信用違約機率的聯合校準檢定 - 政大學術集成

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(1)國立政治大學統. 計. 系. 碩士學位論文. 政治大信用違約機率的聯合校準檢定立. ‧ 國. 學. ‧. Joint Calibration Test of Credit Rating Probabilities of Default er. io. sit. y. Nat. n. al 指導教授：劉惠美博士 iv Ch. n U i e n g c陳麗霞博士 h. 研究生：郭書廷. 中華民國九十九年六月.

(2) 要. 摘. 違約機率校準檢定 — global test 由兩部分組成：第一部分為 level，探討真實的平均違約機率是否被高估；第二部分 shape，探討高低違約機率的表現情形。但 global test 與相關違約事件下的 level test 檢定尺度皆遠高於顯著水準 α。本文先是針對相關違約事件，利用截斷分配使 level test 犯型一誤差機率更接近顯著水準，並提出虛無假設及對立假設為 H0 : θ ∈ ∪2i=1 Θi0 vs. H1 : θ ∈ ∩2i=1 Θi1 的形式，引用交聯集檢定。更進一步透過 Liu & Berger (1995, The Annals of Statistics, 23, 1, 55-72) 建構齊一較強檢力檢定，改善檢定力。模擬結果顯示交聯集檢定與齊一較強檢力檢定的檢定尺度皆. 政治大關鍵字：違約機率校準檢定，交聯集檢定，齊一較強檢力檢定。立. 為 α，且齊一較強檢力檢定的檢定力皆高於交聯集檢定。. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. i. i n U. v.

(3) Abstract. The calibration test of the PDs (probabilities of default) — global test is twofold, the first part is the level test, which is about the mean of calibrated PDs. Second, the shape test is about whether a calibrated PD model differentiates correctly between low and high default probability events. In simulation results, we found that the type I error of global test is much greater than significant level α, so is level test in correlation default events. In this study, firstly, we use the truncated level test to control previous error and suggest the hypothesis H0 : θ ∈ ∪2i=1 Θi0 vs. H1 : θ ∈ ∩2i=1 Θi1 . Secondly, we introduce the intersection union test (IUT). Moreover, we. 治政大by Liu & Berger (1995, The construct an uniformly more powerful test (UMP test) 立 Annals of Statistics, 23, 1, 55-72). Simulation results show that the IUT and UMP ‧ 國. 學. test are size α tests, and the power of UMP test is greater than IUT.. ‧. Keywords: calibration test, intersection union test, uniformly more powerful test.. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. ii. i n U. v.

(4) 致. 謝. 首先特別感謝指導教授劉惠美老師與陳麗霞老師，老師們循循善誘、誨我諄諄，並不時的討論與指引我正確的方向，使我這些年來在學術研究上獲益匪淺。除學業之外，劉惠美老師嚴謹求實的態度，踏踏實實的精神，不僅授我以文，而且教我做人，在生涯規劃上所遇到的各種困境與挫折，老師總是鼓勵我，常讓我在沮喪之餘，又重拾信心。此外，感謝洪明欽教授不辭辛勞，細心地指導並引導我進入財務的領域。也感謝口試委. 政治大. 員劉家頤教授對於論文的寶貴建議與鼓勵，使得此篇論文更臻完善。. 立. 感謝研究所期間統計系授課老師的教導，雖歷時兩載，卻給以終生受益無窮之道。. ‧ 國. 學. 感謝兩位統計系助教的照顧與幫忙，使我得以順利畢業。. ‧. 感謝文華、蕙帆學姊，謝謝妳們的陪伴讓我碩一的排球生活變得絢麗多彩。感謝金. sit. y. Nat. 融所的健維學長、風管所的明諺與國貿系的元平，總是在我心情低落時給與我適時的鼓. al. er. io. 勵與打氣。感謝研究所同學：福文、雅薇、延新、涵茵、明儒、政勳、伊萱、雨農...等. n. 人，這兩年來受你們照顧很多，是你們豐富了我的生命，謝謝你們，我將你們拉進了我. Ch. 的記憶，而我也將走入你們的回憶。. engchi. i n U. v. 感謝佳怡，謝謝這 2000 個有妳的日子，從妳身上我發現了追逐夢想的可貴，跨越青澀歲月，得到了相互信任也更珍惜我們彼此。沒有佳怡的體諒、包容與陪伴，相信這兩年生活將是很不一樣的光景，謝謝。而波吉的陪伴更是帶給我許多歡笑及回憶，在此一並致謝。最後，謹以此文獻給我摯愛的雙親。. 書廷謹誌于指南山麓 2010 年 6 月. iii.

(5) 目. 錄. 中文摘要 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. i. 英文摘要 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. ii. 致謝 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. iii. 政治大. 目錄 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 立. 表目錄 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. iv vi. ‧ 國. 學. 圖目錄 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii. 文獻探討 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 2.1. 符號定義 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 2.2. Blöchlinger 和 Leippold (2009) 校準檢定 . . . . . . . . . . . . . . . .. 4. 2.2.1. Level test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 4. 2.2.2. Shape test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 6. 2.2.3. Level 及 Shape 的漸近聯合分配 . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 9. 2.2.4. Global test. 3. n. al. er. io. sit. 1. y. 第二章. ‧. 緒論 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Nat. 第一章. Ch. n U i engch. iv. 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10. 2.3. 交聯集檢定 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10. 2.4. 齊一較強檢力檢定 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11. iv.

(6) 第三章. 研究方法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16. 3.1. Truncated level test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16. 3.2. 建構最大概似比檢定 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18. 3.3. 建構齊一較強檢力檢定 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20. 第四章. 模擬分析比較 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23. 4.1. 參數設定 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23. 4.2. 型一誤差及檢定力 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 4.2.1. 獨立的違約事件. 4.2.2. 相關的違約事件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25. 立. 24. ‧ 國. 學. 結論與建議 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36. ‧. 第五章. 政治大 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. sit. y. Nat. 參考文獻 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38. n. al. er. io. 附錄一：Shape 檢定統計量之變異數 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39. Ch. i n U. v. 附錄二：不同信用評等債務人違約人數相關係數. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41. engchi. v.

(7) 目. 表. 錄. 3.1. Global test 檢定尺度 (α = 0.05) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19. 4.1. 相關違約事件下犯型一誤差機率的比較 (c = 0.1、α = 0.05) . . . . . . . 28. 4.2. 相關違約事件下犯型一誤差機率的比較 (c = 0.125、α = 0.05) . . . . . . 30. 4.3. 參數設定 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31. 4.4. 獨立違約事件下犯型一誤差機率的比較 (α = 0.05) . . . . . . . . . . . . 32. 4.5. 獨立違約事件下檢定力的比較 (α = 0.05) . . . . . . . . . . . . . . . . . 33. 4.6. 相關違約事件下檢定力的比較 (c = 0.1、α = 0.05) . . . . . . . . . . . . 34. 4.7. 相關違約事件下檢定力的比較 (c = 0.125、α = 0.05) . . . . . . . . . . . 35. 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. vi. i n U. v.

(8) 目. 圖. 錄. 2.1. CAP 曲線 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 7. 2.2. 校準 CAP 曲線與經驗 CAP 曲線 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 8. 2.3. Liu 和 Berger (1995) 齊一較強檢力檢定拒絕域 As (α = 0.05) . . . . . . 13. 2.4. Wang 和 McDermott (2002) 齊一較強檢力檢定拒絕域 A (α = 0.05) . . 14. 立. 政治大. Beta 機率密度函數 (a = 5.34375, b = 37.40625) . . . . . . . . . . . . . 17. 3.2. 齊一較強檢力檢定拒絕域 R (α = 0.05) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22. 4.1. 不同上界 Beta 機率密度函數 (c = 0.1、σ = 0.05) . . . . . . . . . . . . 27. 4.2. 不同上界 Beta 機率密度函數 (c = 0.125、σ = 0.05) . . . . . . . . . . . 29. ‧. ‧ 國. 學. 3.1. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. vii. i n U. v.

(9) 第一章. 緒論. 2005 年巴賽爾協定 (Basel Committee on Banking Supervision, BCBS) 中，允許銀行可依據內部評等系統估計出違約機率 (probability of default, PD)，但必須通過監理機關的違約機率校準 (default probabilities calibration)。由於銀行預測的違約機率愈低，列提信用風險的資本就愈少，但從監理機關的角度來看，並不希望較低的預測違約機率通過校準檢定 (calibration test)，因為一旦違約事件發生，銀行業將受到極大. 政治大. 的衝擊，這是監理機關所關心的議題。2005 BCBS 中亦提及，目前並沒有較強檢定力. 立. 的校準檢定，因為信用風險的違約樣本數稀少，且實際的資產間具相關性，造成債務人. ‧ 國. 學. 的違約事件互相影響，因此校準檢定發展的困難度相對提高。. ‧. Blöchlinger 和 Leippold (2009) 提出新的違約機率校準檢定 — global test，此校. y. Nat. 準檢定由 level 及 shape 兩方面組成。level 主要探討真實的違約機率是否被高估，舉例. io. sit. 來說，假設投資組合有 1000 個借款人，真正違約的人數為 3 人，那麼一個 level 校準. n. al. er. 良好 (level-calibrated) 的違約機率模型，其違約機率應大於 0.3 %；而 shape 是探討高、低違約機率的表現情形。. Ch. engchi. i n U. v. 在虛無假設成立下，level 的檢定統計量 Ln 和 shape 的檢定統計量 Sn 的漸近聯合 d. 分配為 N2 (0, I2 )，而 global test 的檢定統計量為 Gn = L2n + Sn2 −→ χ22 。模擬結果顯示 global test 犯型一誤差機率遠高於顯著水準，當虛無假設成立時容易拒絕虛無假設。且由模擬結果顯示在相關違約事件下 level test 亦有同樣情形。本研究先是利用截斷分配使 level test 犯型一誤差機率更接近顯著水準，並提出虛. 1.

