透過LOGO環境來探討國小四年級學生vanHiele幾何思考層次之研究

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國立臺中教育大學數學教育系研究所碩士論文

指導教授：吳德邦博士

透過 Logo 環境來探討國小四年級學生

van Hiele 幾何思考層次之研究

研究生：蔡淑芬撰

中華民國九十九年六月

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致謝

在這論文即將定稿與畢業之際，心情錯綜複雜，但卻是滿心感恩。首先，感謝指導教授吳德邦老師在研究期間的指導，在論文寫作過程中，一遇到困難或不解之處，吳老師總是能夠適時提供寶貴意見，讓我解開心中的疑惑，更讓身為學生的我對於老師的專業與敬業深感敬佩。同時，也要感謝口試委員劉湘川教授與馬秀蘭教授，於百忙之中撥空審閱論文，提供諸多寶貴意見，使的論文更臻完備與周延。能完成數教所兩年的課程，更要感謝授課教授：吳德邦教授、甯自強教授、易正明教授、林炎全教授、胡豐榮教授、卓立正教授及陳靜姿老師，感謝您們的耐心指導。也感謝同窗好友雅玲、紀伶、姿良、奇荃，一路相伴，互相協助與鼓勵。因為有你們的陪伴，上課多了許多樂趣，尤其是到了論文寫作與口試階段，大家都能無私的互相提醒、建議與協助，這是兩年研究所生涯中很值得珍藏的一段回憶。最後，要特別感謝裕篤老師在實驗教學上全力的協助，才能讓我順利完成這份研究，真的是功不可沒。更謝謝在我先生進修這段時間，幫忙分擔家務與照顧寶貝兒子傑祐、凱原，讓我可以毫無顧慮的專心在課業與研究上。也謝謝妹妹淑真協助英文摘要的修改與建議。而兩個寶貝－傑祐與凱原，當我在電腦前做事時，都能安靜的、自動的看著自己的書、做自己的功課，讓我甚感安慰與貼心；更覺得因為有你們的相伴，辛苦也是一種甜蜜呢！蔡淑芬謹誌 2010 年 6 月

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摘要

本研究利用網際網路雲端運算的概念結合Logo 電腦軟體，運用 Logo JAVA 程

式的圖形操作介面簡易開發介面，設計了一套國小學童在 Logo 軟體上的幾何繪圖介面與教學課程，以便讓對電腦指令較無概念的國小學童，可以輕易使用 Logo 軟體來進行繪圖。透過網路瀏覽器可同時多人操作的方式，使用「隨按即所得」的按鈕操作方式，藉由組合功能按鈕的方式代替了 Logo 指令語法的設計，排除 Logo 需使用指令才能完成圖龜任務的問題，讓學童可以輕鬆的操作圖龜來進行移動軌跡變化，並觀察每一步驟，及紀錄在線段長度、移動方向、及角度的改變，來完成正方形、長方形、菱形、圓形等等幾何繪圖，進而提升學童的平面幾何概念，以使 Logo 電腦軟體進行資訊融入數學教學獲得更大的功效、並期望在平面幾何概念上提供教師一個可利用的教學工具。本研究用以分析的資料，乃採用吳德邦（2008，2009，2010）國家科學委員會補助專案計畫（計畫名稱：透過 LOGO 環境學習幾何培養國小學生高層思考與解決問題能力－從van Hiele 理論的觀點、以 van Hiele 理論為基礎整合電腦 LOGO 程式建構國小幾何數位學習工具與環境。編號：NSC 97-2511-S-142-006 與 NSC98-2511-S-142-004-M）所蒐集而來的。本文乃為上述計畫之部分成果。本研究旨在探討以「電腦程式 Logo 融入數學幾何實驗教學課程」對國小四年級學童的學習成效；研究對象採立意取樣方式，挑選台中市某國小四年級學童共4 班，並將之分為實驗組與對照組，實驗組有二班共58 人，透過 Logo 環境來教學；另兩班47 人為對照組，全部樣本數為 105 人。教學實驗為前後共為期八週，每週 1 節課40 分鐘。先以「吳─薛氏 van Hiele 幾何概念測驗」對兩組進行前測，再針對

實驗組實施Logo 教學實驗課程，最後再以「吳─薛氏 van Hiele 幾何概念測驗」對

兩組作後測，以探究平面幾何概念提升的成效。研究結果有以下六點發現：

一、接受實驗教學之前，實驗組與對照組在van Hiele 幾何思考層次前測上無顯著

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有差異的。二、針對實驗組進行實驗教學後，實驗組在van Hiele 幾何思考層次後測的表現優於對照組。實驗組調整後平均優於對照組調整後平均，所以「電腦程式 Logo 學習課程」對學生的學習成就有顯著的影響。三、實驗組在數學成就前、後測平均表現上達到顯著水準，顯示「電腦程式 Logo 學習課程」對學生的幾何概念學習成就有正向的影響。四、分析實驗組在van Hiele 幾何思考層次前後測的表現上，層次二、三在學習成就上達到顯著水準；在層次一的前後測表現上並無顯著差異，就整體而言，「電腦程式 Logo 學習課程」對學生在 van Hiele 幾何思考層次上的提升有正向的影響。五、由本研究分析結果，實驗組在三角形、四邊形在學習成就上達到顯著水準；在圓形的前、後測表現上並無顯著差異，推論其原因為圓形對於四年級學童來說，較為困難，且學校課程及 Logo 實驗課程都未教授關於圓周角等概念，因此在實驗教學前後的提升較無顯著差異。六、就整體而言，「電腦程式 Logo 學習課程」對學生在三種圖形幾何概念的提升有正向的影響。實驗組在經過 Logo 實驗教學後，後測平均在三角形、四邊行與圓形此三種圖形上的表現都進步了，顯示實驗組因進行 Logo 實驗教學的補強而明顯進步。

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A study of the van Hiele geometric thinking level of elementary

4th-grade children

throug

the LOGO environment

Summary

This research is to use internet and combined with the Logo software, using the GUI Developer Interface from simple program of Logo JAVA to build a set of geometric drawing program and class courses based on logo software for elementary school children, in order that the elementary school children who are with little concept for computer instructions can make drawings using Logo software easily. To utilize the operating mode of press-button on “WYPWYG” and replace the design of Logo instruction syntax by combining the function of press-button in order to eliminate the problem that only can finish Turtle Graphics using instruction for Logo. So that the school children can operate easily the moving trace of Turtle Graphics, observe and record a line segment length, moving direction and angle changes in each step, then finish the geometric graphics of square, rectangle, diamond and round…etc. Further, to promote school children’s concept of plane geometry in order to obtain better effect in the information transaction by using Logo computer software and carrying into mathematics teaching. Also expect to provide the useful teaching tools for teachers based on the concept of plane geometry.

The point for this research is to discuss the learning effect for elementary 4th grade children by using Logo computer software and carrying into mathematics geometric teaching. The study objects were from the way of purposive sampling, picked the elementary 4th grade students totally 4 classes from one of elementary school in Taichung, using Quasi-Experiment Research Design, dividing them into experimental group and contrast group. There are 2 classes in experimental group totally 46 persons using the teaching of Logo computer software. The other 2 classes totally 59 persons is for contrast group. Total sample’s numbers are 105 persons. The experiment was conducted for 6 weeks, 40 minutes one class each week. First, took a pre-test using

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Wu-Shey Van Hiele geometry congnitive development test. Second, do the experimental teaching class by using Logo for experimental group. Finally, did the post-test for the 2 groups by re-using the “Wu-Shey Van Hiele geometry cognitive development test” in order to check the promoted effect of polygon concept.

The results were drawn as follows:

1.Before doing the experiment teaching, experimental group and contrast group had no obvious difference on pre-test for Van Hiele thought levels of geometry. That meant that the 2 groups of class children were with same prior knowledge for the concept of geometry on statistics before experimental teaching.

2.After experimental teaching for experimental group, experimental group’s post-test for van Hiele thought levels of geometry is better than contrast group. The adjusted

average score for experimental group was higher than contrast group. Therefore, “computer program for Logo learning class” affected students essentially on study achievement.

3.For experimental group, it obtained obvious level before and after mathematics achievement test. It showed “computer program for Logo learning class” affected students positively on the concept of geometry learning.

4.To analysis the effects for experimental group pre-test and post test for van Hiele geometric thinking level, level 2, 3 reached obvious levels on learning achievement. There is no big difference on pre-test and post test for level 1. Overall, “computer program for Logo learning class” affected students positively on the promotion of van Hiele geometric thinking level.

5.The results from this research, experimental group obtained significant learning achievement on triangle, quadrangle. There is no big difference on pre-test and post-test for circle. The reasons maybe is because the circle is more difficult for 4th grade and the school classes and Logo experimental class taught nothing about

circumferential angle. Therefore there is no big difference on pre-test and post-test for experimental teaching.

