國
立 政 治 大 學
‧
N a tio na
l C h engchi U ni ve rs it y
4.2 延伸卡特爾模型均衡分析之情況一：存在一家垂直整合廠商
市場結構如上圖5，假設市場已存在一家垂直整合廠商，進而觀察其他下游 廠商的策略。分析過程類似於第三章，以下說明三種策略下的廠商利潤極大，分 別為聯合、聯合但有一家廠商背叛，及背叛後回歸的Nash 均衡。最後在以無名 氏定理（Folk Theorem）分析下游廠商的跨期決策。
圖 5: N 家獨立上下游廠商，其中存在一家垂直整合廠商，且(N-1)家下游廠商形成卡特爾
DN
(P,qN) D1
(P,q1)
D2
(P,q2) B1
(w,b1)
B2
(w,b2)
BN
(w,bN)
Cartel
......
Vertical Integration
21
‧
利用逆解法（Backward Induction），兩種廠商分別極大化各自的利潤函數，
即第一家垂直整合廠商的下游部門D1極大化π1式，（N-1）家下游廠商 D2, …, DN
‧
‧
‧
‧
‧ 國
立 政 治 大 學
‧
N a tio na
l C h engchi U ni ve rs it y
因此，利用(72)式、(75)式、(76)式與(80)式，我們可以得到垂直整合廠商總利 潤；而(75)式、(77)式與(80)式，可得每家卡特爾廠商可分到之最終財的均衡利 潤；而(75)式、(78)式與(80)式，可得背叛廠商的之最終財的均衡利潤。利 用(73)式與(75)式可得任一家獨立上游 B 廠商之均衡利潤
πI＝1 6
27N4− 15N3+ 194N2− 660N + 486
(9N2− 7N − 6)2 (81) πDc＝ 1
2
N(3N − 4)2
(9N2− 7N − 6)2 (82) πDb＝ 1
4
N2(3N − 4)2
(9N2 − 7N − 6)2 (83) πBU＝1
3
(7N − 9)2(3N − 4)
(9N2− 7N − 6)2(N − 1) (84)
27
‧
‧
‧ 國
立 政 治 大 學
‧
N a tio na
l C h engchi U ni ve rs it y
4.3 延伸卡特爾模型均衡分析之情況二：沒有垂直整合廠商
情況二的市場結構如上圖6，考慮垂直整合廠商進行整併前完全分立的情況，
市場存在一家獨立的下游廠商，與其他（N-1）家欲進行卡特爾聯合的下游廠商 的互動。計算過程類似於第三章，以下同樣分為三種策略進行討論，但不再詳細 說明其中的計算過程。
圖 6:N 家獨立上下游廠商，其中(N-1)家下游廠商形成卡特爾
DN
(P,qN) D1
(P,q1)
D2
(P,q2) B1
(w,b1)
B2
(w,b2)
BN
(w,bN)
Cartel
......
30
‧
‧
‧ 國
立 政 治 大 學
‧
N a tio na
l C h engchi U ni ve rs it y
πDc＝ 1 18
N3
(N + 1)2(N − 1)2 (122) πDb＝ 1
36
N4
(N + 1)2(N − 1)2 (123)
4.3.3 策略(iii)：背叛後卡特爾聯合破裂，非垂直整合廠商皆回歸 Nash 均衡 此處的上下游的計算過程完全等同於第三章的策略(iii)。
利用上游要素總供給等於下游總產出的結清條件，求出均衡要素價格 w0＝ 1
N + 1 (37)
獨立下游廠商選最終財產量(qi)，選要素數量(bi)，解聯立可求出每家獨立上游 B 廠商與獨立下游D 廠商最後生產的產量
b＝ N
(N + 1)2 (35)
qU＝ N
(N + 1)2 (38) 與獨立上游B 廠商、下游 D 廠商個別生產之最終財的均衡利潤
πDU＝ N2
(N + 1)4 (41) πBU＝ N
(N + 1)3 (42)
33
‧ 國
立 政 治 大 學
‧
N a tio na
l C h engchi U ni ve rs it y
4.4 延伸卡特爾模型研究結果
下游廠商的決策：與市場完全分立的情況相比，存在一家垂直整合廠商是否使獨 立下游廠商較有意願進行卡特爾聯合？
這兩個不同的市場結構，我們可以分成三個層次的研究結果做介紹。第一小 節先比較兩種情況的市場結構，利用當期下游廠商的利潤，探討關於併購謬論
（Merger Paradox）出現的時機，以及是否形成卡特爾聯合，得出本延伸模型中 靜態穩定的廠商家數。此為第一個層次的研究結果。第二小節著眼於動態穩定，
利用下游廠商的跨期利潤，計算出折現因子，可得到第二與三個層次的研究結果：