(10) 無假設及對立假設為 H0 : θ ∈ H1 : θ ∈. 2 [ i=1 2 \. Θi0 Θi1. i=1. 的形式，引用交聯集檢定 (intersection union test, IUT)。更進一步透過 Liu 和 Berger (1995) 建構齊一較強檢力檢定 (uniformly more powerful test, UMP test)，增加檢定力。模擬結果顯示交聯集檢定與齊一較強檢力檢定的檢定尺度皆為 α，且齊一較強檢力檢定的檢定力皆高於交聯集檢定。本文第二章為文獻探討，將 Blöchlinger 和 Leippold (2009) 提出的違約機率校準. 政治大. 檢定與過去探討齊一較強檢力檢定的文獻做簡單的回顧。第三章將介紹我們修正的. 立. truncated level test 與齊一較強檢力檢定的建構。第四章為數值模擬結果的比較，第五. ‧. ‧ 國. 學. io. sit. y. Nat. n. al. er. 章為結論與建議。. Ch. engchi. 2. i n U. v.

(11) 第二章. 文獻探討. 本章主要介紹 Blöchlinger 和 Leippold (2009) 提出的違約機率校準檢定，以及交聯集檢定與齊一較強檢力檢定的建構。第一節為符號定義，第二節為 Blöchlinger 和 Leippold (2009) 提出的違約機率校準檢定，第三節為交聯集檢定，第四節將會介紹 Liu 和 Berger (1995) 提出的齊一較強檢力檢定及 Wang 和 McDermott (2002) 提出的檢定。. 符號定義. ‧ 國. 學. 2.1. 立. 政治大. ‧. 接下來本文會大量使用下列符號，因此介紹違約機率校準檢定之前我們先定義下列. sit. y. Nat. 符號，此後不再說明：. er. io. • C = 信用評等的分類數；. al. n. v i n Ch • πk = 在信用評等為 k 之下的校準違約機率，其中 e n g c h i Uk = 1, 2, . . . , C。且假設 πk 是 k 的遞增函數；. • Dk = 在信用評等為 k 之下的債務人違約的人數； • nk = 在信用評等為 k 之下的債務人人數； • n=. PC. k=1. nk ，所有債務人總數；. • pk = 信用評等的機率分配，滿足. PC. k=1. pk = 1；. • π ˆk = Dk /nk ，在信用評等為 k 之下的樣本違約比例。. 3.

(12) 2.2. Bl¨ ochlinger 和 Leippold (2009) 校準檢定. Blöchlinger 和 Leippold (2009) 對於違約機率的校準提出新適合度檢定 global test，此檢定包含兩個層面 - level 及 shape。global test 適用於檢定單期多個評等，並可以處理信用評等間具有相關性的情形，以下我們將分別介紹 level test、shape test 以及 global test。. 2.2.1. Level test. 政治大. 首先我們先建構違約機率模型，在建構違約機率模型之前我們必須描述債務人之間. 立. 0. 的違約相關性。假設 X = (X1 , X2 , . . . , XL ) 為系統風險因子，根據 CreditRisk+ 提出. X ) = πk πkj (X. L X. ‧. ‧ 國. Xl wjl. Nat. l=1. (2.1). sit. y. 可表示為. 學. 的違約機率模型，給定 X 下，πkj 為第 j 個債務人在信用評等 k 時的條件違約機率，. er. io. 其中 wjl 為第 j 個債務人在信用評等為 k 之下的系統性風險因子負荷 (factor loading)， P 假設其為非負且滿足 Ll=1 wjl = 1。在本文中，我們將考慮單因子模型，且假設在信用. n. al. i n C 評等 k 之下，各個債務人的條件違約機率皆一樣，也就是 hengchi U πkj (X) = Xπk. v. (2.2). 其中 X 在此視為總體經濟變數，並假設 E(X) = 1，由式 (2.2) 可看出當未來整體經濟不被看好，也就是 X > 1，條件違約機率將高於未給定 X 的校準違約機率；而當未來整體經濟走勢優於我們所預期的，也就是 X < 1，條件違約機率將低於未給定 X 的校準違約機率。. 4.

(13) 站在監理機關的角度，監理機關不希望預測的違約機率是被低估的，因此我們的假設為 H0 : π ≥ π0. (2.3). H1 : π < π0 其中 π 為真實的平均違約機率；π0 =. PC. k=1. pk πk 為校準的平均違約機率。由式 (2.2). 可得給定 X 之下，Dk |X 是相互獨立的隨機變數且 Dk |X ∼ Bin(nk , Xπk )。因此給定 X，根據弱大數法則 (weak law of large number) 可得到下列式子1 d. π ˆk −→ Xπk. ∀k. (2.4). 政治大. 在式 (2.4) 兩邊同時乘上 pk 並取總和，根據 Slutsky’s 定理，得到下式. 立 k=1. ‧ 國. PC. pk π ˆk ，為樣本的平均違約機率；π0 =. (2.5) PC. k=1. 學. 其中 π ˆ=. d. π ˆ −→ Xπ0. pk πk ，為校準的平均違約機. ‧. 率。接著由式 (2.5) 及 Slutsky’s 定理可得. (2.6). sit. Nat. y. π ˆ d −→ c X π0. c. n. 得 a 及 b 的估計值為 a ˆ=c. al. er. io. 假設 c X ∼ Beta(a, b)，變異數 V ar(c X) = σ 2 ，期望值 E(cX) = c；由動差估計式可. Ch. e nˆ g c h i. 1−c c−1 , σ2. b = (1 − c). i n U. v. 1−c c−1 σ2. (2.7). 最後，根據機率積分轉換 (probability integral transformation) ，level test 的檢定統計量為 −1. Ln = Φ. π ˆ Fa,b c π0. (2.8). 其中 Fa,b (·) 為 Beta(a, b) 的累積分配函數，Φ−1 (·) 為標準常態分配的分位數。且在虛無假設成立下， d. Ln −→ N (0, 1) 1. Hall and Heyde (1980), (7.1), p. 202. 5.

(14) 當 Ln < −zα 則拒絕虛無假設。 1 倍，Blöchlinger 和 Leippold (2009) c 設 c 為 0.125， σ 為 0.05。當 σ → 0，c X 的極限分配為一退化分配至一點 c，也就是在經濟走勢最壞的情況下，ˆ π 最多是 π0 的. d. X −→ 1 我們將此情況視為債務人間的違約是相互獨立的，透過中央極限定理 (central limit theorem)，在 σ → 0 的情況下，level test 的檢定統計量為 √ n (ˆ π − π0 ) Ln = p π0 (1 − π0 ) 且在虛無假設成立下，. 政治大 d. Ln −→ N (0, 1). 學. ‧ 國. 立當 Ln < −zα 則拒絕虛無假設。. ‧. Shape test. er. io. sit. y. Nat. 2.2.2. (2.9). 在此節我們將透過 Cumulative Accuracy Profile (CAP) 曲線描述違約機率分配的. al. n. v i n Ch 形狀及推導檢定統計量，因此在推導檢定統計量前我們先介紹 CAP 曲線。 engchi U. CAP 曲線常用來衡量信用評等模型是否具判別力，也就是違約和不違約債務人的信用評等分的是否恰當。CAP 曲線的 x 軸為信用評等的互補累積分配函數 (complementary cumulative distribution function)，y 軸為給定違約的情況下，信用評等的互補累積分配函數。在我們的假設 πk 是 k 的遞增函數情況下，一個好的信用評等模型在信用評等 k 愈小時估計的違約機率應該愈小，同理 k 愈大時信用評等模型估計的違約機率應要愈大。而不具判別力的模型 (random model) CAP 曲線為一條斜率等. 6.

(15) Defaulters' Complementary Cumulative Distribution Function. Perfect model 1. Ap Rating model. Ar Random model. 0. 政治大. 0. 1. Complementary Rating Cumulative Distribution Function. 立. ‧ 國. 學. 圖 2.1: CAP 曲線. 於 1 的直線；如圖 2.1 所示，Ap 為最佳模型 (perfect model) 與不具判別力模型所圍面. ‧. 積，而 Ar 為評等模型與不具判別力模型所圍面積。衡量信用評等模型的優劣的指標為. al. Ar Ap. er. io. AR =. sit. y. Nat. Accuracy Ratio (AR)，. n. v i n Ch 當 AR 愈接近 1，也就是評等模型愈靠近最佳模型，我們認定此評等模型愈好。 engchi U 現在考慮校準 CAP 曲線 (calibrated CAP curve) 及經驗 CAP 曲線 (empirical CAP curve)： 1−. k X. Pk. pi , 1 −. i=1. i=1 PC i=1. n i πi n i πi. ! 1−. , 及. k X i=1. k ∈ {1, 2, . . . , C}。. 7. Pk pi , 1 −. Pi=1 C i=1. ni π î ni π î. ! (2.10).

(16) Defaulters' Complementary Cumulative Distribution Function. Perfect model 1. Empirical CAP curve. Calibrated CAP curve. 0. 政治大. 0. 1. Complementary Rating Cumulative Distribution Function. 立. ‧ 國. 學. 圖 2.2: 校準 CAP 曲線與經驗 CAP 曲線. 如圖 2.2，從統計上的觀點來看，我們希望校準的 CAP 曲線高於經驗 CAP 曲. ‧. 線，等同於校準 CAP 曲線的曲線下面積 (area under CAP curve, AUCAP) 大於經驗. y. H0 : θ ≥ θ0. al. er. io. sit. Nat. CAP 曲線的曲線下面積。因此我們的假設為. (2.11). v i n C h AUCAP。由式其中 θ 為真實的 AUCAP，θ0 為校準的 i U (2.4) 及 Slutsky’s 定理可得 e Pk Pk n g c hPk n. H1 : θ < θ0. i=1 PC i=1. ni π î. ni π î. p. −→. X X. Pi=1 C i=1. n i πi n i πi. = Pi=1 C i=1. ni πi. ∀k. ni πi. (2.12). 由上式可看出在我們的假設下，校準的 CAP 曲線機率收斂至經驗 CAP 曲線，並且與描述債務人違約之間相關性的風險因子 X 無關。接下來在計算 θ0 的過程中，對於每個信用評等 k 計算其曲線下梯形面積為 ! Pk n π 1 n k πk i i pk PC + pk 1 − Pi=1 ∀k C 2 n π i=1 i i i=1 ni πi 接著再將各個梯形面積加總起來可得 θ0 =. C X k=1. PC. pk. ni πi 1 nk π k + Pi=k+1 PC C 2 i=1 ni πi i=1 ni πi 8. ! (2.13).

