e 則併入在 GLAD 本身計算繞射的量上。

空間上的解微分方程式(differential equation)之中；後項 ^{2 ( )}

2

^s _{s p} ^{i p s i z}

因此式子(2.36)-(2.38)中色散的量為：

式子(2.33)-(2.35)及(2.41)-(2.43)在 GLAD 中皆可以 2-2 節中的切 開分段分析法來計算，省去了如式子(2.23)-(2.25)二次積分的繁雜，以 較簡便的計算方法來求參數振盪中光的增益及繞射量。

在本章中分別簡介了 GLAD 光學模擬軟體獨特的計算原理，也 分別討論了關於增益介質及倍頻晶體的工作原理，在下一章中將運用 前述的這些原理、方法來模擬四能階與準三能階雷射架構。

第三章 數值模擬分析

本章將利用第二章介紹的 GLAD 光學應用軟體來分析模擬腔內 倍頻之四能階連續式紅外光雷射及腔內倍頻之準三能階連續式紅外 光雷射，並就腔內倍頻的原理加以描述。

3.1 Nd:YVO₄ 與 Nd:YAG 雷射晶體

形成雷射有三大要素：共振腔、增益介質、幫浦光源。其中增益 介質是構成整個雷射系統的主要關鍵，決定雷射的主要特性。因此，

首先就本研究在綠光雷射部分所用到的增益介質 Nd:YVO₄ 及藍光 雷射部分所採用的增益介質 Nd:YAG 兩者的特性加以分析比較。

以 Nd³⁺離 子 摻 雜 (doping) 的 增 益 介 質 種 類 相 當 的 多 ， 其 中 Nd:YVO

4與 Nd:YAG 因具有較好的物理、光學及熱的性質，而廣泛 的被應用於各種雷射系統當中。雖然兩者有相同的活性離子(active ion) Nd³⁺，但位於不同的主材料(host)中的活性離子，其所承受到的晶 格場(crystal field) 會有所不同，使得 Nd:YVO₄與 Nd:YAG 雷射的特 性稍有差異。

接下來在表 3-1 列舉出常見的 Nd:YVO₄與 Nd:YAG 主材之物理 及熱學特性。由此表中可以得知，YVO₄是屬於四方晶系(tetragonal)，

Nd³⁺摻雜濃度可高達 3%，因此高摻雜濃度的 Nd³⁺:YVO₄具有較高的 雷射增益。而 YAG 則是屬於立方晶格(cubic)，Nd³⁺離子摻雜濃度一 般約在 0.9~1.1 %，較高的摻雜濃度雖可提高其增益，卻可能會造成

晶格變形，使得雷射晶體的光學特性劣化。此外 Nd:YAG 晶體的莫氏 硬度(Mohs hardness)高達 8.5，僅次於紅寶石(ruby = 9)，是個質地相 當堅硬的雷射晶體。相對地，Nd: YVO₄晶體的莫氏硬度約為 5，晶體 質地就較軟。

表 3-1 Nd: YVO₄與 Nd: YAG 主材之基本特性

晶體 Nd:YVO4 (Nd:YVO4) Nd:YAG (Nd³⁺:Y3Al5O12)

中文名稱 摻釹釩酸釔 摻釹釔鋁石榴石

英文名稱 Neodymium Doped

Yttrium Orthovanadate

Neodymium Doped Yttrium Aluminum Garnet

物理特性

晶體結構 Zircon Tetragonal Cubic

晶格常數 a= 7.12, c= 6.29 Å 12.01 Å

摻雜濃度 0.1 % ∼ 3 % 0.9 % ∼ 1.1 %

熔點 1810∼1940 ℃ 1970 ℃

密度 4.22 g/cm³ 4.56g/cm³

莫氏硬度 ∼5 8.5

折射率 no=1.96, ne=2.16 @1.06

µ

m 1.82 @ 1.06

µ

m

熱學性質

熱膨脹係數

α

^{a = 4.43x10-6 /K}

α

^c = 11.37x10^-6 /K

8.2x10^-6 /K [100], 0-250 ℃ 7.7x10^-6 /K [110], 0-250 ℃ 7.8x10^-6 /K [111], 0-250 ℃