6.Overall, “computer program for Logo learning class” affected students positively on geometric thinking for 3 kinds of graphics. Experimental group resulted improvement averagely on triangle, quadrilateral and circle after Logo experimental teaching. It showed essential improvement for experimental group after stressing on Logo experimental teaching.

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目錄

摘要...I Summary...III 目錄 ... V 圖目錄 ...XI 表目錄 ... XV 第一章緒論 ...1 第一節研究背景與動機 ... 1 第二節研究目的 ... 3 一、研究目的... 3 二、本研究待答的問題... 4 第三節名詞解釋 ... 4 一、 van Hiele幾何思考層次 ... 4 二、幾何圖形... 5 三、 Logo電腦程式 ... 5 四、電腦程式Logo融入數學幾何實驗教學課程 ... 5 五、雲端運算... 5 六、四年級學童... 6 第四節研究限制 ... 7 第二章文獻探討 ...9 第一節 van Hiele的幾何理論... 9

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一、van Hiele的幾何思考層次理論 ... 9 二、van Hiele的幾何思考層次的特性 ...11 三、學童在van Hiele幾何思考層次中各層次的具體表現 ...12 第二節幾何圖形之簡介 ...15 一、幾何圖形...15 二、幾何概念學習的目標...18 三、學童幾何概念的迷思...19 第三節電腦程式Logo的特性與研究...22 一、電腦程式Logo的發展與特性 ...22 二、國內外研究電腦程式Logo的相關文獻 ...25 第四節電腦的教育功能 ...28 一、資訊融入教學...28 二、電腦在教育上的角色...29 第三章研究方法與實施流程 ...31 第一節研究架構與設計 ...31 一、研究架構...31 二、研究設計...32 第二節研究對象 ...35

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一、吳─薛氏van Hiele幾何概念測驗 ...36 二、Logo教學網路架構 ...37 三、Logo電腦程式 ...38 四、電腦程式Logo簡易JAVA介面設計 ...38 五、國小學童電腦程式Logo學習課程 ...39 第四節研究步驟 ...40 一、實驗處理前階段...41 二、實驗處理階段...41 三、實驗處理後階段...42 四、資料分析與撰寫論文...42 第五節資料處理與分析 ...43 第四章質性的研究結果 ...45 第一節發展電腦Logo程式幾何實驗教學課程...45 一、電腦程式Logo簡易JAVA介面設計 ...45 二、國小學童電腦程式Logo學習課程手冊 ...59 第二節 Logo融入幾何概念教學實例分析... 63 一、長度與角度變化的教學實例...63 二、多邊形幾何特性的教學實例...70 第五章量的研究結果 ...85

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第一節幾何概念前、後測結果分析 ...85 一、實驗組與對照組整體量表...86 二、在van Hiele平面幾何思考層次認知成效之比較分析 ...88 三、各種圖形學習成效之分析...90 第二節教學後平面幾何概念認知成效分析 ...92 第六章研究結論與建議 ...97 第一節研究發現與結論 ...97 一、實驗教學成效...97 二、Logo幾何繪圖教學 ...98 第二節反省與建議 ...99 一、對「電腦程式Logo融入幾何教學課程融入教學」的建議 ...99 二、對未來研究的建議...100 三、研究者的省思...100 文獻參考...103 中文部分...103 英文部分...109 附錄...113 附錄一：國小學童電腦程式Logo學習課程 ...113 附錄二：電腦程式Logo簡易JAVA介面設計 ...153

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附錄四：「吳─薛氏van Hiele幾何概念測驗」使用同意書 ...155

附錄五：吳─薛氏van Hiele幾何概念測驗 ...156

指導教授簡歷...183

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圖目錄

圖3-1-1 研究架構圖...32 圖3-3-1 利用雲端運算概念的Logo教學網路架構 ...37 圖3-3-2 Logo 標準操作畫面 ...38 圖3-3-3 Logo螢幕畫面 ...39 圖3-4-1 研究流程圖...40 圖3-4-2 實驗教學現場照片 1...42 圖3-4-3 實驗教學現場照片 2...42 圖4-1-1 電腦程式Logo簡易JAVA介面 ...46 圖4-1-2 電腦程式Logo簡易JAVA介面按鈕設計 1 ...47 圖4-1-3 電腦程式Logo簡易JAVA介面按鈕設計 2 ...47 圖4-1-4 電腦程式Logo簡易JAVA介面按鈕設計 3 ...48 圖4-1-5 電腦程式Logo簡易JAVA介面按鈕設計 4 ...48 圖4-1-6 電腦程式Logo簡易JAVA介面按鈕設計 5 ...49 圖4-1-7 電腦程式Logo簡易JAVA介面按鈕設計 6 ...49 圖4-1-8 電腦程式Logo簡易JAVA介面按鈕設計 7 ...50 圖4-1-9 儲存計畫的步驟一...52 圖4-1-10 儲存計畫的步驟二...52

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圖4-1-11 儲存畫布步驟一...53 圖4-1-12 儲存畫布步驟二...53 圖4-1-13 儲存HTML檔步驟一 ...54 圖4-1-14 儲存HTML檔步驟二 ...54 圖4-1-15 電腦程式Logo簡易JAVA介面執行結果畫面...55 圖4-1-16 在【小畫家】選取【貼上】...55 圖4-1-17 在【小畫家】貼上後的畫面...56 圖4-1-18 在【小畫家】選取【儲存檔案】...56 圖4-1-19 選擇儲存的路徑並存檔...57 圖4-1-20 輸入網址後畫面...58 圖4-1-21 輸入帳號與密碼...58 圖4-1-22 輸入網址列後的畫面...59 圖4-1-23 將介面網址加到【我的最愛】...59 圖4-2-1 學生利用簡易的指令設計範例一...64 圖4-2-2 學生利用簡易的指令在Logo執行結果範例一 ...65 圖4-2-3 學生利用簡易的指令設計範例二...65 圖4-2-4 學生利用簡易的指令在Logo執行結果範例一 ...66 圖4-2-5 學生利用複雜指令設計範例...67

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圖4-2-7 第三單元左轉角度轉換學生範例...68 圖4-2-8 第三單元旋轉角轉換學生範例...69 圖4-2-9 Logo同時畫出大小兩正方形 ...70 圖4-2-10 學生同時畫出大小兩正方形學習單範例...71 圖4-2-11 學生用Logo同時畫出左小右大兩正方形範例 ...72 圖4-2-12 學生用Logo兩正方形相連情況 ...73 圖4-2-13 第四單元長方形性質學生學習單範例...73 圖4-2-14 學生用Logo長方形的圖形 ...74 圖4-2-15 依指示畫出正三角的學習單...75 圖4-2-16 三角形旋轉角大小的判別法...75 圖4-2-17 換方向畫正三角形學生學習單範例...76 圖4-2-18 學生用Logo畫出正三角形的範例 ...76 圖4-2-19 等腰三角形學生學習單範例...77 圖4-2-20 第三旋轉角角度錯誤學生範例...78 圖4-2-21 第三邊長度過短及過短學生範例...78 圖4-2-22 平行四邊形學生學習單範例...79 圖4-2-23 學生用Logo依學習單步驟畫出平行四邊形 ...80 圖4-2-24 學生修改學習單步驟畫出平行四邊形...80 圖4-2-25 平行四邊形與箏形比較學習單範例...81

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圖4-2-26 學生用Logo畫出平行四邊形及箏形 ...81 圖4-2-27 以多邊形來仿圓形的學生學習單範例...82 圖4-2-28 學生用Logo畫出正四十邊形來仿圓形 ...83

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表目錄

表 4-2-1 大小正方形與長方形邊長指令對照表...74 表 5-1-1 兩組學童在前測t檢定摘要表...86 表 5-1-2 組內迴歸係數同質性檢定表依變數: 後測總分...86 表 5-1-3 共變數分析檢定摘要表依變數: 後測總分...87 表 5-1-4 兩組成績之調整後平均...87 表 5-1-5 實驗組成績差異性成對t檢定摘要表...88 表 5-1-6 共變數分析檢定摘要表依變數: 後測總分...89 表5-1-7 兩組三個層次成績之調整後平均...89 表5-1-8 實驗組在三層次的成績差異性成對t檢定摘要表 ...90 表5-1-9 共變數分析檢定摘要表依變數:後測總分...91 表5-1-10 兩組三種圖形成績之調整後平均...91 表5-1-11 實驗組在三種圖形的成績差異性成對t檢定摘要表 ...92 表5-2-1 不同組別的學生在三角形概念前測各層次之卡方考驗...93 表5-2-2 不同組別的學生在三角形概念後測各層次之卡方考驗...93 表5-2-3 不同組別的學生在四邊形概念前測各層次之卡方考驗...94 表5-2-4 不同組別的學生在四邊形概念後測各層次之卡方考驗...95 表5-2-5 不同組別的學生在圓形概念前測各層次之卡方考驗...95