(17) 估計量為 θˆn =. C X. pk. k=1. ! PC n π ˆ ˆk 1 nk π i i + Pi=k+1 P C 2 C n π ˆ î i=1 i i i=1 ni π. (2.14). 變異數為 " C 1 1 X 2 σθˆ = p k πk nˆ π π0 k=1. k−1. k−1. k−1. X X X 1 2 pk + pk pi + pi pi 4 i=1 i=1 i=1. #. ! − θ02. (2.15). 最後 shape test 的檢定統計量為 Sn =. θˆn − θ0 σθˆ. (2.16). 且在虛無假設成立下， d. Sn −→ N (0, 1) 當 Sn < −zα 則拒絕虛無假設。. 學. 2.2.3. ‧ 國. 立. 政治大. Level 及 Shape 的漸近聯合分配. ‧. 此節我們說明在虛無假設成立下，且當樣本數趨近無窮大時， level 及 shape 的漸. y. Nat. er. io. al. sit. 近聯合分配為二元標準常態分配，且其相關係數為 0。. d. n. 在 2.2.1 節中我們分兩個情況來推導 level 的檢定統計量。在 X −→ 1 下，我們視. Ch. engchi U. v ni. 為債務人間的違約是獨立的，此時 level 的檢定統計量為式 (2.9)，且在虛無假設成立下，其分配為漸近標準常態分配。而債務人間的違約具有相關性的情況下，level 的檢定統計量為式 (2.8)，且在虛無假設成立下，其分配為漸近標準常態分配。在 2.2.2 節中我們也推導出 shape 的檢定統計量為式 (2.16)，且在虛無假設成立下，其分配亦為漸近標準常態分配。考慮下式 lim E [ I{Ln ≤ l}I{Sn ≤ s} | π ˆ ] = lim I{Ln ≤ l} lim E [ I{Sn ≤ s} | π ˆ]. n→∞. n→∞. n→∞. = lim I{Ln ≤ l} lim E [ I{Sn ≤ s} | Xπ0 ] n→∞. n→∞. = lim I{Ln ≤ l} lim E [ I{Sn ≤ s} ] n→∞. n→∞. = lim I{Ln ≤ l} Φ(s) n→∞. 9.

(18) d. 第一個等式成立在 Ln 為 π ˆ 的函數，且當 n → ∞，ˆ π −→ Xπ0 ，所以第二個等式亦成立。又 Sn 與 X 無關，所以第三個等式成立。接著根據雙重期望值原理可得 lim E [ I{Ln ≤ l}I{Sn ≤ s} ] = Φ(l)Φ(s). n→∞. 也就是在虛無假設成立下，當 n → ∞，Ln 及 Sn 的漸近聯合分配為二元標準常態分配       L n  d 0 1 0 (2.17)   −→ N2   ,   Sn 0 0 1. 2.2.4. Global test. 治政大及 S 的漸近聯合分配為在 2.2.3 節中可得在虛無假設成立下，當 n → ∞，L 立二元標準常態分配；也藉由式 (2.17)，Blöchlinger 和 Leippold (2009) 綜合 level 及 n. 學. ‧ 國. n. shape 提出 global test，檢定統計量 Gn 為 d. ‧. Gn = L2n + Sn2 −→ χ22. Nat. sit. n. er. io. al. y. 當 Gn > χ2α,2 則拒絕虛無假設。. 2.3. 交聯集檢定. (2.18). Ch. engchi. i n U. v. 當虛無假設表示為參數的聯集時，對於處理這類型假設檢定的問題交聯集檢定是一個很自然的方法。交聯集檢定最早由 Lehmann (1952) 提出，近年來交聯集檢定在醫學領域尤其是製藥方面愈來愈受到重視，在藥品製造方面生物等效性的檢定 (bioequivalence testing) 在新藥開發和新藥評價過程中發揮著非常重要的作用。生物等效性是指同一種藥物的不同製劑在相同實驗條件下，給予相同的劑量，判斷其吸收速度和程度有無顯著差異的過程。若只考慮兩個假設檢定 H10 : µ1 ≥ 0. v.s.. H11 : µ1 < 0. H20 : µ2 ≥ 0. v.s.. H21 : µ2 < 0. 10. (2.19).

(19) 且對於 µi 拒絕域為 Ri (i = 1, 2)，則交聯集檢定的虛無假設及對立假設可用兩條不等式表示如下 H0 : µ1 ≥ 0 或 µ2 ≥ 0. (2.20). H1 : µ1 < 0 且 µ2 < 0 且交聯集檢定的拒絕域 C 建構在 R1 , R2 之上 C = R1 ∩ R2. (2.21). 只有拒絕第一個假設檢定的虛無假設 H10 : µ1 ≥ 0 且同時拒絕第二個假設檢定的虛無假設 H20 : µ2 ≥ 0 時才會拒絕交聯集檢定的虛無假設 H0 : µ1 ≥ 0 或 µ2 ≥ 0。. 政治大 0. 0. µ, I2 )，其中 Z = (Z1 , Z2 ) ，µ µ = (µ1 , µ2 ) ，I2 為 2 × 2 單位矩假設 Z ∼ N2 (µ. 立. 陣。Sasabuchi 在 1980 年文章中證明對於檢定問題 (2.20)，其檢定尺度為 α 的最大概. ‧ 國. 學. 似比檢定為. ‧. Z1 < −zα 且 Z2 < −zα. Nat. sit. n. al. er. io. 2.4. y. 我們將會在第三章透過此想法建構最大概似比檢定。. (2.22). Ch 齊一較強檢力檢定 e. ngchi. i n U. v. 此節我們會介紹 Liu 和 Berger (1995) 與 Wang 和 McDermott (2002) 如何建構齊一較強檢力檢定。在多元常態母體下，Berger 在 1989 年文章中提出一新檢定，基於最大概似比檢定的拒絕域，額外增添互斥的拒絕域，其檢定尺度與最大概似比檢定相同，但新檢定的檢力高於最大概似比檢定，故其新檢定稱為齊一較強檢力檢定。但此檢定只適用於對立假設為銳角及直角的情形，並不適用於鈍角。Liu 和 Berger (1995) 改善以上的問題，並使添加互斥的拒絕域更為平滑，且其檢定尺度依然與最大概似比檢定相同。. 11.

(20) 考慮包含兩條線性不等式的假設檢定問題如式 (2.20) H0 : µ1 ≥ 0 或 µ2 ≥ 0 H1 : µ1 < 0 且 µ2 < 0 0. 0. µ, I2 )，其中 Z = (Z1 , Z2 ) ，µ µ = (µ1 , µ2 ) 。 Liu 和 Berger (1995) 定義假設 Z ∼ N2 (µ Ls 為一個二維度的集合

(21)

(22)

(23) Ls = (z1 , z2 )

(24) z1 ≤ −zα , z2 ≤ −zα. (2.23). 也就是 Ls 為 (2.20) 最大概似比檢定拒絕域。又定義對於所有的實數 z1 ， Z. 立. (2.24). 學. ‧ 國. 政治大. φ(z2 ) dz2 Ps (z1 ) = α − Ls (z1 )    α 如果 z1 ≥ −zα =   0 如果 z1 < −zα. 其中 φ(·) 為標準常態分配的機率密度函數。Ps (·) 是為了想找在最大概似比檢定拒絕域. ‧. 外未達檢定尺度 α 的機率，經由此過程找到與最大概似比檢定拒絕域互斥的額外拒絕. sit. y. Nat. 域。. n. al. er. io. 經由以上定義，當 0 < d < 1，且 0 < α < 0.5 時，Liu 和 Berger (1995) 所提出的齊一較強檢力檢定拒絕域為. Ch. engchi. i n U. v. As = Ls ∪ Bs. (2.25). 其中 d 表示 Ps (z1 ) 機率落在直線 z2 = z1 上的比率；Bs = Bs1 ∩ Bs2 ，

(25)

(26) o o

(27) = (z1 , z2 )

(28) − zα ≤ z1 ≤ zα , l2 (z1 ) ≤ z2 ≤ l1 (z1 )

(29)

(30) o o

(31) = (z1 , z2 )

(32) − zα ≤ z2 ≤ zα , l2 (z2 ) ≤ z1 ≤ l1 (z2 ) . Bs1 Bs2. 12. (2.26).

(33) 0.0. R ej ect i on regi on A s , α = 0.05 l. l 1 (z 1 ). -0.5. − zα. -1.0. l 2 (z 2 ). -1.5. Z2. l 2 (z 1 ). l 1 (z 2 ). z2 = − zα. -2.0. Ls. − zα. 政治大. z1 = − zα. -2.0. 立. -1.5. -1.0. -0.5. 0.0. 0.5. 學. ‧ 國. -2.5. -. Z1. ‧. 圖 2.3: Liu 和 Berger (1995) 齊一較強檢力檢定拒絕域 As (α = 0.05). sit er. io. = min Φ Φ(zi ) + dPs (zi ) , 0 o −1 l2 (zi ) = max Φ Φ(zi ) − (1 − d)Ps (zi ) , −zα −1. al. n. l1o (zi ). . y. Nat. 此時. Ch. engchi. i n U. v. ∀ i = 1, 2. (2.27). 值得注意的是因為本文考慮的假設檢定問題為式 (2.20)，其線性假設為直角的情形，故 Bs1 及 Bs2 的差異僅在座標軸互換，也就是 Bs1 是從 Z1 - Z2 空間來看，而 Bs2 是從 Z2 - Z1 空間來看。如圖 2.3 所示，左下角 Ls 為 α 尺度的最大概似比檢定拒絕域；l1 (z1 ) 及 l2 (z1 ) 所圍成的區域為 Bs1 ，l1 (z2 ) 及 l2 (z2 ) 所圍成的區域為 Bs2 ，而 Bs = Bs1 ∩ Bs2 為一個與 Ls 互斥的拒絕域；As = Ls ∪ Bs 為 Liu 和 Berger (1995) 所提的尺度 α 齊一較強檢力檢定拒絕域。 Wang 和 McDermott (2002) 定義一個二維度且包含在 {(u1 , u2 )| 0 ≤ u1 ≤ 1, 0 ≤. 13.