「兩種不同市場都會出現的共同結論」，與「兩種不同市場對於促成下游卡特爾 的可能性的相異結論」。透過深入探究在第一小節中有意願形成聯合卡特爾的靜 態穩定條件下，比較存在一家垂直整合廠商與否，何者較容易導致其他獨立下游 廠商長期形成穩定的卡特爾。
34
‧ 國
立 政 治 大 學
‧
N a tio na
l C h engchi U ni ve rs it y
4.4.1 併購謬論與其他獨立下游廠商形成卡特爾的可能性
〔定義三〕併購謬論（Merger Paradox），即在 Cournot 數量競爭的市場裡，若 聯合廠商之市占率不夠大，其聯合後每家廠商無法獲得比分立時更多的利潤。
〔定理三〕在我們所關注的寡占市場，存在一家垂直整合廠商的市場結構時，獨 立下游D 廠商家數大於等於 7 家時，其餘（N-1）家獨立廠商有意願選擇聯合形 成卡特爾。當上下游廠商家數小於7 家時，選擇「完全分立」是其餘（N-1）家 獨立D 下游廠商的優勢策略。
〔證明〕
定理三首先著眼於靜態的互動，說明廠商考慮廠商當期所能獲得的利潤，分 析下游D 廠商形成卡特爾的意願。如果（N-1）家下游廠商 D2, D3, … , DN獨立時 所獲得的利潤（πDU）較高，則（N-1）家下游 D 廠商會選擇「完全分立」；反之，
若（N-1）家下游廠商聯合形成卡特爾後，每家可分配到的利潤（πDc）較高，則
（N-1）家下游 D 廠商會選擇聯合形成卡特爾。
引用定義三我們可知：存在一個垂直整合廠商為競爭對手，其要素成本低廉 及消除雙重加價等優勢，使得卡特爾聯合後的市占率需要大於 80%，才有可能 從聯合中獲利。本研究顯示，所有獨立的下游廠商家數加總，其市占率只要小於 6/7（約 86%）就無法從中獲利。如下圖 7，當上下游廠商家數少於 7 家時，即 7B7D 之前，粗的實線大於粗的虛線，表示存在一家垂直整合廠商使其他獨立廠 商陷入併購謬論，此時下游卡特爾市占率大幅下降，其獲利沒有比獨立時還要好，
因此根本沒有誘因形成卡特爾。7B7D 之後，雖然卡特爾聯合後的市占率仍減少，
但是此時因最終財價格大幅增加，使聯合後分配的利潤小有獲利。即 πDU∗(N) < πDc∗(N), ∀N ∈ {7, … ,10}
35
‧ 國
立 政 治 大 學
‧
N a tio na
l C h engchi U ni ve rs it y
圖 7: 情況一的廠商利潤：存在一家垂直整合廠商
〔定理四〕在我們所關注的寡占市場，沒有垂直整合廠商的市場結構時，當獨立 下游D 廠商家數大於 5 家時，其餘（N-1）家獨立廠商有意願選擇聯合形成卡特 爾。當上下游廠商家數小於5 家時，選擇「完全分立」是其餘（N-1）家獨立 D 下游廠商的優勢策略。
〔證明〕
承定理三，定理四考慮另一個市場結構時的靜態分析。下圖8 考慮市場不存 在垂直整合廠商的時候，其餘獨立下游廠商形成卡特爾的意願。引用定義三，由 於此時市場不存在特別強而有力的競爭者，因此獨立下游廠商的市占率只要大於 等於4/5 時（即 80%），粗的實線小於粗的虛線，就有意願形成卡特爾。也就是 獨立下游廠商少於等於5 家時才會出現併購謬論。即
πDU∗(N) ≤ πDc∗(N), ∀N ∈ {5, … ,10}
3B3D 4B4D 5B5D 6B6D 7B7D 8B8D 9B9D 10B10D πDU 0.0204 0.0186 0.0156 0.0129 0.0107 0.0089 0.0076 0.0065 πDc 0.0165 0.0153 0.0138 0.0125 0.0113 0.0104 0.0095 0.0088 πDb 0.0193 0.0212 0.0223 0.0232 0.0238 0.0242 0.0246 0.0249 0.0000
0.0050 0.0100 0.0150 0.0200 0.0250 0.0300
36
‧ 國
立 政 治 大 學
‧
N a tio na
l C h engchi U ni ve rs it y
圖 8: 情況二的廠商利潤：不存在垂直整合廠商
值得注意的是，圖7 與圖 8 可以發現兩圖的背叛利潤（πDb）有遞增與遞減 兩個不同的趨勢。分析其原因可由兩個因素探討：第一個因素是每銷售一單位產 品的毛利（margin），存在垂直整合廠商時卡特爾的均衡價格（P）較低，所以 廠商選擇背叛後的均衡價格下降幅度較小，均衡要素價格（w）也是小幅下降的 情況下，其毛利反而隨廠商家數增加而遞增；沒有垂直整合廠商時卡特爾的均衡 價格較高，背叛時影響均衡價格下降幅度較大，此時均衡要素價格不隨策略改變
（w =N+11 ），可以預期毛利隨廠商家數增加而遞減。第二個因素是背叛產量，存 在垂直整合廠商的背叛產量隨廠商家數遞增，而沒有垂直整合廠商的背叛產量則 遞減。綜合兩種因素，可看到圖7與圖8的背叛利潤分別呈現遞增與遞減的趨勢。
