Iterative Image Reconstruction

CT Reconstruction 另一種主要方法為疊代式影像重建法(Iterative Image Reconstruction)，於 1982 年由貝爾實驗室(Bell lab)的數學家謝普(L. A. Shepp) 和瓦第 (Y. Vardi) 首先提出。此方法主要的原理源自於數值分析(Numerical Methods)，泛指一個固定運算公式的重複演算法則，演算過程會不斷重複直 到特定的條件被滿足而停止。此重建方法在核子醫學的應用上為，假設物體 截面是由一個未知的矩陣所組成；由投影資料(Sinogram)的數據建立未知向 量的線性方程式，給予不同向量估計方法，經過多次疊代求出未知的矩陣即 為物體的截面影像。

首先建立 Iterative Image Reconstruction 的代數數學模型[4]，如圖 2-4。

圖中以網狀方格矩陣涵蓋所有區域，包括進行照射的物體(object)。我們令 xj 是矩陣中第j 個元素的 Intensity 值，j=0,…,N-1，N 為全部矩陣元素的個數。

bi 代表第θ 角度中某一條 X 射線的投影資料，i=0,...,M-1，M 為全部射線個 數的總和；等於 Sinogram 的像素個數。最後，令矩陣 A = (aij) 表示物體像 素xj對於投影資料bi的映像(mapping)；其 aij 表示第 j 個像素對第 i 條射線 積分的貢獻值(constribution)或稱為權重值(weight)。

因此，利用此數學模型，可以建立一個線性系統如下公式：

A (7)

圖 2-4：Iterative Image Reconstruction 幾何數學模型

Iterative Image reconstruction 主要的原理是以公式(7)的線性系統，利用 連續地估計逼近物體影像像素值xj的解。首先對於未知像素值的影像作投影 估計，所得到的投影資料稱之為估計投影資料(Re-projection data)；並且將 Re-Projection data 與 CT Scanner 測量到的實際投影資料(Measured projection data) 相 減 ， 當 作 下 一 次 疊 代 演 算 法 中 對 物 體 影 像 像 素 值 xj 的 修 正 值 (Correction term)。最後將影像像素與此修正值作一次反投影(Back projection) 修正；反覆上述過程，直到物體截面影像被清楚呈現。

基於此 Iterative Image reconstruction 的基本原理；在代數系統A 中，

依照不同的權重矩陣(矩陣 A)的決策方式，發展出兩種不同的經典疊代演算 法 ； ART(Algebraic Reconstruction Techniques) 與 SART(Simultaneous Algebraic Reconstruction Technique)。

ART 演算法中，矩陣 A 中每個元素 aij的權重值，通常被簡單的以 0 或

X 射線所量測到的實際投影資料( Measured projection data)。∑ 表示為 估計投影資料，對物體影像作 Re-projection；即針對第 i 條 X 射線，累加所 有此 X 射線經過影像的像素值 xj，成為 Re-projection data。將 Measured projection data 與 Re-projection data 相減，成為疊代過程中影像像素需要的 修正值(Correction term)。

由 ART 演算法重建出來的影像，往往有 salt and pepper 雜訊以及偽影；

是因為對於權重值aij的決策方式簡化為 1 或是 0。當射線只有經過某像素的 邊緣時，此像素點對射線的權重值若仍設為 1，則此像素點對於此條射線的 貢獻就被放大了。為了抑制 ART 演算法重建後影像的雜訊，可以在修正值 反投影(Back projection)於物體影像像素之前，先乘以一個 relatxation 係數α，

該係數α小於 1 並且隨著疊代次數增加而減少；利用這個方法可以使得疊代

SART(Simultaneous Algebraic Reconstruction Technique)[5]由 Andersen 和 Kak 所提出，對於 ART 演算方法的影像品質有顯著的改善。SART 與 ART 演算法有三個最大的不同點如下。

a. 傳統 ART 演算法是基於 pixel-basis 的概念，即每一個影像像素對 於射線的貢獻值為 1 或 0，造成影像會有不連續與偽影的情形。因 此在 SART 演算法中，採用 bilinear element，一條射線所經過影像 像素的網格區域，會被鄰近四個像素點所貢獻；而貢獻的比例是依 射線與此四個像素點的距離成反比，當作 SART 演算法中影像像素 對於射線的權重值 aij，即為雙線性內插法(bilinear interpolation)。

因此，利用 blinear element 計算權重值比傳統 pixel-basis 還要精準 許多，藉此改善傳統 ART 方法中影像不連續的問題。 中我們將計算出的修正值再乘以 Hamming window 調整，藉此強調 影像矩陣中間(實際物體部分)；相對於矩陣四周(空白部分)給予較 多的修正值比例。

圖 2-5：漢明視窗 (longituidinal Hamming Window)

因此，經由上述改良傳統 ART 演算法機制，SART 演算方法公式如下：

∑ ∑

∑ , j=1,...,N-1, i=1,...,M-1 (9)

公式(9)中針對第 i 條射線， 是估計投影資料(Re-projection data)， 是 實際投影資料(Measured projection data)， 為修正值(Correction term)。

SART 演算方法中 blinear element 是利用每條不同射線，在網狀方格中 建 立 取 樣 點 (Sampling point) ； 並 且 以 數 學 中 雙 線 性 內 插 法 (bilinear interpolation)，計算矩陣 A 中每一個像素對於每一條射線的貢獻值 ，針對 第 i 條射線，累加所有影像像素點對此條射線的貢獻值，成為∑ 項；

將修正值 除以此項再乘以 ，表示修正值中反投影分配給影像像素

Intensity 值的比例。

由此我們可知，影像像素xj的 Intensity 值來自所有射線分配的總和，得 到∑ _∑ 項，此即為 SART 演算法中同步地(Simultaneous)的概念。

最後將影像像素xj的 Intensity 總和，除以該像素給予所有射線 j 的貢獻值總 和∑ ，可以得到一次疊代(iteration)過程，所有影像像素的 Intensity 值。