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0.0 0.1 0.2 0.3 0.4
0 2 4 6 8
Beta distribuitn with different upper bound u
x
f ( x )
u = 1 u = 0.31 u = 0.32 u = 0.33
圖 4.1: 不同上界 Beta 機率密度函數 (c = 0.1、σ = 0.05)
表 4.1 為在 c = 0.1、α = 0.05 下犯型一誤差機率的比較，original level 是未修正 的 level test，truncated level 是給與上界 u 的 truncated level test。可以發現在未修 正的 level test 中，雖然隨著樣本數 n 的增加其犯型一誤差的機率更接近 α = 0.05，
但 皆 高估犯型一誤差的機率，藉由我們提出的 truncated level test，可以看到在 u = 0.32、0.33 及 0.34 時，其犯型一誤差的機率比起 original level test 在相同樣本數 n 下更為接近 α = 0.05，尤其當 u = 0.32 時效果較好，因此接下來檢定力的模擬，我 們選 u = 0.32 的 truncated level test 來和原始未修正的 level test 來比較。
接著是檢定力的比較，如表 4.6 所示。由於在對立假設成立下，獨立違約事件與相 關違約事件我們給定的 πk0 不同，且在相關違約事件下 µ1 不易計算出，因此我們參數點 的表示為 (π, θ) 而不是 (µ1, µ2)。在表 4.6 中，我們先看 original 的部份：original 是 表示未修正的 level test，而在 original 下的 φIU T 與 φU M P 是由未修正的 level test 所 組成。隨著參數點 (π,θ) 與 (0.0299, 0.6467) 的差距愈來愈大，未修正的 level test 檢定
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表 4.1: 相關違約事件下犯型一誤差機率的比較 (c = 0.1、α = 0.05) n original level truncated level
u = 0.31 u = 0.32 u = 0.33 2048 0.05619 0.05438 0.05423 0.05446 4096 0.05293 0.05237 0.05147 0.05217 8192 0.05218 0.05180 0.05104 0.05192 16384 0.05202 0.05136 0.05052 0.05100 32768 0.05143 0.04963 0.04993 0.05039
力隨之增加。shape test、IUT 及 UMP test 也是如此。
接著我們看到表 4.6 右邊 truncated 的部份，隨著參數點 (π,θ) 與 (0.0299, 0.6467) 的差距愈來愈大，truncated level test 檢定力隨之增加。shape test、IUT 及 UMP test 也是一樣的情況。
綜 合 original 與 truncated 兩方面來看，我們可以看到 original 的檢定力皆高 於 truncated 的檢定力，是因為 original 的 level test 高估犯型一誤差的機率，在 truncated 的部份我們控制了 level test 犯型一誤差的機率更為接近 α = 0.05，且 truncated 的檢定力才是維持在尺度 α = 0.05 下的檢定力。 因此由 truncated level test 組成的 φIU T 與 φU M P 的檢定力才是維持在尺度 α = 0.05 下的檢定力。我們可以 看到 (π, θ) 與 (0.0299, 0.6467) 差距不大且樣本數 n 不大時，φIU T 與 φU M P 檢定力的 表現不是很理想，但隨著 (π, θ) 與 (0.0299, 0.6467) 的差距愈來愈大，φIU T 與 φU M P
的檢定力漸漸增加，尤其是樣本數 n 愈大時更為明顯，且如同我們所說的，φU M P 的檢 定力皆大於等於 φIU T。
接下來考慮 c = 0.125 的情形。如圖 4.2，當 c = 0.125 時，未修正的 Beta 分配 其支撐的上界 u 依然沒有達到理論值 1，約是 0.36、0.37 左右，因此我們一樣利用 truncated level test 給定不同上界 u 來看其犯型一誤差機率以及檢定力模擬的結果。
表 4.2 為在 c = 0.125、α = 0.05 下犯型一誤差機率的比較。與 c = 0.1 時有相
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0.0 0.1 0.2 0.3 0.4
0 2 4 6 8
Beta distribuitn with different upper bound u
x
f ( x )
u = 1 u = 0.36 u = 0.37 u = 0.38
圖 4.2: 不同上界 Beta 機率密度函數 (c = 0.125、σ = 0.05)
似的趨勢，我們發現在未修正的 level test 中，雖然隨著樣本數 n 的增加其犯型一誤 差的機率更接近 α = 0.05，但皆高估犯型一誤差的機率，藉由我們提出的 truncated level test，可以看到在 u = 0.36、0.37 及 0.38 時，其犯型一誤差的機率比起 original level test在相同樣本數 n 下更為接近 α = 0.05，尤其當 u = 0.37 時效果較好。而比較 c = 0.1 及 c = 0.125 犯型一誤差的機率，在 original level test 的情況下，c = 0.1 犯型 一誤差的機率皆小於 c = 0.125 時，是因為 c 愈小，1/c 就愈大，也就是 ˆπ/π0 愈大， 當虛無假設成立的情況下，ˆπ 與 π0 差異愈大愈不容易誤判，所以當 c 愈小，original level test 犯型一誤差的機率就愈小。
接著表 4.7 是 c = 0.125 下檢定力模擬的結果。個別看 original 及 truncated 的 部份，隨著參數點 (π,θ) 與 (0.0299, 0.6467) 的差距愈來愈大，original level test 及 truncated level test 檢定力隨之增加。shape test、IUT 及 UMP test 也是如此。
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表 4.2: 相關違約事件下犯型一誤差機率的比較 (c = 0.125、α = 0.05) n original level truncated level