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第一章緒論

本章主要說明本論文的研究概述，總共分為四節，第一節介紹本論文的研究動機；第二節介紹本論文的研究目的；第三節名詞解釋；第四節本研究之研究限制。

第一節研究背景與動機

隨著資訊科技的發達，透過網際網路相連與存取，桌上型電腦裡的應用程式和文件將會移至雲端，而雲端技術將會改變未來的工作方式與教學方式，透過網路的資料存取與資訊運算，我們將不再被局限於單一台電腦，而是隨時隨地都可以進行工作或教學(Michael Miller，2009)。也由於有這樣的便利性，更有利於學校群體團班的教學，這也是未來的趨勢，更是無所不在學習的開端。研究者本身對於資訊科技相當有興趣，再加上本身為國小教師，於是在研究過程中想利用 Logo 電腦軟體結合此一技術再配合 van Hiele 的理論，發展一套有利於平面幾何概念的教學課程與應用軟體。科技的進步為人類的生活帶來了史無前例的便利，電腦的問世帶動科技的突飛猛進。也因此，在尋求多元化教學中，使教學不限於僅僅是課堂式教學，更發展為無所不在的學習。近年來，電腦在教育上的應用也愈來愈重要，特別是所謂「多媒體」的電腦輔助教學，已逐漸的在教學科技的發展上佔了一個重要的地位。NCTM 提出的中小學數學課程與評量標準，強調所謂「科技原則」（Technology Principle），指出數學教學應該使用現代科技來幫助學童了解數學，並且讓學童在逐漸科技化的世界中做好使用數學的準備（NCTM, 2000）。電腦程式 Logo 在美國是一個受歡迎的教學軟體，美國的小學教師只需教導學童使用一些簡單的指令，就可畫出正方形及長方形或其他簡單圖形。當學童透過設計與執行指令後，可從 Logo 畫布呈現的圖形中發現自己是否有概念錯誤的地方，進一步可修正自己的概念，無形當中提升學童自己對學習反省的能力。這也是電腦程式 Logo 的發明者 Papert（1993）提出電腦程式 Logo 可以提供互動式的學習環境，讓學童在自由探索中建構自己的知識

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概念並培養、促進自己的數學認知發展的理由。國外學者 Clements ＆ Battista （1989）、 Nastasi, Battista, ＆ Clements（1990）研究發現以電腦程式 Logo 為基礎的幾何課程不只可以增加學童的學習動機，也可幫助學童發展解決問題（problem-solving）的能力，並且指出電腦程式 Logo 環境不僅提供學童大量的機會練習解決問題，而且可以幫助學童將問題細分層次問題，並系統化找出錯誤。羅昭強（2001）指出可以對九年一貫數學課程的概念，以遊戲形式來設計 Logo 電腦輔助學習教材，讓學童透過實地操作、觀察、與嘗試設計電腦程式Logo 指令，可以增加對數學概念的了解，達到過去不易達成的高層次思維模式。結構性強的電腦程式 Logo 教學設計可以減少學童使用嘗試錯誤的策略，提升解決問題的能力與技巧（趙貞怡、劉傳璽，2004）。國內學者仇永善（2007）發現 Logo 程式設計，對六年級學生多邊形概念和幾何思考層次的成就表現有顯著的進步。吳惠娟 (2007) 以電腦程式 Logo 融入幾何補救教學課程對低成就學童的成效之研究中，發現透過

電腦程式Logo 融入幾何補救教學，提升了數學低成就學童的 van Hiele 幾何思考層

次。

不過透過 Logo 程式的操作，只能概略性的讓學童進行幾何繪圖，而無法實際

與數學科幾何概念做系統性的連結。而九年一貫的數學課程中幾何教材的編制，是

以van Hiele 理論為主軸，所以如果想要達成結合 Logo 軟體應用與澄清幾何教學的

多邊形迷思概念，就必須考慮van Hiele 理論的幾何特性。自 1993 年起，國內的國

小數學教科書中的幾何教材主要是以荷蘭數學教育家 van Hiele 夫婦的幾何學習發

展理論為依據來設計課程（朱建正，1996），可見 van Hiele 理論在國內受到相當的重視。van Hiele 的幾何思考層次理論（thought levels of geometry）可分五個層次（Usiskin, 1982； van Hiele, 1986；吳德邦，1998、1999、2001、2004；薛建成， 2003），分別是層次一：視覺的(visual)層次、層次二：描述的(descriptive)層次、層次三：理論的(theoretical)層次、層次四：形式邏輯的(formal logic)層次、層次五：邏輯法則本質的(the nature of logical lows)層次。在數學中的「幾何」部分，Duval

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的圖形操弄經驗才能發展出圖形論證能力（Duval，2002）。綜合以上論述，研究者將以九年一貫的數學課程中幾何教材，結合 van Hiele 理論為主軸，編製國小四年級平面幾何教學教材，再製作 Logo 繪圖軟體介面，透過雲端運算的概念，利用網際網路來達到 Logo 程式融入幾何實驗教學課程，研究者讓學童實地操作電腦程式 Logo，讓他們從中發現自己對平面幾何的錯誤迷思概念，進而反省、澄清自己對平面幾何的迷思概念，以提升其幾何思考層次。本研究除了想讓 Logo 電腦軟體進行資訊融入數學教學獲得更大的功效、也希望能確實提昇學童數學平面幾何概念，並期望在平面幾何概念上提供教師一個可利用的教學工具。

第二節研究目的

本研究計畫之目的是要進行國小學童 Logo 融入平面幾何實驗教學，並分析學童在van Hiele 平面幾何思考層次上提升之成效。以下針對研究目的與待答的問題分述如下：

一、研究目的

（一）透過網路平台開發設計隨按即所得GUI 介面的 Logo 簡易 JAVA 電腦繪

圖程式。

（二）設計編排操作手冊－國小學童電腦程式 Logo 學習課程。

（三）利用Logo 進行實驗教學，配合吳-薛氏 van Hiele 幾何概念測驗來驗證教

學成效。

（四）結合van Hiele 幾何思考層次進行教學成效之分析。

（五）分析實施「國小學童電腦程式 Logo 學習課程」對於四邊形、三角形及圓形概念的提升之成效。

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（五）透過訪談教學者的課堂紀錄與心得分享來探討實施「國小學童電腦程式 Logo 學習課程」的情況。

二、本研究待答的問題

（一）實施「國小學童電腦程式 Logo 學習課程」對國小四年級學童之幾何概念認知差異情形為何？

（二）實施「國小學童電腦程式 Logo 學習課程」對國小四年級學童之van Hiele

幾何概念認知層次上的表現是否有所提升？（三）實施「國小學童電腦程式 Logo 學習課程」對國小四年級學童對於四邊形、三角形及圓形概念的表現是否有所提升？（四）實驗教學後，透過訪談教學者的課堂紀錄與心得分享來探討實施「國小學童電腦程式 Logo 學習課程」的情況如何?

第三節名詞解釋

本節將研究中所提及的相關名詞，做更詳細的定義與說明，茲分述如下：

一、 van Hiele 幾何思考層次

本研究所提及的van Hiele 幾何思考層次，係指 van Hiele（1986）所提出的五

個層次，分別為層次一：視覺的（visual）層次、層次二：描述的（descriptive）層次、層次三：理論的（theoretical）層次、層次四：形式邏輯的（formal logic）層次、以及層次五：邏輯法則本質的（the nature of logical laws）層次。有關 van Hiele

理論的研究，很多學者研究結果認為國小學童大部分僅達 van Hiele 幾何思考層次

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二、幾何圖形

凡是由邊、頂點所組成的形狀就叫做幾何圖形，並蘊含有「點」、「線」、「射線」、「平面」等元素。常見的幾何圖形中，一般可分為三角形、四邊形、五邊形、圓形…… 等等，但是我們通常把五邊以上的形狀叫做多邊形。在數學課程中，「歐幾里德幾何」是平面和三維空間中常見的幾何原理，「平面幾何」指的是基於點、線、面假設所形成的「歐基里德幾何」，而三維空間的「歐基里德幾何」則稱「立體幾何」。本研究所稱之幾何圖形，是指在 Logo 的環境中，使用指令所繪製包含「點」、「線」、「射線」、「平面」等概念所組成的圖形，包括四邊形、三角形及圓形等。