(34) 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學. 圖 2.4: Wang 和 McDermott (2002) 齊一較強檢力檢定拒絕域 A (α = 0.05). y. Nat. er. io. sit. u2 ≤ 1} 的集合 A。此集合由三個互斥子集所組成，也就是 A = A0 ∪ A1 ∪ A2 ，其中

(35)

(36) A0 = (u1 , u2 )

(37)

(38) 1 − α ≤ u1 ≤ 1, 1 − α ≤ u2 ≤ 1

(39)

(40) A1 = (u1 , u2 )

(41)

(42) |u1 − u2 | ≤ α/2, 1/2 ≤ u1 < 1 − α, 1/2 ≤ u2 < 1 − α

(43) [

(44)

(45) A2 = (u1 , u2 )

(46) 1/2 ≤ u2 ≤ u1 − 1/2 + 3α/2, u1 < 1 − α

(47)

(48)

(49) (u1 , u2 )

(50) 1/2 ≤ u1 ≤ u2 − 1/2 + 3α/2, u2 < 1 − α . n. al. Ch. engchi. i n U. v. (2.28). A 集合有些重要的性質。假設 A(u2 ) = {u1 | (u1 , u2 ) ∈ A}，若 u2 < 1/2，則 A( u2 ) = ∅。若 1/2 ≤ u2 ≤ 1，則 A( u2 ) 由一個或兩個區間長度為 α 的區間組成。因此，假設 U1 , U2 為兩獨立的連續型隨機變數，且 U1 ∼ Uniform(0 ,1)，U2 的分配沒有限制，則 Z P {(U1 , U2 ) ∈ A} =. 1. P {U1 ∈ A(u2 )}f (u2 ) du2 = αP {(1/2 ≤ U2 ≤ 1} ≤ α 0. 14.

(51) 且 A 集合對稱於 u1 和 u2 ，因此相反地，假設 U2 ∼ Uniform(0 ,1)，而 U1 的分配沒有限制，則 P {(U1 , U2 ) ∈ A} = αP {(1/2 ≤ U2 ≤ 1} ≤ α。由於本文考慮的假設檢定為左尾的線性不等式，如式 (2.20) 所表示，因此我們重新定義 A0 、A1 以及 A2 如下

(52)

(53)

(54) A0 = (u1 , u2 )

(55) 0 ≤ u1 ≤ α, 0 ≤ u2 ≤ α

(56)

(57)

(58) A1 = (u1 , u2 )

(59) |u1 − u2 | ≤ α/2, α ≤ u1 < 1/2, α ≤ u2 < 1/2

(60) [

(61) A2 = (u1 , u2 )

(62)

(63) u1 + 1/2 − 3α/2 ≤ u2 ≤ 1/2, u1 > α

(64)

(65) (u1 , u2 )

(66)

(67) u2 + 1/2 − 3α/2 ≤ u1 ≤ 1/2, u2 > α . 政治大如圖 2.4 所示，左下角的正方形為立 A ，中間的多邊形為 A ，而 A 0. 2. 由左右兩邊的三角. ‧ 國. 學. 形所構成。. 1. (2.29). 我們在第三章將會利用 Liu 和 Berger (1995) 以及 Wang 和 McDermott (2002). ‧. 分別提出的檢定應用在違約機率的校準檢定上。. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. 15. i n U. v.

(68) 第三章. 研究方法. 在本章我們將延續 2.2 節中介紹了 Blöchlinger 和 Leippold 在 2009 年文章中提出的違約機率校準檢定做修正，並引入交聯集檢定的概念推導出最大概似比檢定，接著基於最大概似比檢定的拒絕域，增加互斥的拒絕域建構出齊一較強檢力檢定。. 3.1. Truncated level 政 test. 治. 大. 立. ‧. ‧ 國. X 之下，. 學. 在 2.2.1 節中我們介紹了 level test 的推導過程，由式 (2.2) 可得給定總體經濟變數. Dk |X ∼ Bin(nk , Xπk ) ∀k = 1, 2, . . . , C. y. Nat. er. io. al. sit. 且在給定 X 之下，Di 與 Dj (∀i 6= j) 彼此互相獨立。. n. 為符號簡潔，令 V = c X，假設 V ∼ Beta(a, b)，變異數 V ar(V ) = σ 2 ，期望值. Ch. E(V ) = c；由動差估計式可得 a 及 b 的估計值為 a ˆ=c. engchi. 1−c c−1 , σ2. ˆb = (1 − c). i n U. . v. 1−c c−1 σ2. Blöchlinger 和 Leippold 在 2009 年文章中設定 c 為 0.125、σ 為 0.05，則 a ˆ = 5.34375、ˆb = 37.40625。當債務人總數 n 較小 (2048, 4096, . . .) 時，我們發現 level test 犯型一誤差機率的模擬結果皆高於檢定尺度 α = 0.05。因此在相同的參數設定下，我們利用截斷分配的想法將 level test 的檢定尺度控制到 α = 0.05。如圖 3.1，當 a = 5.34375，b = 37.40625 時，V 理論上的範圍介於區間 [0, 1]，但從圖上來看 V 的上界只到 0.3、0.4 左右，因此我們透過截斷分配的想法引進一個新的參數 u < 1 使得範圍落在區間 [0, u] 之間，藉此修正 level test 犯型一誤差的 16.

(69) 4 0. 2. f(x). 6. 8. B et a d i st ri b ut i on pd f wi t h a = 5.34375 b = 37.40625. 0.0. 0.1. 立. 政治大 0.2. 0.3. 0.4. 0.5. x. ‧ 國. 學. 圖 3.1: Beta 機率密度函數 (a = 5.34375, b = 37.40625). ‧. 機率。假設 V ∼ Beta(a, b) 且 0 < v < 1。如果 W ∼ Beta(a, b) 且 0 < w < u。傳統. y. n. al. Ch. sit. wa−1 (u − w)b−1 fV (w) = , FV (u) B(a, b)FV (u). io. fW (w) =. 0<w<u. er. Nat. 上截斷 Beta 分配的定義如下. i n U. v. 若滿足 E(W ) = c 且 V ar(W ) = σ 2 ，則給定 u 下，估計值 a ˆ, ˆb 不易求出。因此本文. engchi. 利用常用的三參數 Beta 分配 (three parameters Beta distribution)，除了原本的參數 a, b 之外，新增一個參數 u 使 V 的範圍落在區間 [0, u] 而不是原本的區間 [0, 1]。假設 V ∼ Beta(a, b) 且 0 < v < 1。令 W = uV ，則 W 的機率密度函數為 fW (w) =. wa−1 (u − w)b−1 , B(a, b)ua+b−1. 0<w<u. (3.1). 接著我們要推導 a, b 的動差估計式，假設隨機變數 W 滿足下列兩個式子： 1. E(W ) = c 2. V ar(W ) = σ. 17. (3.2) 2.

(70) 則 c = E(W ) = E(uV ) = uE(V ) =. a u a+b. (3.3) ab u2 (a + b)2 (a + b + 1). σ 2 = V ar(W ) = V ar(uV ) = u2 V ar(V ) =. (3.4). 接著利用式 (3.3) 及式 (3.4) 可求出參數 a, b 的動差估計式為 c a ˆ= u. . u−c c−1 , σ2. ˆb = u − c a ˆ c. (3.5). 令 Ga,b (·) 為隨機變數 W 的累積分配函數，則 truncated level 檢定統計量為 L?n. −1. =Φ. π ˆ Ga,b c π0. (3.6). 政治大. 又因為. a,b. 學. ‧ 國. Ga,b. 立 (w) = P {W ≤ w} = P {uV ≤ w} = P {V ≤ w/u} = F. 因此式 (3.6) 可改寫為. −1. =Φ. ˆ c π Fa,b u π0. ‧. L?n. u. (3.7). y. Nat. n. al. er. io. sit. 拒絕域為 L?n < −zα 。. 3.2. w. C. hengchi 建構最大概似比檢定. i n U. v. 在此節我們將利用交聯集檢定的概念，推導新違約機率校準檢定的最大概似比檢定拒絕域。在 2.2 節中我們介紹了 Blöchlinger 和 Leippold (2009) 提出的新違約機率校準檢定 global test，檢定統計量 Gn 如式 (2.18) 所示 d. Gn = L2n + Sn2 −→ χ22 拒絕域為 Gn > χ2α,2 。從統計上的角度而言，global test 的檢定尺度過於寬大 (liberal)。因為從監理機關的角度來看，監理機關希望同時通過 level 及 shape 的校準檢定，也就是同時滿足 level 18.

(71) Ln. Sn. Gn. 1. −2.296∗. −1.819∗. 8.580∗. 2. −2.073∗. −1.309. 6.011∗. 3. 1.604. −1.995∗. 6.553∗. 4. 2.211. −1.104. 6.107∗. Scenario. 表 3.1: Global test 檢定尺度 (α = 0.05). 校準良好且 shape 校準良好，才判定此違約機率模型是校準良好的；而 global test 判定此違約機率模型是校準良好包含了四種情況：. 政治大 1. level 校準良好且 shape 校準良好；立. ‧ 國. 學. 2. level 校準不良且 shape 校準良好； 3. level 校準良好且 shape 校準不良；. ‧ sit. y. Nat. 4. level 校準不良且 shape 校準不良。. n. al. er. io. 表 3.1 為模擬出的檢定統計值，且表中的 scenario 分別對應上述四種情. i n U. v. 況，level、shape 的臨界值為 −z0.05 = −1.645，global 的臨界值為 χ20.05,2 = 5.991。. Ch. engchi. 從模擬結果顯示 global test 無論 level 及 shape 校準良好或不良皆判定成校準良好，這將會造成犯型一誤差的機率增加，因此我們希望建構一個校準檢定，此校準檢定必須拒絕 level 的虛無假設且拒絕 shape 的虛無假設才算拒絕，很直覺的我們利用交聯集檢定來建構新的違約機率校準檢定。新的違約機率校準檢定虛無假設及對立假設可表示為 H0 : π ≥ π0 或 θ ≥ θ0. (3.8). H1 : π < π0 且 θ < θ0 改寫上式為 H0 : µ1 ≥ 0 或 µ2 ≥ 0 H1 : µ1 < 0 且 µ2 < 0 19. (3.9).