熱傳導率 ∥C：5.23 W/m-K

⊥C：5.10 W/m-K

14 W/m-K @ 20 ℃ 10.5 W/m-K @ 100 ℃

熱光係數 ^8.2x10

-6 /K for na

3.9x10^-6 /K for nc

7.3x10^-6 /K

過高的晶體溫度而產生的熱效應不僅會降低增益介質的居量反 轉(population inversion)數，對準三能階雷射而言更提高了重複吸收損 耗，因而降低雷射輸出效能，破壞雷射的穩定性。為此，雷射操作過 程中無不盡量使雷射晶體維持在低溫的狀態下，以減少熱效應的產 生。表 3-1 顯示 Nd:YAG 的熱傳導率(thermal conductivity)大約是 Nd:YVO₄的三倍，因此 Nd:YAG 比 Nd:YVO₄容易將雷射操作過程中 所產生的熱傳導至周邊的散熱裝置，以維持晶體在較低的溫度，減少 熱效應的產生[13]。

表 3-2 Nd:YVO₄與 Nd:YAG 摻雜離子之光學特性

晶體 Nd:YVO4 Nd:YAG

雷射中心波長 914 nm, 1064 nm 946 nm, 1064 nm

有效輻射截面 ^{25.0x10-19 cm2} @ 1064 nm 2.8x10^-19 cm² @ 1064 nm 2.8x10^-20 cm² @ 946 nm

吸收係數 ^{31.4 cm-1} (π), 10.5 cm^-1 (σ)

@ 808 nm, 1.1% doping

10 cm^-1

@ 807.5 nm, 1% doping

增益頻寬 0.96 nm 0.6 nm

幫浦中心波長 808 nm 807.5 nm

吸收頻寬 15 nm (π), 8 nm (σ)

@ 808 nm

1 nm

@ 807.5 nm

自發輻射生命期 ⁹⁰

µ

s 230

µ

s

其他特性 平行光軸之極化輻射 具雙折射性

非極化輻射 熱雙折射性強

表 3-2 是兩者的光學性質比較，除同樣具有波長 1064 nm 的雷射 輸出外，Nd:YVO₄與 Nd:YAG 因主材不同而輻射譜線也不同，分別 是波長 914 nm 與 946 nm 的輻射譜線。而 Nd:YVO₄輻射譜線 914 nm，

可經由倍頻技術得到 457 nm 的藍光雷射，非常適合當作為雷射顯示 元件的藍光光源。然而波長 914 nm 的輻射輸出，其雷射下能階(lower laser level)能量與基態能階(ground state)能量差只有 0.05 eV，在先天 導熱性較差的情況下，一旦晶體溫度上升至 300 ℃或更高時，將使 原有的準三能階的雷射系統轉成三能階的雷射(three-level laser)系 統，如此將提高雷射製作的困難度。對 Nd:YAG 而言，同樣可藉由倍 頻技術將 946 nm 雷射輸出轉換成 473 nm 的藍光雷射，但 Nd:YAG 的 946 nm 輻射輸出的下能階能量與基態能階能量差為 Nd:YVO₄ 的兩 倍，即使在高溫之下，仍保持準三能階雷射的特性。所以，在藍光雷 射方面的增益介質我們選用 Nd:YAG 晶體。

Nd:YVO

4 具 有 較 大 的 有 效 輻 射 截 面 (effective emission cross section)，其吸收係數(absorption coefficient)是 Nd:YAG 的三倍，並且 吸收頻寬達 8 nm，因此光對光的轉換效率較高。一般腔內倍頻技術 對 於 腔 內 基 頻 光 的 極 化 方 向 有 特 殊 偏 好 ， 因 此 具 有 雙 折 射 性 (birefringence)單光軸(uniaxial)晶體的 Nd:YVO₄ 在腔內倍頻應用上，