三、 Logo 電腦程式

本次研究使用 Logo，Version2.1 版。研究者另外根據 Logo 標準操作介面，並利用其內建可自行設計按鈕的功能，設計了國小四年級學童較易上手的操作介面，即為「電腦程式Logo 簡易 JAVA 介面設計」，包含將指令 FD（向前走）、BK（往後走）、RT（右轉）、LT（左轉）、提筆（PU）、放下筆（PD）等設計成按鈕，並將圖龜欲行走的步數、欲旋轉的角度以拉軸操作，可讓無指令概念的四年級學童輕易操作圖龜畫圖。

四、電腦程式 Logo 融入數學幾何實驗教學課程

亦即「國小學童電腦程式Logo 學習課程」，依據教育部 2008 年頒布九年一貫課程綱要幾何分年細目（教育部，2008）與參考國編版四年級數學教師手冊幾何課程（國立編譯館， 2008），並參酌 van Hiele 幾何思考層次理論以及專家意見編製課程教材。內容主要分八單元，多數章節除了教師教學指引外，另設計給學童書寫或上機練習的學習單。

五、雲端運算

使用的軟體程式不侷限只在個人電腦執行，而是儲存在透過網際網路存取的伺

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服器上，即使你的電腦當機了，其他人仍然可以使用該軟體，與傳統不同的是：雲端運算不是以個人電腦為中心，而是以全世界任何連線的電腦皆可運用為主。

六、四年級學童

本研究的母群體主要是以臺灣中部地區 2009 年第二學期在學的國小學童為主，其中並不包括私立國小、特殊學校以及特殊班級的學生。研究對象為臺中市某國民小學四年級學生。其一至四年級是接受九年一貫暫行綱要的數學領域課程，該年級使用國編版數學課本第八冊。

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第四節研究限制

本研究因受限於研究經費、時間及人力、物力等因素，故有一些無可避免的限制，分述如下：一、本研究屬量的研究，研究樣本受限於台中市某國小四年級的學童。研究結果只適用於類似學校背景及年級之學童的學習表現及研究現象的描述和假設的驗證，不宜做廣大的推論。二、本研究只限於平面幾何概念研究，故不討論其他幾何圖形與立體幾何。在實驗教學中也僅侷限於正方形、長方形、菱形、箏形等之四邊形圖形以及圓形，未討論其他特殊四邊形，如凹四邊形。故本研究只能解釋學童在實施電腦程式 Logo 融入數學幾何實驗教學課程後對四邊形、三角形與圓形的成效。三、本研究因受限於教學者為資訊教師，僅能以每週一節之電腦課（40 分鐘）實施實驗教學，且因該校仍有既定之學校課程需實施，故僅實施六節之實驗教學，加上前、後測，此實驗共為期八週。對於幾何概念之培養與了解每位學童之迷思概念需更長時間的教學才能看出更顯著的變化，但因實驗時間有限，故其實驗結果不宜做過多之推論。

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第二章文獻探討

本研究採用 O-X-O 準實驗研究法，研究對象為台中市某國小四年級學童，將之分為實驗組與對照組。再根據前後測填寫結果，探討實驗組幾何思考的層次，在接受電腦程式 Logo 融入幾何教學課程後，對正方形、長方形、三角形、圓形的概念改善是否有成效，進而分析在 van Hiele 幾何思考層次上是否有所提升。第一節介紹有關 van Hiele 的幾何理論；第二節探討平面幾何的研究；第三節探討電腦程式 Logo 的特性與研究；第四節探討電腦的教育功能；第五節探討準實驗研究法相關研究。

第一節 van Hiele 的幾何理論

自1993年起，國內的國小數學教科書中的幾何教材部分是以荷蘭數學教育家 van Hiele夫婦的幾何學習發展理論為根據來設計課程，九年一貫數學領域第一階段所要達到的能力大致與van Hiele 的層次一相符合，第二階段所要達成的能力也大致與van Hiele 的層次二相符合。可見van Hiele 論在國內頗受重視。本研究之研究對象在學校乃使用國編版的數學科教科書，因此以本節探討有關van Hiele的幾何思考層次理論。

一、van Hiele 的幾何思考層次理論

荷蘭教育家Piere Marie van Hiele 及 Dina van Hiele-Geldof 夫婦，在西元1957 年提出幾何思考層次理論。van Hiele的五個幾何思考層次分別為層次一：視覺的 (visual)層次、層次二：描述的(descriptive)層次、層次三：理論的(theoretical)層次、層次四：形式邏輯的(formal logic)層次、層次五：邏輯法則本質的(the nature of logical lows)層次。劉湘川、許天維、林原宏、郭伯臣（1994）所提試題的內容必有難易層次的存在，成就測驗的結果，應可運用統計的手法加以分出層次，配合數學科專家

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解釋其測驗內容，可以得到每一層次中試題上之「質」的內容，如此分析出來的等第不但具有量的意義，亦存在質的意義。茲把這五種層次介紹如下：（一）層次一：視覺的(visual)層次此層次的學童可以分辨、稱呼、比較，以及操弄幾何圖形。學童透過視覺觀察具體實物的整體輪廓，來辨認形體，並依據物體的外觀辨認出物體的形狀。在視覺下差異不大的圖形，學童們透過移動或旋轉等方式來協助辨識圖形。學童也使用非標準的數學語言來描述物件的形狀，例如：將像門或窗戶形狀的圖形稱之為長方形，將像盤子形狀的圖形稱之為圓形。雖然學童可以區分不同的圖形如「正方形」、「三角形」、「圓形」、「長方形」等，但是他們不能了解此名稱的真正意義，不能依據圖形的性質或組成要素進行分析。此階段的學童學習幾何課程，可多安排感官操作，增進其對圖形的視覺概念。（二）層次二：描述的(descriptive)層次此層次的學童具有豐富的視覺辨識經驗，除了可以掌握圖形的構成要素，還可以依據觀察形體的結果來分析圖形的構成要素與發現圖形間的共有性質或規則，但是無法解釋性質之間的關係。此階段的學童能描述圖形的定義，卻不易理解精簡描述的過程。例如在此時學童可以說出長方形有四個邊，四個角，對邊相等；正方形四邊等長、四個直角，但是他們卻無法理解正方形也是長方形的一種。因此在此層次的學童，可安排一些製作及檢驗圖形的課程，使從製作與檢驗中獲得圖形的性質。（三）層次三：理論的(theoretical)層次此層次的學童可以透過非正式地論證可以把先前發現的性質作邏輯的聯結，並依據圖形的性質進行非正式的推演，進而探索圖形內在屬性關係及各個圖形之間的相互包含關係。例如四邊形兩雙對邊相等即是平行四邊形，不必將所有屬性皆描述出來才能確認這是平行四邊形。了解圖形內在關係後，就可以建立長方形是平行四

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是360 度。（四）層次四：形式邏輯的(formal logic)層次此層次的學童可以使用邏輯推理來證明定理，並且建立相關定理的結構；能夠在一個公設系統中建立幾何理論，而不只是記憶圖形的性質而已，並且能夠了解能以不同的方法來證明幾何定理。例如：能證明三角形內角和是180 度、能了解正方形邊長都相等，但邊長都相等的四邊形不一定都是正方形等。

（五）層次五：邏輯法則本質的(the nature of logical lows)層次

達到此層次者已可以較嚴謹的程度分析或比較不同的公設體系，建立定理，並比較不同系統的特性。能夠了解抽象系統的幾何概念並了解公設系統的性質是一致性、獨立性、以及完全性，甚至可以自創一種幾何公設系統。此層次可達到的人並不多，即使是專業的數學工作者也不容易達到。

二、van Hiele 的幾何思考層次的特性

針對 van Hiele 幾何思考層次的特性有許多學者提出不同的描述，而根據

Crowley 在 1987 提出，van Hiele 幾何思考層次特性有以下幾種特性：次序性 (sequential)、提昇性(advancement)、內因性與外因性(intrinsic and extrinsic)、語言性 (linguistics)、以及不配合性(mismatch)。茲將各個特性分述如下(藍同利，2005；吳德邦，1998 ;譚寧君，1993；Crowley, 1987 ；van Hiele, 1986)：

（一）序列性(sequential) 學童的幾何思考層次發展是循序漸進的，每一個層次的概念來自於前一個層次的概念。學童必須學習所在層次的各種概念、知識、能力後，才能順利進到下一個層次的學習。即任何一個特定的層次若要順利發展，必須具備前一個層次的概念和思維策略。（二）進展性(advancement)

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提升學童的幾何思考層次的主要途徑為教學，而不是因為個體的年齡成長或個體的成熟而有所發展。也沒有一種教學方式可以讓學童略過某一層次而直接進入下一個層次。因此如果學童的幾何思考層次由一個層次提升到下一個層次的過程，必須經過適當的教學計畫來引導、提昇。

（三）內因性與外因性(intrinsic and extrinsic)

