Chapter 2 THE BIVARIATE LOSS CONTROL CHART
2.9 The Bivariate Loss Chart with Optimal Sample Size and Sampling Interval 42
國
立 政 治 大 學
‧
N a tio na
l C h engchi U ni ve rs it y
We also calculate ARL1 based on combinations of (δ1, δ2, δ3, δ4, δ5, δ6 ,
ρ1)with specified ρ0 = 0.5 and K11/K22= 0.5, 1, 2, 4 for smaller shift (See Appendix B, Table 51.). The specified BL chart detects quickly for smaller shift when δ1> 0.01, δ2
> 0.01,δ3>1.2 and δ4 >1.1. Compare to K11/K22 = 0.5, 1, 2, the specified BL chart performs better under K11/K22 = 4. From response graph (See Appendix B Figure.), we found that comparing with δ1, δ2, δ5, δ6, the specified BL chart is more sensitive
toδ3 , δ4 ,ρ1 shift. When δ3,δ4≤1.5 and ρ1≤0.3, the specified BL chart is more
sensitive. When δ1, δ2, δ3, δ4, δ5, δ6 , ρ1 increase, the ARL1 decreases.
2.9 The Bivariate Loss Chart with Optimal Sample Size and Sampling Interval Define ATS1 as the average time to signal when process is out-of-control. ATS1 can be calculated by multiplying ARL1 and sampling interval (h). Reasonably, the BL control chart should have a large ATS0 and a small ATS1.
To investigate the performance of the optimal BL chart of the small shift, we use the combinations of (δ1, δ2, δ3, δ4, δ5, δ6 , ρ1) (See Table 10,) with specified
ρ0 = 0.5 and K11/ K22 = 0.5, 1, 2, 4. ATS1*
s are calculated by finding the optimal (n*, h*) to minimize ATS1*
. Note that we use PORT routine in R program to find the optimal solutions. With different K11/K22, we have 4 cases below:
‧
‧ 國
立 政 治 大 學
‧
N a tio na
l C h engchi U ni ve rs it y
Table 14. The Optimal (n*, h*, ATS1*
) for BL Chart Given ρ0 =0.1 and α=0.0027
0.5 /K
K11 22= K11/K22= 1 K11/K22=2 K11/K22=4
δ1 δ2 δ3 δ4 δ5 δ6 ρ1 n* h* Opt.ATS1* n* h* Opt.ATS1* n* h* Opt.ATS1* n* h* Opt.ATS1*
0.1 0.1 1.2 1.1 0.1 0.1 0.1 15.00 0.10 0.10 25.00 0.10 0.16 25.00 0.10 0.10 25.00 0.10 0.10
0.1 0.1 1.5 1.5 0.5 0.5 0.5 25.00 0.10 0.10 25.00 0.10 0.10 25.00 0.10 0.10 25.00 0.10 0.10
0.1 0.1 2 2 1 1 0.8 19.36 0.10 0.10 22.86 0.10 0.10 19.16 0.10 0.10 15.18 0.10 0.10
0.1 0.5 1.2 1.5 0.5 1 0.8 25.00 0.10 0.10 25.00 0.10 0.10 25.00 0.10 0.10 25.00 0.10 0.10
0.1 0.5 1.5 2 1 0.1 0.1 19.71 0.10 0.10 21.82 0.10 0.10 19.15 0.10 0.10 15.85 0.10 0.10
0.1 0.5 2 1.1 0.1 0.5 0.5 15.00 0.10 0.10 11.04 0.10 0.12 8.68 0.10 0.13 24.61 0.10 0.10
0.1 1 1.2 2 1 0.5 0.5 14.54 0.10 0.10 19.20 0.10 0.10 18.63 0.10 0.10 16.54 0.10 0.10
0.1 1 1.5 1.1 0.5 1 0.8 15.00 0.10 0.10 7.83 0.10 0.13 9.37 0.10 0.13 21.18 0.10 0.10
0.1 1 2 1.5 1 0.1 0.1 15.53 0.10 0.10 17.85 0.10 0.10 15.85 0.10 0.10 8.00 0.10 0.10