轉換效率較高，加上綠光雷射是屬於四能階雷射，對熱的要求沒有像 準三能階藍光雷射那麼要求，故我們選用 Nd:YVO₄晶體為綠光雷射 的增益介質。

接下來二節，將以 Nd:YVO₄與 Nd:YAG 為增益介質，分別介紹 四能階連續式紅外光雷射及準三能階連續式紅外光雷射。

3.2 四能階雷射系統

以實驗室常使用的半對稱式共振腔(half symmetric cavity)架構為 模擬分析的參考[14]，如圖 3.1 所示。此半對稱式架構共振腔腔長為 14.5 公分，以厚度 0.5 公分的 Nd:YVO₄晶體為增益介質，搭配曲率半 徑 15 公分輸出耦合透鏡(output coupler)，藉由改變不同的輸出耦合透 鏡穿透率值，以獲得最佳的穩定輸出值。

本模擬將以 3W 的雷射二極體來幫浦此半對稱式共振腔。兼顧到 模擬過程的速度與正確性，在模擬中我們採取一個 64×64 的二維陣 列來計算所有的參數，並且直接設定幫浦光源的尺寸大小與共振腔穩 定後腔內的雷射光尺寸一致，以達到模態匹配(mode matching)。故首 先先計算在此共振腔穩定後，腔內雷射光在各點的尺寸大小。

考慮共振腔穩定性，定義穩定因子 g₁、g₂：

1

1

1

R

g = − L

(3.1) 圖 3.1 半對稱式共振腔的四能階雷射系統

R2=15cm

Loss N % Nd:YVO4

L=14.5cm 0.5 cm

輸入端 輸出端

R1=∞

2

雷射系統的增益介質，有關此晶體其他的物理特性，已在 3-1 節中有 詳述，這裡主要要探討的是如何運用 GLAD 來分析幫浦光源通過增 益介質的吸收情形及其變化，底下作個說明。

當增益介質受到幫浦光源的激發後，由於會有吸收的效應，故並 不是整塊增益介質皆獲得相同的光能量，如圖 3.2 所示，因此在考量 準確性及速度性，將增益介質 Nd:YVO₄部分等分切成十塊，每一小 塊的厚度為

∆ l

。假設 Nd:YVO4吸收係數為

_α

，初始幫浦光源為

P

_i，在 通過第一小塊後幫浦光源(

P

_i^')變為：

P

_i^'

= P

_i

e

^{−α∆ l} (3.6)

則第一小塊增益介質吸收到的幫浦能量

P

₁為：

P

₁

= P

_i

− P

_i^'

= P

_i

− P

_i

e

^−α∆l

= P

_i

( 1 − e

^−α∆l

)

(3.7) 圖 3.2 分段分析增益介質 Nd:YVO4受幫浦光源激發吸收情形

∆l

幫浦光源 (Pi) =>

l

i e

P

×

^−α∆

l

i e

P

×

^−2α∆

l

i e

P

×

^−3α∆

同理其餘小塊增益介質吸收到的幫浦能量為： (Energy density

of level 2)

下能階能量密度 (Energy density

of level 1)

所示，再由(3.9)式知：

l P P

ⁱ

∆

=

₂

×

πω

1 , 單位

ω /cm

³ (3.10)

由上式(3.10)加上前面(3.7)式的分析，第一小塊增益介質真正吸 收到的能量為

) 1

2

(

1 1

i

e

l

l

P P −

^{− ∆}

∆

= ×

^α

πω

(3.11)

其餘小塊增益介質各別吸收到的幫浦能量同(3.8)式分析。此外，

四能階雷射架構，電子受激發後其從基態能階躍遷至激發狀態 (excited state)能階的能階差與雷射真正輸出的能階差不同，稱為量子

圖 3.3 增益介質吸收幫浦光源分析示意圖

增益介質

幫浦光源

厚度 L

∆

l ^{= 時間×光速}

轉換效率(quantum efficiency)，如圖 3.4 定義如下:

量子轉換效率

30

.) 21

.

