以只需在對 話框中輸入桿頭各項參數後，即可建構桿頭模型。透過 KF 所建構完成的桿頭模 型亦可於對話框中修改各項參數，將桿頭模型修改成設計者所需之形狀，於對話 框中調整的參數即時於視窗中改變桿頭形狀，因此可以大為減少建模所需花費的 成本。

4.1 工程知識融合

傳統的 CAD/CAM 本質上是一個幾何領域的系統，而工程的技術核心為設 計理念、設計方法及過程處理，這些仍需依靠人腦才能達成。因此， CAD/CAM 只是一個輔助工具，亦即工程的開發過程仍需大量依賴使用者的技術水平與經 驗，而不只是單純的 CAD/CAM 系統。這是因為 CAD/CAM 系統不能識別設計 與製造過程中的變化，即在設計與製造的過程中不能有效的應用電腦的能力，進 行零件的設計製造與產品的總體性能評估，而使用者的需求與 CAD/CAM 系統

不具內在的關連性，導致 CAD/CAM 系統對技術創新、方案最佳化、綜合評估 等須要應用知識工程領域的問題顯得無能為力，此為當前 CAD/CAM 系統發展 的瓶頸。為解決上述的問題，打開一條通路，可將人工智慧(Artificial intelligence, AI)與 CAD/CAM 技術加以結合。因此，當今的趨勢是 CAD/CAM 系統朝向智能 化方向發展，藉由吸收人工智慧的成果(理念、方法及模式)，融入知識工程，開 始造就新一代的 CAD/CAM 系統。

UG 在 智 能 化 方 面 提 供 了 知 識 驅 動 的 自 動 化 概 念 (Knowledge driven automation, KDA)，圖 4-1 說明此一技術的結構圖，結合資料庫、設計模型、加 工模型及知識庫，利用加工過程智能系統將其進行有效處理與管理再輸出，即將 UG/CAM 系統智能化。

圖 4-1 智能化結構圖

在智能化方面，UG 提供可進行知識融合(Knowledge Fusion, KF)的技術。此

一技術對操控工程規則、設計理念提供一個強而有力的工具。亦即知識融合可使 UG 的使用者開發應用系統，使其可通過工程規則控制 UG 的對象，超越單純的 幾何模型的建構。且藉由知識融合，工程師與設計師能順利建構其可重複使用的 知識庫。所以，知識融合技術是 UG 系統在產品設計與製造、電腦模型建構領域 中，實現的新技術。

UG/KF(Knowledge Fusion，KF)為知識融合技術，介於 CAD 技術與知識工 程(Knowledge Based Engineering，KBE)之間所開發的新技術，整合了以電腦 3D 幾何模型為核心的 CAD 技術與傳統知識工程技術。知識融合提供一套技術，能 夠使 UG 利用工程知識庫與工程演算法對使用者提供強大的產品設計應用系 統，因此透過工程師所提供之設計規格與需求，如高爾夫球桿頭之設計規範、演 算法、分析參數及建模技術等，於 UG 內部建構程式，將此設計方法與規範傳入 桿頭設計中，產生桿頭自動建模系統。

知識工程(KBE)的本質為「技術再利用」，亦即，在桿頭的設計開發生命週 期的每個過程中，是否充份利用桿頭參數規範、設計經驗、製造經驗、專家知識 及其它相關訊息。這些「知識庫」可以為電子試算表格(Spreadsheet)、手冊、工 程設計公式、專用軟體及設計人員的經驗等。藉由這些知識庫作為高爾夫球桿頭 開發過程中的輔助工具，此為知識工程。

簡單的說，UG 系統提供自行定義開發且符合工程知識融合需要的知識融合 程式語言(Knowledge fusion program language)，以有效描述及整合工程與幾何模 型之間的關係。而此一知識融合語言為物件導向(Object oriented)的解譯性 (Interpreted)語言，高爾夫球桿頭設計者可透過此程式語言在桿頭模型中以規則 (Rule)的型式增加桿頭知識，而此規則為此語言的基本單元。另外，知識融合語 言有能力存取 UG 系統以外的知識資源，如資料庫及電子試算檔等，且有能力結 合其它分析及最佳化軟體，對於分析後所儲存的電子試算檔可以將此檔案內的資 料直接輸入桿頭自動建模系統中，並於視窗中建構桿頭模型。