在幾何思考層次中，學童的某個層次的原有物件，將變成下一個層次的研究目標。例如：學童在層次一中，只可以由圖形的外觀來辨認圖形；但是，當學童到達層次二時，則是可以由圖形的特徵和組成要素來進行分析。（四）語言性(linguistics) 學童在每一個層次都有屬於自己該層次獨特的語言、符號，以及這些符號之間的關聯系統，也就是說即使學童使用和數學性質相同的名詞，其代表的意義也不同。換句話說，即使是相同的文字，在不同層次的解讀也是不同的。因此在某一個層次中屬於正確的語言時，當情境為另一個層次時，可能就必須經過修正才能符合真正的概念。（五）不配合性(mismatch) 根據van Hiele 幾何思考層次的語言性，每一個層次都有自己獨特的語言、符號。如果學童的幾何思考層次屬於層次一，而教學者的教學設計，運用的語言符號，卻是在層次二或層次三，那麼學童的學習成效就達不到預期成效。所以教學者在幾何課程的教學中，須先了解學童的幾何層次發展後再進行相關的教學設計與安排。

三、學童在

van Hiele 幾何思考層次中各層次的具體表現

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（一）層次一：視覺層次（visualization） 1. 可以依據幾何的圖形的整體外貌辨識形狀。 2. 可以作圖、繪製或複製圖形。 3. 可以依據圖形外貌，進行比較或分類活動，並能用語言描述幾何圖形。（二）層次二：描述層次（descriptive） 1. 可以確認並檢驗圖形組成元素的關係。 2. 可以說出圖形組成元素名稱並使用適當的辭彙來描述彼此的關係。 3. 可以依據組成元素之間的關係比較圖形的不同。 4. 可以經由實驗中發現特殊圖形的性質，並歸納且能利用圖形的性質來解決幾何的相關問題。（三）層次三：理論的層次（theoretical） 1. 可以辨認圖形的性質並檢驗充分性。 2. 定義某種圖形。 3. 可以提出非形式化的論證。 4. 不能了解定義及假設需要。 5. 還未建立定理網絡之間的關係。（四）層次四：形式邏輯的層次(formal logic) 1. 可以正確辨識出正式定義的特性與等價的定義。 2. 在公設系統下，證明層次二所提到的定理。 3. 在相同公設系統下，建立並了解定理、定義之間的關係，並可寫

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出自己的邏輯證明。

（五）層次五：邏輯法則本質的(the nature of logical lows)層次 1. 在不同的公設系統下建立定理並比較。 2. 找出解決問題的一般方法。 3. 比較公設系統並自動探討其變動後的影響。劉秋木（1996）描述前三個層次學童的表現如下：（一）層次一： 1. 能在一組圖形卡中依圖形外貌找出某種圖形。 2. 能用釘板和橡皮筋仿做一個圖形，或用一個圖形拼成另一圖形。 3. 能說出圖形的名稱，能指出兩個圖形是否相同，並作分類。 4. 依圖形的整體外貌描述一個圖形。（二）層次二： 1. 能指出一個圖形的構成要素或要素間的關係。 2. 能由兩個圖形之要素與其間關係的異同比較兩個圖形。 3. 能依圖形的性質來建構圖形。 4. 能在測量或操作圖形之後歸納圖形的性質。 5. 能比較不同類圖形間的性質有何異同。（三）層次三： 1. 能以圖形的屬性定義一圖形。 2. 建構不同圖形類別間的包含關係。 3. 能使用邏輯關係證明一個陳述。

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5. 能指出某種圖形有幾組性質，並能以最少數的性質來定義圖形。

綜合上述，從1993 年起實施的國小數學課程中，幾何教材的編制，均是以 van

Hiele 理論為主軸，可見 van Hiele 理論在國內受到一定程度的重視。國小低年級學童大約在層次一；而中年級學童大約可以達到層次二；高年級的學童大約在層次二與層次三之間。要讓四升五年級的學童提升其幾何思考層次，從層次一提升到層次

二時，就必須考慮到 van Hiele 理論的幾何特性才能達到較好的教學成效。所以本

研究根據van Hiele 幾何層次之間的特性，設計了「國小學童電腦程式 Logo 學習課

程」進行實驗教學，以提升學童的幾何思考層次，是本研究主要目的之一。

第二節幾何圖形之簡介

在現行九年一貫課程綱要中，將數學分為五大主題：數與量、幾何、代數、統計與機率、連結。幾何是數學領域的五大主題之一，佔有相當重要的課題，教師在教導學童學幾何時，應讓國小學童從操作中辨識各種簡單幾何形體和性質，之後再加入簡單的推理性質及幾何形體彼此之間的關係，為以後國中的幾何課程奠下良好的基礎（教育部，2008）。在數學領域中，幾何課題是值得被研究與討論的。因此，本節將探討論平面幾何相關的研究。

一、幾何圖形

視覺是人對掌握物體外形最重要的感官，也是最直接與最初的印象來源，若視覺對物體外形的察知不完全或受到其他因素的影響，會直接影響到概念的形成(陳鍾仁，2004)。兒童在接受正式教育之前就能觀察並描述生活中的圖形。在進入國小教育階段，對於平面圖形造型進行辨識，雖大都能正確辨認出基本造形，但多是以視覺觀點描述而非圖形特徵，且受到空間位置與客觀知覺及生活經驗中類似名稱影響(張英傑，2001；劉好，2000 ; Clements, Swaminthan, Hannibal, & Sarama, 1999)。美國數學教師協會在西元 1991 年提出幾何是研究空間的形狀和關係，而且

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幾何可以幫助人們用有條理的方式來表現、描述週遭生活的世界（NCTM，1991）。「幾何」不但是數學教育中非常重要的議題，「幾何學」更是專門研究空間形式、各種圖形的性質及相互關係的一門科學，科學和技術的發展都離不開幾何學（李毓佩，2001）。人們透過知覺與世界互動的探索當中，發現世界上的事物有些可以滾，有些可以堆疊，便進一步分析歸納，分出平與曲這兩種屬性，於是便形成平面與曲面的概念。在這種探索中還可以分析出許多有用的屬性，如形狀、大小、方向等。而依據這些屬性，幾何學家就建立了幾何學問，並產生一些幾何系統（劉秋木， 1996）。幾何概念與表徵是數學與真實世界溝通的重要方式，且與數學其它領域緊密連結（左台益，2001）。劉好（1985）研究發現大多數的師專生無法根據題意畫出適當的幾何圖形並詳細描述圖形原因可能在小學階段的幾何圖形中，沒有把概念化的圖形特徵當作是構圖要素。由此可知國小幾何的教學會影響日後的幾何學習，所以國小幾何教學有著相當的重要性。但是有些學童的幾何概念大都是由背誦而來（Mayberry,1983），並不是從觀察、操作中所學習累積而來的，如此背誦的圖形性質便足以阻礙其幾何課程教材的學習了。盧銘法（1999）以 van Hiele 幾何思考層次與試題關聯結構分析做探討，自編幾何圖形測驗對國小四到六年級學童進行施測，發現不同年級學童的四邊形概念有所差異。各年級在 van Hiele 各層次上的分布與比較上來講，國小四、六年級學童

四邊形的概念上大約一成多未達van Hiele 層次一。而這些學童在 van Hiele 的各層

次的分布，以層次二的人數最多，層次一的人數次之，層次三的人數最少；而在van Hiele 層次的分布不受性別的影響。劉湘川等人（1993）的研究關於中年級學童幾何概念之發展有以下發現： (一) 三年級部分學童對於較特殊的圖形（如箏形、等腰梯形、長方形、正方形、菱形）的歸屬性不清楚，對於凹多邊形的邊數算法約有一半的學童不了解。有些三年級學童對於圖形邊數的辨別還會受到邊的長短或形狀的干擾，而四年級學童則無此現象。

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不能較仔細的分析其結構。

(三) 平行四邊形、長方形、正方形的關係，中年級的學童大都還不很清楚。

(四) 中年級學童的幾何概念發展，大部分僅及 van Hiele 的層次一（視覺），有一些達到層次二，接近層次三的非常少。

吳德邦（2002）融合 Duval（1995）和 van Hiele（1986）的理論發展國小學童平面幾何圖形概念測量工具對中部地區學童施測發現：在基本幾何圖形概念上，