0.5 0.5 1.5 1.5 1 1 0.5 17.07 0.10 0.10 21.02 0.10 0.10 17.18 0.10 0.10 13.64 0.10 0.10
0.5 0.5 2 2 0.1 0.1 0.8 21.15 0.10 0.10 25.00 0.10 0.10 20.83 0.10 0.10 17.27 0.10 0.10
0.5 0.5 1.2 1.1 0.5 0.5 0.1 25.00 0.10 0.10 25.00 0.10 0.10 25.00 0.10 0.10 22.73 0.10 0.10
0.5 1 1.5 2 0.1 0.5 0.1 16.42 0.10 0.10 25.00 0.10 0.10 22.27 0.10 0.10 18.56 0.10 0.10
0.5 1 2 1.1 0.5 1 0.5 19.14 0.10 0.10 7.50 0.10 0.10 8.27 0.10 0.10 14.49 0.10 0.10
0.5 1 1.2 1.5 1 0.1 0.8 17.35 0.10 0.10 19.63 0.10 0.10 17.24 0.10 0.10 14.00 0.10 0.10
0.5 0.1 1.5 1.1 0.5 0.1 0.8 8.00 0.10 0.10 9.74 0.10 0.14 25.00 0.10 0.10 21.14 0.10 0.10
0.5 0.1 2 1.5 1 0.5 0.1 18.74 0.10 0.10 19.18 0.10 0.10 14.83 0.10 0.10 8.00 0.10 0.10
0.5 0.1 1.2 2 0.1 1 0.5 25.00 0.10 0.10 25.00 0.10 0.10 25.00 0.10 0.10 25.00 0.10 0.10
1 1 2 2 0.5 0.5 0.8 8.00 0.10 0.10 8.00 0.10 0.10 8.00 0.10 0.10 8.00 0.10 0.10
1 1 1.2 1.1 1 1 0.1 12.74 0.10 0.10 16.00 0.10 0.10 13.11 0.10 0.10 8.00 0.10 0.10
1 1 1.5 1.5 0.1 0.1 0.5 19.22 0.10 0.10 23.38 0.10 0.10 19.19 0.10 0.10 15.46 0.10 0.10
1 0.1 2 1.1 1 0.1 0.5 16.47 0.10 0.10 14.88 0.10 0.10 8.00 0.10 0.10 8.00 0.10 0.10
1 0.1 1.2 1.5 0.1 0.5 0.8 25.00 0.10 0.10 25.00 0.10 0.10 25.00 0.10 0.10 21.67 0.10 0.10
1 0.1 1.5 2 0.5 1 0.1 16.94 0.10 0.10 20.98 0.10 0.10 16.83 0.10 0.10 12.97 0.10 0.10
1 0.5 2 1.5 0.1 1 0.1 17.41 0.10 0.10 25.00 0.10 0.10 19.63 0.10 0.10 14.72 0.10 0.10
1 0.5 1.2 2 0.5 0.1 0.5 19.49 0.10 0.10 21.42 0.10 0.10 17.37 0.10 0.10 13.67 0.10 0.10
1 0.5 1.5 1.1 1 0.5 0.8 17.32 0.10 0.10 17.72 0.10 0.10 13.47 0.10 0.10 8.00 0.10 0.10
‧ 國
立 政 治 大 學
‧
N a tio na
l C h engchi U ni ve rs it y
1.0 0.5 0.1 21
18
15
12
1.0 0.5
0.1 1.2 1.5 2.0 1.1 1.5 2.0
1.0 0.5 0.1 21
18
15
12
1.0 0.5
0.1 0.1 0.5 0.8
0.5 1.0 2.0 4.0 K 1 1 /K 2 2
RRR
R eeee sssspppp oooo nnnn sssseeee GGGG rrrr aaaa pppp hhhh
n nn n **** ---- bbbb aaaa rrrr
nnn n **** ---- bbbb aaaa rrrr
ddd
d eeee llll tttt aaaa 1111 ddd eeee llll tttt aaaa 2222d dddd eeee llll tttt aaaa 3333 dddd eeee llll tttt aaaa 4444
d dd
d eeee llll tttt aaaa 5555 dddd eeee llll tttt aaaa 6666 llll oooo uuuu 1111
Figure 12. Response Graph for n*-bar with ρ0=0.1 Based on Table 14
‧ 國
立 政 治 大 學
‧
N a tio na
l C h engchi U ni ve rs it y
Table 15. The Optimal (n*, h*, ATS1*
) for BL Chart Given ρ0=0.5 and α=0.0027
0.5 /K
K11 22= K11/K22=1 K11/K22=2 K11/K22=4
δ1 δ2 δ3 δ4 δ5 δ6 ρ1 n* h* Opt.ATS1*
n* h* Opt.ATS1*
n* h* Opt.ATS1*
n* h* Opt.ATS1*
0.1 0.1 1.2 1.1 0.1 0.1 0.1 25.00 0.1 0.10 25.00 0.1 0.11 25.00 0.1 0.10 25.00 0.1 0.10