4.2 工程知識融合程式

目前一般的 CAD/CAM 系統於建立三維的幾何實體模型時，是以其系統所 提供的交談式功能選項，依系統所定義的操作步驟建構所需的工件模型。而本文 所設計之高爾夫球桿頭模型屬於複雜工件，則需在一般的 CAD/CAM 系統中操 作一連串的功能選項與設定才能建構完成。對於桿頭某些部份尺寸的修改則必須 透過參數化的方式修改，但是桿頭模型相當複雜，具有許多設計參數值，而且參 數之間具有相依性。因此，一般的 CAD/CAM 系統所建構完成的桿頭模型對於 模型修改部分相當困難。

UG 的 CAD/CAM 系統，採用一個新的程式語言，而此一程式語言的特點，

可將人的想法與 UG 固有的物件「絞合」在一起，構成想要的三維幾何實體，此 特點對於桿頭設計相當重要，主要是因為桿頭模型是依照設計者的想法所建構而 成，此程式語言可提供設計者將限制規範與設計經驗以 UG 固有的物件方式建 構。如此就能實現以一種簡單的方法去描述桿頭設計者的設計構想，桿頭設計者 能夠隨意的在 UG 系統中建構一套桿頭自動建模系統並且隨時可以增加更多新 的功能。基於此，UG 提供獨特的 KF 程式語言滿足此一需求，所以，UG/KF 物 件模型可看成 UG 本身物件模型的人性化的延伸。

知識融合程式語言是高階語言(High level language)，因而可以用比較淺顯的 語言文字描述程式的功能與運作方式，可用來表示全新的物件模型，且它是一種 快速直接對應的解釋性(Interpreted)語言。

4.3 知識融合建模

在 KF 的程式中，對於建模部分所需使用的方法與 CAD 中建模的方法類似，

唯一不同的是參數之間的相依性，一般在 CAD 進行建模時只考慮建模的步驟與 順序，而利用 KF 程式建模，除了考慮建模的步驟與順序以外，還必須考慮每個 參數之間的相依性，每當改變某個參數時，其餘具有相依性的參數則必須隨之改 變。因此，在 KF 建構桿頭模型之前必須先架構整個桿頭的設計程序，並且掌握 模型的建立步驟與各項參數值。

本文已於第二章中介紹高爾夫球鐵桿各項設計參數，除了依照鐵桿各項參數 建構桿頭模型外，還需要考慮各項參數之間相互的關係。

因此在本文中建構桿頭模型，分成三大部分建構，包含桿頭主體(Base golf head)、柄部(Hosel)與頸部(Neck)等三部份，桿頭主體包含了底面(Sole)、刀面 (Top)、趾部(Toe)、打擊面(Face)與背面(Back face)，相關建模流程如圖 4-2 所示。

Golf head Base golf head

Hosel

Neck

Sole

Toe Top

Back face Face Body

Cavity back

圖 4-2 建模流程

桿頭模型建構流程首先是透過底面曲面(Sole surface)、刀面曲面(Top surface) 以及趾部曲面(Toe surface)三個曲面建構出鐵桿大致外形輪廓，如圖 4-3 桿頭外 形輪廓曲面所示。然後再建構打擊面(Face)與背面(Back face)，如圖 4-4 修剪之曲 面所示，利用此兩個面與先前所建構之三個曲面做修剪薄體(Trim sheet)的動作，

並利用縫合(Sew)與倒圓角(Edge blend)功能將修剪過之薄體邊界進行縫合各個修 剪過之曲面，之後再進行各個邊緣倒圓角，建構桿頭主體之實體如圖 4-5 所示。

Toe surface

Top surface

Sole surface

圖 4-3 桿頭外形輪廓曲面

Face

Back face

圖 4-4 修剪之曲面

Edge blend

Edge blend Base golf head

圖 4-5 桿頭主體之實體

接下來建構高爾夫球桿柄部(Hosel)與頸部(Neck)的兩個部份，利用線(Line) 與圓弧(Arc)曲線之間相依性參數的方式建構柄部實體，並考慮與先前所建構桿 頭主體之相對位置，即考慮底角(Lie angle)與傾角(Loft angle)的角度，因本文建 構之鐵桿為六號凹背式鐵桿底角為 60°傾角為 31°，創建柄部之實體如圖 4-6 所 示。

Holse Base golf head

Loft angle 31°

Lie angle 60°

圖 4-6 建構柄部之實體