(72) 其中 µ2 = θ − θ0 ，    π − π0 µ1 = h   E Φ−1 Fa,b c u. ，如果債務人間的違約事件是獨立的 π ˆ π0. i. (3.10). ，如果債務人間的違約事件是相關的. 接著我們要推導出最大概似比檢定拒絕域，假設    L? ，如果 i = 1 n Zi =   Sn ，如果 i = 2. (3.11). 根據 2.2.3 節中敘述，當 n → ∞ 時，可得 d. µ, I2 ) Zn −→ N2 (µ. 其中 Zn. (3.12). 政治大 µ = (µ立 = (Z , Z ) ，µ , µ ) ，I 為 2×2 單位矩陣。因此根據 Sasabuchi (1980) 0. 1. 0. 2. 1. 2. 2. ‧ 國. 學. ，在 n → ∞ 時，對於假設檢定式 (3.9) 的尺度 α 最大概似比檢定拒絕域為 Z1 < −zα 且 Z2 < −zα. (3.13). ‧. n. 建構齊一較強a檢l 力檢定. Ch. engchi. er. io. sit. y. Nat. 3.3. i n U. v. 我們在 3.2 節末對於假設檢定式 (3.9) 建構出尺度 α 的最大概似比檢定拒絕域，接著我們利用 Liu 和 Berger (1995) 的方法建構齊一較強檢力檢定。如同式 (2.23)，最大概似比檢定拒絕域 Ls 可表示為

(73)

(74) Ls = (z1 , z2 )

(75)

(76) z1 ≤ −zα , z2 ≤ −zα. (3.14). 基於最大概似比檢定的拒絕域，Liu 和 Berger (1995) 的尺度 α 齊一較強檢力檢定拒絕域為 As = Ls ∪ Bs. 20. (3.15).

(77) 其中 Bs = Bs1 ∩ Bs2 ，Bs1 及 Bs2 的定義如式 (2.26)。由於 As 上靠近 (0, 0) 的點並不是每一個點都是尺度 α，因此我們利用 Wang 和 McDermott (2002) 提出 A2 的想法，使得 As 的每個點都滿足尺度 α。回顧 2.4 節中，

(78) [

(79)

(80) A2 = (u1 , u2 )

(81) u1 + 1/2 − 3α/2 ≤ u2 ≤ 1/2, u1 > α

(82)

(83)

(84) (u1 , u2 )

(85) u2 + 1/2 − 3α/2 ≤ u1 ≤ 1/2, u2 > α 接著令 U1 = Φ(Z1 )，U2 = Φ(Z2 )，則 A2 可改寫為

(86) [

(87) A2 = (z1 , z2 )

(88)

(89) Φ(z1 ) + 1/2 − 3α/2 ≤ Φ(z2 ) ≤ 1/2, Φ(z1 ) > α

(90)

(91)

(92) (z1 , z2 )

(93) Φ(z2 ) + 1/2 − 3α/2 ≤ Φ(z1 ) ≤ 1/2, Φ(z2 ) > α . 立. 政治大. ‧ 國. 學 ‧.

(94) [

(95) −1

(96) = (z1 , z2 )

(97) Φ Φ(z1 ) + 1/2 − 3α/2 ≤ z2 ≤ 0, z1 > −zα

(98)

(99) −1 (z1 , z2 )

(100)

(101) − zα < z2 ≤ Φ Φ(z1 ) − 1/2 + 3α/2 , z1 ≤ 0 . sit. y. Nat. (3.16). n. al. er. io. 因此，對於假設檢定式 (3.9). i n U. H0 : µ1 ≥ 0 或 µ2 ≥ 0. Ch. engchi. v. H1 : µ1 < 0 且 µ2 < 0 我們建構的尺度 α 齊一較強檢力檢定拒絕域為. R = As ∪ A2 = Ls ∪ Bs ∪ A2 如果 (Z1 , Z2 ) ∈ R，則拒絕虛無假設。. 21. (3.17).

(102) 0.0. R ej ect i on regi on R , α = 0.05 l. l 1 (z 1 ). A2. -0.5. − zα. -1.0. l 2 (z 2 ). -1.5. Z2. l 2 (z 1 ). l 1 (z 2 ). z2 = − zα. -2.0. Ls. A2. -. − zα. 政治大. z1 = − zα. -2.0. 立. -1.5. -1.0. -0.5. 0.0. 0.5. 學. ‧ 國. -2.5. Bs. Z1. ‧. 圖 3.2: 齊一較強檢力檢定拒絕域 R (α = 0.05). y. Nat. io. sit. 如圖 3.2 所示，左下角矩形為 Ls ，中間多邊形為 Bs ，三角形為 A2 ，我們建構的齊. n. al. er. 一較強檢力檢定拒絕域 R 為 Ls ∪ Bs ∪ A2 ；當最大概似比檢定拒絕域 Ls 為尺度 α 的. i n U. v. 檢定，齊一較強檢力檢定拒絕域 R 亦會是尺度 α 的檢定，且藉由增添拒絕域 Bs 以及. Ch. engchi. A2 ，我們建構的齊一較強檢力檢定檢力會高於最大概似比檢定拒絕域 Ls 。. 22.

(103) 第四章. 模擬分析比較. 本文使用蒙地卡羅法模擬各個檢定犯型一誤差的機率以及檢定力，模擬次數皆為 105 次。我們將分兩個部分來探討各個檢定犯型一誤差機率以及檢定力的表現。第一個部分為違約事件彼此互相獨立，分別看交聯集檢定以及齊一較強檢力檢定；而第二個部分為違約事件彼此相關，我們會使用修正過後的 truncated level test 建構出交聯集檢定以及齊一較強檢力檢定，分別看這兩個檢定犯型一誤差機率以及檢定力的模擬結果。. 立. 參數設定. ‧ 國. 學. 4.1. 政治大. ‧. 假設總債務人數分別為 2048、4096、8192、16384 及 32768 人，且共有 5 個信用. y. Nat. 評等等級，pk 為信用評等等級的機率分配，πk 為給定信用評等等級 k 下，債務人估計. sit. n. al. er. io. 的違約機率 (假設在同一個信用評等下每個債務人違約機率皆相等)，如表 4.3 所示。在 P 虛無假設成立下，可計算出 π0 = 5k=1 πk pk 而 θ0 可藉由式 (2.13) 計算；在對立假設 P 0 成立下的 πa = 5k=1 πk pk 與 θa 算法與上述相同。. 4.2. Ch. engchi. i n U. v. 型一誤差及檢定力. 本節主要探討本文提出的檢定方法其犯型一誤差的機率及檢定力模擬的結果，由於債務人間的違約事件可能是彼此獨立或是相關的，因此接下來我們分為兩個部分來探討。. 23.

(104) 獨立的違約事件. 4.2.1. 首先我們先將模擬流程整理成如下步驟：. 1.. 產生 Dk ∼ Bin(nk , πk ) k = 1, . . . , 5. 2.. π ˆk = Dk /nk k = 1, . . . , 5. 3.. π ˆ=. 4.. √ n (ˆ π − π0 ) Ln = p π0 (1 − π0 ). 5.. 由式 (2.13)、(2.14) 及 (2.15) 計算出 θ0 、θˆ 及 σθ2ˆ. 6.. θˆ − θ0 Sn = σθˆ. ‧ 國. I{Gn > χ2α,2 }、. y. 重複上述步驟 1. 至步驟 7. m 次 (m = 105 )。 1 m. Pm. al. i=1. I{(Ln , Sn ) ∈ Ls } 及. 1 m. sit. i=1. p k πk. Pm. i=1. er. Pm. k=1. Gn = L2n + Sn2. io. 1 m. P5. 政治大. 立. Nat. 則. pk π ˆ k , π0 =. ‧. 8.. k=1. 學. 7.. P5. I{(Ln , Sn ) ∈ R} 分. v. n. 別為 global test、IUT 及 UMP test 犯型一誤差機率的估計值。若在步驟 1. 中的 πk 0. Ch. 改為 πk ，則上述為檢定力的估計值。. engchi. i n U. 在獨立的違約事件下，表 4.4 中 φG 為 global test ；φIU T 為 level 及 shape 的交聯集檢定；φU M P 為 3.3 節中的齊一較強檢力檢定。首先可以看到參數點 (µ1 , µ2 ) = (0, 0) 時，φG 皆小於 0.05，φIU T 皆小於 0.0025 而 φU M P 皆在 0.0250 附近，並且我們發現 φU M P 會有大於 0.0250 的值出現。理論上 φIU T 與 φU M P 皆為尺度 α 檢定，是由於 φIU T 與 φU M P 的檢定統計量在虛無假設成立下皆為近似常態分配，真正母體分配並不是常態分配所導致的結果。固定 µ2 = 0 下，隨著 µ1 愈來愈小，如式 (3.9)，(µ1 , µ2 ) 在此情況下仍然是在虛無假設成立下。可以發現隨著 µ1 愈來愈小，φG 的值愈來愈大，這是因為在 3.2 節中 24.