u = 0.36 u = 0.37 u = 0.38 2048 0.06233 0.06167 0.06045 0.06080 4096 0.05506 0.05480 0.05472 0.05499 8192 0.05319 0.05202 0.05066 0.05240 16384 0.05241 0.05100 0.05027 0.05205 32768 0.05204 0.04978 0.04999 0.05091
同 時 考 慮 original 與 truncated 兩 方 面， 與 c = 0.1 的 情 況 相 同， 我 們 採 取 truncated 的 φIU T 與 φU M P，因為 original level test 高估犯型一誤差的機率，在 truncated 的部份我們控制了 level test 犯型一誤差的機率更為接近 α = 0.05，經由 truncated level test 組成的 φIU T 與 φU M P 的檢定尺度維持 α，因此在 truncated 的部
份，φIU T 與 φU M P 的檢定力才是維持在尺度 α = 0.05 下的檢定力。並且在 (π, θ) 與
(0.0299, 0.6467) 差距不大且樣本數 n 不大時，φIU T 與 φU M P 檢定力的表現雖不是很 理想，但大於 c = 0.1 時 truncated 部分的 φIU T 與 φU M P 的檢定力；隨著 (π, θ) 與 (0.0299, 0.6467) 的差距愈來愈大，φIU T 與 φU M P 的檢定力漸漸增加，尤其是樣本數 n 愈大時更為明顯，φU M P 的檢定力依然皆大於等於 φIU T。
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表 4.3: 參數設定
1 2 3 4 5
pk 0.0625 0.2500 0.3750 0.2500 0.0625 under H0
0.0075 0.0144 0.0263 0.0455 0.0746 0.0071 0.0136 0.0248 0.0430 0.0704 πk 0.0069 0.0132 0.0241 0.0418 0.0685 0.0058 0.0111 0.0204 0.0352 0.0578 0.0055 0.0106 0.0194 0.0336 0.0550
Independent default event under H1
0.0112 0.0206 0.0265 0.0343 0.0625 0.0142 0.0226 0.0245 0.0363 0.0435 0.0102 0.0181 0.0235 0.0288 0.0322 π0k 0.0112 0.0191 0.0205 0.0278 0.0316
Dependent default event under H1
0.0040 0.0070 0.0091 0.0112 0.0125 0.0035 0.0062 0.0081 0.0099 0.0111 0.0031 0.0055 0.0071 0.0087 0.0097 0.0026 0.0047 0.0061 0.0075 0.0083
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表 4.4: 獨立違約事件下犯型一誤差機率的比較 (α = 0.05)
(µ1, µ2) n φG φIU T φU M P
2048 0.04590 0.00196 0.02366 4096 0.04736 0.00203 0.02420 (0, 0) 8192 0.04626 0.00245 0.02592 16384 0.04587 0.00218 0.02542 32768 0.04672 0.00238 0.02536
2048 0.05602 0.00452 0.03114 4096 0.07177 0.00679 0.03659 (−0.0017, 0) 8192 0.10297 0.01023 0.03941 16384 0.17304 0.01719 0.04411 32768 0.32634 0.02611 0.04730
2048 0.07013 0.00647 0.03589 4096 0.10756 0.01090 0.04128 (−0.0025, 0) 8192 0.18711 0.01742 0.04370 16384 0.35210 0.02774 0.04551 32768 0.65233 0.04079 0.04850
2048 0.32164 0.02644 0.04355 4096 0.63585 0.04060 0.04883 (−0.0068, 0) 8192 0.92719 0.04819 0.04888 16384 0.99892 0.04892 0.04893 32768 1.00000 0.04930 0.04930
2048 0.44007 0.03490 0.04811 4096 0.79230 0.04600 0.04913 (−0.0079, 0) 8192 0.98368 0.04874 0.04892 16384 0.99998 0.04906 0.04906 32768 1.00000 0.04960 0.04960
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表 4.5: 獨立違約事件下檢定力的比較 (α = 0.05)
(µ1, µ2) n φIU T φU M P
2048 0.04322 0.07446 4096 0.09779 0.11807 (-0.0017, -0.0557) 8192 0.21398 0.21925 16384 0.35977 0.36002 32768 0.56936 0.56936
2048 0.09053 0.11325 4096 0.19234 0.19972 (-0.0025, -0.0766) 8192 0.37042 0.37076 16384 0.58905 0.58905 32768 0.84117 0.84117
2048 0.38259 0.40111 4096 0.77305 0.77499 (-0.0068, -0.0829) 8192 0.98349 0.98349 16384 0.99997 0.99997 32768 1.00000 1.00000
2048 0.49528 0.50771 4096 0.87125 0.87201 (-0.0079, -0.0889) 8192 0.99619 0.99619 16384 1.00000 1.00000 32768 1.00000 1.00000
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表 4.6: 相關違約事件下檢定力的比較 (c = 0.1、α = 0.05)
original (u = 1) truncated (u = 0.32)
(π, θ) n φL φS φIU T φU M P φL φS φIU T φU M P