比較定理三與定理四可以發現：存在一家垂直整合廠商的市場結構中，聯合 廠商的市占率需達86%，廠商才有意願形成卡特爾；反觀沒有垂直整合廠商的 市場結構，則廠商只需要達80%的市占率即有意願聯合。而這個現象可以簡單 地以直覺說明清楚：對於聯合的下游廠商而言，其競爭者為垂直整合廠商時比較 強勁，為獨立的下游廠商則相對較弱，因此存在一家垂直整合廠商的市場結構中，
需聯合較多下游廠商形成卡特爾，才能從勾結中獲得比完全分立更多利潤。
3B3D 4B4D 5B5D 6B6D 7B7D 8B8D 9B9D 10B10D πDU 0.0352 0.0256 0.0193 0.0150 0.0120 0.0098 0.0081 0.0068 πDc 0.0313 0.0237 0.0193 0.0163 0.0142 0.0125 0.0113 0.0102 πDb 0.0352 0.0316 0.0301 0.0294 0.0289 0.0287 0.0285 0.0283 0.0000
0.0050 0.0100 0.0150 0.0200 0.0250 0.0300 0.0350 0.0400
37
‧ 國
立 政 治 大 學
‧
N a tio na
l C h engchi U ni ve rs it y
4.4.2 其他獨立下游廠商在何種市場結構下能形成穩定卡特爾
基於上述討論後，第二部分從重複賽局與折現因子的動態角度，分析在有意 願形成卡特爾聯合的區間，即上下游廠商家數為7 家以上時，比較第一家未加入 勾結廠商的兩種情況，哪一個較能形成穩定卡特爾，並影響市場競爭與福利。
〔定理五〕在上下游廠商家數為7 至 10 家的寡占市場下，（N-1）家獨立下游 D 廠商隨著廠商家數增加，兩種市場結構皆越來越可能形成穩定的卡特爾。
〔證明〕
同樣給定定義三廠商的決策方式為觸發策略（Trigger strategy），並利用無 名氏定理（Folk Theorem），將兩種情況分別計算選擇聯合（Cartel）、背叛（Deviate）
與背叛後被懲罰的獨立（Nash）策略，廠商所能獲得的利潤極大化，並利用(43) 式找出廠商的折現因子（δ）。只有下游廠商的折現因子夠大，也就是廠商需要具 備十足的耐心才有可能在重複賽局中合作，達成穩定的合作均衡，即無窮期賽局 中，滿足(43)式時（N-1）家下游廠商形成卡特爾聯合較有利。
πDb∗(N) + δ
1 − δ ∙ πDU∗(N) ≤ 1
1 − δ ∙ πDc∗(N) (43)
表格 3: (N-1)家廠商形成卡特爾之折現因子比較表
其中δVI*為「存在一家垂直整合廠商」的折現因子；δNVI*為「沒有垂直整合 廠商」的折現因子。
δ 3B3D … 5B5D 6B6D 7B7D 8B8D 9B9D 10B10D 情況一 不會形成Cartel(δVI *>1) δVI *≧0.95 δVI *≧0.90 δVI *≧0.89 δVI *≧0.88
情況二 不會形成Cartel
(δNVI *>1) δNVI *≧0.91 δNVI *≧0.87 δNVI *≧0.86 δNVI *≧0.84 δNVI *≧0.84
38
‧ 國
立 政 治 大 學
‧
N a tio na
l C h engchi U ni ve rs it y
我們利用(43)式整理出表 3，觀察上下游獨立廠商家數大於 7 家的狀況，發 現不論是在「存在一家垂直整合廠商」或是「沒有垂直整合廠商」，隨著廠商家 數增加，折現因子越來越小，表示廠商家數越多，越容易形成穩定的卡特爾，與 定理二的結論恰好相反。與第三章的定理二有如此大的差異，主要的原因為在第 四章的模型中，有兩種相對的力量影響廠商的決策：第一個力量為刺激背叛的「產 量誘因」，當廠商家數越多時，背叛廠商所能生產的最終財產量會比不知情的聯 合廠商多更多，能獲得的好處也就越多，這也是第三章的模型之所以得到廠商家 數越多、越容易導致背叛行為，進而無法形成穩定卡特爾的原因。第二個力量為 不想背叛的「競爭誘因」，第四章模型的特別之處在於市場存在一家不加入卡特 爾的廠商，獨立的下游 D 廠商能與卡特爾平分市占率；若該獨立廠商為垂直整 合廠商，甚至能贏得一半以上的市占率。而這個力量是第三章的簡單模型中並未 描繪的影響因素。
聯合廠商透過上述兩個相對的力量間拉扯，當廠商家數越多時，第二個不想 背叛的「競爭誘因」的力量強過第一個刺激背叛的「產量誘因」，當其中一個卡
聯合廠商透過上述兩個相對的力量間拉扯，當廠商家數越多時，第二個不想 背叛的「競爭誘因」的力量強過第一個刺激背叛的「產量誘因」，當其中一個卡