綜合上面數據的結果後，我們於本小節比較 Lanczos 與 MLCIRR 的精度與 計算代價。其計算成本之數據如 Table 1，而精準度表現如 Figure 12，MLCIRR 的部分的參數為 N = 16, N2 = 8, M = 4, M2 = 4, L = 8, Γ = 25, ρ = 25, ρmin =
Table 1: Lanczso 與 MLCIRR 各階段的時間比較
程序 CGS 迭代 (次) CGS 時間 (秒) 迭代倍數 時間倍數
Lanczos 2914 6214 1 1
MLCIRRinitial 10626 21438 3.65 3.45 MLCIRRrefine2 13542 28661 4.64 4.61 MLCIRRrefine2 14572 30767 5.01 4.95 MLCIRRtotal 38740 80997 13.29 13.03
實際 8 線程 實際值 (理論值)
MLCIRRinitial 10602 3449 3.65 0.55(0.46) MLCIRRrefine1 13517 4642 4.64 0.75(0.57) MLCIRRrefine2 14538 4826 5.01 0.78 (0.61) MLCIRRtotal 38657 12973 13.29 2.08(1.62)
6 結論
我們逐項的探討並且實際測試了 CIRR 中各項參數的交互影響，進一步比 較了 CIRR 和 FEAST 的異同及優缺點，最後提出一個整合兩個方法的演算法 MLCIRR。此演算法的優勢在於採用 CIRR 的觀點，以參數 M 去創造虛擬的向 量空間，得到了相當於加速 FEAST 第一次收斂的效果。之後的迭代中，我們 重新劃分了路徑，使得同樣分割數的條件下，更逼近實際積分值，同時內部存 在的特徵對相較於原本的問題，顯得更加的分散，更加重要的是，這些特徵對 將落在不易遺漏的積分路徑旁，而非容易遺漏的中央區域。並且由於同樣擁有 M 參數的關係，我們進行迭代時的向量，將不像 FEAST 一直維持在估計量的 2 倍左右，而會逐漸與目標向量完全相等，達到完全不浪費計算量的情況。又因 為積分路徑急速的收縮，導致外迭代收斂速度亦會是 FEAST 的數倍。而此演 算法存在的風險為，當選取範圍內擁有大量特徵簇時，它並不能像 FEAST 慢 慢的修正，而會因為積分路徑的重新劃分和起始向量不足得原因，造成無法挽 回的特徵對遺漏，同樣因為積分路徑的重劃關係，當問題本身可以使用 LU 分 解時，此演算法並不能像 FEAST 反覆的利用已解過的 LU 分解。
關於 CIRR 的建議參數部分，我們在這邊下一個總結。
• N,M,L 的取捨
當不進行迭代時，相同的線性系統計算成本下，N 與 L 之間的取捨將會是
以 N 為重，原因在於若 N 不足將無法一次性的得到較好的殘差，並且同 時限制了 M 的大小，進一步使得殘差得精準度降低，而在有迭代的情形 下，增加 L 可以有效的確保特徵對不被遺漏。
• 長短軸比 r 的影響
當的積分路徑 (平移值) 遠離特徵值時，能有效的降低迭代次數，但同時也 使得無論是單一次的收斂速度或者是迭代時的收斂速度大幅下滑。並且此 參數在開拓投影空間的 M 和 L 越小時，對迭代時收斂速度的影響越明顯。
因此，除非僅是用以估計的情況下，否則盡量取小。
• 建議參數
對於一個大範圍且尚未預估特徵對數的區域，我們建議的初始測試參數 是，N = 16, M = 8, L = 16 這組參數一次容納約 50 組準確的特徵對，並 且由於 L = 16 在 32 線程以下，將不會因為平移值的不同，因解線性系統 時間不同而造成等帶的其情況，並且 N, M 亦都在理論上的最佳範圍內。
若是對於一以知的特徵對求更精確的解，則為 N = 8, M = 4, L = 1 其中 初始向量為已知的特徵向量。
而關於整體 CIRR 方面:
• CIRR 在大範圍下有著容易遺漏特徵對的問題
• CIRR 於良好的目標區域下 (線性系統迭代次數尚未大幅攀升, 內部特徵對 稀疏) 表現將會比 Lanczos 來的好
• MLCIRR 大幅度的加速了 FEAST，但於起始的圈選範圍和預估的 M, L 有更嚴苛的要求
• 沒有任何的方式能保證 CIRR 不遺漏特徵對，故 CIRR 最安全的使用方式 仍侷限於殘差的縮小
於參考文獻中 [2, 20] 中可以發現，無論是 T. Sakura 或者 E. Polizzi 的團隊，
於近期的研究中接有著墨於如何預估某特定範圍內的特徵對。因此，如何有效 的估計範圍內的特徵對仍是 CIRR 當今最重要的課題，而本文中第四節可以靠 著觀察平移值與迭代次數的關係，來避開大量的特徵簇存在，可以說是非常特 列的作法。若是問題本身是經由微分方程離散而來者，靠著較粗的切割計算較 小的矩陣書來估計特徵對的分佈也不失為一個好的方式。
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