( E

E E

Q

=

(3.12)

其餘 E32 + E₁₀ 兩能階部分，則以熱的形式被增益介質所吸收，

造成能量轉換上的損失。故量子轉換效率高的晶體較不會因吸收過多 未使用到的能量，讓晶體溫度上升太高，造成雷射輸出功率變差。因 此，對整個四能階模擬的架構而言，式子(3.7)、(3.11)再加上量子轉 換效率的條件後，第一小塊的增益介質，真正吸收到的激發能量為：

. . ( 1 )

2 1 1

i

e

l

l E Q

P P −

^{− ∆}

∆

= ×

^α

πω

(3.13)

其餘小塊增益介質各別吸收到的幫浦能量同(3.13)式修正之。從 圖 3.1 可知，對於四能階雷射架構的模擬，前面的討論已分別分析過 幫浦光源的尺寸、增益介質及其真正吸收到的能量，最後再加上輸出 耦合透鏡穿透率值，即完成整個架構的初步分析。前面提過 GLAD

圖 3.4 四能階雷射架構示意圖

0 1 2 3

幫浦光 雷射光

加入一個指定穿透率值的耦合透鏡即可，毋需特別考量光子生命期 (photon lifetime)。這裡以穿透率值 2 %為例，分別列出其模擬結果。

在圖 3.5 中，為 3W 雷射二極體幫浦以 Nd:YVO4為增益介質的半 對稱式穩定共振腔，其耦合透鏡穿透率值為 2 %，穩定後得到約 2.26 W 的平均功率輸出。由此結果可以看到整個雷射共振腔其輸出紅外 光(波長 1064 nm)能量的建立過程，從開始為零經過不斷地振盪起伏 變化，最後隨著振盪逐漸變緩而成穩定輸出狀態。經由圖中的訊息可 以初步計算出雷射光的鬆弛振盪頻率(relaxation oscillation frequency) 約為 594kHz 及整個雷射共振腔輸出的建立時間(build up time)。

而下圖 3.6 所示，為共振腔在穩定後，紅外光雷射(波長 1064 nm) 在腔內輸出端空間高斯分佈模態。可以看出 GLAD 是以一個二維的 座標分佈來分析行進中的光束。

0 5 10 15 20 25 30 35

0 5000 10000 15000 20000 25000 30000

光子在共振內腔來回的次數

1064nm 輸出功率 (W)

average power = 2.26 W

(光子來回一次約1 ns)

圖 3.5 以 3W 雷射二極體激發輸出耦合透鏡穿透率為 2 %的 Nd:YVO₄四能階共振腔之紅外線(1064nm)輸出圖

圖 3.7 為共振腔穩定後，腔內增益介質在亞穩態能階上的電子分 佈情形。整個四能階雷射的架構，初始是給予以一個高斯光束當幫浦 光源，等到共振腔穩定後，由圖 3.7(a)與 3.7(b)中得知，增益介質在 亞穩態能階上的電子分佈情形與幫浦光源，彼此在尺寸大小關係上皆 有相當程度的匹配。

1.58E+04

0.00

Y=-1.49E-01 Y=1.49E-01

(W/cm²)

X=-1.54E-01

X=1.49E-01

(cm) (cm)

圖 3.6 1064nm 光束輸出端腔內的二維場量分佈

圖 3.7 (a)幫浦光源尺寸分佈 (b)亞穩態(metastable state) 的居量反轉的 分佈(population inversion density)

X=1.55E-01

X=-1.60E-01 Y=-1.55E-01

Y=1.55E-01 0.00 (W/cm³)

6.29E+4

(a)

Y=-1.55E-01 Y=1.55E-01

X=-1.60E-01

X=1.55E-01 3.98E-4

(J/cm³)

0.0

(b)

在圖 3.1 的四能階雷射架構中，GLAD 模擬中利用改變不同的輸 出耦合透鏡穿透率值，以獲得不同的雷射輸出功率，如 3.8 圖(a)所示；

而圖 3.8(b)所示則為理論上輸出耦合透鏡穿透率值與雷射輸出的關 係。比較此二圖，明顯地看出，在圖 3.8(a)所得到的結果在低穿透率 值時並沒有如預期的功率輸出值會減少，推測其原因，可能是在 GLAD 指令中，並無考量到幫浦飽和(pump saturation)的條件，即將基

而圖 3.8(b)所示則為理論上輸出耦合透鏡穿透率值與雷射輸出的關 係。比較此二圖，明顯地看出，在圖 3.8(a)所得到的結果在低穿透率 值時並沒有如預期的功率輸出值會減少，推測其原因，可能是在 GLAD 指令中，並無考量到幫浦飽和(pump saturation)的條件，即將基

在文檔中 腔內倍頻藍/綠光之研製與理論分析 (頁 25-53)