0.1 0.1 1.5 1.5 0.5 0.5 0.5 25.00 0.1 0.10 25.00 0.1 0.10 25.00 0.1 0.10 25.00 0.1 0.10
0.1 0.1 2 2 1 1 0.8 17.76 0.1 0.10 20.29 0.1 0.10 18.17 0.1 0.10 15.06 0.1 0.10
0.1 0.5 1.2 1.5 0.5 1 0.8 22.64 0.1 0.10 25.00 0.1 0.10 25.00 0.1 0.10 25.00 0.1 0.10
0.1 0.5 1.5 2 1 0.1 0.1 18.53 0.1 0.10 20.83 0.1 0.10 18.38 0.1 0.10 15.76 0.1 0.10
0.1 0.5 2 1.1 0.1 0.5 0.5 25.00 0.1 0.10 25.00 0.1 0.10 25.00 0.1 0.10 24.22 0.1 0.10
0.1 1 1.2 2 1 0.5 0.5 13.64 0.1 0.10 17.67 0.1 0.10 17.76 0.1 0.10 16.08 0.1 0.10
0.1 1 1.5 1.1 0.5 1 0.8 19.50 0.1 0.10 23.00 0.1 0.10 23.00 0.1 0.10 20.10 0.1 0.10
0.1 1 2 1.5 1 0.1 0.1 15.01 0.1 0.10 17.06 0.1 0.10 15.55 0.1 0.10 8.00 0.1 0.10
0.5 0.5 1.5 1.5 1 1 0.5 15.59 0.1 0.10 18.51 0.1 0.10 16.59 0.1 0.10 13.55 0.1 0.10
0.5 0.5 2 2 0.1 0.1 0.8 19.78 0.1 0.10 22.59 0.1 0.10 20.20 0.1 0.10 16.83 0.1 0.10
0.5 0.5 1.2 1.1 0.5 0.5 0.1 25.00 0.1 0.10 25.00 0.1 0.10 25.00 0.1 0.10 22.61 0.1 0.10
0.5 1 1.5 2 0.1 0.5 0.1 15.11 0.1 0.10 21.38 0.1 0.10 21.17 0.1 0.10 18.43 0.1 0.10
0.5 1 2 1.1 0.5 1 0.5 15.31 0.1 0.10 22.48 0.1 0.10 18.79 0.1 0.10 14.30 0.1 0.10
0.5 1 1.2 1.5 1 0.1 0.8 16.42 0.1 0.10 18.71 0.1 0.10 16.59 0.1 0.10 13.93 0.1 0.10
0.5 0.1 1.5 1.1 0.5 0.1 0.8 25.00 0.1 0.10 25.00 0.1 0.10 25.00 0.1 0.10 21.00 0.1 0.10
0.5 0.1 2 1.5 1 0.5 0.1 17.43 0.1 0.10 17.59 0.1 0.10 14.52 0.1 0.10 8.00 0.1 0.10
0.5 0.1 1.2 2 0.1 1 0.5 22.91 0.1 0.10 25.00 0.1 0.10 25.00 0.1 0.10 25.00 0.1 0.10
1 1 2 2 0.5 0.5 0.8 8.00 0.1 0.10 12.89 0.1 0.10 8.00 0.1 0.10 8.00 0.1 0.10
1 1 1.2 1.1 1 1 0.1 11.34 0.1 0.10 14.04 0.1 0.10 12.43 0.1 0.10 8.00 0.1 0.10
1 1 1.5 1.5 0.1 0.1 0.5 17.53 0.1 0.10 20.82 0.1 0.10 18.20 0.1 0.10 15.38 0.1 0.10
1 0.1 2 1.1 1 0.1 0.5 15.66 0.1 0.10 13.75 0.1 0.10 8.00 0.1 0.10 8.00 0.1 0.10
1 0.1 1.2 1.5 0.1 0.5 0.8 25.00 0.1 0.10 25.00 0.1 0.10 25.00 0.1 0.10 21.54 0.1 0.10
1 0.1 1.5 2 0.5 1 0.1 15.54 0.1 0.10 18.30 0.1 0.10 15.90 0.1 0.10 12.90 0.1 0.10
1 0.5 2 1.5 0.1 1 0.1 15.54 0.1 0.10 20.83 0.1 0.10 18.41 0.1 0.10 14.58 0.1 0.10
1 0.5 1.2 2 0.5 0.1 0.5 18.15 0.1 0.10 19.78 0.1 0.10 17.03 0.1 0.10 13.64 0.1 0.10
1 0.5 1.5 1.1 1 0.5 0.8 16.16 0.1 0.10 16.55 0.1 0.10 13.23 0.1 0.10 8.00 0.1 0.10
‧ 國
立 政 治 大 學
‧
N a tio na
l C h engchi U ni ve rs it y
1.0 0.5 0.1 21
18
15
12
1.0 0.5
0.1 1.2 1.5 2.0 1.1 1.5 2.0
1.0 0.5 0.1 21
18
15
12
1.0 0.5
0.1 0.1 0.5 0.8
0.5 1.0 2.0 4.0 K11/K22
R R
RReeeessssppppoooonnnnsssseeee GGGGrrrraaaapppphhhh
n nn n **** ---- bbbbaaaa rrrr
n nn n **** ---- bbbb aaaa rrrr
d dd
d eeee llllttttaaaa 1111 ddd eeee llllttttaaaa 2222d dddd eeee llllttttaaaa 3333 ddd eeee llllttttaaaa 4444d