(105) 我們所提到 φG 會有誤判的情況，當虛無假設成立下拒絕虛無假設，造成犯型一誤差的機率增加；甚至當 (µ1 , µ2 ) = (−0.0068, 0) 時，global test 犯型一誤差的機率高達 1，因此我們不考慮使用 global test。接著我們可以看到固定 µ2 = 0 下，當 µ1 愈來愈小，φIU T 與 φU M P 漸漸收斂至 α = 0.05，是因為 φIU T 與 φU M P 皆是尺度 α 的檢定；並且可以看到 φU M P 的收斂速度比 φIU T 快，是因為 φU M P 的拒絕域 R 是由 φIU T 的拒絕域 Ls 再另外增添互斥的拒絕域 Bs ∪ A2 所組成。接著由表 4.5 來比較檢定力的表現。隨著 (µ1 , µ2 ) 愈來愈小，φIU T 及 φU M P 的檢定力愈來愈高；並且在每個參數點下，隨著樣本數 n 的增加，檢定力也是愈來愈高。且 φIU T 與 φU M P 是同時拒絕 level 的虛無假設及 shape 的虛無假設才算拒絕，並不會有. 政治大. φG 誤判導致犯型一誤差機率增加的情況。. 立. 從模擬結果中可發現當 (µ1 , µ2 ) = (−0.0017, −0.0557) 時，φIU T 與 φU M P 的檢定. ‧ 國. 學. 力表現不是很理想，一部分原因是因為無論是 level test 亦或是 shape test 的檢定統計. ‧. 量皆是近似常態分配，其真正的母體分配並不是常態分配；但隨著 (µ1 , µ2 ) 與 (0, 0) 的差距愈來愈大，φIU T 及 φU M P 的檢力愈來愈高，尤其是在樣本數 n 較大的時候，並. Nat. sit. y. 且從模擬結果可看到 φU M P 的檢力皆大於等於 φIU T ，這是因為我們藉由增添的拒絕域. n. al. er. io. Bs ∪ A2 的關係，維持 φU M P 是尺度 α 的檢定且增加其檢定力。. 4.2.2. 相關的違約事件. Ch. engchi. i n U. v. 在 2.2.1 節中我們引進隨機變數 X 來描述債務人間的違約相關性，並假設 1 cX ∼ Beta(a, b)，其中 c 表示在經濟走勢不好的情況下， π ˆ 最多是 π0 的倍，在 c Blöchlinger 和 Leippold (2009) 文中設定 c = 0.125，也就是在最壞的情況下 π ˆ 最多是 π0 的 8 倍，接下來我們會分別討論當 c = 0.1 與 0.125 時，也就是 π ˆ 最多是 π0 的 10 與 8 倍時對於犯型一誤差的機率及檢定力模擬結果的影響。如同上節，在相關的違約事件下，我們將模擬流程整理成如下步驟：. 25.

(106) 1.. 給定 c = {0.1, 0.125}、σ = 0.05 以及 u。. 2.. 由式 (3.5) 計算出 a ˆ 及 ˆb。. 3.. 產生 cX ∼ Beta(ˆ a, ˆb). 4.. 產生 Dk ∼ Bin(nk , Xπk ) k = 1, . . . , 5. 5.. π ˆk = Dk /nk k = 1, . . . , 5. 6.. π ˆ=. 2 θˆ. 0. Sn =. θˆ − θ0 σθˆ. Gn = L2n + Sn2. 重複上述步驟 1. 至步驟 10. m 次 (m = 105 )。. y. sit. P Pm Pm 1 1 2 I{Ln < −zα }、 m1 m i=1 I{Sn < −zα }、 m i=1 I{Gn > χα,2 }、 m i=1 P I{(Ln , Sn ) ∈ Ls } 及 m1 m i=1 I{(Ln , Sn ) ∈ R} 分別為 truncated level test、shape i=1. al. n. 1 m. Pm. c π ˆ Fa,b u π0. 政治大由式 (2.13)、(2.14) 及 (2.15) 計算出 θ 、θˆ 及 σ 立 Ln = Φ. io. 則. p k πk. Nat. 11.. k=1. ‧. 10.. P5. 學. 9.. −1. pk π ˆ k , π0 =. er. 8.. k=1. ‧ 國. 7.. P5. Ch. engchi. i n U. v. test、global test、IUT 及 UMP test 犯型一誤差機率的估計值。如果在步驟 4. 中的 0. πk 改為 πk ，則上述為檢定力的估計值。圖 4.1 是當 c = 0.1、σ = 0.05 時對於不同上界 u 所對應 Beta 分配的機率密度函數。可以看到在原來的設定下，Beta 分配其支撐 (support) 的上界 u 沒有達到理論值 1，約是 0.31、0.32 左右，因此我們給定不同的上界 u 來看犯型一誤差的機率以及檢定力的模擬結果。. 26.

(107) 8. Beta distribuitn with different upper bound u. 4 0. 2. f(x). 6. u=1 u = 0.31 u = 0.32 u = 0.33. 立. 0.0. 政治大. 0.1. 0.2. 0.3. 學. x. ‧. ‧ 國. 0.4. 圖 4.1: 不同上界 Beta 機率密度函數 (c = 0.1、σ = 0.05). Nat. sit. y. 表 4.1 為在 c = 0.1、α = 0.05 下犯型一誤差機率的比較，original level 是未修正. n. al. er. io. 的 level test，truncated level 是給與上界 u 的 truncated level test。可以發現在未修. i n U. v. 正的 level test 中，雖然隨著樣本數 n 的增加其犯型一誤差的機率更接近 α = 0.05，. Ch. engchi. 但皆高估犯型一誤差的機率，藉由我們提出的 truncated level test，可以看到在 u = 0.32、0.33 及 0.34 時，其犯型一誤差的機率比起 original level test 在相同樣本數 n 下更為接近 α = 0.05，尤其當 u = 0.32 時效果較好，因此接下來檢定力的模擬，我們選 u = 0.32 的 truncated level test 來和原始未修正的 level test 來比較。接著是檢定力的比較，如表 4.6 所示。由於在對立假設成立下，獨立違約事件與相 0. 關違約事件我們給定的 πk 不同，且在相關違約事件下 µ1 不易計算出，因此我們參數點的表示為 (π, θ) 而不是 (µ1 , µ2 )。在表 4.6 中，我們先看 original 的部份：original 是表示未修正的 level test，而在 original 下的 φIU T 與 φU M P 是由未修正的 level test 所組成。隨著參數點 (π, θ) 與 (0.0299, 0.6467) 的差距愈來愈大，未修正的 level test 檢定 27.

(108) 表 4.1: 相關違約事件下犯型一誤差機率的比較 (c = 0.1、α = 0.05) n. original level. truncated level u = 0.31. u = 0.32. u = 0.33. 2048. 0.05619. 0.05438. 0.05423. 0.05446. 4096. 0.05293. 0.05237. 0.05147. 0.05217. 8192. 0.05218. 0.05180. 0.05104. 0.05192. 16384. 0.05202. 0.05136. 0.05052. 0.05100. 32768. 0.05143. 0.04963. 0.04993. 0.05039. 力隨之增加。shape test、IUT 及 UMP test 也是如此。. 治政大 (π θ) 與 (0.0299, 0.6467) 接著我們看到表 4.6 右邊 truncated 的部份，隨著參數點立的差距愈來愈大，truncated level test 檢定力隨之增加。shape test、IUT 及 UMP ,. ‧ 國. 學. test 也是一樣的情況。. ‧. 綜合 original 與 truncated 兩方面來看，我們可以看到 original 的檢定力皆高. sit. y. Nat. 於 truncated 的檢定力，是因為 original 的 level test 高估犯型一誤差的機率，在. io. er. truncated 的部份我們控制了 level test 犯型一誤差的機率更為接近 α = 0.05，且 truncated 的檢定力才是維持在尺度 α = 0.05 下的檢定力。因此由 truncated level. al. n. v i n Ch test 組成的 φIU T 與 φU M P 的檢定力才是維持在尺度 e n g c h i αU= 0.05 下的檢定力。我們可以看到 (π, θ) 與 (0.0299, 0.6467) 差距不大且樣本數 n 不大時，φIU T 與 φU M P 檢定力的. 表現不是很理想，但隨著 (π, θ) 與 (0.0299, 0.6467) 的差距愈來愈大，φIU T 與 φU M P 的檢定力漸漸增加，尤其是樣本數 n 愈大時更為明顯，且如同我們所說的，φU M P 的檢定力皆大於等於 φIU T 。接下來考慮 c = 0.125 的情形。如圖 4.2，當 c = 0.125 時，未修正的 Beta 分配其支撐的上界 u 依然沒有達到理論值 1，約是 0.36、0.37 左右，因此我們一樣利用 truncated level test 給定不同上界 u 來看其犯型一誤差機率以及檢定力模擬的結果。表 4.2 為在 c = 0.125、α = 0.05 下犯型一誤差機率的比較。與 c = 0.1 時有相. 28.

(109) 8. Beta distribuitn with different upper bound u. 4 0. 2. f(x). 6. u=1 u = 0.36 u = 0.37 u = 0.38. 立. 0.0. 政治大. 0.1. 0.2. 0.3. 學. x. ‧ 國. 0.4. ‧. 圖 4.2: 不同上界 Beta 機率密度函數 (c = 0.125、σ = 0.05). sit. y. Nat. 似的趨勢，我們發現在未修正的 level test 中，雖然隨著樣本數 n 的增加其犯型一誤. n. al. er. io. 差的機率更接近 α = 0.05，但皆高估犯型一誤差的機率，藉由我們提出的 truncated. i n U. v. level test，可以看到在 u = 0.36、0.37 及 0.38 時，其犯型一誤差的機率比起 original. Ch. engchi. level test 在相同樣本數 n 下更為接近 α = 0.05，尤其當 u = 0.37 時效果較好。而比較 c = 0.1 及 c = 0.125 犯型一誤差的機率，在 original level test 的情況下，c = 0.1 犯型一誤差的機率皆小於 c = 0.125 時，是因為 c 愈小，1/c 就愈大，也就是 π ˆ /π0 愈大，當虛無假設成立的情況下，ˆ π 與 π0 差異愈大愈不容易誤判，所以當 c 愈小，original level test 犯型一誤差的機率就愈小。接著表 4.7 是 c = 0.125 下檢定力模擬的結果。個別看 original 及 truncated 的部份，隨著參數點 (π, θ) 與 (0.0299, 0.6467) 的差距愈來愈大，original level test 及 truncated level test 檢定力隨之增加。shape test、IUT 及 UMP test 也是如此。. 29.

