第二章 訊號調變
2.2 S IGMA - DELTA MODULAT O R
Delta Modulator 最早由 Frank de Jager[9]於 1952 年提出的架構，應用在通訊領域。
圖 2.2.1 Delta modulator+功率放大 方塊圖
1bit 量化器產生 1 或-1 的切換訊號(single bit 數位訊號)，積分為類似三角波，與輸 入訊號比較。當輸入訊號大於三角波，即誤差項大於零，量化為高準位，積分後三角波 增大；輸入訊號小於三角波，即誤差項小於零，量化為低準位，積分後三角波變小。這 樣的切換動作，使得三角波近似輸入訊號。將切換訊號透過 power stage 功率放大後，
積分為近似輸入訊號的三角波，輸出，達到放大的目的。Delta Modulator 常應用於通訊 領域。
Sigma-Delta modulation 架構由 Inose 於 1962 年提出[10]，從 Delta Modulator 演變而 來。將 Delta Modulator 在 power stage 類比積分器，換到 signal stage，成為一個 signal 積分器，使系統整體的轉移函數不變，如圖 2.2.2(a)(b)。將圖 2.2.2(b)的二個積分運算與 一個減法運算等效為圖 2.2.2(c)的一個減法運算與一個積分運算，即為一階的 SDM 架構。
Power
Stage
∫
∫
(a)
(b)
(c)
圖 2.2.2 Delta Modulator 演變為 Sigma-Delta Modulator
圖 2.2.2 為類比的一階 SDM，而數位的 SDM 與類比的 SDM 工作原理相同，將類比積分 器代換為數位累加器，如圖 2.2.3 為數位的一階與 n 階 Sigma-Delta Modulator。
∫
∫
∫
∫
∫
圖 2.2.3 一階與 n 階數位 Sigma-Delta modulation 其中 an、bn、an-1、bn-1、…、a1、b1為 SDM 的係數
數位 SDM 通常可以依二個重要特徵–階數、取樣頻率，作為比較、評估其他數位 SDM 的基準。
超大型積體電路製程不斷的改良，電路的操作速度不斷的提昇且供應電壓逐漸地下 降，逐漸將 SDM 可以應用在較高頻寬的系統。SDM 在 AD(multi-bit)C 方面的應用，如 Linear 的 LTC2444(24-Bit High Speed 8-/16-Channel Delta Sigma ADCs with Selectable Speed/Resolution)[11]。SDM 在 D(multi-bit)AC 方面的應用，如 TI 的 PCM1608(24-Bit 192kHz Sampling 8-Ch Enhanced Multilevel Delta-Sigma D/A Converter，System Clock 128
∼768fs)[12]。
z 1
1 1
− −
b1
a1
z 1
1 1
− −
b1
a1
z 1
1 1
− −
bn
an
針對音頻訊號，比較數位 PWM 與數位 SDM：
一數位 PWM，100KHz switching frequency，the 8bit 的 duty cycle resolution，最壞情況 在100K*8
1 秒要作一次切換，至少需要 800KHz 的 clock。一數位 SDM，每 800KHz 更新
一次輸出，最壞情況在
K 800
1 秒要作一次切換，所以至少需要 800KHz 的 clock。輸入 100Hz 的類比訊號，以 Uniform Sampling 成數位訊號，其取樣頻率 100KHz。圖 2.2.4、圖 2.2.5、
圖 2.2.6、圖 2.2.7 分別為 PWM 與 SDM 輸出訊號的頻譜圖
圖 2.2.4 The output spectrum of PWM from 0 to 4MHz
如圖 2.2.4，雖然數位 PWM 可以將 multi-bit 數位訊號調變為 single bit 數位訊號，
但是會產生切換頻率的諧波訊號，對於設計於高切換頻率的 PWM，將會有 EMI 的問題 要討論[13]。
圖 2.2.5 The output spectrum of SDM from 0 to 4MHz
圖 2.2.5 為 SDM 輸出的頻譜圖。比較圖 2.2.4 與圖 2.2.6，SDM 沒有切換頻率的諧 波。
圖 2.2.6 The output spectrum of PWM from 0 to 40KHz
圖 2.2.6 為 PWM 在 40KHz 之內，100Hz 的輸入訊號與雜訊相對大小。
圖 2.2.7 The output spectrum of SDM from 0 to 40KHz
比較圖 2.2.6 與圖 2.2.7，SDM 能將 noise shape 到 5KHz 以外的頻帶，因此 SDM 在 5HKz 以內的雜訊比 PWM 小。
由以上比較，SDM 應用在音頻數位訊號調變，只要能將 noise shape 到 20KHz 以外 的頻帶，將預期有不錯的效果。由於 SDM 需要乘法的運算，所以架構比 PWM 複雜，
需要比 PWM 更多的邏輯。