d dd
d eeee llllttttaaaa 5555 dddd eeee llllttttaaaa 6666 lllloooouuuu1111
Figure 13. Response Graph for n*-bar with ρ0 =0.5 Based on Table 15
‧ 國
立 政 治 大 學
‧
N a tio na
l C h engchi U ni ve rs it y
Table 16. The Optimal (n*, h*, ATS1*
) for BL Chart Given ρ0 =0.8 and α =0.0027
0.5 /K
K11 22= K11/K22= 1 K11/K22=2 K11/K22=4
δ1 δ2 δ3 δ4 δ5 δ6 ρ1 n* h* Opt.ATS1*
n* h* Opt.ATS1*
n* h* Opt.ATS1*
n* h* Opt.ATS1*
0.1 0.1 1.2 1.1 0.1 0.1 0.1 25.00 0.1 0.10 25.00 0.1 0.11 25.00 0.1 0.10 23.00 0.1 0.10
0.1 0.1 1.5 1.5 0.5 0.5 0.5 25.00 0.1 0.10 25.00 0.1 0.10 25.00 0.1 0.10 25.00 0.1 0.10
0.1 0.1 2 2 1 1 0.8 16.97 0.1 0.10 19.61 0.1 0.10 17.89 0.1 0.10 14.98 0.1 0.10
0.1 0.5 1.2 1.5 0.5 1 0.8 21.60 0.1 0.10 25.00 0.1 0.10 25.00 0.1 0.10 24.89 0.1 0.10
0.1 0.5 1.5 2 1 0.1 0.1 18.27 0.1 0.10 20.02 0.1 0.10 18.20 0.1 0.10 15.44 0.1 0.10
0.1 0.5 2 1.1 0.1 0.5 0.5 25.00 0.1 0.10 25.00 0.1 0.10 25.00 0.1 0.10 24.14 0.1 0.10
0.1 1 1.2 2 1 0.5 0.5 13.45 0.1 0.10 17.17 0.1 0.10 17.52 0.1 0.10 16.01 0.1 0.10
0.1 1 1.5 1.1 0.5 1 0.8 18.46 0.1 0.10 24.38 0.1 0.10 23.91 0.1 0.10 19.91 0.1 0.10
0.1 1 2 1.5 1 0.1 0.1 14.49 0.1 0.10 16.42 0.1 0.10 15.41 0.1 0.10 8.00 0.1 0.10
0.5 0.5 1.5 1.5 1 1 0.5 14.94 0.1 0.10 17.82 0.1 0.10 15.99 0.1 0.10 13.49 0.1 0.10
0.5 0.5 2 2 0.1 0.1 0.8 18.97 0.1 0.10 21.89 0.1 0.10 19.92 0.1 0.10 16.79 0.1 0.10
0.5 0.5 1.2 1.1 0.5 0.5 0.1 25.00 0.1 0.10 25.00 0.1 0.10 25.00 0.1 0.10 22.56 0.1 0.10
0.5 1 1.5 2 0.1 0.5 0.1 14.48 0.1 0.10 20.34 0.1 0.10 20.73 0.1 0.10 18.35 0.1 0.10
0.5 1 2 1.1 0.5 1 0.5 14.65 0.1 0.10 18.96 0.1 0.10 17.52 0.1 0.10 14.21 0.1 0.10
0.5 1 1.2 1.5 1 0.1 0.8 16.22 0.1 0.10 17.92 0.1 0.10 16.44 0.1 0.10 13.89 0.1 0.10
0.5 0.1 1.5 1.1 0.5 0.1 0.8 25.00 0.1 0.10 25.00 0.1 0.10 25.00 0.1 0.10 20.94 0.1 0.10
0.5 0.1 2 1.5 1 0.5 0.1 16.76 0.1 0.10 17.14 0.1 0.10 14.37 0.1 0.10 8.00 0.1 0.10
0.5 0.1 1.2 2 0.1 1 0.5 21.80 0.1 0.10 25.00 0.1 0.10 25.00 0.1 0.10 25.00 0.1 0.10
1 1 2 2 0.5 0.5 0.8 8.00 0.1 0.10 8.00 0.1 0.10 8.00 0.1 0.10 8.00 0.1 0.10
1 1 1.2 1.1 1 1 0.1 8.00 0.1 0.10 13.28 0.1 0.10 12.03 0.1 0.10 8.00 0.1 0.10
1 1 1.5 1.5 0.1 0.1 0.5 17.16 0.1 0.10 19.64 0.1 0.10 17.92 0.1 0.10 15.01 0.1 0.10
1 0.1 2 1.1 1 0.1 0.5 15.43 0.1 0.10 13.56 0.1 0.10 8.00 0.1 0.10 8.00 0.1 0.10
1 0.1 1.2 1.5 0.1 0.5 0.8 25.00 0.1 0.10 25.00 0.1 0.10 25.00 0.1 0.10 21.46 0.1 0.10
1 0.1 1.5 2 0.5 1 0.1 14.91 0.1 0.10 17.58 0.1 0.10 15.62 0.1 0.10 12.86 0.1 0.10
1 0.5 2 1.5 0.1 1 0.1 14.85 0.1 0.10 19.28 0.1 0.10 17.55 0.1 0.10 14.50 0.1 0.10