接受九年一貫數學課程大部分的一至六年級學童，均可分派至某一個 van Hiele 幾

何思考層次。

Wu 與 Ma(2005a, 2005b)有關國小學童辨認簡單平面圖形不同類型的研究，從

台灣地區二十三個縣市中隨機抽取ㄧ到六年級的小學童共 5581 位做為施測樣本，

使用吳氏幾何測驗(Wu’s Geometry Test 簡稱WGT) 為測驗工具。該測驗全部都是 van Hiele 幾何思考層次一的題目，共有 25 題選擇題，，包括了三角形、四邊形和圓形。該研究的主要結果顯示：（一）國小學童在直線和曲線圖形的辨認是最容易的，整體的通過率達到 93.42%。（二）學童對於判斷特大鈍角的圖形是為最困難，因為他們需要方向和位置的概念，所以在特大鈍角圖形的辨認通過率僅達到 54.85%。（三）學童對寬和窄圖形的答對率只有 58.56%，對不同大小圖形的答對率只有 68.09%。（四）學童在辨認圖形上以圓形的圖形是最容易辨識出的，其次是三角形，四邊形則是最困難的。 Duval (1995)提出幾何圖形的瞭解(appprehesion)可分成知覺性瞭解、構圖性瞭解、論述性瞭解、操弄性瞭解等。所以學童在學習幾何知識時有三個認知過程：第一過程是

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視覺，在圖形表徵認知上，可能是表象圖形如線條與形狀的組織體，也可能是角、平行、平行等幾何意義；第二個過程是作圖，根據作圖工具再製圖形的過程對學童發現圖形中的幾何意義有幫助；第三個過程是推理對幾何圖形進行論說或證明。而且在幾何教學方面應該要獨立發展學童的視覺、構圖與推理等認知過程；不可缺少區分不同的視覺過程及推理；等分區活動成熟後才能整合三種認知過程（Duval， 1998）。因此，學童在一般的幾何教學中必須有充分的圖形操弄經驗才能發展出圖形論證能力（Duval，2002）。對幾何課程而言，應先認識具體的形體，再瞭解其中的性質，因此不論是教學或評量設計，若能增加學童觀察、動手玩數學的機會，必能提高學童學習數學的興致，也能使教學達到事半功倍之效（陳于倩，2002）。

二、幾何概念學習的目標

美國數學教師學會在「學校數學課程之原則與標準」(NCTM, 2000)中強調，幾何教學活動的目標在於：（一）分析平面及立體圖形的特徵及屬性，並對幾何關係進行數學論證。（二）使用座標幾何及其他表徵系統來描述位置及空間關係。（三）應用轉換與對稱的概念分析數學情境。（四）使用視覺化、空間推理以及幾何造型來解決問題。國內目前所施行的九年一貫課程中，國小幾何課程內容、目標可概分如下(張英傑，2004)：（一）一年級到三年級：強調幾何形體的認識探索與操作，並隨著新幾何概念的學習，加深對簡單幾何形體的理解。

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體的性質，或刻畫、區分幾何形體，並利用數量關係作簡單的推理。（三）六年級到九年級：開始由具體操作情境進入推理幾何情境中，最終目標是學會推理幾何證明，學習內容採漸進式安排，由基本幾何概念進入較深入的幾何推理領域中。

三、學童幾何概念的迷思

國小學童在平面圖形上的辨識以圓形的圖形是最容易辨識出的，其次是三角形，四邊形則是最困難的（Wu ＆ Ma, 2005a, 2005b,2006,2007,2008,2009,2010）。由此可知國小學童對四邊形學習方面可能較有困難，容易產生迷思概念。兒童辨別圖形的幾何特性時會受外圍無關圖案或線條的干擾，另外缺乏保留概念、方位之干擾、術語之誤解，亦會影響學童答案之選取(劉好，2000)。國外的研究者Clement 與 Battista（1992）整理多位研究者的研究結果，發現有關學童在四邊形上的迷思概念不外乎是若正方形底邊不是水平的，則它就不是正方形；及有一個圖形有四個邊，就是正方形。 Burger 與 Shaughnessy（1986）在晤談學童時，發現在定義四邊形時，年級較高的學童會以四邊形的性質來做說明，而有些年級較小的學童仍會受到方位的影響。在四邊形包含關係方面，有些孩子有迷思概念如：長方形一定要有一對較長的邊和一對較短的邊，所以便會認為正方形並不是長方形；而對平行四邊形的迷思概念則是兩條平行線等長並且要連接兩條等長的斜線，所以這些學童便認為正方形、長方形和菱形不是平行四邊形的一種。 Elizabeth（1995）的研究顯示影響孩子在測驗時對圖形的認知以最初對圖形的知覺和觀念最為強烈。此外也發現視覺的知覺限制導致圖形認知障礙，同時也影響學童的測驗結果；而四邊形的方位也會讓學童感到疑惑。另外 Monaghan（2000）以紙筆測驗英國國內的學童發現：學童深受長方形原型的影響，認為正方形是四邊等長，而長方形有兩雙相對且等長的邊，其中有一雙較長，一雙較短，所以學童很

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難能描述出來正方形是一個特殊的長方形的包含關係；而且因為學童心中普遍存在平行四邊形的原型是，所以認為長方形並不是一個平行四邊形。國內研究者林軍治（1992）研究國內國小學童容易產生四邊形的錯誤概念，指出以下幾點：（一）正方形不是長方形的一種。（二）無法正確指出「兩組對邊分別平行」的四邊形。（三）當長方形被對角線分割後，無法關聯兩個三角形全等的關係。（四）平行四邊形被對角線分割後，無法關聯等分成兩個三角形的關係。

陳于倩綜合國外學者（Hoffer, 1983； Fuy, Geddes ＆ Tischler, 1988； Clement ＆ Battista, 1989；引自陳于倩，2002）發現有關四邊形的錯誤概念如下： 1. 假若正方形底邊不是水平的，則它就不是正方形。 2. 平行四邊形的高就是底邊的鄰邊。 3. 四邊形的內角和等於其面積。 4. 長方形的面積可以用畢達哥拉斯定理（Pythagorean theorem）計算出來。 5. 假若一個圖形有四個邊，它就是正方形。 6. 具有相等周長的四邊形，其面積相等。我國國小中年級學童辨識圖形時，可能會受圖形的大小、方位、邊數、角數、邊的曲直長短、封閉性等影響而產生迷思概念（盧銘法，1999；高曜琮，2002）。高耀琮、張英傑（2003）的研究指出兒童在正方形的辨認上，受到圖形的方位影響是最明顯的，尤其是底不是水平邊的正方形，學童會因為圖形歪歪的或斜斜的，所

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型的影響，卻忽略「直角」的性質。所以學童容易把平行四邊形當作是長方形，尤其是一年級的兒童具有強烈「長長的」長方形原型影響最明顯。沈佩芳（2002）探討國小高年級學童對平面幾何圖形概念的認知程度，發現高年級學童在辨認圖形上，容易受到圖形的「方位」、「變形」、「原型」及組成要素的干擾，產生迷思概念。薛建成（2003）探討臺灣中部地區國小學童的 van Hiele 幾何思考層次，發現所有受試者當中，對於九大不同類型圖形（開放與封閉圖形、凹凸圖形、直線與曲線圖形、方位不同的圖形、不同大小圖形、鈍角特大圖形、寬圖形與窄圖形、圖形外圍邊線粗細、填滿圖形與中空圖形）的表現，以對圖形直線與曲線的判別較易達成，而對於旋轉圖形的判別是有困難的。謝貞秀（2003）發現有些兒童易受方位影響，認為正方形一定是正正的，菱形一定是斜斜的；認為長方形是「長長的」形狀，卻忽略直角的性質；在四邊形的辨識上，三年級的通過率高於四年級，有些學童不認為特殊的四邊形（菱形、梯形、箏形）是四邊形；且認為四個邊一樣長才是四邊形。謝貞秀、張英傑（2003）在探討國小三、四年級兒童平面幾何圖形的概念，發現國小中年級兒童辨識圖形可能會受圖形的大小、方位、邊數、角數、邊的曲直、邊的長短、邊角的性質、封閉性等影響，產生迷思概念。另外，也發現這些兒童若是讓他們徒手畫出平行四邊形、菱形、箏形較困難。張英傑（2003）利用診斷教學實驗對於澄清高年級學童的四邊形迷思概念的研究結果中發現，學童出現「認為正方形不是長方形」、「認為正方形不是菱形」、「認為長方形不是平行四邊形」、「認為菱形不是平行四邊形」、「認為正方形不是平行四邊形」五項迷思概念。 Wu 與 Ma( 2005a, 2005b)對簡單平面圖形不同類型的研究，結果顯示，國小學童對直線和曲線圖形的辨認是最容易的；對判斷特大鈍角的圖形是最困難的，因為學童需要方向和位置的概念才能答對；以及學童對辨認四邊形是最困難的。