2048 0.60068 0.39403 0.18410 0.21676 0.47415 0.39653 0.13401 0.17874 4096 0.60912 0.58274 0.28642 0.30801 0.47845 0.58641 0.20608 0.24048 (0.0090, 0.5638) 8192 0.61543 0.79534 0.43079 0.43774 0.47861 0.79350 0.30972 0.32265 16384 0.62024 0.93708 0.55818 0.55860 0.47943 0.92767 0.41016 0.41136 32768 0.62112 0.98737 0.60849 0.60849 0.47994 0.98099 0.46046 0.46049 2048 0.68039 0.36591 0.20133 0.23009 0.55115 0.36784 0.15276 0.19546 4096 0.69684 0.54664 0.31923 0.33722 0.56003 0.55019 0.23702 0.26915 (0.0080, 0.5638) 8192 0.70268 0.76312 0.48314 0.48927 0.56305 0.76054 0.35856 0.37091 16384 0.70407 0.92111 0.62588 0.62621 0.56366 0.90979 0.48077 0.48176 32768 0.70838 0.98291 0.69129 0.69129 0.56864 0.97523 0.53829 0.53830 2048 0.76774 0.34119 0.22517 0.24667 0.64040 0.34576 0.17952 0.21549 4096 0.78333 0.51076 0.35071 0.36477 0.65030 0.51037 0.26963 0.29964 (0.0070, 0.5638) 8192 0.79269 0.72262 0.52912 0.53443 0.65853 0.72169 0.41071 0.42262 16384 0.79526 0.89688 0.69279 0.69311 0.65880 0.88952 0.55044 0.55149 32768 0.80044 0.97620 0.77664 0.77664 0.65956 0.96869 0.62825 0.62825 2048 0.85038 0.31314 0.24112 0.25617 0.73896 0.31945 0.20307 0.23174 4096 0.86728 0.46440 0.36886 0.37806 0.75683 0.46771 0.30411 0.32593 (0.0060, 0.5638) 8192 0.87546 0.67809 0.56183 0.56507 0.76662 0.67413 0.46513 0.47439 16384 0.88127 0.86873 0.75046 0.75071 0.77145 0.86055 0.63402 0.63503 32768 0.88326 0.96548 0.84874 0.84874 0.77655 0.95748 0.73403 0.73403
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表 4.7: 相關違約事件下檢定力的比較 (c = 0.125、α = 0.05)
original (u = 1) truncated (u = 0.37)
(π, θ) n φL φS φIU T φU M P φL φS φIU T φU M P
2048 0.83280 0.39329 0.29679 0.31167 0.77069 0.39229 0.26601 0.28851 4096 0.83864 0.59988 0.46825 0.47601 0.77155 0.59778 0.41750 0.43142 (0.0090, 0.5638) 8192 0.85167 0.81826 0.67429 0.67623 0.77290 0.94642 0.59787 0.60145 16384 0.85550 0.95482 0.81037 0.81040 0.77797 0.95087 0.72906 0.72919 32768 0.85624 0.99479 0.85103 0.85103 0.77937 0.99164 0.77101 0.77101 2048 0.89677 0.36661 0.30775 0.31766 0.85203 0.36602 0.28614 0.30230 4096 0.90464 0.55791 0.48184 0.48728 0.85578 0.55779 0.44547 0.45489 (0.0080, 0.5638) 8192 0.91558 0.78178 0.69989 0.70086 0.86120 0.78138 0.64851 0.65088 16384 0.91786 0.94011 0.85802 0.85806 0.86735 0.93571 0.80320 0.80331 32768 0.92080 0.99181 0.91261 0.91261 0.86738 0.98893 0.85631 0.85631 2048 0.94556 0.33878 0.30824 0.31339 0.91586 0.33882 0.29412 0.30334 4096 0.95380 0.51565 0.47869 0.48161 0.92823 0.51878 0.46401 0.46925 (0.0070, 0.5638) 8192 0.96118 0.74137 0.70391 0.70443 0.93502 0.74245 0.68019 0.68147 16384 0.96499 0.92037 0.88539 0.88541 0.94093 0.91611 0.85711 0.85714 32768 0.96513 0.98724 0.95237 0.95237 0.94219 0.98486 0.92705 0.92705 2048 0.97784 0.30913 0.29684 0.29898 0.96447 0.31217 0.29299 0.29682 4096 0.98320 0.47345 0.46023 0.46127 0.97441 0.47404 0.45459 0.45633 (0.0060, 0.5638) 8192 0.98793 0.69180 0.68019 0.68038 0.98015 0.69226 0.67331 0.67369 16384 0.99027 0.88915 0.87965 0.87965 0.98476 0.88651 0.87131 0.87133 32768 0.99050 0.97962 0.96989 0.96989 0.98561 0.97540 0.96101 0.96101
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