1 0.5 1.2 2 0.5 0.1 0.5 17.85 0.1 0.10 19.28 0.1 0.10 16.53 0.1 0.10 13.62 0.1 0.10
1 0.5 1.5 1.1 1 0.5 0.8 15.88 0.1 0.10 15.83 0.1 0.10 12.85 0.1 0.10 8.00 0.1 0.10
‧ 國
立 政 治 大 學
‧
N a tio na
l C h engchi U ni ve rs it y
Figure 14. Response Graph for n*-bar with ρ0 =0.8 Based on Table 16
From Tables 14 – 16, we could see that n* changes and h* is fixed at 0.1. Also, we found that the ratio of K11/K22 does not affect the performance too much, and whether
1 .
0 =0
ρ , 0.5 or 0.8, ATS1 is near 0.1. We could say that the optimal BL chart is
insensitive to these combinations of all process shifts.
From Figures 12 – 14, we observed that the response of n*-bar under ρ0=0.1 is different from that of ρ0 =0.5 and 0.8. Under ρ0 =0.1, there is no fixed pattern when K11/K22 = 1. But for ρ0 =0.5 and 0.8, the effects of all shifts on n*-bar have a
fixed pattern. When δ1,δ2,δ3,δ4,δ5 increase, n*-bar decreases. Under K11/K22 = 4, the optimal BL chart takes smaller samples to detect process shifts. While K11/K22 = 1, the optimal BL chart needs more samples.
1.0 0.5 0.1 21
18
15
12
1.0 0.5
0.1 1.2 1.5 2.0 1.1 1.5 2.0
1.0 0.5 0.1 21
18
15
12
1.0 0.5
0.1 0.1 0.5 0.8
0.5 1.0 2.0 4.0 K11/K22
RRR
Reeeessssppppoooonnnnsssseeee GGGrrrraaaapppphhhhG
nnn n **** ----bbbbaaaa rrrr
n nn n **** ----bbbbaaaa rrrr
d
ddd eeee llll ttttaaaa 1111 dddd eeee llll tttt aaaa 2222 dddd eeee lllltttt aaaa 3333 dddd eeee llll tttt aaaa 4444
d
ddd eeee llll tttt aaaa 5555 dddd eeee llll tttt aaaa 6666 llll oooouuuu1111
‧ 國
立 政 治 大 學
‧
N a tio na
l C h engchi U ni ve rs it y
0.8 0.5 0.1 22 21 20 19 18 17 16 15
14
0.8 0.5
0.1 0.1 0.5 0.8
0.5 1.0 2.0 4.0 K11/K22
R R R
Reeeessssppppoooonnnnsssseeee GGGGrrrraaaapppphhhh n
nn n **** ____ bbbb aaaarrrr
lllloooo uuuu 1111
lllloooo uuuu 0000 ====0000 ....1111 lllloooo uuuu 0000 ====0000 ....5555 lllloooo uuuu 0000 ====0000 ....8888
Figure 15. Response Graph for Comparing n*-bar underρ0 =0.1,0.5,0.8
From Figure 15, we could see that the significant difference of responses of n*-bar between ρ0 = 0.1, ρ0 = 0.5 and 0.8. Also, the pattern is more stable under K11/K22 = 4.
We also investigated the performance of optimal BL chart of smaller shift (See Appendix B, Table 52 and Figure 21). Only n* changes and the ATS1*
is near 0.1.
When the process has smaller shifts, the optimal solution for n* is quite large. Most of n* are over 15. The performance is very good, but it requires more samples to detect process shifts. The response graph for n*-bar shows that the optimal BL chart needs less samples to detect the shift, except for K11/K22 = 1.