(110) 表 4.2: 相關違約事件下犯型一誤差機率的比較 (c = 0.125、α = 0.05) n. original level. truncated level u = 0.36. u = 0.37. u = 0.38. 2048. 0.06233. 0.06167. 0.06045. 0.06080. 4096. 0.05506. 0.05480. 0.05472. 0.05499. 8192. 0.05319. 0.05202. 0.05066. 0.05240. 16384. 0.05241. 0.05100. 0.05027. 0.05205. 32768. 0.05204. 0.04978. 0.04999. 0.05091. 同時考慮 original 與 truncated 兩方面，與 c = 0.1 的情況相同，我們採取. 政治大. truncated 的 φIU T 與 φU M P ，因為 original level test 高估犯型一誤差的機率，在. 立. truncated 的部份我們控制了 level test 犯型一誤差的機率更為接近 α = 0.05，經由. ‧ 國. 學. truncated level test 組成的 φIU T 與 φU M P 的檢定尺度維持 α，因此在 truncated 的部份，φIU T 與 φU M P 的檢定力才是維持在尺度 α = 0.05 下的檢定力。並且在 (π, θ) 與. ‧. (0.0299, 0.6467) 差距不大且樣本數 n 不大時，φIU T 與 φU M P 檢定力的表現雖不是很. sit. y. Nat. 理想，但大於 c = 0.1 時 truncated 部分的 φIU T 與 φU M P 的檢定力；隨著 (π, θ) 與. al. n. 愈大時更為明顯，φU M P 的檢定力依然皆大於等於 φIU T 。. Ch. engchi. 30. er. io. (0.0299, 0.6467) 的差距愈來愈大，φIU T 與 φU M P 的檢定力漸漸增加，尤其是樣本數 n. i n U. v.

(111) 表 4.3: 參數設定. pk. 1. 2. 3. 4. 5. 0.0625. 0.2500. 0.3750. 0.2500. 0.0625. under H0. 治 0.0455 政 0.0263 大0.0430 0.0248 立0.0136 0.0132 0.0241 0.0418. 0.0075. 0.0144. 0.0071 0.0069. 0.0685. 0.0111. 0.0204. 0.0352. 0.0578. 0.0055. 0.0106. 0.0194. 0.0336. 0.0550. ‧. Independent default event under H1 0.0265. 0.0343. 0.0142. 0.0226. 0.0245. 0.0363. 0.0435. 0.0102. 0.0181. 0.0235. 0.0288. 0.0322. sit. 0.0205 0.0278 a l0.0191 v i n C h default eventUunder H1 Dependent engchi. n. 0.0040. er. io. 0.0112. y. 0.0206. Nat. πk. 0.0704. 0.0058. 0.0112. 0. 學. ‧ 國. πk. 0.0746. 0.0625. 0.0316. 0.0070. 0.0091. 0.0112. 0.0125. 0.0035. 0.0062. 0.0081. 0.0099. 0.0111. 0.0031. 0.0055. 0.0071. 0.0087. 0.0097. 0.0026. 0.0047. 0.0061. 0.0075. 0.0083. 31.

(112) 表 4.4: 獨立違約事件下犯型一誤差機率的比較 (α = 0.05) (µ1 , µ2 ). n. φG. φIU T. φU M P. 2048. 0.04590. 0.00196. 0.02366. 4096. 0.04736. 0.00203. 0.02420. 8192. 0.04626. 0.00245. 0.02592. 16384. 0.04587. 0.00218. 0.02542. 32768. 0.04672. 0.00238. 0.02536. 2048. 0.05602. 0.00452. 0.03114. 4096. 0.07177. 0.00679. 0.03659. (0, 0). (−0.0017, 0). 8192. 立 32768 16384. 0.02611. 2048. 0.07013. 0.00647. 4096. 0.10756. 0.01090. 8192. 0.18711. 0.01742. 16384. 0.35210. 0.02774. 32768. 0.65233. 0.04079. 0.04730 0.03589 0.04128. sit. y. 0.04370. er. ‧ 國. n. C h 0.32164 engchi 4096 0.63585. (−0.0079, 0). 0.04411. ‧. io. al. 2048 (−0.0068, 0). 0.03941. 學. 0.32634. Nat. (−0.0025, 0). 政0.10297治 0.01023 大 0.17304 0.01719. iv n 0.02644 U. 0.04551 0.04850 0.04355. 0.04060. 0.04883. 8192. 0.92719. 0.04819. 0.04888. 16384. 0.99892. 0.04892. 0.04893. 32768. 1.00000. 0.04930. 0.04930. 2048. 0.44007. 0.03490. 0.04811. 4096. 0.79230. 0.04600. 0.04913. 8192. 0.98368. 0.04874. 0.04892. 16384. 0.99998. 0.04906. 0.04906. 32768. 1.00000. 0.04960. 0.04960. 32.

(113) 表 4.5: 獨立違約事件下檢定力的比較 (α = 0.05). io. n. (-0.0079, -0.0889). 0.04322. 0.07446. 4096. 0.09779. 0.11807. 8192. 0.21398. 0.21925. 16384. 0.35977. 0.36002. 32768. 0.56936. 0.56936. 政治大 2048 0.09053. 0.11325. 4096. 0.19234. 8192. 0.37042. 16384. 0.58905. 0.58905. 32768. 0.84117. 0.84117. 2048. 0.38259. 0.40111. 4096. 0.77305. 8192. 0.98349. C h16384 i U e n g c h0.99997 32768 1.00000. 0.19972 0.37076. ‧. Nat. al. (-0.0068, -0.0829). 2048. y. (-0.0025, -0.0766). φU M P. 學. ‧ 國. 立. φIU T. sit. (-0.0017, -0.0557). n. 0.77499. er. (µ1 , µ2 ). v ni. 0.98349 0.99997 1.00000. 2048. 0.49528. 0.50771. 4096. 0.87125. 0.87201. 8192. 0.99619. 0.99619. 16384. 1.00000. 1.00000. 32768. 1.00000. 1.00000. 33.

(114) 表 4.6: 相關違約事件下檢定力的比較 (c = 0.1、α = 0.05). 0.85038 0.86728 0.87546 0.88127 0.88326. 34 (0.0060, 0.5638). Note: under H0 , (π, θ) = (0.0299, 0.6467). 0.20133 0.31923 0.48314 0.62588 0.69129. 0.23009 0.33722 0.48927 0.62621 0.69129. 0.34119 0.51076 0.72262 0.89688 0.97620. 0.22517 0.35071 0.52912 0.69279 0.77664. 0.24667 0.36477 0.53443 0.69311 0.77664. er. 0.31314 0.46440 0.67809 0.86873 0.96548. sit. y. ‧. 2048 4096 8192 16384 32768. 0.36591 0.54664 0.76312 0.92111 0.98291. 0.24112 0.36886 0.56183 0.75046 0.84874. 學. 0.76774 0.78333 0.79269 0.79526 0.80044. n. (0.0070, 0.5638). 2048 4096 8192 16384 32768. io. 0.68039 0.69684 0.70268 0.70407 0.70838. ‧ 國. 0.25617 0.37806 0.56507 0.75071 0.84874. 政治大. (0.0080, 0.5638). 2048 4096 8192 16384 32768. (0.0090, 0.5638). φU M P 0.21676 0.30801 0.43774 0.55860 0.60849. φL 0.47415 0.47845 0.47861 0.47943 0.47994. truncated (u = 0.32) φS φIU T 0.39653 0.13401 0.58641 0.20608 0.79350 0.30972 0.92767 0.41016 0.98099 0.46046. φU M P 0.17874 0.24048 0.32265 0.41136 0.46049. 0.55115 0.56003 0.56305 0.56366 0.56864. 0.36784 0.55019 0.76054 0.90979 0.97523. 0.15276 0.23702 0.35856 0.48077 0.53829. 0.19546 0.26915 0.37091 0.48176 0.53830. 0.64040 0.65030 0.65853 0.65880 0.65956. 0.34576 0.51037 0.72169 0.88952 0.96869. 0.17952 0.26963 0.41071 0.55044 0.62825. 0.21549 0.29964 0.42262 0.55149 0.62825. 0.73896 0.75683 0.76662 0.77145 0.77655. 0.31945 0.46771 0.67413 0.86055 0.95748. 0.20307 0.30411 0.46513 0.63402 0.73403. 0.23174 0.32593 0.47439 0.63503 0.73403. 立. φL 0.60068 0.60912 0.61543 0.62024 0.62112. a v l ni C h engchi U. n 2048 4096 8192 16384 32768. Nat. (π, θ). original (u = 1) φS φIU T 0.39403 0.18410 0.58274 0.28642 0.79534 0.43079 0.93708 0.55818 0.98737 0.60849.