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綜合上述文獻，幾何概念的學習不能只侷限於對圖像表徵的認識與操弄，更應依據其認知發展安排教學活動，由具體操作進階至抽象推理，引導兒童在真實世界中探索形狀、位置、方向等幾何屬性，並建構形式化的思維方式。從以上國內外的研究與 Duval（1998，2000）在幾何的論述顯示，我們可得知對於簡單平面圖形的教學必須考慮學童的認知發展，必須盡量讓學童操作、體驗各種圖形，讓學童認識各種簡單幾何形體後，再加入適當的簡單推理。國內外的研究顯示國小學童在辨認圖形時，容易受到方位、大小、邊的特性、或特殊四邊形等影響，導致產生迷思概念或發生辨識困難的情形。國小中年級學童正處於九年一貫數學領域的階段一，甚至有的學童已到階段二，在這階段中，教師若未能及時澄清學童有關四邊形的迷思概念，那麼在進入九年一貫第三階段，甚至於就讀國中後，對於其更高層次的幾何概念學習可能會產生更多的迷思概念。所以本研究的目的期望能發展一套協助教師指導正處於幾何概念階段一的學童建立正確的幾何概念。

第三節電腦程式 Logo 的特性與研究

不論是國內或國外，有許多研究者利用 Logo 來幫助學童學習不同之數學概念，把 Logo 當成探索數學的媒介。在 Logo 的學習環境中，讓學童能以具體的方式建構抽象的數學概念和察覺數學模式。利用 Logo 的圖龜幾何學畫各種多邊形，在活動中必須去分析各種多邊形的組成要素及性質，能從中學到思考的策略和幾何的概念。因此受到不少國外學者的喜愛，也有國內學者使用此程式去研究有關學童幾何議題，因此，本節將討論有關電腦程式Logo 的發展、特性與相關研究。

一、電腦程式

Logo 的發展與特性

在 1960 年代中期，和 Piaget 共事過的數學家 Seymour Papert 與 Marvin Minsky 在 MIT 創立人工智慧實驗室，後來 Papert 和他的同僚在 1967 年開發了 Logo

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源於希臘字 logos，其意義是「詞彙」或「思想」（word or thought）。當初該程式語言的設計者以此命名，具有特殊的含意，即希望利用它作為一種思考的對象，藉此來激盪兒童的心智發展，所以 Logo 也代表著一種教育哲學觀（Clements, 1985；王振德，1984，p. 38）。尹玫君（1991）指出 Logo 是一種學習的語言，它是一種程式設計的語言，是為了使一般人儘可能很容易的了解電腦程式設計工作所設計而成的；Logo 也是一種「學習如何思考」（learning how to think）的語言。所以電腦程式 Logo 語言是一種易學、易懂、易於掌握的結構化程式設計語言，

學童在掌握了一些簡單的指令後，可以在電腦程式 Logo 環境中，從發現和探索中

自我學習，提升進一步的學習興趣。

電腦程式Logo 的程式發明者 Papert（1993）認為電腦程式 Logo 是提供一個互

動式的學習環境，讓學童從自由探索中建構自己的知識概念。而在電腦程式 Logo 環境當中學童只要使用一些簡單的指令，如：前進 10 單位（FD10）、右轉 90 度（RT 90）等指令，讓學童畫出正方形及長方形或其他圖形。學童在嘗試設計指令後，會從中發現自己是否有概念錯誤的地方，進而修正自己的概念，無形中就能加強學童自己對學習反省的能力。高豫（1998）分析電腦程式Logo 語言的特性，也認為電腦程式Logo有趣味、對學童友善、無限、可擴充及交互反應等五種教育上的意義，值得在國中小各級學校推廣的電腦語言。鄭慧娟（1994）以電腦程式Logo語言當作例子，說明在這電腦程式語言世界裡，學童可藉著探索來認知、開發自己的邏輯思考能力及培養解決問題的能力，也就是說學童可以主導使用電腦程式來學習，而不只是用電腦程式來教導學童而已。徐龍政（1995）探討中文版電腦程式Logo作為國小資訊課程初學者語言之適用性時，因為電腦程式Logo適用性相當，所以建議國小課程可以選用電腦程式Logo當作國小學童初學者的電腦語言。以程式語言和教導學童的觀點，電腦程式Logo語言還有下列特性（尹玫君， 1990；林裕雲，2002；陳勝利，1988）：（一）電腦程式Logo是一種程序語言（Procedural language），能以簡單命令

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組成程序，將問題分為一個個小段落，再以個別不同的程序來完成。（二）電腦程式Logo是互動式的電腦語言（Interactive language），電腦程式 Logo的使用者在鍵入一個指令後可以馬上執行，也可以直接進行編輯或修改。（三）電腦程式Logo具有擴充性，可以創造新的指令，並當作原始指令的使用，增加學童自由探索的機會。（四）電腦程式Logo包含圖標幾何（Turtle Geomery）的設計，讓兒童使用前進、後退、左轉、右轉的指令，在螢幕上繪圖，趣味橫生。（五）電腦程式Logo具有趣味性：電腦程式Logo是為了發展一種學習的、解決問題的語言。學童可以用簡單的文字、指令，用嘗試錯誤、自我探索的方式來指揮圖龜前進、後退、左轉、右轉，畫出有趣又富變化的圖形。（六）電腦程式Logo具有增進認知技能、創造力及解決問題的能力。在電腦程式Logo的教學環境中，就是掌握了這個信念，希望能幫助兒童的認知技能、創造力及解決問題能力的發展。電腦程式Logo語言受到學者專家的肯定（林裕雲，2002），其理由為：（一）電腦程式Logo語言不分大小寫，而且提供簡碼指令，兩個英文字母就可以形成一個指令，所以指令簡單、適合初學電腦者。所以學童可以一邊探索指令，一邊熟悉鍵盤的輸入與軟體的操作方式。（二）電腦程式Logo是以程式設計者的觀點來解題：在解題的過程中，利用前進、後退、左轉、右轉等日常用語，程式設計者十分容易把自己想像成是畫面中的圖龜來完成程式設計工作。（三）繪圖能力強大：以簡單的前進(FD)、右轉(RT)、提筆(PU)、放下筆(PD)、

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（四）具創造性思考：電腦程式Logo具有創造性思考的特性，而且可以探討數學上幾何、算術、統計等等問題。在學習程式設計的過程中，與平日在數學上學到的基本幾何、算術、統計概念互相配合，探索解題的要領與技巧，對於學童思考習慣的養成，有十分重要的幫助。綜合上述，電腦程式Logo程式是一種電腦輔助學習工具（Computer-Assisted Learning），學童在這個環境中，可經由實際操作簡單的程式指令，便可建構出超越本身認知發展階段所建構的知識和能力，多數認為是值得推廣運用於數學平面幾何教學上之工具，這也是本研究的目的之一。

二、國內外研究電腦程式

Logo 的相關文獻

電腦程式Logo 在國外有相當多的研究，Papert（1993）覺得電腦程式 Logo 可

提供學童互動式的學習環境，讓學童自由探索，進而建構自己的知識結構。Mayer 和 Fay（1987）對四年級學生的研究顯示，學習 Logo 程式語言可以增進兒童的空間認知能力。在 Binswanger（1988a）的研究中，他教學生去畫矩形，並探索矩形的周長和面積概念。Edwards（1991）認為 Logo 的電腦微型世界（microworld）有益於學生對於幾何變換（geometric transformation）的瞭解，而且學生能和同伴討論並進而修正自己的錯誤觀念，此將有助於合作學習的進行。

國外研究者也發現（Clements ＆ Battista, 1989； Nastasi, Battista, ＆ Clements, 1990），以電腦程式 Logo 為基礎的幾何課程不只可以增加學童的學習動機，也可以幫助學童發展解決問題（problem-solving）的能力。他們並指出電腦程式 Logo 環境是以烏龜的圖形為游標，容易學習；且又因電腦程式 Logo 提供一個充滿問題的環境，學童就有大量的機會可以練習如何解決問題，再加上電腦程式 Logo 語言的結構可以幫助學童將問題細分層次問題，就可以系統化找出錯誤。 Simmons 與 Cope（1990）的研究中，測試了 59 位年齡介於 9 至 12 歲之間的學童，而且已經學習電腦程式Logo 至少三個月。指出學童在用電腦程式 Logo 指令繪製幾何圖形時，在圖龜旋轉時的角度（外角）與內角可能會產生疑惑。學童在使

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用電腦程式 Logo 畫圖時，必須清楚了解外角的概念（圖龜旋轉的角度），但是研究中發現大部分的學童將內角與外角的概念弄錯了，例如：54 個學童可以順利用電腦程式 Logo 指令，畫出正方形的圖形；但只有 14 位學童可以畫出三角形。這是因為正方形當中，內角與外角的角度均是 90 度，所以可以畫出正方形，但是三角形就沒有辦法。也就是說，學童可能認為小烏龜旋轉時的角度就是內角。但是在三角形中，這樣不清楚的概念便會造成問題，因而無法順利地使用電腦程式 Logo 指令，畫出三角形的圖形，除非學童清楚的知道在電腦程式 Logo 內角與外角的差別。因此，Simmons 與 Cope 的研究結論是：學童對於角及旋轉的概念是不完整的；而任由學童在非結構性的環境中，使用電腦程式 Logo 進行探索式的學習（老師過少的介入），不一定對學童在學習角的知識中獲得益處。這也是本研究者設計「電腦程