‧ 國
立 政 治 大 學
‧
N a tio na
l C h engchi U ni ve rs it y
2.10 ATS1 Comparison of the Specified Bivariate Loss Chart and the Optimal Bivariate Loss Chart
(1). To compare the performance between two charts, we use ‘time saved%’ to
measure. Define Saved%= 100%
. . .
1 1
1− ×
ATS Spe
ATS Opt ATS
Spe , where Opt. ATS1 is the
ATS1 of the optimal BL chart and Spe.ATS1 is a ATS1 of the specified BL chart. The Saved% shows how much time the optimal BL chart had saved in detecting the process shifts with an out-of-control process when comparing with the specified BL chart.
(2). Set sampling interval for the specified BL chart as 1, we could calculate Spe.ATS1 based on Tables 11 – 13. Also, we calculate Saved% based on Tables 11 – 13 and Tables 14 – 16. The results are shown in Tables 17 – 19.
‧ 國
立 政 治 大 學
‧
N a tio na
l C h engchi U ni ve rs it y
Table 17. Saved% of Optimal BL Chart and Specified BL Chart for Small Shifts with 1
.
0 =0 ρ
No.
0.5 /K
K11 22= K11/K22=1 K11/K22=2 K11/K22=4
. ATS1
Spe Opt.ATS1 Saved% Spe. ATS1 Opt.ATS1 Saved% Spe. ATS1 Opt.ATS1 Saved% Spe. ATS1 Opt.ATS1 Saved% 1 59.31 0.10 99.83% 47.16 0.16 99.65% 40.06 0.10 99.75% 3.36 0.10 97.02%
2 2.70 0.10 96.29% 2.81 0.10 96.45% 2.84 0.10 96.48% 1.35 0.10 92.58%
3 1.12 0.10 91.05% 1.19 0.10 91.56% 1.12 0.10 91.04% 1.02 0.10 90.16%
4 1.83 0.10 94.54% 2.38 0.10 95.80% 4.02 0.10 97.51% 1.79 0.10 94.42%
5 1.18 0.10 91.52% 1.43 0.10 93.02% 1.14 0.10 91.20% 1.02 0.10 90.22%
6 2.00 0.10 95.01% 1.82 0.12 93.39% 1.85 0.13 92.84% 1.25 0.10 92.00%
7 1.03 0.10 90.31% 1.23 0.10 91.86% 1.17 0.10 91.48% 1.05 0.10 90.44%
8 1.45 0.10 93.13% 1.61 0.13 92.04% 2.09 0.13 93.57% 1.28 0.10 92.16%
9 1.05 0.10 90.48% 1.12 0.10 91.10% 1.03 0.10 90.31% 1.00 0.10 90.04%
10 1.15 0.10 91.30% 1.27 0.10 92.13% 1.15 0.10 91.30% 1.01 0.10 90.13%
11 1.09 0.10 90.84% 1.10 0.10 90.89% 1.15 0.10 91.34% 1.03 0.10 90.32%
12 3.61 0.10 97.23% 3.78 0.10 97.35% 3.63 0.10 97.25% 1.35 0.10 92.58%
13 1.03 0.10 90.26% 1.08 0.10 90.74% 1.26 0.10 92.04% 1.12 0.10 91.05%
14 1.09 0.10 90.85% 1.09 0.10 90.59% 1.12 0.10 90.97% 1.02 0.10 90.20%
15 1.10 0.10 90.89% 1.30 0.10 92.29% 1.10 0.10 90.88% 1.01 0.10 90.13%
16 2.42 0.10 95.86% 2.15 0.14 93.50% 1.61 0.10 93.79% 1.10 0.10 90.89%
17 1.15 0.10 91.32% 1.16 0.10 91.37% 1.02 0.10 90.24% 1.00 0.10 90.01%
18 1.37 0.10 92.71% 1.58 0.10 93.66% 2.15 0.10 95.35% 1.85 0.10 94.61%
19 1.00 0.10 90.02% 1.00 0.10 90.02% 1.00 0.10 90.03% 1.00 0.10 90.00%
20 1.05 0.10 90.45% 1.12 0.10 91.09% 1.06 0.10 90.54% 1.00 0.10 90.02%
21 1.09 0.10 90.79% 1.10 0.10 90.91% 1.17 0.10 91.42% 1.02 0.10 90.24%
22 1.05 0.10 90.45% 1.02 0.10 90.23% 1.00 0.10 90.01% 1.00 0.10 90.00%
23 1.71 0.10 94.15% 1.70 0.10 94.10% 1.93 0.10 94.83% 1.26 0.10 92.06%
24 1.10 0.10 90.91% 1.09 0.10 90.81% 1.11 0.10 90.99% 1.01 0.10 90.11%
25 1.05 0.10 90.52% 1.05 0.10 90.45% 1.05 0.10 90.52% 1.02 0.10 90.22%
26 1.14 0.10 91.22% 1.16 0.10 91.39% 1.12 0.10 91.05% 1.01 0.10 90.12%
27 1.10 0.10 90.89% 1.13 0.10 91.11% 1.02 0.10 90.16% 1.00 0.10 90.00%
‧ 國
立 政 治 大 學
‧
N a tio na
l C h engchi U ni ve rs it y
Table 18. Saved% of Optimal BL Chart and Specified BL Chart for Small Shifts with 5
.