(115) 表 4.7: 相關違約事件下檢定力的比較 (c = 0.125、α = 0.05). 0.97784 0.98320 0.98793 0.99027 0.99050. 35 (0.0060, 0.5638). Note: under H0 , (π, θ) = (0.0299, 0.6467). 0.30775 0.48184 0.69989 0.85802 0.91261. 0.31766 0.48728 0.70086 0.85806 0.91261. 0.33878 0.51565 0.74137 0.92037 0.98724. 0.30824 0.47869 0.70391 0.88539 0.95237. 0.31339 0.48161 0.70443 0.88541 0.95237. er. 0.30913 0.47345 0.69180 0.88915 0.97962. sit. y. ‧. 2048 4096 8192 16384 32768. 0.36661 0.55791 0.78178 0.94011 0.99181. 0.29684 0.46023 0.68019 0.87965 0.96989. 學. 0.94556 0.95380 0.96118 0.96499 0.96513. n. (0.0070, 0.5638). 2048 4096 8192 16384 32768. io. 0.89677 0.90464 0.91558 0.91786 0.92080. ‧ 國. 0.29898 0.46127 0.68038 0.87965 0.96989. 政治大. (0.0080, 0.5638). 2048 4096 8192 16384 32768. (0.0090, 0.5638). φU M P 0.31167 0.47601 0.67623 0.81040 0.85103. φL 0.77069 0.77155 0.77290 0.77797 0.77937. truncated (u = 0.37) φS φIU T 0.39229 0.26601 0.59778 0.41750 0.94642 0.59787 0.95087 0.72906 0.99164 0.77101. φU M P 0.28851 0.43142 0.60145 0.72919 0.77101. 0.85203 0.85578 0.86120 0.86735 0.86738. 0.36602 0.55779 0.78138 0.93571 0.98893. 0.28614 0.44547 0.64851 0.80320 0.85631. 0.30230 0.45489 0.65088 0.80331 0.85631. 0.91586 0.92823 0.93502 0.94093 0.94219. 0.33882 0.51878 0.74245 0.91611 0.98486. 0.29412 0.46401 0.68019 0.85711 0.92705. 0.30334 0.46925 0.68147 0.85714 0.92705. 0.96447 0.97441 0.98015 0.98476 0.98561. 0.31217 0.47404 0.69226 0.88651 0.97540. 0.29299 0.45459 0.67331 0.87131 0.96101. 0.29682 0.45633 0.67369 0.87133 0.96101. 立. φL 0.83280 0.83864 0.85167 0.85550 0.85624. a v l ni C h engchi U. n 2048 4096 8192 16384 32768. Nat. (π, θ). original (u = 1) φS φIU T 0.39329 0.29679 0.59988 0.46825 0.81826 0.67429 0.95482 0.81037 0.99479 0.85103.

(116) 第五章. 結論與建議. 本文從 Blöchlinger 和 Leippold (2009) 提出的 level test 與 shape test 出發，針對違約事件是相關的情況下，利用截斷分配的概念提出 truncated level test 使其檢定尺度更為接近 α。並藉由交聯集檢定與 Liu 和 Berger (1995) 以及 Yang 和 McDermott (2002) 提出的方法建構齊一較強檢力檢定，針對獨立違約事件及相關違約事件同時檢定 level 及 shape 兩個層面，可以得到以下結論：. 政治大 • 欲同時檢定 level 與 shape，其假設應該表示為交聯集檢定的形式：立. ‧ 國. H1 : µ1 < 0 且 µ2 < 0. 學. H0 : µ1 ≥ 0 或 µ2 ≥ 0. ‧. • 從模擬結果顯示，global test 的檢定尺度皆遠高於顯著水準 α，甚至高達 1。. y. Nat. io. sit. • 在相關違約事件的情況下，本文提出的 truncated level test 比起 original level. er. test 有效地修正犯型一誤差的機率，使其更為接近顯著水準 α。. al. n. v i n C h 及 shape 兩個層面，且為檢定尺度 • 本文建構的 φU M P 同時考慮 level α 的檢定。 engchi U 在虛無假設成立下，其犯型一誤差的機率收斂速度大於 φIU T 。在對立假設成立下，φU M P 的檢定力皆大於等於 φIU T 。 • c 愈小，1/c 就愈大，也就是 π ˆ /π0 愈大，當虛無假設成立的情況下，ˆ π 與 π0 差異愈大愈不容易誤判。. 本文建構的交聯集檢定 φIU T 與齊一較強檢力檢定 φU M P 基本假設為其檢定統計量母體分配為常態分配，由於 level 及 shape test 是基於近似常態分配，因此當樣本數 n 太小時要注意是否服從常態分配的假設。另外本文在 u 的選取並不是從實際資料估計，由於本文所提的 Beta 分配可描述債務人間的相關性，並假設在相同的信用評等下不同 36.

(117) 債務人間的違約機率皆一樣，在附錄中我們有推導不同的信用評等下債務人違約人數的相關係數，假使從資料中可算出樣本相關係數便可以估計出 u 值。在往後的研究中，如何選取上界 u 及是否存在一個合理的估計方法將是一個可探討的議題。. 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. 37. i n U. v.

(118) 參. 考. 文. 獻. Berger, R.L. (1989), “Uniformly more powerful tests for hypotheses concerning linear inequalities and normal means”, Journal of the American Statistical Association, 84(405), 192–199. Blöchlinger, A., Kantonalbank, Z., and Leippold, M. (2009), “Goodness-of-fit test for event forecasting”, Working paper.. 政治大 Lehmann, EL (1952), “Testing multiparameter hypotheses”, The Annals of Mathe立 matical Statistics, 541–552.. ‧ 國. 學. Liu, H. and Berger, R.L. (1995), “Uniformly more powerful, one-sided tests for. ‧. hypotheses about linear inequalities”, The Annals of Statistics, 23(1), 55–72.. y. Nat. io. sit. McDermott, Michael P. and Wang, Yining (2002), “Construction of uniformly more. n. al. er. powerful tests for hypotheses about linear inequalities”, Journal of Statistical Planning and Inference, 107(1-2), 207 – 217.. Ch. engchi. i n U. v. Sasabuchi, S. (1980), “A test of a multivariate normal mean with composite hypotheses determined by linear inequalities”, Biometrika, 67(2), 429. Wilde, T. (1997), “Creditrisk+ : A credit risk management framework”, Credit Suisse First Boston.. 38.

(119) 附錄一：Shape 檢定統計量之變異數此附錄中我們將根據 Blöchlinger 和 Leippold (2009) 推導 shape 檢定統計量的變異數，我們先定義函數 ϑ 如下： 1 ϑ(Ki , k) = P {Ki > k} + P {Ki = k} ∀ k = 1, . . . , C 2 接著定義 A, B 如下. 政治大.

(120)

(121)

(122) A = E E ϑ(Ki , k) ϑ(Ki , l)

(123) Yi = 1, N 1 2 B = E E (ϑ(Ki , k)) | Yi = 1, N1. 學. ‧ 國. 立. shape 檢定統計量之變異數可表示為. ‧.

(124)

(125) 1 ˆ

(126) V ar(θn |N1 ) = V ar E [ϑ(Ki , k)]

(127) Yi = 1, N 1 N1 1 = A−B N1. io. sit. y. Nat. n. al. er. 接下來可得 A, B 的值分別為

(128)

(129)

(130) A = E E ϑ(Ki , k) ϑ(Ki , l)

(131) Yi = 1, N 1 1 =E P {Ki = k}P {Ki = l}P {Ki = k|Yi = 1, N1 } 4 1 + P {Ki = k}P {Ki > l} + P {Ki = l}P {Ki > k} P {Ki = k|Yi = 1, N1 } 2 + P {Ki > k}P {Ki > l}P {Ki = k|Yi = 1, N1 } ( ! ) k−1 k−1 k−1 X X X 1 2 p + pk pi + =E pi pi P {Ki = k|Yi = 1, N1 } 4 k i=1 i=1 i=1 ! ) ( k−1 k−1 k−1 X X X πk p k 1 2 p + pk pi + pi p i × PC =E 4 k i=1 πi pi i=1 i=1 i=1 ! C k−1 k−1 k−1 X X X X 1 1 2 = π k pk p + pk pi + pi pi π0 k=1 4 k i=1 i=1 i=1. Ch. engchi. 39. i n U. v.

(132) 2 B = E E (ϑ(Ki , k)) | Yi = 1, N1 2 p = E θˆn |N1 −→ θ2 p. 又 N1 /n −→ π ˆ ，最後得到 shape 檢定統計量之變異數為 " C ! # k−1 k−1 k−1 X X X X 1 1 1 p p2 + pk pi + pi pi − θ 2 V ar(θˆn |N1 ) −→ p k πk nˆ π π ¯ k=1 4 k i=1 i=1 i=1. 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. 40. i n U. v.

(133) 附錄二：不同信用評等債務人違約人數相關係數此附錄中我們將利用不同信用評等下債務人違約人數的相關係數推導出和截斷 Beta 分配的上界 u 等價的式子。假設 ∀ i 6= j. Corr(Di , Dj ) = δ. 其中 Di 為信用評等 i 下債務人違約人數，根據先前假設 Dk |x ∼ Bin(nk , xπk ) 且 Dk 彼此獨立及由相關係數的定義. 治政 Cov(D , D ) 大 p Corr(D , D ) = p 立 V ar(D ) V ar(D ) i. i. j. j. i. ∀ i 6= j. j. 我們先求分子的共變異數部分，利用共變異數的定義以及雙重期望值原理可得. ‧ 國. 學. Cov(Di , Dj ) = E(Di Dj ) − E(Di )E(Dj ). ‧. = EE(Di Dj |X) − EE(Di |X)EE(Dj |X). Nat. sit. y. = E (E(Di |X)E(Dj |X)) − EE(Di |X)EE(Dj |X). n. al. er. io. = ni nj πi πj E X 2 − ni nj πi πj [E(X)]2 = ni nj πi πj V ar(X). Ch. Wg c h i en ). = ni nj πi πj V ar(. i n U. v. uc. 2. = ni nj πi πj. σ u 2 c2. ∀ i 6= j. 接著求變異數的部份，利用條件變異數的式子可得 V ar(Di ) = E [V ar(Di |X)] + V ar [E(Di |X)] = E [ni πi X(1 − Xπi )] + V ar [ni πi X] = ni πi E(X) − πi E(X 2 ) + n2i πi2 V ar(X) 2 1 1 σ2 2 2 σ + n π = ni πi − πi + i i 2 2 u u2 u2 c2 uc 2 n i πi πi σ = 2 u − πi + 2 (ni − 1) u c 41.

(134) 最後， Corr(Di , Dj ) = p. Cov(Di , Dj ) p V ar(Di ) V ar(Dj ). σ2 ni nj πi πj 2 2 uc = s ni πi πi σ 2 n j πj πj σ 2 u − πi + 2 (ni − 1) u − πj + 2 (nj − 1) u2 c u2 c σ2 ni nj πi πj 2 c = s πi σ 2 πj σ 2 u − πi + 2 (ni − 1) u − πj + 2 (nj − 1) c c √ n i n j πi π j σ 2 =q [(u − πi )c2 + πi σ 2 (ni − 1)] [(u − πj )c2 + πj σ 2 (nj − 1)] √. 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. 42. i n U. v. ∀ i 6= j.

(135)