Logo融入幾何概念教學實例分析

圖4-2-1 學生利用簡易的指令設計 範例一

步驟 1：【cO】代表畫面清除與圖龜回到畫布中心。

步驟 2：【PD】代表放下筆，畫下所有移動的軌跡。

步驟 3：【向前 10 步】，就是前進參數為 10，然後再按『往前走 FD』。

步驟 4：【左 90 度】代表轉彎角度 90 度，然後再按『向左轉 LT』，也可以 LT90 的簡單語法來表示。

步驟 5：【向前 10 步】同步驟 3，也可以 FD10 的簡單語法來表示。

步驟 6：【右 90 度】代表轉彎角度 90 度，然後再按『向右轉 RT』，也可以 LT90 的簡單語法來表示。

步驟 7：【向前 10 步】同步驟 3、5，可以畫出單位長為 10 的軌跡。

學生再到 Logo 以其設計的語法指令，依一定步驟按各按鈕執行，其執行結果 如圖 4-2-2，為一「ㄣ」字形，符合教學者的要求，並畫於第二頁左側執行結果畫

圖4-2-2 學生利用簡易的指令在Logo執行結果 範例一

同樣的問題在圖 4-2-3 的例子中，學生也設計了七個步驟，在步驟 4：【右 90 度】與前例有所不同，代表轉彎角度 90 度，但是是右轉。依其步驟按各按鈕執 行，其執行結果如圖 4-2-4，為一「ㄇ」字形

圖4-2-3 學生利用簡易的指令設計 範例二

圖4-2-4 學生利用簡易的指令在Logo執行結果 範例一

就馬上畫出一條線，再繼續下兩個指令，如此很快的學生就能完成多步驟的複雜圖 形了。

圖4-2-5 學生利用複雜指令設計範例

圖4-2-6 學生利用複雜指令設計Logo執行結果

在前面兩個單元重點放在描述執行的步驟，與介面和指令的熟悉練習，所以在 轉彎的角度上都限定為 90 度，讓學生可以在比較單純的方向變化上學習。接下來 第三單元藉由不同動物在圓周上的不同位置，讓學生熟悉右轉角度變化與左轉角度 變化，依教學者訪談的陳述，如圖 4-2-7 的例子：

圖4-2-7 第三單元左轉角度轉換學生範例

學習單上標示的角度為右轉角度，然後反推左轉角度，部分同學在課堂上已有 學過，所以很快的就能將轉彎的角度正確寫出，不過有部分學生須透過教學者以 45 度累加方式，再次教導其角度的變化；或是左右轉角度的差別可以用 360 度去相減，

以快速到相對應的角度，如圖 4-2-8 的例子：

圖4-2-8 第三單元旋轉角轉換學生範例

圖龜面對貓頭鷹時，右轉 135 度就能面對『孔雀』即 RT135，是透過 3 次 45 度累加而得，依此類推；如果圖龜面對貓頭鷹時，要右轉面對『猴子』需轉五次 45 度，即為 RT225 度。同樣的道理，如果圖龜面對貓頭鷹時，要左轉面對『猴子』時，

須累加 3 次 45 度，即 LT135，或以 360 度減右轉的 225 度，求得左轉 135 度，不過 此單元對數學融入電腦的成分較少，學生會急著想操作電腦而顯得不耐煩。

二、多邊形幾何特性的教學實例

接下來的第四單元學習單~圖龜畫正方形，讓學生一起完成兩個不同大小的正 方形，透過 Logo 繪圖可以了解正方形有四個邊且四個邊等長、有四個角且四個角 都是 90 度。依學習單指示大正方形在左邊小正方形在右邊，如圖 4-2-9。

圖4-2-9 Logo同時畫出大小兩正方形

可是圖 4-2-10 學習單內容，由學生填入兩個不同邊長的正方形繪圖步驟，並 在同一畫面畫出。在學習單上畫出的圖形與圖 4-2-9 的兩正方形大小剛好左右顛 倒，左邊應是大正方形，但結果左邊卻是小正方形。

圖4-2-10 學生同時畫出大小兩正方形學習單範例

教學者認為這樣的執行畫面是正確，因為透過 Logo 繪圖如圖 4-2-11，學生一 開始即畫出大正方形，畫完之後學生按下『提起筆』，不再描出軌跡，然後再『往 前走 FD』20 單位，在繼續放下筆，進行小正方形的繪製，所以執行後的畫面就形 成大小左右相反。

圖4-2-11 學生用Logo同時畫出左小右大兩正方形範例

在對教學者訪談當中，學生對於同時畫出兩個幾何圖形，要畫出如圖 4-5-9 的 畫面，須再加上『提起筆』、『往後走 FD』30 步、『放下筆』等三個步驟，再繼 續第二個小正方形，這樣學生往往會忘記了按下『提起筆』，或是算錯後退的步數，

而造成如圖 4-2-12 兩正方形相連的情況。因為本節重點是正方形的幾何意義，所 以教學者希望在一堂課內完成，於是兩個正方形的畫法指引學生用較簡便的方式畫 出，不過這樣也都可以達到了解正方形四個邊都相等與四角都為直角的幾何意義，