0 =0 ρ
No.
0.5 /K
K11 22= K11/K22=1 K11/K22=2 K11/K22=4
. ATS1
Spe Opt.ATS1 Saved% Spe. ATS1 Opt.ATS1 Saved% Spe. ATS1 Opt.ATS1 Saved% Spe. ATS1 Opt.ATS1 Saved% 1 82.37 0.10 99.88% 195.36 0.11 99.94% 30.62 0.10 99.67% 3.20 0.10 96.88%
2 15.63 0.10 99.36% 76.42 0.10 99.87% 18.14 0.10 99.45% 2.94 0.10 96.60%
3 4.58 0.10 97.82% 23.02 0.10 99.57% 5.99 0.10 98.33% 1.74 0.10 94.25%
4 1.62 0.10 93.82% 3.47 0.10 97.12% 3.98 0.10 97.49% 1.73 0.10 94.21%
5 1.89 0.10 94.71% 3.79 0.10 97.36% 2.31 0.10 95.67% 1.28 0.10 92.19%
6 1.18 0.10 91.53% 1.88 0.10 94.66% 1.38 0.10 92.75% 1.07 0.10 90.65%
7 1.02 0.10 90.17% 1.17 0.10 91.48% 1.13 0.10 91.19% 1.04 0.10 90.40%
8 1.02 0.10 90.20% 1.11 0.10 90.99% 1.09 0.10 90.83% 1.03 0.10 90.29%
9 1.00 0.10 90.00% 1.03 0.10 90.29% 1.02 0.10 90.20% 1.00 0.10 90.00%
10 1.48 0.10 93.24% 1.71 0.10 94.15% 1.87 0.10 94.65% 1.21 0.10 91.74%
11 1.16 0.10 91.38% 1.43 0.10 93.01% 1.40 0.10 92.86% 1.09 0.10 90.83%
12 3.85 0.10 97.40% 9.61 0.10 98.96% 3.42 0.10 97.08% 1.36 0.10 92.66%
13 2.32 0.10 95.69% 2.06 0.10 95.15% 1.71 0.10 94.15% 1.13 0.10 91.15%
14 1.31 0.10 92.37% 1.48 0.10 93.24% 2.40 0.10 95.83% 1.04 0.10 90.38%
15 1.06 0.10 90.60% 1.20 0.10 91.65% 1.08 0.10 90.72% 1.01 0.10 90.12%
16 1.32 0.10 92.42% 1.80 0.10 94.44% 2.64 0.10 96.21% 1.49 0.10 93.29%
17 1.08 0.10 90.74% 1.69 0.10 94.08% 2.01 0.10 95.02% 1.23 0.10 91.87%
18 1.52 0.10 93.43% 2.01 0.10 95.01% 2.79 0.10 96.41% 1.76 0.10 94.32%
19 1.20 0.10 91.67% 1.17 0.10 91.45% 1.13 0.10 91.15% 1.03 0.10 90.29%
20 1.02 0.10 90.23% 1.23 0.10 91.86% 1.04 0.10 90.41% 1.00 0.10 90.02%
21 1.02 0.10 90.20% 1.02 0.10 90.20% 1.00 0.10 90.00% 1.00 0.10 90.00%
22 1.09 0.10 90.83% 1.22 0.10 91.80% 1.46 0.10 93.15% 1.20 0.10 91.67%
23 2.05 0.10 95.13% 2.34 0.10 95.73% 2.32 0.10 95.68% 1.24 0.10 91.93%
24 1.03 0.10 90.29% 1.12 0.10 91.07% 1.03 0.10 90.29% 1.00 0.10 90.00%
25 1.20 0.10 91.67% 1.25 0.10 92.00% 1.29 0.10 92.25% 1.07 0.10 90.65%
26 1.11 0.10 90.95% 1.27 0.10 92.13% 1.09 0.10 90.85% 1.01 0.10 90.11%
27 1.01 0.10 90.10% 1.04 0.10 90.38% 1.00 0.10 90.00% 1.00 0.10 90.00%
‧ 國
立 政 治 大 學
‧
N a tio na
l C h engchi U ni ve rs it y
Table 19. Saved% of Optimal BL Chart and Specified BL Chart for Small Shifts with 8
.