式 Logo 簡易 JAVA 介面」與「國小學童電腦程式 Logo 學習課程」的目的，在電

腦課由教師先行解說與示範操作，以減少學童自行摸索學習的困境。

Clements, Battista 與 Sarama (2001）研究發現透過 Logo 學習幾何後，有些學童會從原本直觀的概念提升到複雜化與精緻化的角、角度和旋轉的概念；另外也有學童在學習後注意到圖形的幾何性質，以特性代替視覺來思考，亦即這些學童透過 Logo 教學後，在了解幾何形狀的能力有明顯進步，也幫助學童提升其 van Hiele 的幾何層次。國內的學者在電腦程式 Logo 方面亦有相當多的研究。如：李文政（1991）認為電腦程式 Logo 是根據皮亞傑的學習理論發展出來的電腦程式，而這種電腦程式可以提供學童主動學習的環境，協助老師以一種新的方式來觀察學童學習過程。張富強（1992）以質的研究法探究學童在電腦程式 Logo 環境中的學習幾何的情形。用教學實驗的方式觀察五名學童在電腦程式 Logo 環境中的作為時，發現學童把指揮圖龜當作是遊戲。而且學童在繪圖之前會先思考圖形的組成要素，在繪圖當中，也會嘗試與猜測繪圖的步驟，並主動修正錯誤到最滿意的程度。當較困難的問題出現時，學童會藉助紙筆，並利用電腦來驗證想法。另外，學童也會把先前的

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構的數學。而學童有指揮圖龜繪圖的經驗後，在電腦程式Logo 環境中建立自信心，不會畏懼錯誤，同時也建立面對錯誤的積極態度。崔夢萍（1999）在研究電腦程式 Logo 對國小五年級的創造力及創造思考力的影響，指出電腦程式 Logo 對學童創造力提升空間不大，但在幾何方面或許值得研究。黃文聖（2001）認為在電腦程式 Logo 的環境下，提供學童不會恐懼犯錯的學習環境，透過電腦程式 Logo 程式設計可以發展學童計畫能力，解題策略、理解數學概念，加強學童後設認知與認知發展。羅昭強（2001）在研究國小 Logo 電腦輔助學習時，提出可以運用電腦程式Logo 的指令，以遊戲的形式設計 Logo 電腦輔助學習教材，讓學童在遊戲中不知不覺中學習、熟悉電腦程式Logo 的指令，並且應該要一一列出九年一貫課程的各個數學概念的指標，透過認知發展層次與基因分解理論，將數學概念當成基模，再從中設計成電腦輔助學習教材，而這些學習教材應該以學習工作單方式呈現，學習內容應該符合學童的認知發展層次。使得學童透過 Logo 課程後能減輕數學概念的認知複雜性，激發對數學概念的思考。當學童透過實地操作、觀察、與嘗試設計電腦程式 Logo，可以增加對數學概念的了解，達到過去他們不易達成的高層次思維模式與技巧的掌握。林裕雲（2002）在研究實施電腦電腦程式Logo 程式設計教學對台灣國小學童解題能力之影響發現學童在接受電腦程式 Logo 程式設計輔助解題策略之學習課程之後，其整體的解題能力有顯著的進步，且解題能力進步的情形不因性別、語文成就、數學成就的不同而有顯著的改變。男、女性別因素並未造成受試者「電腦程式Logo 課程」學習成就的差異。趙貞怡與劉傳璽（2004）在研究中進行 Logo 單元課程活動，發現學童對於角和旋轉的概念與認知上的成績均進步了，但是當 Logo 環境有結構性的教學設計與老師正確的介入時，學童表現會更好；也就是說，Logo 的教學方式與教師的教學才是課程當中能有效幫助學童發展幾何概念與解決問題的關鍵因素，並指出在正常的 Logo 環境下，結構性強的教學設計可以減少學童使用嘗試錯誤的策略，並幫助學童發展及提升解決問題的能力與技巧。馬秀蘭、吳惠娟與吳德邦（2006）研究一位數學低成就學童在電腦程式 Logo 環境學習四邊形的成效，發現電腦程式 Logo 語言可以改善低成就學童在正方形、長方形與平行四邊形的認知。

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根據以上研究顯示，雖然電腦程式 Logo 對提升學童創造力不明顯，但是對一般學童在幾何教學有不錯的成效，在教導學童角度與旋轉的概念上也有所幫助，更能提升其發展與解決問題的能力和技巧。所以研究者開發了電腦程式 Logo 簡易 JAVA 介面設計與國小學童電腦程式 Logo 學習課程，並符合九年一貫課程數學領域幾何分年細目、學童的幾何認知發展、澄清其四邊形迷思概念，希望學童能在課程中學到幾何的概念並加強學童幾何概念與思考。教師在實施電腦程式 Logo 融入實驗教學課程當中時，適時從旁給予協助輔導，學童亦從利用「隨看即所得」 (WYSWYG)的方式，藉由理解與程序來處理圖形變化的每一步驟，透過長度、方向、角度的改變，來完成正方形、長方形、菱形、圓形等幾何圖形，即時反省、澄清自己的幾何迷思概念，並提升其思考層次。

第四節電腦的教育功能

一、資訊融入教學

目前世界的趨勢均朝向全球化和資訊化發展，我國在 2001 年起正式實施的國民中小學九年一貫課程，除了七大學習領域外，並提出了六項重大議題，「資訊教育」即被列為第一項。在資訊教育的基本理念中指出，在資訊化的社會中，培養每個國民具備資訊知識和應用能力，已成為各國教育發展的重點，各國紛紛推動相關的資訊教育計畫，以為其國家邁向二十一世紀的發展奠基（教育部，2003）。教育部於 1997 年起推動之「資訊教育基礎建設計畫」並配合擴大內需的政策，已完成提升中小學資訊教學設備，使所有國民小學均有電腦教室，且上電腦課時一人一機；推動台灣學術網（Taiwan Academic Network;簡稱 TANet）到中小學，使所有學校均可專線連接網際網路;辦理資訊應用教師培訓到校，使中小學教師均有機會進行基本資訊素養之培訓，讓資訊教育得以在中小學奠定基礎（韓善民，2000）。教

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近年來由於電腦的普及與網際網路的發達，雲端服務(cloud computing services) 就是透過一個瀏覽器，透過互聯網來存取、來操作、來服務，應用軟體是由服務提供商(Service Providers)所控管，將軟體及應用程式以網路服務形式進行，提供使用者和客戶按需(on-demand)軟體應用服務。在使用者及客戶端，無須安裝、維護、更

新應用軟體和硬體設備。而此項應用在教育上已逐漸增多，自1999 年起，已有 35

個國家參與了Intel Teach 的計畫與 Intel Learn 計畫，透過網路的雲端運算技術，開

發了Visual Ranking 視覺化概念排序工具教學軟體，與 Seeing Reason 因果圖繪製(英特爾教育計畫，2008)，目的是希望電腦能改進傳統的教材教法，有助於合作學習，並幫助學生更有效及便利的學習效果。

二、電腦在教育上的角色

Taylor（1980）曾以三個模式說明電腦在教育上的運用有電腦是教學者（The computer as tutor）、電腦是工具（The computer as tool）、電腦是受教者（The computer as tutee）。

當電腦是教學者時，它擔任「教師」的角色；當電腦是工具時，它擔任「機械」的角色；當電腦是受教者時，它扮演「反映思考歷程」的角色（王萬清，1988）。當電腦是教學者時，就是一般所謂的電腦輔助教學（Computer Assisted Instruction, 簡稱 CAI）。CAI 的教學內容通常是由學科專家及程式設計師共同設計程式，再經由電腦來執行教導或協助學生學習的任務。實施的程序是由電腦呈現教材，讓學生學習並反應，電腦評核學生的反應之後給予立即的回饋，並根據評核的結果以決定下一步要呈現的教材（王振德，1984）。電腦輔助教學係指運用電腦之交談式或互動式的功能來引介教材，並提供個別化（何榮桂1996）教學模式的一種教學環境。 Baggett 和 Ehrenteach（1992）主張把電腦和計算機當作工具，他們主張讓老師說明、讓學生思考、讓電腦做不需動腦筋的工作（mindless work）。他們認為應該讓計算機和電腦減輕學生在從事單調乏味的算術運算時的痛苦。學生會運算並不是真正地瞭解數學，應該讓學生去思考、提問、做出精確的定義、佈題、並能解釋自