且兩正方形相似的概念。

圖4-2-12 學生用Logo兩正方形相連情況

再來針對第四單元學習單長方形的畫法，如下圖 4-2-13 學生也能很輕易的透 過兩個邊長度的變化，畫出長方形如圖 4-2-14。

圖4-2-13 第四單元長方形性質學生學習單範例

圖4-2-14 學生用Logo長方形的圖形

圖4-2-15 依指示畫出正三角的學習單

如此有別於正方形或長方形的畫法，學生剛開始在角度上會有疑問，為什麼正 方形轉內角90 度就可以，而正三角形為什麼不是轉內角 60 度呢？教學者透過箭頭 描繪出方向上改變與旋轉角大小的變化，如圖 4-2-16，來教導三角形旋轉角大小的 判別，學生很快就能明瞭方向改變與角度的關係。

圖4-2-16 三角形旋轉角大小的判別法

接下來再由學生換個方向再畫一次正三角形，先右轉 90 度後，學生就能很快

30 度 120 度

的填出另外兩次左轉120 度，如圖 4-2-17；

圖4-2-17 換方向畫正三角形學生學習單範例

如圖 4-2-18，學生由 Logo 操作一次，就可以得知正三角形三邊等長，可是三 個內角都是60 度，卻需要用旋轉角與平角的概念去解釋才能明瞭。

圖4-2-18 學生用Logo畫出正三角形的範例

可是要學生再畫出其他三角形，如等腰三角形、直角三角形、鈍角三角形、銳 角三角形，除了等腰三角形以外，其它三角形確實有點困難，所以教學者在教學上

圖4-2-19 等腰三角形學生學習單範例

但教學者也試著讓學生畫其他類型的三角形，但是絕大部分都無法順利畫出封 閉的三角形，如圖4-2-20。因為在畫直角、鈍角、銳角這些三角形時，學生對於第 三次旋轉角度的大小會有所迷失，但當教學者詢問數學老師是否有教導三角形內角 和時，學生都有三角形內角和為180 度的概念，因此可利用內角和 180 度去求出第 三個內角，即解決角度的問題。

但最主要問題是在畫第三邊長時，無法得知第三邊的正確長度，而產生不封閉 性三角形的迷思概念，如圖 4-2-21，因為中年級的程度並無法算出第三邊的長度 來，不過藉此練習，也讓學生藉由 Logo 繪圖瞭解到三角形三邊長與角度的特殊關 係。

圖4-2-20 第三旋轉角角度錯誤學生範例

圖4-2-21 第三邊長度過短及過短學生範例

在第七單元學習單中，讓學生試著畫出平行四邊形，由圖 4-2-22 學生學習單 及圖 4-2-23 所繪出的圖形，可以觀察、判斷出平行四邊形也有四個邊及四個角，

及所執行 Logo 的指令看出，四個邊長為 35、35、35、35， 所以四個邊皆相等；而 四個角卻有所不同，由旋轉角可以得知四個內角分別為 60 度、120 度、60 度、120 度，所以平行四邊形的兩雙對角相等，再由教學者的引導，平行四邊形的兩雙對邊

圖4-2-22 平行四邊形學生學習單範例

在圖 4-2-23 學習單的例中，依指令執行 Logo 繪圖結果應如圖 4-2-24，第一畫 會從中心點往右上畫出圖龜的軌跡，然後旋轉角 120 度後再由下往上描出圖龜的軌 跡。

圖4-2-23 學生用Logo依學習單步驟畫出平行四邊形 4-2-25，在這個階段學生已能很輕易畫出如圖 4-2-26，如此教學者就能順利的讓學 生舉出兩個圖形的差異點，雖然在此學習單範例，學生對平行四邊形描繪得不是很

圖4-2-25 平行四邊形與箏形比較學習單範例

圖4-2-26 學生用Logo畫出平行四邊形及箏形

在第八單元中，教導學生如何畫圓。如圖 4-2-27，教學者依學習單指示，

當多邊形的邊數越大時，所做出的圖形越像圓。因此，學生在畫圓之前，教 學者先引導學生如何推導多邊形的外角，即以 360 度除以旋轉的次數，求出 旋轉角，以此嘗試畫出圓。

圖4-2-27 以多邊形來仿圓形的學生學習單範例

學生依教學者的指示，都可以畫出四十邊形，如圖 4-2-28，看到執行結果後，

學童對於多邊形變成類似圓的樣子都相當訝異。以四十邊行為例，學童在操作過程 中，重複按「右轉 9 度Æ往前走 5 步」，每按一次圖形的邊漸漸延伸，最後和起始 點相接，而形成封閉的、類似圓的圖形。在此過程中，學童表現出相當高的興致與 成就感。教學者另讓學童嘗試畫出六十邊形以及三十邊形，讓其比較哪一種畫出來 最接近圓。教學者強調若邊數再增加會更像圓，藉此讓學童有一個圓周是 360 度的

幾何概念。學童也在嘗試操作中，即使操作錯誤，都可隨時按 來清

除畫面，重新來過，減低學童的挫折感。雖然在 Logo 的基本指令中，可利用「repeat」

此程式指令來操作上述重複的動作，但對於四年級學童來說，仍較困難。教學者認

圖4-2-28 學生用Logo畫出正四十邊形來仿圓形