0 =0 ρ
No.
0.5 /K
K11 22= K11/K22=1 K11/K22=2 K11/K22=4
. ATS1
Spe Opt.ATS1 Saved% Spe. ATS1 Opt.ATS1 Saved% Spe. ATS1 Opt.ATS1 Saved% Spe. ATS1 Opt.ATS1 Saved% 1 52.50 0.10 99.81% 254.84 0.10 99.96% 24.46 0.10 99.59% 3.11 0.10 96.76%
2 11.87 0.10 99.16% 71.89 0.10 99.86% 15.11 0.10 99.34% 2.87 0.10 96.52%
3 3.65 0.10 97.26% 14.64 0.10 99.32% 5.09 0.10 98.04% 1.70 0.10 94.12%
4 1.47 0.10 93.22% 4.30 0.10 97.67% 3.48 0.10 97.12% 1.69 0.10 94.08%
5 1.72 0.10 94.19% 3.70 0.10 97.30% 2.15 0.10 95.35% 1.27 0.10 92.13%
6 1.13 0.10 91.15% 1.64 0.10 93.90% 1.32 0.10 92.42% 1.07 0.10 90.65%
7 1.01 0.10 90.13% 1.13 0.10 91.16% 1.12 0.10 91.05% 1.04 0.10 90.38%
8 1.02 0.10 90.20% 1.11 0.10 90.99% 1.08 0.10 90.74% 1.02 0.10 90.20%
9 1.00 0.10 90.00% 1.02 0.10 90.20% 1.02 0.10 90.20% 1.00 0.10 90.00%
10 1.38 0.10 92.75% 2.08 0.10 95.19% 1.78 0.10 94.38% 1.20 0.10 91.67%
11 1.12 0.10 91.07% 1.54 0.10 93.51% 1.34 0.10 92.54% 1.08 0.10 90.74%
12 3.19 0.10 96.87% 9.25 0.10 98.92% 3.08 0.10 96.75% 1.35 0.10 92.58%
13 2.05 0.10 95.12% 2.59 0.10 96.14% 1.63 0.10 93.87% 1.12 0.10 91.07%
14 1.23 0.10 91.87% 1.79 0.10 94.41% 1.30 0.10 92.31% 1.04 0.10 90.38%
15 1.05 0.10 90.50% 1.16 0.10 91.38% 1.07 0.10 90.65% 1.01 0.10 90.11%
16 1.24 0.10 91.94% 2.30 0.10 95.65% 2.43 0.10 95.88% 1.46 0.10 93.15%
17 1.06 0.10 90.57% 1.97 0.10 94.92% 1.82 0.10 94.51% 1.21 0.10 91.74%
18 1.40 0.10 92.88% 2.49 0.10 95.99% 3.36 0.10 97.02% 1.71 0.10 94.14%
19 1.16 0.10 91.38% 1.24 0.10 91.94% 1.17 0.10 91.45% 1.03 0.10 90.29%
20 1.01 0.10 90.13% 1.14 0.10 91.21% 1.03 0.10 90.30% 1.00 0.10 90.01%
21 1.01 0.10 90.10% 1.01 0.10 90.10% 1.00 0.10 90.00% 1.00 0.10 90.00%
22 1.06 0.10 90.57% 1.34 0.10 92.54% 1.61 0.10 93.79% 1.18 0.10 91.53%
23 1.84 0.10 94.58% 3.11 0.10 96.78% 2.17 0.10 95.39% 1.23 0.10 91.84%
24 1.02 0.10 90.20% 1.08 0.10 90.74% 1.02 0.10 90.20% 1.00 0.10 90.00%
25 1.14 0.10 91.23% 1.42 0.10 92.96% 1.40 0.10 92.86% 1.07 0.10 90.65%
26 1.08 0.10 90.78% 1.22 0.10 91.80% 1.08 0.10 90.75% 1.01 0.10 90.10%
27 1.01 0.10 90.10% 1.03 0.10 90.29% 1.00 0.10 90.00% 1.00 0.10 90.00%
‧ 國
立 政 治 大 學
‧
N a tio na
l C h engchi U ni ve rs it y
Tables 17 – 19 showed that the optimal BL chart gave ATS1 saved% a minimum of 90% to detect process signal. But, the optimal BL chart requires more samples to monitor the process. The same result of detecting smaller shifts (See Appendix B, Table 53). In practice, we suggest using specified BL chart since it requires less samples to detect process signal and it is easy to implement.